ΠΡΟΣ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΟΥΣ

   Ἐπειδὴ τοῦ ποσοῦ τὸ μέν ἐστιν ἐν τοῖς συνεχέσι σώμασιν, ὃ δὴ μέγεθος καλεῖται, περὶ ὅ ἐστι μάλιστα ἡ γεωμετρία, τὸ δὲ ἐν διεστῶσιν, ὅπερ ἀριθμὸς καθέστηκεν, περὶ ὃν ἡ ἀριθμητικὴ καταγίνεται, σκοπῶμεν ἀπὸ τῶν γεωμετρικῶν τε ἀρχῶν καὶ θεωρημάτων μετελθόντες καὶ τὰ περὶ ἀριθμοῦ τούτου γὰρ ἀναιρεθέντος οὐδ' ἡ περὶ αὐτὸν συνισταμένη γενήσεται τέχνη.

[2]    Καθόλου μὲν οὖν οἱ ἀπὸ τῶν μαθημάτων Πυθαγορικοὶ μεγάλην ἀπονέμουσι δύναμιν τοῖς ἀριθμοῖς ὡς τῆς τῶν ὅλων φύσεως κατ' αὐτοὺς διοικουμένης. ὅθεν καὶ ἀεί ποτε ἐπεφώνουν τὸ

   ἀριθμῷ δέ τε πάντ' ἐπέοικεν,

ὀμνύοντες οὐ μόνον τὸν ἀριθμὸν ἀλλὰ καὶ τὸν ὑποδείξαντα αὐτοῖς τοῦτον Πυθαγόραν ὡς θεὸν διὰ τὴν ἐν ἀριθμητικῇ δύναμιν, λέγοντες

   οὐ μὰ τὸν ἁμετέρᾳ ψυχᾷ παραδόντα τετρακτύν,

   παγὰν ἀενάου φύσεως ῥιζώματ' ἔχουσαν.

[3] τετρακτὺς δὲ προσηγορεύετο παρ' αὐτοῖς ὁ ἐκ τῶν πρώτων ‹δ΄› ἀριθμῶν συγκείμενος 'τέταρτος ἀριθμός'. ἓν γὰρ καὶ δύο καὶ τρία καὶ τέσσαρα δέκα γίνεται ὅς ἐστι τελειότατος ἀριθμός, ἐπείπερ ἐπ' αὐτὸν φθάσαντες πάλιν ἀναλύομεν ἐπὶ τὴν μονάδα καὶ ἐξ ὑπαρχῆς ποιούμεθα τὰς ἀριθμήσεις. πηγὴν δὲ ἀενάου φύσεως ῥιζώματ' ἔχουσαν εἰρήκασιν αὐτὸν διὰ τὸ κατ' αὐτοὺς ἐν αὐτῷ τὸν λόγον τῆς ἁπάντων κεῖσθαι συστάσεως, οἷον εὐθέως τοῦ τε σώματος καὶ τῆς ψυχῆς· ἀπαρκέσει γὰρ τούτων ὑποδειγματικῶς [4] μεμνῆσθαι. ἡ μὲν οὖν μονὰς ἀρχή τις ὑπόκειται τῆς τῶν ἄλλων ἀριθμῶν ἀπεργαστικὴ συστάσεως, ἡ δὲ δυὰς μήκους ἐστὶν ἀπεργαστική. καθάπερ γὰρ ἐπὶ τῶν γεωμετρικῶν ἀρχῶν ὑπεδείξαμεν πρῶτον, τίς ἐστιν ἡ στιγμή, εἶτα μετ' αὐτὴν ἡ γραμμὴ μῆκος ἀπλατὲς τυγχάνουσα, τὸν αὐτὸν τρόπον καὶ ἐπὶ τοῦ παρόντος ἡ μὲν μονὰς τὸν τῆς στιγμῆς ἐπέχει λόγον, ἡ δὲ δυὰς τὸν τῆς γραμμῆς καὶ τοῦ μήκους· ποθὲν γάρ ποι ἐχώρησεν ἡ διάνοια ταύτην ἐννοουμένη, [5] τοῦτο δ' ἦν μῆκος. ἡ δὲ τριὰς ἐπὶ τοῦ πλάτους καὶ τῆς ἐπιφανείας ἐτέτακτο· ποθὲν γάρ ποι ‹καὶ πάλιν ποι› ἐφέρετο ὁ νοῦς. καὶ προστιθεμένης τῇ κατὰ μῆκος διαστάσει τῆς κατὰ πλάτος διαστάσεως ἐπιφάνεια νοεῖται. ἀλλὰ κἂν ἐπιθεωρήσῃ τις τῇ τριάδι τετάρτην μονάδα, τουτέστι τέταρτον σημεῖον, γίνεται πυραμίς, στερεὸν σῶμα καὶ σχῆμα· καὶ γὰρ μῆκος ἔχει καὶ πλάτος καὶ βάθος· ὥστε ἐν τῷ 'τετάρτῳ' [6] ἀριθμῷ τὸν τοῦ σώματος περιέχεσθαι λόγον. καὶ μὴν καὶ τὸν τῆς ψυχῆς· ὡς γὰρ τὸν ὅλον κόσμον κατὰ ἁρμονίαν λέγουσι διοικεῖσθαι, οὕτω καὶ τὸ ζῷον ψυχοῦσθαι. δοκεῖ δὲ ἡ τέλειος ἁρμονία ἐν τρισὶ συμφωνίαις λαμβάνειν τὴν ὑπόστασιν, τῇ τε διὰ τεττάρων καὶ τῇ διὰ πέντε καὶ τῇ διὰ πασῶν. ἡ μὲν οὖν διὰ τεσσάρων ἐν ἐπιτρίτῳ κεῖται λόγῳ, ἡ δὲ διὰ πέντε ἐν ἡμιολίῳ, ἡ δὲ [7] διὰ πασῶν ἐν διπλασίονι. ἐπίτριτος δὲ λέγεται ἀριθμὸς ὁ ἐξ ὅλου τινὸς ἀριθμοῦ συνεστηκὼς καὶ ἐκ τοῦ τρίτου μέρους ἐκείνου, ὡς ἔχει ὁ ὀκτὼ πρὸς τὸν ἕξ· καὶ γὰρ αὐτὸν τὸν ἓξ περιέσχηκε καὶ τὸ τρίτον αὐτοῦ, τουτέστι τὴν δυάδα. ἡμιόλιος δὲ καλεῖται, ὅταν περιέχῃ ἀριθμὸς ἀριθμὸν καὶ τὸ ἥμισυ ἐκείνου, ὡς ἔχει ὁ ἐννέα πρὸς τὸν ἕξ· συνέστηκε γὰρ ἐκ τοῦ ἓξ καὶ ἐκ τοῦ ἡμίσεος αὐτοῦ, τουτέστι τῶν τριῶν. διπλασίων δὲ προσαγορεύεται ὁ δυσὶν ἀριθμοῖς ‹ἴσοις› ἴσος, ὡς ὁ τέσσαρα πρὸς τὸν δύο· δὶς γὰρ τὸν [8] αὐτὸν περιέσχηκεν. ἀλλὰ γὰρ τούτων οὕτως ἐχόντων, καὶ κατὰ τὴν ἀρχῆθεν ὑπόθεσιν τεσσάρων ὄντων ἀριθμῶν, τοῦ τε ἑνὸς καὶ δύο καὶ τρία καὶ τέσσαρα, ἐν οἷς ἐλέγομεν καὶ τὴν τῆς ψυχῆς ἰδέαν περιέχεσθαι κατὰ τὸν ἐναρμόνιον λόγον, ὁ μὲν τέσσαρα τοῦ δύο καὶ ὁ δύο τῆς μονάδος ἐστὶ διπλασίων, ἐν ᾧ ἔκειτο ἡ διὰ πασῶν συμφωνία, [9] ὁ δὲ τρία τοῦ δύο ἡμιόλιος (καὶ γὰρ αὐτὸν τὸν δύο περιέσχηκε καὶ τὸ ἥμισυ τούτου, ὅθεν καὶ τὴν διὰ πέντε συμφωνίαν ὑποβάλλειν), ὁ δὲ τέσσαρα τοῦ τρία ἐπίτριτος, ὑπέκειτο δὲ καὶ ἐν τούτῳ ἡ διὰ τεσσάρων συμφωνία. ὥστε εἰκότως τὸν 'τέταρτον ἀριθμὸν' παρὰ τοῖς Πυθαγορικοῖς εἰρῆσθαι πηγὴν ἀενάου φύσεως ῥιζώματ' ἔχουσαν.

[10]    Ἀλλ' ὅτι μὲν πολλὴν δύναμιν ἀπένεμον τοῖς ἀριθμοῖς, ἐκ τούτων συμφανὲς ὑποδειγματικώτερον εἰρημένων· πολὺς γὰρ ὁ περὶ ἀριθμῶν παρ' αὐτοῖς ἐστὶ λόγος, ὃν ἐάσαντες τὰ νῦν μηκύνειν ἁπτώμεθα τῆς ἀντιρρήσεως, τὴν ἀρχὴν τῶν λόγων ἀπὸ μονάδος ποιησάμενοι, ἥτις ἀρχὴ παντὸς ἀριθμοῦ καθέστηκε καὶ ἧς ἀναιρουμένης οὐδ' ἔστιν ἀριθμός.

[11]    Τὴν τοῦ ἑνὸς τοίνυν νόησιν διατυπῶν ἡμῖν πυθαγορικώτερον ὁ Πλάτων φησὶν 'ἕν ἐστιν οὗ μηδὲν χωρὶς λέγεται ἕν' ἢ 'οὗ μετοχῇ ἕκαστον ἕν τε καὶ πολλὰ λέγεται'. τὸ γὰρ φυτόν, εἰ τύχοι, καὶ τὸ ζῶον καὶ ὁ λίθος προσαγορεύεται μὲν ἕν, οὐκ ἔστι δὲ κατὰ τὸν ἴδιον λόγον ἕν, ἀλλ' ἓν μετοχῇ ἑνὸς νοεῖται, τούτου μηδενὸς τούτων [12] καθεστῶτος. οὔτε γὰρ φυτὸν οὔτε ζῷον οὔτε λίθος οὔτε ἄλλο τι τῶν ἀριθμητῶν τὸ ὄντως ἕν ἐστιν. εἰ γὰρ φυτόν ἐστιν ἢ ζῷον τὸ ἕν, πάντως ὃ μὴ φυτόν ἐστι μηδὲ ζῷον οὐ ῥηθήσεται ἕν· λέγεται δὲ καὶ φυτὸν ἓν καὶ ζῷον καὶ [13] ἄλλα μυρία· οὐδὲν ἄρα τῶν ἀριθμητῶν ἐστι ‹τὸ› ἕν, τὸ δὲ οὗ ἕκαστον ‹μετέχον ἕν τε καὶ πολλὰ γίνεται·› ἓν μὲν καθ' ἑαυτὸ ἕκαστον, πολλὰ δὲ ἀθροισμῷ [μετέχον, ἕν τε καὶ πολλὰ γίνεται] τῶν καθ' ἕκαστον. ὅπερ πάλιν πλῆθος οὐδέν ἐστι τῶν πολλῶν, οἷον φυτῶν ζῴων λίθων· κατὰ μετοχὴν μὲν γὰρ ἐκείνου ταῦτα λέγεται [14] πολλά, αὐτὸ δὲ οὔκ ἐστιν ἐν τούτοις. πλὴν τοιαύτη μὲν ἡ τοῦ ἑνὸς ἰδέα νοεῖται τοῖς περὶ τὸν Πλάτωνα· ἐπισυνάπτοντες δὲ ἡμεῖς λέγωμεν. ἤτοι ἑτέρα τῶν κατὰ μέρος ἀριθμητῶν ἐστιν ἡ τοῦ ἑνὸς ἰδέα, ἢ σὺν ἐκείνοις τοῖς μετέχουσιν αὐτῆς νοεῖται. ἀλλὰ καθ' αὑτὴν μὲν ‹οὐχ ὑφέστηκεν, εἴγε› παρὰ τὰ κατὰ μέρος ἀριθμητὰ οὐδὲν νοεῖται ἓν ὑποκείμενον. λείπεται ἄρα ἐν ἐκείνοις τοῖς μετέχουσιν [15] αὐτοῦ νοεῖσθαι, ὃ πάλιν τῶν ἀπόρων. τὸ γὰρ ἀριθμητὸν ξύλον εἰ μετοχῇ μονάδος ἐστὶν ἕν, ὃ μή ἐστι ξύλον οὐ λεχθήσεται ἕν· λέγεται δέ γε, ὡς ἀνώτερον ὑποδέδεικται· οὐκ ἄρα ἐστὶν ἡ μονὰς ἧς μετοχῇ ἕκαστον τῶν κατὰ μέρος ἀριθμητῶν μονὰς προσαγορεύεται.

[16] εἶτα τὸ πολλοῖς μετεχόμενον πολλά ἐστι καὶ οὐχ ἕν, τὰ δὲ ἀριθμητὰ πολλά τέ ἐστι καὶ ἄπειρα· οὐκ ἄρα μετοχῇ τῆς μονάδος ἕκαστον τῶν ἀριθμητῶν ἕν ἐστιν.

[17] ὥσπερ οὖν ὁ γενικὸς ἄνθρωπος, ὅν τινες νοοῦσι ζῷον θνητὸν λογικόν, οὔτε Σωκράτης ἐστὶν οὔτε Πλάτων, ἐπειδὴ οὐδεὶς ἕτερος λεχθήσεται ἄνθρωπος, οὔτε καθ' ἑαυτὸν ὑφέστηκεν οὔτε μετὰ Πλάτωνος καὶ Σωκράτους, ἐπεὶ ἐθεωρεῖτο ἂν ὡς ἄνθρωπός ‹τις›, οὕτω καὶ τὸ ἓν μήτε σὺν τοῖς κατὰ μέρος ἀριθμητοῖς μήτε καθ' ἑαυτὸ [18] ὑφεστηκὸς νοούμενον εὐθέως ἐστὶν ἀνεπινόητον. τὰ δὲ αὐτὰ λεκτέον καὶ ἐπὶ τοῦ δύο ἢ καὶ τρία καὶ καθόλου ἐπὶ παντὸς ἀριθμοῦ, ἵνα μὴ μηκύνωμεν. ἔνεστι δὲ καὶ οὕτως συνερωτᾶν. ἡ τοῦ ἑνὸς ἰδέα, ἧς μετοχῇ τι ἓν λέγεται, ἤτοι μία ἐστὶν ἰδέα ἢ τοῦ ἑνὸς πλείους ἰδέαι τυγχάνουσιν. ἀλλ' εἰ μὲν μία ἐστίν, ‹ἤτοι ἀμερὴς ἢ πολυμερής ἐστιν· εἰ δὲ ἀμερής,› οὐ πολλοῖς μετέχεται· τοῦ γὰρ Α, εὐσήμου χάριν διδασκαλίας, τὴν ὅλην τοῦ ἑνὸς ἰδέαν ἔχοντος, τὸ Β μὴ μετέχον ταύτης οὐκέτ' ἔσται ἕν.

[19] καὶ μὴν οὐδὲ πολυμερὴς καθέστηκεν, ἵνα πολλὰ ᾖ τὰ μετέχοντα ταύτης· πρῶτον μὲν γὰρ ἔσται ἕκαστον οὐ τῆς τοῦ ἑνὸς ἰδέας μετέχον, μέρους δὲ αὐτῆς, εἶτα καὶ ἡ μονὰς ἀδιαίρετος καὶ ἀμερὴς ἐνοεῖτο κατ' αὐτούς. εἰ δὲ πλείους εἰσὶν ἰδέαι τοῦ ἑνός, ‹ὡς› ἕκαστον τῶν καθ' ἓν τασσομένων ἀριθμητῶν ‹ἰδίας τινὸς μετέχειν ἰδέας›, ἤτοι ‹ἡ› τοῦ Α ‹καὶ› ἡ τοῦ Β [καθ' ἓν ἑκάτερον] μετέχει τινὸς κοινῆς ἰδέας ‹καθ' ἣν ἑκάτερον αὐτῶν προσαγορεύεται [20] ἕν›, ἢ οὐ μετέχει. καὶ εἰ μὲν οὐ μετέχει, δεήσει καὶ ἅπαντα δίχα τοῦ μετέχειν ἰδέας κατὰ τὸ ἓν τετάχθαι, ὅπερ οὐ θέλουσιν. εἰ δὲ μετέχει, ἡ ἐξ ἀρχῆς συνεισαχθήσεται ἀπορία· πῶς γὰρ μιᾶς τὰ δύο μεθέξει;

   Ταῦτα μὲν οὖν περὶ μονάδος, ἧς ἀνῃρημένης πᾶς ἀνῄρηται [21] ὁ ἀριθμός· ὅμως δ' οὖν ἐπισυνάπτωμεν καὶ τὰ περὶ τῆς δυάδος. ἄπορος γάρ πως καὶ αὕτη συνίσταται κατὰ τὴν τῶν μονάδων σύνοδον, ὥσπερ καὶ ὁ Πλάτων διὰ τοῦ Περὶ ψυχῆς πρότερον ἠπόρηκεν. παρατεθείσης γὰρ μονάδος ἑτέρᾳ μονάδι ἤτοι προσγίνεταί τι κατὰ τὴν παράθεσιν ἢ ἀπογίνεται ἢ οὔτε προσγίνεταί [22] τι οὔτε ἀπογίνεται. ἀλλ' εἰ μὲν οὔτε προσγίνεταί τι οὔτε ἀπογίνεται, οὐκ ἔσται κατὰ παράθεσιν τῆς ἑτέρας μονάδος τῇ ἑτέρᾳ ἡ δυάς. εἰ δὲ ἀπογίνεταί τι κατὰ τὴν παράθεσιν, ἐλάττωσις ἔσται τοῦ ἑνὸς καὶ ἑνός, καὶ δυὰς οὐ γενήσεται. εἰ δὲ προσγίνεταί τι, τὰ δύο οὐ γενήσεται δύο ἀλλὰ τέσσαρα· δυὰς γὰρ ἡ ἐπιγινομένη καὶ μονὰς καὶ ἑτέρα μονὰς τὸν τῶν τεσσάρων ἀριθμὸν συνίστησιν. οὐδὲν ἄρα ἔσται δυάς. ἡ δὲ αὐτὴ γένοιτ' ἂν ἀπορία καὶ ἐπὶ παντὸς ἀριθμοῦ, ὥστε μηδὲν εἶναι κατὰ τοῦτο ἀριθμόν.

[23]    Οὐ μὴν ἀλλ' ἐπεὶ κατὰ πρόσθεσιν μονάδος καὶ κατὰ ἀφαίρεσιν ὁ ἀριθμὸς νοεῖται, δῆλον ὡς ἐὰν τούτων ἑκάτερον παραστήσωμεν ἀδύνατον, οἰχήσεται καὶ ἡ τῶν ἀριθμῶν ὑπόστασις. λέγωμεν δὲ πρῶτον εὐθὺς περὶ ἀφαιρέσεως, [24] ὑποδειγματικῇ χρώμενοι τῇ διδασκαλίᾳ. ἡ τοίνυν ἀπὸ τῆς ὑποκειμένης δεκάδος ἀφαιρουμένη μονὰς ἤτοι ἀπὸ ὅλης τῆς δεκάδος ἢ ἀπὸ τῆς περιλειπομένης ἐννεάδος ἀφαιρεῖται· οὔτε δὲ ἀφ' ὅλης, ὡς παραστήσομεν, οὔτε ἀπὸ τῆς ἐννεάδος, ὡς διδάξομεν οὐκ ἄρα ἀφαιρεῖταί τι ἀπὸ τῆς ὑποκειμένης δεκάδος. εἰ γὰρ ἀφ' ὅλης ταύτης ἀφαιρεῖται ἡ μονάς, ἤτοι ἡ δεκάς ἐστιν ἑτέρα τῶν κατὰ μέρος μονάδων ἢ ὁ ἀθροισμὸς τούτων δεκὰς προσαγορεύεται.

[25] ἀλλ' ἑτέρα μὲν τῶν κατὰ μέρος μονάδων οὐκ ἔστιν ἡ δεκάς· καὶ γὰρ ἀναιρεθεισῶν ἐκείνων οὐδ' ἔστι δεκάς, καὶ τῆς δεκάδος ἀναιρεθείσης ὁμοίως αἱ μονάδες οὐκέτι ὑπάρχουσιν. εἰ δὲ ἡ αὐτὴ ταῖς μονάσιν ἐστὶν ἡ δεκάς, τουτέστιν εἰ αἱ κατὰ μέρος μονάδες εἰσὶ δεκάς, δῆλον ὡς εἴπερ ἀπὸ τῆς δεκάδος ἡ τῆς μονάδος ἀφαίρεσις γίνεται, ἀφ' ἑκάστης μονάδος ἀφαιρεθήσεται (αἱ γὰρ κατὰ μέρος μονάδες ἦσαν ἡ δεκάς), καὶ οὕτως οὐκέτι ἔσται μονάδος ἆρσις ἀλλὰ δεκάδος. ὥστε οὐκ ἀπὸ ὅλης [26] τῆς δεκάδος αἴρεται ἡ μονάς. καὶ μὴν οὐδ' ἀπὸ τῆς ὑπολειπομένης ἐννεάδος ἡ ἆρσις αὐτῆς γίνεται· πῶς γὰρ ἔτι μετὰ τὴν ἆρσιν αὐτῆς σῶός ἐστιν ἡ ὑποκειμένη ἐννεάς; ἀλλ' εἰ μήτε ἀφ' ὅλης τῆς δεκάδος αἴρεται ἡ μονὰς μήτε ἀπὸ τῆς ὑπολειπομένης ἐννεάδος, οὐδεὶς ἀριθμὸς [27] κατὰ ἀφαίρεσιν συνίσταται. ἄλλως τε, εἰ ἀπὸ τῆς ἐννεάδος αἴρεται ἡ μονάς, ἤτοι ἀπὸ ὅλης αἴρεται ἢ ἀπὸ τῆς τελευταίας αὐτῆς μονάδος. καὶ εἰ μὲν ἀπὸ ὅλης τῆς ἐννεάδος ἀφαιρεῖται ἡ μονάς, ἔσται ἆρσις τῆς ἐννεάδος· τὸ γὰρ ἀφαιρούμενον ἀφ' ἑκάστης μονάδος, τῶν κατὰ μέρος μονάδων ἐννέα οὐσῶν, τὸν τῆς ἐννεάδος ἀριθμὸν συντίθησιν.

[28] εἰ δὲ ἀπὸ τῆς τελευταίας μονάδος γίνεται τὰ τῆς ἀφαιρέσεως, πρῶτον μὲν καὶ ἡ τελευταία μονάς, ἀμερὴς οὖσα, δειχθήσεται μεριστὴ τυγχάνειν, ὅπερ ἄτοπον· εἶτα εἰ ἀπὸ τῆς τελευταίας μονάδος αἴρεται ἡ μονάς, οὐ δυνήσεται [29] ἔτι ὁλόκληρος μένειν ἡ ἐννεάς. καὶ ἄλλως, εἴπερ ἀπὸ τῆς δεκάδος γίνεται ἡ τῆς μονάδος ἆρσις, ἤτοι ἀπὸ οὔσης γίνεται τῆς δεκάδος ἆρσις ἢ ἀπὸ μὴ οὔσης· οὔτε δὲ ἀπὸ τῆς οὔσης γένοιτ' ἄν (ἐφ' ὅσον γὰρ μένει χρόνον δεκάς, οὐδὲν ἀπ' αὐτῆς ἀφαιρεθῆναι δύναται ὡς δεκάδος, [30] ἐπεὶ οὐκέτι ἔσται δεκάς) οὔτε ἀπὸ μὴ οὔσης· ἀπὸ γὰρ τοῦ μὴ ὄντος οὐδὲ ἀρθῆναί τι πέφυκεν. καὶ ‹μὴν› παρὰ τὸ εἶναι ἢ μὴ εἶναι οὐδὲν ἔστι νοῆσαι· οὐκ ἄρα αἴρεταί τι ἀπὸ τῆς δεκάδος.

   Ἀλλ' ὅτι μὲν ἀμήχανόν ἐστι κατ' ἀφαίρεσιν ἀριθμόν [31] τινα νοεῖν, ἐκ τούτων δέδεικται· ὅτι δὲ οὐδὲ κατὰ πρόσθεσιν, ῥᾴδιον δεῖξαι τῶν ἀναλόγων ἐχομένους ἀποριῶν. πάλιν γὰρ μονάδος προστιθεμένης δεκάδι ἤτοι τῇ ὅλῃ δεκάδι ῥητέον γίνεσθαι τὴν πρόσθεσιν ἢ τῷ τελευταίῳ μέρει τῆς δεκάδος. ἀλλ' εἰ μὲν ὅλῃ τῇ δεκάδι προστίθεται ἡ μονάς, ἐπεὶ ἡ ὅλη δεκὰς σὺν πάσαις ταῖς κατὰ μέρος μονάσι νοεῖται, δεήσει τὴν τῆς μονάδος πρόσθεσιν γινομένην πάσαις ταῖς κατὰ μέρος μονάσι δεκάδος εἶναι [32] πρόσθεσιν, ὅπερ ἄτοπον· ἀκολουθήσει γὰρ τῇ τῆς μονάδος προσθέσει τὴν δεκάδα εἰκοσάδα γίνεσθαι, ὃ τῶν ἀμηχάνων ὑπῆρχεν. οὐ τοίνυν ὅλῃ τῇ δεκάδι τὴν μονάδα προστίθεσθαι ῥητέον. καὶ μὴν οὐδὲ τῷ τελευταίῳ μέρει τῆς δεκάδος, ἐπεὶ οὐκ αὐξηθήσεται ἡ δεκὰς διὰ τὸ μὴ τὴν τοῦ ἑνὸς μέρους αὔξησιν εὐθὺς καὶ τῆς ὅλης δεκάδος [33] αὔξησιν εἶναι. [καὶ] καθόλου τε ἐπὶ πᾶσιν, ἢ μενούσῃ τῇ δεκάδι προστίθεται ἡ μονὰς ἢ μὴ μενούσῃ. οὔτε δὲ μενούσῃ προστεθείη ποτ' ἄν, ἐπεὶ οὐκέτι μένει δεκάς, οὔτε μὴ μενούσῃ· τὴν γὰρ ἀρχὴν μὴ μενούσῃ οὐδὲ πρόσθεσις δύναται γενέσθαι.

[34]    Ἀλλ' εἴπερ ὁ ἀριθμὸς κατὰ πρόσθεσιν, ὡς ἔφην, καὶ κατ' ἀφαίρεσιν ὑφιστάμενος νοεῖται, ἐδείξαμεν δὲ ἡμεῖς ὅτι οὐθέτερόν ἐστι τούτων, ῥητέον μηδὲν εἶναι ἀριθμόν. ὅθεν τοσαῦτα καὶ πρὸς τοὺς γεωμέτρας καὶ ἀριθμητικοὺς ἀπορητικῶς διεξελθόντες ἀπ' ἄλλης ἀρχῆς καὶ τὴν πρὸς τοὺς μαθηματικοὺς ἀντίρρησιν ποιησόμεθα.