Ἐπεὶ οἱ γεωμέτραι συνορῶντες τὸ πλῆθος τῶν ἐπακολουθούντων αὐτοῖς ἀποριῶν εἰς ἀκίνδυνον εἶναι δοκοῦν καὶ ἀσφαλὲς πρᾶγμα καταφεύγουσι, τὸ ἐξ ὑποθέσεως αἰτεῖσθαι τὰς τῆς γεωμετρίας ἀρχάς, καλῶς ἂν ἔχοι καὶ ἡμᾶς τῆς πρὸς αὐτοὺς ἀντιρρήσεως ἀρχὴν τίθεσθαι τὸν [2] περὶ τῆς ὑποθέσεως λόγον. καὶ γὰρ ὁ Τίμων ἐν τοῖς πρὸς τοὺς φυσικοὺς τοῦτο ὑπέλαβε δεῖν ἐν πρώτοις ζητεῖν, φημὶ δὲ τὸ εἰ ἐξ ὑποθέσεώς τι ληπτέον. διόπερ καὶ ἡμᾶς οἰκεῖόν ἐστιν ἐκείνῳ στοιχοῦντας τὸ παραπλήσιον ποιεῖν ἐν τῇ πρὸς τοὺς ἀπὸ τῶν μαθημάτων [3] διεξόδῳ. τάξεως δὲ ἕνεκα προληπτέον ὅτι πολλαχῶς μὲν καὶ ἄλλως ὑπόθεσις προσαγορεύεται, τὰ νῦν δὲ ἀπαρκέσει τριχῶς λέγεσθαι, καθ' ἕνα μὲν τρόπον ἡ δραματικὴ περιπέτεια, καθὸ καὶ τραγικὴν καὶ κωμικὴν ὑπόθεσιν εἶναι λέγομεν καὶ Δικαιάρχου τινὰς ὑποθέσεις τῶν Εὐριπίδου καὶ Σοφοκλέους μύθων, οὐκ ἄλλο τι καλοῦντες ὑπόθεσιν [4] ἢ τὴν τοῦ δράματος περιπέτειαν. καθ' ἕτερον δὲ σημαινόμενον ὑπόθεσις προσαγορεύεται ἐν ῥητορικῇ ‹ἡ› τῶν ἐπὶ μέρους ζήτησις, καθὸ καὶ οἱ σοφισταὶ πολλάκις εἰώθασιν ἐν ταῖς διατριβαῖς λέγειν 'θετέον ὑπόθεσιν.' οὐ μὴν ἀλλὰ καὶ κατὰ τρίτην ἐπιβολὴν ὑπόθεσιν καλοῦμεν ἀρχὴν ἀποδείξεως, αἴτησιν οὖσαν πράγματος εἰς κατασκευήν [5] τινος. οὕτω γοῦν τρισὶν ὑποθέσεσι κεχρῆσθαί φαμεν τὸν Ἀσκληπιάδην εἰς κατασκευὴν τῆς τὸν πυρετὸν ἐμποιούσης ἐνστάσεως, μιᾷ μὲν ὅτι νοητοί τινές εἰσιν ἐν ἡμῖν πόροι, μεγέθει διαφέροντες ἀλλήλων, δευτέρᾳ δὲ ὅτι πάντοθεν ὑγροῦ μέρη καὶ πνεύματος ἐκ λόγῳ θεωρητῶν ὄγκων συνηράνισται δι' αἰῶνος ἀνηρεμήτων, τρίτῃ δὲ ὅτι ἀδιάλειπτοί τινες εἰς τὸ ἐκτὸς ἐξ ἡμῶν ἀποφοραὶ γίνονται, ποτὲ μὲν πλείους ποτὲ δὲ ἐλάττους πρὸς τὴν ἐνεστηκυῖαν περίστασιν.
[6] Ἀλλὰ γὰρ τοσαυταχῶς νοουμένης [τὰ νῦν] τῆς ὑποθέσεως, πρόκειται τὰ νῦν ζητεῖν οὐ μὰ Δία περὶ τῆς δραματικῆς διατάξεως, οὐδὲ περὶ τῆς παρὰ τοῖς ῥήτορσι ζητήσεως, ἀλλὰ περὶ τῆς ἐν τέλει λεχθείσης ὑποθέσεως, ἣν ἀρχὴν ἀποδείξεως συμβέβηκεν εἶναι· ταύτην γὰρ καὶ οἱ γεωμέτραι λαμβάνουσι τὴν ὑπόθεσιν, βουλόμενοί τι [7] γεωμετρικῶς ἀποδεῖξαι. διόπερ εὐθὺς ῥητέον ὅτι καὶ ἐπεὶ οἱ ἐξ ὑποθέσεως λαμβάνοντές τι καὶ χωρὶς ἀποδείξεως ψιλῇ μόνον ἀρκοῦνται φάσει πρὸς τὴν ταύτης πίστιν, πεύσεταί τις αὐτῶν τοιούτῳ τινὶ χρώμενος ἐπιλογισμῷ.
[8] ἤτοι ἰσχυρόν ἐστι καὶ βέβαιον πρὸς πίστιν τὸ ἐξ ὑποθέσεώς τι λαβεῖν ἢ ἄπιστόν τε καὶ ἀσθενές. ἀλλ' εἰ μὲν ἰσχυρόν, καὶ τὸ ἀντικείμενον ἐξ ὑποθέσεως ληφθὲν πιστὸν γενήσεται καὶ βέβαιον, ὥστε θήσομεν τὰ μαχόμενα. εἰ δὲ ἐπὶ τοῦ τὸ ἐναντίον ἐξ ὑποθέσεως λαμβάνοντος χωρὶς ἀποδείξεως ἄπιστόν ἐστιν ἡ ὑπόθεοις, ἄπιστος γενήσεται καὶ ἐπ' ἐκείνου, ὥστε οὐδέτερον αὐτῶν θήσομεν. οὐ τοίνυν [9] ληπτέον ἐστὶν ἐξ ὑποθέσεώς τι. καὶ μὴν τὸ ὑποτιθέμενον πρᾶγμα ἤτοι ἀληθές ἐστι καὶ τοιοῦτον ὁποῖον αὐτὸ ὑποτιθέμεθα ἢ ψεῦδος. ἀλλ' εἰ μὲν ἀληθές ἐστι, μηδὲ αἰτώμεθα αὐτό, εἰς πρᾶγμα ὑποψίας πλῆρες καταφεύγοντες, τὴν ὑπόθεσιν, ἀλλ' αὐτόθεν λαμβάνωμεν, ἐπείπερ οὐθεὶς τἀληθῆ καὶ ὄντα ὑποτίθεται, καθάπερ οὐδὲ τὸ νῦν ἡμέραν εἶναι ἢ ἐμὲ διαλέγεσθαι καὶ ἀναπνεῖν· ἡ γὰρ περιφάνεια τούτων τῶν πραγμάτων αὐτόθεν βέβαιον ἔχει τὴν θέσιν καὶ οὐ δισταζομένην τὴν ὑπόθεσιν. ὥστε εἰ ἀληθές ἐστι [10] τὸ πρᾶγμα, μηδὲ αἰτώμεθα αὐτὸ ὡς μὴ ὂν ἀληθές. εἰ δ' οὔκ ἐστι τοιοῦτο ἀλλὰ ψεῦδος καθέστηκεν, οὐδὲν ὄφελος ἀνακύψει ἐκ τῆς ὑποθέσεως· κἂν γὰρ μυριάκις αὐτὸ ὑποτιθώμεθα, σαθροῖς, ὥς φασι, θεμελίοις [οὐκ] ἀκολουθήσει τὸ συμπέρασμα τῆς ζητήσεως ἐξ ἀνυπάρκτων ὁρμωμένης [11] ἀρχῶν. οὐ μὴν ἀλλ' εἴ τις οἷς ἂν ὑποθῆται, τούτοις τὰ ἀκολουθοῦντα πιστὰ τυγχάνειν ἀξιώσει, μήποτε πᾶσαν ἀναιρεῖ ζήτησιν. εὐθέως γὰρ ὑποθήσεται ἕκαστος ἡμῶν τὸ τὰ τρία τέσσαρα εἶναι, καὶ τούτου δοθέντος συνάξει ὅτι καὶ τὰ ἓξ ὀκτώ ἐστιν· εἰ γὰρ τὰ τρία τέσσαρά ἐστι, τὰ ἓξ ὀκτὼ γενήσεται· ἀλλὰ μὴν τὰ τρία τέσσαρά ἐστιν, ὡς ἡ ὑπόθεσις δίδωσιν· τὰ ἄρα ἓξ ὀκτώ ἐστιν.
[12] πάλιν τε αἰτήσομεν ὅτι μένει τὸ κινούμενον, καὶ συγχωρηθέντος τοῦ πράγματος συνάξομεν ὅτι ἡ φλὸξ ἠρεμεῖ· εἰ γὰρ τὸ κινούμενον μένει, ἡ φλὸξ ἠρεμεῖ· τὸ δέ γε κινούμενον μένει, ‹ὡς ἡ ὑπόθεσις δίδωσιν·› ἡ ἄρα φλὸξ ἠρεμεῖ. ἀλλ' ὃν τρόπον οἱ γεωμέτραι ἀτόπους ἐροῦσιν εἶναι ταύτας τὰς ὑποθέσεις (βέβαιον γὰρ εἶναι δεῖ τὸν θεμέλιον, ἵνα συνομολογηθῇ καὶ τὸ ἀκόλουθον), οὕτω καὶ ἡμεῖς πάντα τὰ ὑποθετικῶς αὐτοῖς λαμβανόμενα οὐ προσησόμεθα [13] χωρὶς ἀποδείξεως. ἄλλως τε, εἰ βέβαιόν ἐστι καὶ πιστὸν τὸ ὑποτιθέμενον ᾗ ὑποτίθεται, μὴ ταῦτα ὑποτιθέσθωσαν ἐξ ὧν ἀποδείξουσί τι, ἀλλ' αὐτὸ τὸ ἀποδεικνύμενον, τουτέστι μὴ τὰ λήμματα τῆς ἀποδείξεως ἀλλὰ τὴν ἐπιφοράν· ὃ γὰρ δύναται πρὸς πίστιν αὐτοῖς ἐπὶ τῶν ἐκκαλυπτόντων ἡ ὑπόθεσις, τοῦτο δυνήσεται καὶ ἐπὶ τῶν ἐκκαλυπτομένων ἐκ τῆς ἀποδείξεως πραγμάτων. εἰ δ' ἄπιστόν ἐστι, κἂν πολλάκις ὑποτεθῇ, τὸ τῆς ἀποδείξεως συμπέρασμα χωρὶς ἀποδείξεως, ἄπιστον γενήσεται καὶ τὸ εἰς κατασκευὴν τούτου λαμβανόμενον, εἰ μὴ δι' ἀποδείξεως [14] διδάσκοιτο. νὴ Δί', ἀλλ' εἴπερ, φασί, τὸ ἀκολουθοῦν ταῖς ὑποθέσεσιν ἀληθὲς εὑρίσκεται, πάντως καὶ τὰ ὑποτεθέντα, τουτέστιν οἷς ἐπηκολούθησεν, ἀληθῆ γενήσεται. ὃ πάλιν ἐστὶν εὔηθες· πόθεν γὰρ ὅτι τὸ ἀκολουθοῦν τισιν ἐν ἀποδείξει πάντως ἀληθές ἐστιν; ἢ γὰρ ἐξ αὐτοῦ μαθόντες ἐκείνου τοῦτ' ἐροῦσιν, ἢ ἐκ τῶν οἷς ἠκολούθησε [15] λημμάτων. ἀλλ' ἐξ αὐτοῦ μὲν οὐκ ἂν εἴποιεν. ἄδηλον γάρ ἐστι, τὸ δὲ ἄδηλον ἐξ αὑτοῦ πιστὸν οὐκ ἔστιν· ἀποδεικνύναι γοῦν τοῦτο ἐπιβάλλονται ὡς μὴ ἐν αὑτῷ τὴν πίστιν ἔχον. καὶ μὴν οὐδ' ἐκ τῶν λημμάτων· περὶ γὰρ τούτων ἐστὶν ἡ πᾶσα διαμάχη, καὶ μηδέπω αὐτῶν πεπιστευμένων οὐδὲ τὸ ἀποδεικνύμενον ἐξ αὐτῶν βέβαιον [16] εἶναι δύναται. ἔτι οὐδ' ἂν τὸ λῆγον ᾖ ἀληθές, εὐθὺς καὶ τὸ ἡγούμενόν ἐστι τοιοῦτον. ὥσπερ γὰρ τῷ ἀληθεῖ πέφυκεν ἀληθὲς ἐπακολουθεῖν καὶ ψεύδει ψεῦδος, οὕτως ἠξίωται καὶ ψεύδει ἀληθὲς συνεισάγεσθαι, καθάπερ [ἐν] τῷ πέτασθαι τὴν γῆν, ψεύδει ὄντι, τὸ εἶναι τὴν γῆν ἀληθὲς [17] ὑπάρχον εἵπετο. ὅθεν οὐκ εἰ τὸ λῆγόν ἐστιν ἀληθές, πάντως καὶ τὸ ἡγούμενον ἀληθές, ἀλλ' ἐνδέχεται τοῦ λήγοντος ἀληθοῦς ὄντος τὸ ἡγούμενον ὑπάρχειν ψεῦδος.
Καὶ δὴ ὅτι μὲν οὐκ εὖ ποιοῦσιν οἱ ἀπὸ τῶν μαθημάτων ἐξ ὑποθέσεως λαμβάνοντες τὰς ἀρχὰς τῆς ἀποδείξεως καὶ ἑκάστου θεωρήματος, ἐπιφθεγγόμενοι τὸ 'δεδόσθω', [18] διὰ τούτων αὐτάρκως κατεσκεύασται· μετελθόντες δὲ ἑξῆς διδάσκωμεν ὅτι ψευδεῖς καὶ ἀπιθάνους αὐτῶν συμβέβηκεν εἶναι τὰς ἀρχὰς τῆς τέχνης. καὶ δὴ πολλῶν εἰς τοῦτο δυναμένων λέγεσθαι, ὡς ἐναρχόμενοι τῆς ὑφηγήσεως εἴπομεν, τούτοις προσαχθήσεται τὰ τῆς ἀπορίας ὧν ἀναιρουμένων καὶ τὰ λοιπὰ συναναιρεθήσεται. ἐπεὶ οὖν τῶν ἀρχῶν διαβληθεισῶν οὐδὲ αἱ κατὰ μέρος ἀποδείξεις αὐτοῖς δύνανται προκόπτειν, λέγωμεν τὰ ἁρμόζοντα πρὸς τὰς ἀρχάς.
[19] Εὐθέως τοίνυν ὡς πρῶτόν τι καὶ στοιχειωδέστατον διδάσκουσιν ἡμᾶς ὅτι σῶμα μέν ἐστι τὸ τὰς τρεῖς ἔχον διαστάσεις, μῆκος πλάτος βάθος, ὧν πρώτη μὲν διάστασίς ἐστιν ἡ κατὰ μῆκος ἄνωθεν κάτω, δευτέρα δὲ ἡ κατὰ πλάτος ἀπὸ δεξιῶν ἐπ' ἀριστερά, τρίτη δὲ ἡ κατὰ βάθος ἀπὸ τῶν πρόσω εἰς τοὐπίσω. ὥστε ‹ὄν›των τριῶν τούτων ἓξ γίνεσθαι παρατάσεις, δύο καθ' ἑκάστην, τῆς μὲν πρώτης τὴν ἄνω καὶ κάτω, τῆς δὲ δευτέρας τὴν ἐν ἀριστερᾷ καὶ ἐν δεξιᾷ, τῆς δὲ τρίτης τὴν πρόσω καὶ ὀπίσω.
Στιγμῆς μὲν γὰρ ῥυείσης γραμμὴν γίνεσθαί φασι, γραμμῆς [20] δ' ἐπιφάνειαν, ἐπιφανείας δὲ στερεὸν σῶμα. παρὸ καὶ ὑπογράφοντες λέγουσι στιγμὴν μὲν εἶναι σημεῖον ἀμερὲς καὶ ἀδιάστατον ἢ πέρας γραμμῆς, γραμμὴν δὲ μῆκος ἀπλατὲς ἢ πέρας ἐπιφανείας, ἐπιφάνειαν δὲ πέρας σώματος [21] ἢ πλάτος ἀβαθές. τάξει οὖν ἀναλαβόντες περὶ στιγμῆς λέγωμεν πρῶτον, εἶτα περὶ γραμμῆς, τὸ δὲ μετὰ τοῦτο περὶ ἐπιφανείας καὶ σώματος· τούτων γὰρ ἀναιρουμένων οὐδ' ἡ γεωμετρία γενήσεται τέχνη, μὴ ἔχουσα τὰ ἐφ' οἷς ἡ σύστασις αὐτῆς δοκεῖ προκόπτειν.
[22] Ἡ τοίνυν στιγμή, ἥν φασι σημεῖον ἀδιάστατον ὑπάρχειν, ἤτοι σῶμα νοεῖται ἢ ἀσώματον. καὶ σῶμα μὲν οὐκ ἂν εἴη κατ' αὐτούς· τὰ γὰρ μὴ ἔχοντα διάστασιν οὐκ ἦν σώματα. λείπεται οὖν ἀσώματον αὐτὴν ὑπάρχειν, ὃ πάλιν ἐστὶν ἀπίθανον. τὸ μὲν γὰρ ἀσώματον οὐδενὸς νοεῖται γεννητικὸν ὡσανεὶ ἀθιγὲς καθεστώς, ἡ δὲ στιγμὴ νοεῖται τῆς γραμμῆς γεννητική· οὐ τοίνυν ἐστὶ σημεῖον [23] ἀδιάστατον ἡ στιγμή. καὶ μὴν εἴπερ ὄψις τῶν ἀδήλων ἐστὶ τὰ φαινόμενα, ἐπεὶ οὐ δυνατὸν ἐν τοῖς φαινομένοις λαβεῖν τινος σημεῖον καὶ πέρας ἀδιάστατον, δῆλον ὡς οὐδ' ἐν τοῖς νοητοῖς ληφθήσεταί τι τοιοῦτον. ἐν δέ γε τοῖς αἰσθητοῖς οὐδὲν ἔστιν ἀδιάστατον λαβεῖν, ὡς παραστήσω· ὥστ' οὐδ' ἐν τοῖς [24] νοητοῖς. πᾶν τοίνυν τὸ ἐν τοῖς αἰσθητοῖς ὑποπῖπτόν τινος πέρας καὶ σημεῖον σὺν τούτῳ καταλαμβάνεταί τινος ἄκρον, σὺν τῷ καὶ μέρος ἐκείνου, οὗπέρ ἐστιν ἄκρον, ὑπάρχειν· ἐὰν γοῦν ἀφέλωμεν αὐτό, μειωθήσεται τὸ ἀφ' οὗ ἡ ἀφαίρεσις. τὸ δὲ μέρος τινὸς ὑπάρχον εὐθὺς καὶ συμπληρωτικὸν αὐτοῦ καθέστηκεν, ὃ δέ ἐστί τινος συμπληρωτικόν, πάντως αὔξει τὸ μῆκος ἐκείνου, καὶ ὅ ἐστι [25] μεγέθους αὐξητικόν, τοῦτο ἐξ ἀνάγκης ἔχει μέγεθος. πᾶν ἄρα τὸ ἐν τοῖς αἰσθητοῖς σημεῖόν τινος καὶ ἄκρον μέγεθος ἔχον οὐκ ἔστιν ἀδιάστατον. ὅθεν εἰ καὶ τὸ νοητὸν μεταβατικῶς ἀπὸ τοῦ αἰσθητοῦ νοοῦμεν, σὺν τούτῳ καθεστὼς σημεῖον καὶ πέρας γραμμῆς αὐτὸ νοήσομεν, σὺν τῷ καὶ ‹συμ›πληρωτικὸν αὐτῆς ὑπάρχειν, ὥστε καὶ αὐτὸ διάστασιν ἕξει πάντως, ὅ γε διαστάσεώς ἐστι περιποιητικόν.
[26] ἄλλως τε τὴν ἀπὸ τοῦ κέντρου ἐκβληθεῖσαν εὐθεῖάν φασι περιαγομένην τῷ πέρατι ἑαυτῆς κυκλογραφεῖν τὴν ἐπίπεδον. ἐπεὶ οὖν τὸ ἄκρον ταύτης τῆς εὐθείας ἐστὶ σημεῖον, καὶ τοῦτο περιαγόμενον καταμετρεῖ τὴν περιφέρειαν, ἔσται τοῦτο συμπληρωτικὸν τῆς περιφερείας· ἡ δέ γε περιφέρεια διάστασιν εἶχεν· τοίνυν καὶ τὸ συμπληρωτικὸν [27] αὐτῆς σημεῖον ἕξει τινὰ διάστασιν. ἥ γε μὴν σφαῖρα καθ' ἓν σημεῖον ἀξιοῦται τῆς ἐπιπέδου ἅπτεσθαι, ἐκκυλιομένη τε γραμμὴν ποιεῖν, δῆλον ὡς τῶν ἐπικαταπιπτόντων σημείων τὴν ὅλην συντιθέντων γραμμήν. τοίνυν εἰ τοῦ μεγέθους τῆς γραμμῆς συμπληρωτικόν ἐστι τὸ σημεῖον, ἕξει καὶ αὐτὸ μέγεθος. συγκεχώρηται δὲ τοῦ μεγέθους τῆς γραμμῆς συμπληρωτικὸν αὐτὸ τυγχάνειν· καὶ αὐτὸ ἄρα μέγεθος ἕξει καὶ οὐκ ἀδιάστατον γενήσεται.
[28] Ἀλλ' εἰώθασι πρὸς τὰς τοιαύτας ἐπιχειρήσεις ὑπαντῶντες οἱ περὶ τὸν Ἐρατοσθένη λέγειν ὅτι τὸ σημεῖον οὔτε ἐπιλαμβάνει τινὰ τόπον οὔτε καταμετρεῖ τὸ διάστημα τῆς γραμμῆς, ῥυὲν δὲ ποιεῖ τὴν γραμμήν. ὅπερ ἐστὶν ἀδιανόητον. ῥεῖν γὰρ νοεῖται τὸ ἀπό τινος τόπου εἴς τινα τόπον ἐπεκτείνεσθαι, ὥσπερ τὸ ὕδωρ. εἰ δὴ τοιοῦτόν τι φαντασιούμεθα τὸ σημεῖον, ἀκολουθήσει οὐχ οἷον ἀμερὲς αὐτὸ τυγχάνειν, ἀλλ' ἐκ τῶν ἐναντίων πολυμερές.
[29] Τοσαῦτα μὲν περὶ στιγμῆς, ἴδωμεν δὲ παρακειμένως καὶ τὰ περὶ γραμμῆς ὀφείλοντα λέγεσθαι· αὕτη γὰρ μετὰ τὴν στιγμὴν ἐτέτακτο. ‹λεκτέον› τοίνυν, ὅτι, κἂν δοθῇ στιγμή τις ὑπάρχειν, οὐκ ἔσται ἡ γραμμή. εἰ γὰρ αὕτη ῥύσις ἐστὶ σημείου καὶ μῆκος ἀπλατές, ἤτοι ἕν ἐστι σημεῖον εἰς μῆκος ἐκτεταμένον ἢ πολλὰ ‹ἀ›διάστατα στοίχῳ [30] κείμενα· οὔτε δὲ ἕν ἐστιν εἰς μῆκος ἐκτεταμένον, ὡς παραστήσομεν, οὔτε πολλὰ σημεῖα στοίχῳ κείμενα, καθὼς καὶ τοῦτο ὑπομνήσομεν· οὐκ ἄρα ἔστι γραμμή. εἰ γὰρ ἕν ἐστι [τὸ] σημεῖον, ἤτοι τοῦτο τὸ σημεῖον ἕνα μόνον ἐπέχει τόπον, ἢ μετατίθεται τόπον ἐκ τόπου, ἢ [31] ἐπεκτείνεται ἀπό τινος τόπου εἴς τινα τόπον. ἀλλ' εἰ μὲν ἑνὶ ἐμπεριέχεται τόπῳ, οὐκ ἔσται γραμμὴ ἀλλὰ στιγμή· ῥυὲν γὰρ ἐνοεῖτο γραμμή. εἰ δὲ τόπον ἐκ τόπου μετέρχεται, ἤτοι, ὡς προεῖπον, ὃν μὲν ἀπολεῖπον ὃν δὲ ἐπιλαμβάνον μετέρχεται, ἢ οὗ μὲν ἐχόμενον τόπου εἰς ὃν δὲ ἐκτεινόμενον. ἀλλ' εἰ ὃν μὲν ἀπολεῖπον ὃν δὲ ἐπιλαμβάνον, [32] πάλιν οὐκ ἔσται γραμμὴ ἀλλὰ στιγμή. ᾧ γὰρ λόγῳ τόπον πρῶτον ἐπεσχηκὸς στιγμή τις ἀλλ' οὐ γραμμὴ ἐνοεῖτο, τῷ αὐτῷ καὶ τὸν δεύτερον ἐπιλαμβάνον τόπον νοηθήσεται στιγμή. εἰ δὲ οὗ μὲν ἐχόμενον τόπου εἰς ὃν δὲ ἐκτεινόμενον, ἤτοι μεριστῷ τόπῳ ἀντιπαρεκτείνεται ἢ ἀμερίστῳ.
[33] καὶ εἰ μὲν ἀμερίστῳ τόπῳ ἀντιπαρεκτείνεται, πάλιν οὐκ ἔσται γραμμὴ ἀλλὰ στιγμὴ καὶ σημεῖον· τὸ γὰρ ἀμερῆ τόπον ἐπεσχηκὸς ἀμερές ἐστιν, ὃ δέ ἐστιν ἀμερές, στιγμὴ καὶ οὐ γραμμὴ καθέστηκεν. εἰ δὲ μεριστῷ, πάντως ἐπεὶ τὸ ‹μεριστῷ ἀντιπαρεκτεινόμενον τόπῳ ὀφεῖλον καὶ αὐτὸ εἶναι› μεριστὸν, μέρη ἔχει, εἴγε ἅπαντι παρεκτείνεται τῷ τόπῳ, τὸ δὲ μέρη ἔχον, οἷς ἀντιπαρεκτείνεται τοῖς τοῦ τόπου μέρεσι, σῶμά ἐστιν, ἔσται τὸ σημεῖον καὶ μεριστὸν [34] καὶ σῶμα· ὅπερ ἄτοπον. ὥστε οὐχ ἕν ἐστι σημεῖον ἡ γραμμή. καὶ μὴν οὐδὲ [τὰ] πολλὰ σημεῖα στοιχηδὸν κείμενα. ταῦτα γὰρ τὰ σημεῖα ἤτοι ψαύοντα ἀλλήλων νοεῖται ἢ οὐ ψαύοντα. καὶ εἰ μὲν οὐ ψαύοντα ἀλλήλων, μεσολαβούμενα τόποις τισὶ διορισθήσεται, καὶ τόποις διοριζόμενα [35] οὐκέτι ποιήσει μίαν γραμμήν. εἰ δὲ ψαύοντα ἀλλήλων νοοῖτο, ἤτοι ὅλα ὅλων ἅψεται ἢ μέρεσι μερῶν. καὶ εἰ μὲν μέρεσι μερῶν ἅψεται, οὐκ ἔσται αὐτὰ ἔτι ἀδιάστατα καὶ ἀμερῆ· τὸ γὰρ μέσον δυοῖν σημείων λόγου χάριν νοούμενον σημεῖον ἄλλῳ μὲν μέρει ἅψεται τοῦ ἔμπροσθεν σημείου, ἄλλῳ δὲ τοῦ ὄπισθεν, οὐ τῷ αὐτῷ δὲ τῆς ἐπιπέδου, διαφέροντι δὲ τοῦ ἄλλου τόπου, ὥστε μηκέτ' αὐτὸ ταῖς ἀληθείαις ἀμερὲς τυγχάνειν ἀλλὰ πολυμερές.
[36] εἰ δὲ ὅλα ὅλων ἅψαιτο σημεῖα, δῆλον ὡς ἐν σημείοις σημεῖα περισχεθήσεται καὶ τὸν αὐτὸν ἐφέξει τόπον· ταύτῃ τε οὐκ ἔσται στοιχηδὸν κείμενα, ἵνα γένηται γραμμή, ἀλλ' εἰ τὸν αὐτὸν ἐπέσχηκε τόπον, μία καταστήσεται στιγμή. εἴπερ οὖν, ἵν' ἐπινοηθῇ γραμμή, δεῖ προ[ς]επινοεῖσθαι τὸ σημεῖον ἐξ οὗ λαμβάνει τὴν νόησιν, ἐπιδέδεικται δὲ μήτε σημεῖον οὖσα μήτε ἐκ σημείων σύνθετος, οὐδὲν ἔσται γραμμή.
[37] Καὶ μὴν πάρεστιν ἀποστάντας τῆς τοῦ σημείου νοήσεως προηγουμένως ἀναιρεῖν τὴν γραμμὴν καὶ τὸ ἀνεπινόητον αὐτῆς διδάσκειν. γραμμὴ γάρ ἐστιν, ὡς αὐτῶν πάρεστιν ἀκούειν τῶν γεωμετρῶν, μῆκος ἀπλατές, σκεψάμενοι δὲ ἡμεῖς ἀκριβῶς οὔτε ἐν τοῖς νοητοῖς οὔτε ἐν τοῖς αἰσθητοῖς εὑρήσομεν δυνάμενόν τι ληφθῆναι μῆκος ἀπλατές.
[38] καὶ ἐν μὲν τοῖς αἰσθητοῖς, ἐπείπερ ὃ ἂν λάβωμεν αἰσθητὸν μῆκος, τοῦτο πάντῃ τε καὶ πάντως σὺν ποσῷ [39] πλάτει ληψόμεθα· ἐν δὲ τοῖς νοητοῖς, καθόσον ἕτερον μὲν ἑτέρου στενώτερον δυνάμεθα νοῆσαι μῆκος, ὅταν δὲ τὸ αὐτὸ μῆκος κατ' ἰσότητα φυλάττοντες σχίζωμεν ταῖς ἐπινοίαις τὸ πλάτος καὶ ἄχρι τινὸς τὸ αὐτὸ ποιῶμεν, ἔλαττον μὲν τὸ πλάτος καὶ ἔλαττον γινόμενον νοήσομεν, ἐπειδὰν δὲ ἅπαξ φθάσωμεν στερῆσαι τοῦ πλάτους τὸ μῆκος, οὐκέτι οὐδὲ μῆκος φαντασιούμεθα, ἀλλ' ἀναιρεῖται καὶ ἡ [40] τοῦ μήκους ἐπίνοια. καθόλου τε πᾶν τὸ νοούμενον κατὰ δύο τοὺς πρώτους ἐπινοεῖται τρόπους· ἢ γὰρ κατὰ περίπτωσιν ἐναργῆ ἢ κατὰ τὴν ἀπὸ τῶν ἐναργῶν μετάβασιν, καὶ ταύτην τρισσήν· ἢ γὰρ ὁμοιωτικῶς ἢ ἐπισυνθετικῶς ἢ ἀναλογιστικῶς. ἀλλὰ κατὰ μὲν περιπτωτικὴν ἐνάργειαν νοεῖται τὸ λευκὸν καὶ τὸ μέλαν καὶ γλυκὺ καὶ πικρόν, κατὰ δὲ τὴν ἀπὸ τῶν ἐναργῶν μετάβασιν ὁμοιωτικῶς μὲν νοεῖται καθάπερ ἀπὸ τῆς Σωκράτους εἰκόνος Σωκράτης [41] αὐτός, ἐπισυνθετικῶς δὲ καθάπερ ἀπὸ ἵππου καὶ ἀνθρώπου ἱπποκένταυρος· ἵππεια γὰρ καὶ βρότεια μίξαντες μέλη ἐφαντασιώθημεν τὸν μήτε ἄνθρωπον μήτε ἵππον ἀλλ' ἐξ ἀμφοτέρων σύνθετον ἱπποκένταυρον. ἀναλογιστικῶς δέ [42] τι νοεῖται πάλιν κατὰ δύο τρόπους, ὁτὲ μὲν αὐξητικῶς ὁτὲ δὲ μειωτικῶς, οἷον ἀπὸ τῶν κοινῶν ἀνθρώπων,
οἷοι νῦν βροτοί εἰσιν,
παραυξητικῶς μὲν ἐνοήσαμεν Κύκλωπα, ὃς οὐκ ἐῴκει
ἀνδρί γε σιτοφάγῳ ἀλλὰ ῥίῳ ὑλήεντι,
μειωτικῶς δὲ τὸν πυγμαῖον ἄνθρωπον, ὃς οὐχ ὑπέπεσεν [43] ἡμῖν περιπτωτικῶς. τοσούτων δὴ νοήσεως ὄντων τρόπων, εἴπερ νοεῖταί τι ἀπλατὲς μῆκος, ἐξ ἀνάγκης ὀφείλει ἤτοι κατὰ περιπτωτικὴν ἐνάργειαν νοεῖσθαι ἢ κατὰ τὴν ἀπὸ τῶν ἐναργῶν μετάβασιν. ἀλλὰ κατὰ περιπτωτικὴν μὲν ἐνάργειαν οὐκ ἂν νοοῖτο· οὐδενὶ γὰρ περιεπέσομεν μήκει [44] χωρὶς πλάτους. λείπεται οὖν κατὰ τὴν ἀπὸ τῶν ἐναργῶν μετάβασιν λέγειν αὐτὸ νενοῆσθαι· ὃ πάλιν τῶν ἀδυνατωτάτων. εἰ γὰρ οὕτως ἐνοήθη, ἤτοι πάντως κατὰ ὁμοίωσιν ἢ κατὰ ἐπισύνθεσιν ἐνοεῖτο ἢ κατὰ ἀναλογίαν· κατ' οὐδένα δὲ τούτων τῶν τρόπων εἰς ἔννοιαν ἐλθεῖν πέφυκεν, ὡς παραστήσομεν· οὐκ ἄρα νοεῖταί τι μῆκος ἀπλατές.
[45] αὐτίκα γὰρ κατὰ μὲν τὴν ὁμοιότητα τῶν ἀμηχάνων ἐστὶ νοεῖν τι μῆκος ἀπλατές. οὐδὲν γὰρ ἔχομεν ἐν τοῖς φαινομένοις μῆκος χωρὶς πλάτους [νοούμενον], ἵνα νοήσωμεν [46] ὅμοιόν τι τούτῳ μῆκος ἀπλατές. τὸ γάρ τινι ὅμοιον γινωσκομένῳ πάντως ἐστὶν ὅμοιον, τῷ δὲ μὴ γινωσκομένῳ οὐδὲ ὅμοιον εὑρεῖν δυνατόν. ἐπεὶ οὖν οὐκ ἔχομεν ἐναργῶς ὑποπῖπτον ἡμῖν μῆκος χωρὶς πλάτους, οὐδὲ ὅμοιόν τι [47] αὐτῷ δυνησόμεθα νοεῖν. καὶ μὴν οὐδὲ κατ' ἐπισύνθεσιν οἷόν τέ ἐστι προβαίνειν τοῖς γεωμέτραις αὐτοῦ τὴν ἐπίνοιαν· εἰπάτωσαν γὰρ ἡμῖν τίνα τῶν ἐκ περιπτώσεως ἐναργῶς γινωσκομένων μετὰ τίνων συνθέντες νοήσομεν τὸ ἀπλατὲς μῆκος, ὡς πρότερον ἐπ' ἀνθρώπου καὶ ἵππου [48] ποιοῦντες ἐφαντασιούμεθα ἱπποκένταυρον. λείπεται οὖν ἐπὶ τὸν κατὰ ἀναλογιστικὴν αὔξησιν ἢ μείωσιν [τὸν] τῆς νοήσεως αὐτοῖς τρόπον συμφεύγειν· ὃ πάλιν τῶν ἀπόρων [49] θεωρεῖται. τὰ γὰρ κατὰ ἀναλογίαν νοούμενα ἔχει τι κοινὸν πρὸς τὰ ἀφ' ὧν νοεῖται, οἷον ἀπὸ τοῦ κοινοῦ μεγέθους τῶν ἀνθρώπων παραυξητικῶς ἐνοήσαμεν τὸν Κύκλωπα καὶ μειωτικῶς τὸν πυγμαῖον, ὥστε εἶναί τι κοινὸν τοῖς κατὰ ἀναλογίαν νοουμένοις πρὸς ἐκεῖνα τὰ ἀφ' ὧν νοεῖται. οὐδὲν δ' ἔχομεν κοινὸν τοῦ τε ἀπλατοῦς καὶ τοῦ σὺν πλάτει νοουμένου μήκους, ἵν' ἀπ' ἐκείνου ὁρμηθέντες [50] νοήσωμεν τὸ ἀπλατὲς μῆκος. μηδὲ ἔχοντές τι κοινὸν αὐτῶν οὐδὲ κατὰ ἀναλογίαν ποιήσασθαι τὴν τοῦ ἀπλατοῦς μήκους νόησιν ἰσχύσομεν. ὅθεν εἰ ἕκαστον τῶν νοουμένων κατὰ τοὺς ἐκκειμένους νοεῖται τρόπους, δεδίδακται δὲ κατὰ μηδέν' αὐτῶν νοούμενον τὸ ἀπλατὲς μῆκος, ἀνεπινόητόν ἐστι τὸ ἀπλατὲς μῆκος.
[51] Ὅμως δ' οὖν καὶ πρὸς τοὺς οὕτως ἐναργεῖς ἐλέγχους πειρῶνται κατὰ τὸ δυνατὸν ἀνδριζόμενοι λέγειν οἱ γεωμέτραι [52] ὅτι κατ' ἐπίτασιν νοεῖται τὸ ἀπλατὲς μῆκος. λαβόντες γοῦν ὁποιονδήποτε μῆκος σὺν ποσῷ πλάτει, φασὶν ὅτι μειοῦμεν κατ' ἐπίτασιν τουτὶ τὸ πλάτος ἀεὶ καὶ μᾶλλον τὴν στενότητα ἐπιτείνοντες, εἶθ' οὕτως τὸ κατ' ἐπίτασιν νοούμενον ἀπλατὲς εἶναι μῆκος λέγομεν· εἰ γὰρ κατ' ὀλίγον ἐλαττοῦται στενούμενον τὸ πλάτος κατ' ἐπίτασιν, ἐλεύσεταί ποτε καὶ εἰς ἀπλατὲς μῆκος, καταληξάσης [53] εἰς τοῦτο τῆς νοήσεως. ἀλλὰ μὴν ἐδείξαμεν, ἐρεῖ τις, ὅτι ἡ παντελὴς στέρησις τοῦ πλάτους ἀναίρεσίς ἐστι καὶ τοῦ μήκους. εἶτα τὸ κατ' ἐπίτασίν τινος νοούμενον οὐχ ἕτερόν ἐστι τοῦ προεπινοηθέντος, ἀλλ' αὐτὸ ἐκεῖνο ἐπιτεταμένον.
[54] ἐπεὶ οὖν ἀπὸ τοῦ ποσὸν ἔχοντος πλάτος κατ' ἐπίτασιν στενότητος νοῆσαί τι θέλομεν, τὸ μὲν πάντῃ πάντως ἀπλατὲς μῆκος οὐκ ἐπινοήσομεν (ἑτερογενὲς γάρ ἐστι), στενὸν δέ τι ληψόμεθα πλάτος, ὥστε τὴν κατάληξιν τῆς νοήσεως ἐν ἐλαχιστοτάτῳ γενέσθαι πλάτει, πλὴν ὅμως πλάτει, τὸ δὲ μετὰ τοῦτο γενέσθαι τὴν ἐπιβολὴν τῆς διανοίας εἰς ἑτερογενές, καὶ ὃ μήτε μῆκός ἐστι [55] μήτε πλάτος. εἴπερ τε δυνατόν ἐστι μῆκός τι νοήσαντας σὺν ποσῷ πλάτει στερήσει τοῦ πλάτους λαβεῖν μῆκος ἀπλατές, ἐνδέξεταί ποτε κατὰ τὸν ὅμοιον τρόπον καὶ σάρκα σὺν τρωτῷ ἰδιώματι νοήσαντας στερήσει τοῦ τρωτοῦ [56] ἰδιώματος νοῆσαι ἄτρωτόν τε καὶ ἀπαθῆ σάρκα, δυνατὸν δὲ ἔσται καὶ σῶμα νοήσαντας μετὰ ἀντιτύπου ἰδιώματος στερήσει τῆς ἀντιτυπίας λαβεῖν τι μὴ ἀντιτυποῦν σῶμα. ὅπερ τελέως ἐστὶν ἀδύνατον καὶ παρὰ τὴν κοινὴν τῶν ἀνθρώπων ἔννοιαν· τὸ γὰρ ἄτρωτον νοούμενον ἡμῖν οὐκέτι ἐστὶ σάρξ, ἐπείπερ σὺν τῷ τρωτῷ ἰδιώματι ἡ σὰρξ ἐνοεῖτο ὡς σάρξ, καὶ τὸ μὴ ἀντιτυποῦν σῶμα οὐκέτι νοεῖται σῶμα· σὺν γὰρ τῷ ἀντιτύπῳ ἰδιώματι ἐνοεῖτο ‹τὸ› σῶμα, καθό ἐστι σῶμα. ὅθεν καὶ τὸ νοούμενον μῆκος χωρὶς πλάτους οὐκ ἂν εἴη μῆκος· σὺν γὰρ τῷ ποσὸν ἔχειν πλάτος τὸ μῆκος ὡς μῆκος νοεῖται.
[57] Ἀλλ' ὅ γε Ἀριστοτέλης, καίπερ ποικίλως κατασκευασθείσης τῆς τοῦ πράγματος ἀνεπινοησίας καὶ οὐκ ἐν ὀλίγῳ κειμένων ταράχῳ τῶν γεωμετρῶν, φησὶ μὴ ἀδιανόητον εἶναι τὸ ὑπὸ τούτων λεγόμενον μῆκος ἀπλατές, ἀλλὰ δύνασθαι χωρὶς πάσης περισκελείας εἰς ἔννοιαν ἡμῖν ἐλθεῖν. ἵστησι δὲ τὸν λόγον ἐπί τινος ἐναργεστέρου [58] ὑποδείγματος καὶ σαφοῦς. τὸ γοῦν τοῦ τοίχου μῆκος, φησί, λαμβάνομεν μὴ συνεπιβάλλοντες αὐτοῦ τῷ πλάτει, διόπερ ἐνέσται καὶ τὸ παρὰ τοῖς γεωμέτραις λεγόμενον μῆκος χωρὶς πλάτους τινὸς ἐπινοεῖν, ἐπείπερ ὄψις τῶν ἀδήλων ἐστὶ τὰ φαινόμενα, πλανώμενος ἢ τάχα κατασοφιζόμενος ἡμᾶς. ὅταν γὰρ τὸ τοίχου μῆκος χωρὶς πλάτους νοῶμεν, οὐ χωρὶς παντὸς πλάτους αὐτὸ νοοῦμεν, [59] ἀλλὰ χωρὶς τοῦ περὶ τῷ τοίχῳ καθεστῶτος πλάτους. ὅθεν καὶ ἐνδέχεται συμπλέξαντας τὸ τοῦ τοίχου μῆκός τινι πλάτει καὶ ὁτῳδηποτοῦν νόησιν αὐτοῦ ποιεῖσθαι· ὥστε μῆκος λαμβάνεσθαι τὰ νῦν οὐ χωρὶς παντὸς πλάτους, καθάπερ ἀξιοῦσιν οἱ ἀπὸ τῶν μαθημάτων, ἀλλὰ χωρὶς τοῦδέ τινος πλάτους. προύκειτο δὲ τῷ Ἀριστοτέλει παραστῆσαι οὐχ ὅτι τινὸς πλάτους ἀμοιρεῖ τὸ κατὰ τοὺς γεωμέτρας λεγόμενον μῆκος, ἀλλ' ὅτι παντὸς ἐστέρηται πλάτους· ὅπερ οὐκ ἀπέδειξεν.
[60] Ταῦτα μὲν οὖν περὶ τούτων· ἐπειδὴ δὲ οἱ γεωμέτραι καὶ πέρας ἐπιφανείας εἶναι λέγουσι τὴν γραμμήν, ὅ ἐστι μῆκος ἀπλατές, φέρε κοινότερον περὶ γραμμῶν ἅμα καὶ ἐπιφανειῶν διαπορῶμεν· οὕτω γὰρ εὐδιάβλητος καὶ ὁ [61] ἐπὶ τὸ σῶμα γενήσεται λόγος. εἰ γὰρ ἡ γραμμὴ πέρας ἐστὶν ἐπιφανείας, μῆκος ἀπλατὲς καθεστῶσα, δῆλον ὡς ὅταν ἐπιφάνεια ἐπιφανείᾳ παρατεθῇ, ἤτοι παράλληλοι γενήσονται δύο γραμμαὶ ἢ μία ἀμφότεραι. καὶ εἰ μὲν μία αἱ δύο γραμμαὶ γίνονται, ἐπεὶ ἡ γραμμὴ πέρας ἐστὶν ἐπιφανείας, ἡ δὲ ἐπιφάνεια πέρας σώματος, τῶν μὲν δυοῖν γραμμῶν μιᾶς ἅμα γινομένων γενήσονται καὶ αἱ δύο ἐπιφάνειαι μία ἐπιφάνεια, τῶν δὲ δυοῖν ἐπιφανειῶν μιᾶς ἐπιφανείας γενηθεισῶν ἐξ ἀνάγκης ἔσται καὶ τὰ δύο σώματα ἓν σῶμα, τῶν δὲ δυοῖν σωμάτων ἑνὸς γενομένων ἡ παράθεσις οὐκ ἔσται παράθεσις ἀλλ' ἕνωσις. ὅπερ ἐστὶν [62] ἀδύνατον. ἐπὶ τινῶν μὲν γὰρ σωμάτων δύναται ἡ παράθεσις ἕνωσις γίνεσθαι, καθάπερ ὕδατος καὶ τῶν ἐοικότων τούτῳ, ἐπὶ τινῶν δὲ οὐδαμῶς· καὶ γὰρ λίθος λίθῳ παρατιθέμενος καὶ σίδηρος σιδήρῳ καὶ ἀδάμας ἀδάμαντι κατὰ γραμμὴν οὐχ ἑνοῦνται. ὥστε οὐκ ἂν γένοιντο αἱ δύο γραμμαὶ μία γραμμή. καὶ γὰρ ἄλλως, εἰ ἕνωσίς ἐστι τῶν δύο γραμμῶν μιᾶς γενομένων καὶ σύμφυσις τῶν σωμάτων, ἐχρῆν τὸν χωρισμὸν γίνεσθαι μὴ κατὰ τὰ αὐτὰ αὐτῶν πέρατα ἀλλὰ κατὰ ἄλλα καὶ ἄλλα μέρη ἀποσπωμένων, ὥστε καὶ φθορὰν συμβαίνειν. οὐχὶ δέ γε τοῦτο γινόμενον θεωρεῖται, ἀλλὰ τὰ πέρατα τῶν σωμάτων καὶ πρὸ τῆς παραθέσεως καὶ μετὰ τὸν χωρισμὸν τοιαῦτά ἐστιν ὁποῖα καὶ ἐν τῇ παραθέσει ὄντα [πρότερον] ἐφαίνετο. οὐ [63] τοίνυν αἱ δύο γραμμαὶ μία γίνονται. οὐ μὴν ἀλλ' εἴπερ αἱ δύο γραμμαὶ μία γίνονται, δεήσει τὰ παρατιθέμενα ἀλλήλοις σώματα ἑνὶ ἄκρῳ ἐλάσσω εἶναι· γεγόνασι γὰρ αἱ δύο μία, ἥτις ἓν ἔχειν ὀφείλει πέρας τε καὶ ἄκρον. οὐχὶ δέ γε τὰ παρατιθέμενα ἀλλήλοις σώματα ἑνὶ ἄκρῳ γίνεται ἐλάσσονα, ὥστε αἱ δύο γραμμαὶ οὐκ ἂν γένοιντο μία γραμμή.
[64] εἰ δὲ παράλληλοι γίνονται δύο γραμμαὶ κατὰ παράθεσιν δυοῖν σωμάτων, τὸ ἐκ τῶν δυοῖν γραμμῶν μεῖζον ἔσται τῆς μιᾶς γραμμῆς. εἰ δὲ τὸ ἐκ τῶν δυοῖν γινόμενον γραμμῶν μεῖζόν ἐστι τῆς μιᾶς γραμμῆς, ἔχοι ἂν ἑκατέρα αὐτῶν πλάτος, ὃ μεθ' ἑτέρας μείζονα ποιεῖ τὴν διάστασιν, καὶ οὕτως οὐκ ἔστιν ἀπλατὲς μῆκος ἡ γραμμή. δυοῖν οὖν θάτερον, ἢ ἀναιρεῖν δεῖ τὴν ἐνάργειαν, ἢ μενούσης ταύτης ἀθετεῖν τὴν τῶν γεωμετρῶν ἐπίνοιαν, καθ' ἣν οἴονται τὴν γραμμὴν μῆκος ἀπλατὲς ὑπάρχειν.
[65] Καὶ δὴ ταῦτα μὲν προηγουμένως ῥητέον ἐστὶν ἡμῖν πρὸς τὰς τῆς γεωμετρίας ἀρχάς· μεταβάντες δὲ διδάσκωμεν ὅτι καὶ κατὰ τὰς ἐκείνων αὐτῶν ὑποθέσεις οὐχ οἷόν τε προβαίνειν τὴν ζήτησιν. ἀρέσκει τοίνυν αὐτοῖς τὴν εὐθεῖαν γραμμήν, ὡς καὶ ἀνώτερον ἐλέγομεν, στρεφομένην πᾶσιν αὐτῆς τοῖς μέρεσι κύκλους γράφειν· ᾧπερ θεωρήματι ὄντι συνεκτικωτάτῳ μαχόμενόν ἐστι τὸ [66] τὴν γραμμὴν μῆκος ἀπλατὲς ὑπάρχειν. ζητῶμεν δὲ τὸν τρόπον τοῦτον· εἰ γὰρ κατ' αὐτοὺς πᾶν μέρος τῆς γραμμῆς ἔχει σημεῖον, τὸ δὲ σημεῖον στρεφόμενον κύκλον γράφει, δεήσει κατ' αὐτούς, ὅταν ἡ εὐθεῖα γραμμὴ στρεφομένη καὶ πᾶσι τοῖς ἑαυτῆς μέρεσι κυκλογραφοῦσα τὸ διάστημα καταμετρῇ ‹τὸ› τῆς ἀπὸ τοῦ κέντρου μέχρι τῆς ἐξωτάτης περιφερείας ἐπιπέδου, τότε ἤτοι συνεχεῖς ἀλλήλοις ὑπάρχειν τοὺς καταγραφομένους κύκλους ἢ διεστῶτας [67] ἀπ' ἀλλήλων. ἀλλ' εἰ μὲν διεστᾶσιν ἀπ' ἀλλήλων, ἀκολουθήσει μέρος τι εἶναι τῆς ἐπιπέδου τὸ μὴ κυκλογραφούμενον, καὶ τῆς εὐθείας μέρος τὸ κατὰ τούτου μὲν φερόμενον τοῦ διαστήματος, μὴ κυκλογραφοῦν δέ. ὅπερ ἐστὶν ἄτοπον. ἢ γὰρ οὐκ ἔχει κατὰ τοῦτο τὸ μέρος σημεῖον ἡ εὐθεῖα γραμμή, ἢ ἔχουσα οὐ καταγράφει κύκλον, ὧν ἑκάτερον παρὰ τὸν γεωμετρικόν ἐστι λόγον· καὶ πᾶν γὰρ μέρος τῆς γραμμῆς σημεῖον ἔχειν φασί, καὶ πᾶν [68] σημεῖον στρεφόμενον κυκλογραφεῖν. εἰ δὲ συνεχεῖς ἀλλήλοις ὑπάρχειν οἴονται τοὺς κύκλους, ἤτοι οὕτως εἰσὶ συνεχεῖς ὡς τὸν αὐτὸν ἐπέχειν τόπον, ἢ ὥστε ἄλλον παρ' ἄλλον τετάχθαι μηδενὸς σημείου μεταξὺ πίπτοντος· πᾶν γὰρ σημεῖον τὸ μεταξὺ κατ' ἐπίνοιαν πῖπτον ὀφείλει καὶ αὐτὸ κύκλον γράφειν. καὶ εἰ μὲν τὸν αὐτὸν ἐπέχουσι τόπον πάντες, εἷς γενήσεται κύκλος, καὶ διὰ τοῦτο τῷ ἐλαχίστῳ κύκλῳ καὶ πρὸς τῷ κέντρῳ καθεστῶτι ὁ μείζων καὶ ἐξωτάτω καὶ πάντων περιληπτικὸς καθεστὼς κύκλος ἴσος [69] γενήσεται· εἰ γὰρ ὁ μὲν ἐξωτάτω κύκλος καὶ πρὸς αὐτῇ τῇ περιφερείᾳ μεῖζον ἐπέχει διάστημα καὶ ὁ ἐσωτάτω πρὸς τῷ κέντρῳ κύκλος μικρὸν ἐπέχει διάστημα, πάντες δὲ οἱ κύκλοι τὸν αὐτὸν ἐπέχουσι τόπον, ὁ τὸ μεῖζον ἐπέχων διάστημα ἴσος γενήσεται τῷ ‹τὸ› ἐλάχιστον ἐπέχοντι διάστημα· ὅπερ ἐστὶν ἀπεμφαῖνον. οὐ τοίνυν οὕτως [70] εἰσὶ συνεχεῖς οἱ κύκλοι ὡς τὸν αὐτὸν τόπον ἐπέχειν. εἰ δὲ παράλληλοι τυγχάνουσιν ὥστε μεταξύ τι μὴ πίπτειν ἀμερὲς σημεῖον, συμπληρώσουσι τὸ ἀπὸ τοῦ κέντρου μέχρι τῆς περιφερείας πλάτος. εἰ δέ γε συμπληρώσουσιν, ἐπέχουσί τι πλάτος. ἦσαν δέ γε οὗτοι γραμμαί. αἱ ἄρα γραμμαὶ ἔχουσί τι πλάτος καὶ οὐκ ἀπλατεῖς καθεστήκασιν.
[71] Ἀπὸ δὲ τῆς αὐτῆς δυνάμεως ὁρμώμενοι ὁμοιότροπον τῇ προαποδοθείσῃ συνθήσομεν ἐπιχείρησιν. ἐπεὶ γάρ φασι τὴν κυκλογραφοῦσαν εὐθεῖαν γραμμὴν δι' ἑαυτῆς τὸν κύκλον καταγράφειν, συνερωτῶντες αὐτοὺς φήσομεν· εἰ ἡ κυκλογραφοῦσα εὐθεῖα γραμμὴ δι' ἑαυτῆς τὸν κύκλον καταγράφειν πέφυκεν, οὔκ ἐστι μῆκος ἀπλατὲς ἡ γραμμή· ἀλλὰ μὴν ἡ κυκλογραφοῦσα εὐθεῖα γραμμὴ δι' ἑαυτῆς τὸν κύκλον καταγράφει, ὡς ἐκεῖνοί φασιν· οὐκ ἄρα μῆκός ἐστιν ἀπλατὲς ἡ γραμμή, ὡς ἡμεῖς τοῦτο ἀκόλουθον [72] ὂν ἐκείνοις διδάξομεν. ὅταν γὰρ ἡ ἀπὸ τοῦ κέντρου ἀγομένη εὐθεῖα στρέφηται καὶ δι' ἑαυτῆς καταγράφῃ κύκλον, τότε ἤτοι κατὰ πάντων τῶν μερῶν τοῦ ἐντὸς τῆς περιφερείας πλάτους φέρεται ἡ εὐθεῖα γραμμή, ἢ οὐ κατὰ πάντων ἀλλὰ κατὰ τινῶν. καὶ εἰ μὲν κατὰ τινῶν φέρεται, οὐδὲ καταγράφει κύκλον, καθ' ὧν μὲν μερῶν φερομένη καθ' ὧν δὲ οὔ. εἰ δὲ κατὰ πάντων φέρεται, ὅλον τὸ [73] τῆς περιφερείας καταμετρήσει πλάτος, πλάτος δὲ καταμετροῦσα ἕξει πλάτος· τὸ γὰρ τοῦ πλάτους καταμετρητικὸν ὀφείλει πλάτος ἔχειν, ᾧ καταμετρεῖ. ἡ ἄρα εὐθεῖα γραμμὴ κυκλοφοροῦσα ὅλον καταμετρεῖ τὸ πλάτος, καὶ οὔκ ἐστι μῆκος ἀπλατὲς ἡ γραμμή.
[74] Τὸ δ' αὐτὸ σαφέστερον δειχθήσεται καὶ ὅταν λέγωσιν οἱ γεωμέτραι τὴν πλάγιον τοῦ τετραγώνου πλευρὰν καταγομένην τὸ παραλληλόγραμμον [καὶ] ἐπίπεδον καταμετρεῖν. εἴπερ γὰρ μῆκος ἀπλατές ἐστιν ἡ πλαγία πλευρὰ τοῦ τετραγώνου καταγομένη, οὐ καταμετρήσει τὸ παραλληλόγραμμον ἐπίπεδον τοῦ τετραγώνου δι' ἑαυτῆς· τὸ γὰρ καταμετρητικὸν πλάτους ὀφείλει πλάτος ἔχειν. εἰ δὲ καταμετρεῖ, πάντως πλάτος ἔχει. ὥστε πάλιν ἢ τοῦτο τὸ θεώρημα ψεῦδος εἶναι τοῖς γεωμέτραις, ἢ μηδὲν ὑπάρχειν τὸ νοούμενον μῆκος ἀπλατές.
[75] Τόν τε κύλινδρόν φασι κατ' εὐθεῖαν γραμμὴν ἅπτεσθαι τῆς ἐπιπέδου καὶ ἐκκυλιόμενον τῇ ἀνὰ μέρος ἄλλων καὶ ἄλλων εὐθειῶν θέσει καταμετρεῖν τὴν ἐπίπεδον. ἀλλ' εἰ καὶ κατ' εὐθεῖαν ἅπτεται τῆς ἐπιπέδου ὁ κύλινδρος καὶ κυλιόμενος τῇ ἀνὰ μέρος ἄλλων καὶ ἄλλων εὐθειῶν θέσει καταμετρεῖ τὴν ἐπίπεδον, πάντως καὶ ἡ ἐπίπεδος συνέστηκεν ἐξ εὐθειῶν καὶ ἡ ἐπιφάνεια τοῦ κυλίνδρου πάλιν [76] ἐξ εὐθειῶν πεπλήρωται. ὅθεν ἐπεὶ ἔχει καὶ ἡ ἐπίπεδος πλάτος καὶ ἡ ἐπιφάνεια τοῦ κυλίνδρου ὁμοίως καὶ οὐκ ἔστιν ἀπλατής, τὸ δὲ πλάτους ποιητικὸν ὀφείλει καὶ αὐτὸ πλάτος ἔχειν, δῆλον οὖν ὡς ὅτι καὶ αἱ εὐθεῖαι γραμμαὶ συμπληρωτικαὶ οὖσαι τοῦ πλάτους ἐξ ἀνάγκης πλάτος ἔχουσιν, ὥστε μηδὲν εἶναι μῆκος ἀπλατές, διὰ δὲ τοῦτο μηδὲ γραμμήν.
[77] Εἰ δὲ καὶ δοίημεν τὴν γραμμὴν μῆκος εἶναι ἀπλατές, τὰ ἀκόλουθα τούτοις ἔτι τούτων ἀπορώτερα. ὥσπερ γὰρ τὸ σημεῖον ῥυὲν ποιεῖ γραμμήν, οὕτω καὶ ἡ γραμμὴ ῥυεῖσα ποιεῖ ἐπιφάνειαν κατ' αὐτούς, ἥτις ἐστί, φασί, πέρας σώματος δύο ἔχον διαστάσεις, μῆκος καὶ πλάτος.
[78] εἴπερ οὖν ἡ ἐπιφάνεια πέρας ἐστὶ σώματος, τό γε σῶμα πάντως πεπερασμένον ἐστίν· καὶ εἰ τοῦτο, ὅτε παρατίθεται δύο σώματα ἀλλήλοις, τότε ἤτοι τὰ πέρατα τῶν περάτων ἢ τὰ πεπερατωμένα τῶν πεπερατωμένων ἅψεται ‹ἢ καὶ τὰ πεπερατωμένα τῶν πεπερατωμένων καὶ τὰ πέρατα τῶν περάτων›, οἷον ἐπὶ τοῦ ἀμφορέως, εἰ νοήσαιμεν πέρας μὲν τὸ ἔξωθεν ὄστρακον πεπερατωμένον δὲ τὸν ἐν [79] αὐτῷ οἶνον. δυοῖν οὖν ἀμφορέων παραβληθέντων ἀλλήλοις ἤτοι τὸ ὄστρακον τοῦ ὀστράκου ἅψεται ἢ ὁ οἶνος τοῦ οἴνου ἢ καὶ τὸ ὄστρακον τοῦ ὀστράκου καὶ ὁ οἶνος τοῦ οἴνου. καὶ εἰ μὲν τὰ πέρατα τῶν περάτων ἅπτεται, τὰ πεπερατωμένα ἀλλήλων οὐχ ἅψεται, τουτέστι τὰ σώματα, ὅπερ ἦν ἀπεμφαῖνον. εἰ δὲ τὰ πεπερατωμένα μὲν ἀλλήλων ἅψεται, τουτέστι τὰ σώματα, τὰ πέρατα δὲ ἀλλήλων οὐχ ἅψεται, ἐκτὸς ἔσται τὰ σώματα τῶν οἰκείων [80] περάτων. εἰ δὲ καὶ τὰ πέρατα τῶν περάτων ἅπτεται καὶ τὰ πεπερατωμένα τῶν πεπερατωμένων, ἐπισυνθήσομεν τὰς ἀπορίας· ᾗ μὲν γὰρ τὰ πέρατα ἀλλήλων ἅπτεται, τὰ πεπερατωμένα οὐχ ἅψεται ἀλλήλων, ᾗ δὲ τὰ πεπερατωμένα, ἐκτὸς ἔσται τὰ σώματα τῶν οἰκείων περάτων, ἐπεὶ πέρας μέν ἐστιν ἡ ἐπιφάνεια, πεπερασμένον δὲ τὸ σῶμα.
[81] τά τε πέρατα σώματά ἐστιν ἢ ἀσώματα. καὶ εἰ μὲν σώματά ἐστι, ψεῦδος ἔσται τοῖς γεωμέτραις τὸ ἀβαθῆ εἶναι τὴν ἐπιφάνειαν. εἰ γὰρ σῶμά ἐστιν, ἐξ ἀνάγκης ἕξει καὶ βάθος· πᾶν γὰρ σῶμα ὀφείλει βάθος ἔχειν. εἶτα οὐδὲ ἅψεταί τινος, ἀλλὰ πᾶν ἔσται ἀπειρομέγεθες. εἰ γὰρ σῶμά ἐστιν, ἐπεὶ πᾶν σῶμα πέρας ἔχει, κἀκεῖνο τὸ πέρας σῶμα [82] ὂν ἕξει πέρας, κἀκεῖνο ὁμοίως, καὶ τοῦτ' εἰς ἄπειρον. εἰ δὲ ἀσώματόν ἐστι τὸ πέρας, ἐπεὶ τὸ ἀσώματον οὐδενὸς δύναται θιγεῖν οὐδὲ θιχθῆναι, τὰ πέρατα οὐχ ἅψεται ἀλλήλων, τούτων δὲ μὴ ἁπτομένων οὐδὲ τὰ πεπερατωμένα ἅψεται ἀλλήλων. κἂν δῶμεν οὖν εἶναι μῆκος ἀπλατὲς τὴν γραμμήν, ὁ περὶ τῆς ἐπιφανείας λόγος ἄπορός ἐστιν. οἷς, κἂν ἡμεῖς μὴ λέγωμεν, ἀπόροις οὖσι συναναιρεῖται καὶ τὸ στερεὸν σῶμα, ἐκ τούτων σύνθετον καθεστώς.
[83] Σκοπῶμεν δὲ καὶ οὕτως· εἰ γὰρ σῶμά ἐστιν, ὥς φασιν οἱ γεωμέτραι, τὸ τὰς τρεῖς ἔχον διαστάσεις, μῆκος πλάτος βάθος, ἤτοι χωριστόν ἐστι τούτων τὸ σῶμα, ὥστε ἄλλο μὲν εἶναι τὸ σῶμα ἄλλο δὲ τὸ μῆκος τοῦ σώματος πλάτος τε καὶ βάθος, ἢ ὁ ἀθροισμὸς τούτων ἐστὶ τὸ σῶμα. ἀλλὰ χωρίζεσθαι μὲν τούτων τὸ σῶμα οὐ πιθανόν ἐστιν· ὅπου γὰρ μήτε μῆκός ἐστι μήτε πλάτος μήτε βάθος, ἐκεῖ οὐχ [84] οἷόν τε νοῆσαι σῶμα· εἰ δὲ ὁ ἀθροισμὸς τούτων νοεῖται σῶμα καὶ ἄλλο παρὰ ταῦτα οὐδὲν ὑπάρχει, ἐξ ἀνάγκης, ἐπεὶ ἕκαστον τούτων ἀσώματόν ἐστι, καὶ ἡ κοινὴ τῶν ἀσωμάτων σύνοδος γενήσεται ἀσώματος. ὥσπερ γὰρ καὶ ἡ σύνθεσις τῶν στιγμῶν καὶ ἡ σύνοδος τῶν γραμμῶν ἀσωμάτων φύσει καθεστηκυιῶν οὐ ποιεῖ στερεὸν καὶ ἀντίτυπον σῶμα, οὕτω καὶ ἡ τοῦ πλάτους καὶ ἡ τοῦ μήκους ἔτι δὲ καὶ ἡ τοῦ βάθους συνέλευσις ἀσώματος οὖσα οὐκ ἂν ποιήσαι στερεὸν καὶ ἀντίτυπον σῶμα. εἰ δὲ μήτε χωρὶς τούτων ἐστὶ τὸ σῶμα μήτε ταῦτ' ἐστιν, ἀνεπινόητον, ὅσον ἐπὶ τοῖς γεωμέτραις, γίνεται τὸ σῶμα.
[85] Πρὸς τούτοις, εἴπερ μήκους καὶ πλάτους καὶ βάθους σύνοδος ποιεῖ σῶμα, ἤτοι πρὶν τῆς συνόδου ἕκαστον τούτων νοεῖται περιέχον ἐν ἑαυτῷ τὴν σωματότητα καὶ τοὺς ὥσπερ σωματικοὺς λόγους, ἢ μετὰ τὴν τούτων συνέλευσιν ἐπισυνέστη τὸ σῶμα. καὶ εἰ μὲν ἕκαστον τούτων πρὶν τῆς συνόδου νοεῖται περιεκτικὸν τῆς σωματότητος, ἔσται τούτων ἕκαστον σῶμα καὶ οὐ μετὰ τὴν σύνοδον αὐτῶν ἐκεῖνο [86] γενήσεται. εἶτ' ἐπεὶ τὸ σῶμα οὐ μῆκος μόνον ἐστίν, οὐδὲ πλάτος κατ' ἰδίαν, οὐδὲ βάθος κατὰ περιγραφήν, ἀλλ' ὁμόσε τὰ τρία, καὶ μῆκος καὶ πλάτος καὶ βάθος, τούτων τε ἕκαστον περιεῖχε τὴν σωματότητα, ἕκαστον αὐτῶν ἕξει τὰ τρία, καὶ τὸ μῆκος οὐ μόνον ἔσται μῆκος ἀλλὰ καὶ πλάτος καὶ βάθος, καὶ τὸ πλάτος οὐ μόνον ἔσται πλάτος ἀλλὰ καὶ μῆκος καὶ βάθος, καὶ τὸ βάθος ὁμοίως ἔσται καὶ πλάτος καὶ μῆκος. ὅπερ τελέως ἐστὶν [87] ἀλογώτατον. εἰ δὲ συνελθόντων τούτων τότε νοεῖται ἡ σύστασις τοῦ σώματος, ἤτοι συνελθόντων αὐτῶν μένει ἡ ἀρχῆθεν φύσις τοῦ ‹μὲν› μήκους ὡς μήκους, τοῦ δὲ πλάτους ὡς πλάτους, τοῦ δὲ βάθους ὡς βάθους, ἢ μεταβέβληκεν [88] εἰς τὴν σωματότητα. καὶ εἰ μὲν μένει ἡ ἀρχῆθεν αὐτῶν φύσις, ἐπεὶ ἀσώματά ἐστιν, οὐδὲ διάφορον ποιήσει σῶμα, ἀλλὰ καὶ μετὰ τὴν σύνοδον ἀσώματα μενεῖ, [89] τὴν φύσιν ὄντα ἀσώματα. εἰ δὲ συνελθόντα μεταβάλλει εἰς τὴν σωματότητα, ἐπεὶ τὸ ἐπιδεχόμενον μεταβολὴν εὐθέως ἐστὶ σῶμα, ἕκαστον τούτων καὶ πρὶν τῆς εἰς ταὐτὸ συνόδου ἔσται σῶμα, οὕτω τε καὶ τὸ ἀσώματον γενήσεται σῶμα. ὥσπερ τε τὸ σῶμα μεταβάλλον ἄλλην μὲν ἀντ' ἄλλης ἔχει ποιότητα, μένει δὲ οὐδὲν ἧσσον σῶμα, οἷον τὸ λευκόν, ἵνα μέλαν γένηται, καὶ τὸ γλυκύ, ἵνα πικρόν, καὶ ὁ οἶνος, ἵνα ὄξος, καὶ ὁ μόλιβδος, ἵνα ψιμμύθιον, καὶ ὁ χαλκός, ἵνα ἰός, ἄλλην μὲν ἀντ' ἄλλης [90] ἀναδέχεται ποιότητα, οὐκ ἐκβαίνει δὲ τοῦ σώματα εἶναι, ἀλλὰ καὶ τὸ μέλαν, ὅτε ἐκ λευκοῦ γέγονε μέλαν, καὶ τὸ πικρόν, ὅτε ἐκ τοῦ γλυκέος γέγονε πικρόν, καὶ τὸ ὄξος, ὅτε ἐκ τοῦ οἴνου γέγονεν ὄξος, μένει σώματα, οὕτω καὶ ταῦτα, εἴπερ μεταβάλλει εἰς σώματα, ἄλλα μὲν ἀντ' ἄλλων ἔσται σώματα, σώματα δὲ οὐδὲν ἧττον οὐ γὰρ ἐκβήσεται τὴν ἰδίαν φύσιν. εἰ οὖν οὔτε πρὶν τῆς συνελεύσεως τούτων ἔστι νοῆσαι τὸ σῶμα οὔτε μετὰ τὴν συνέλευσιν αὐτῶν, παρὰ δὲ ταῦτα οὐκ ἔστιν ἄλλως ἐπινοῆσαι, [91] οὐδέν ἐστι σῶμα. πρὸς δὲ τούτοις, εἰ μηδέν ἐστι μῆκος μηδὲ πλάτος μηδὲ βάθος, οὐδὲ τὸ κατὰ μετουσίαν τούτων νοούμενον ἔσται σῶμα οὐχὶ δέ γε μῆκος ἔστιν οὐδὲ πλάτος οὐδὲ βάθος, ὡς διὰ τῶν ἔμπροσθεν παρεμυθησάμεθα οὐδὲ τὸ κατὰ μετουσίαν ἄρα τούτων νοούμενον ἔσται σῶμα.
[92] Τὰς μὲν οὖν γεωμετρικὰς ἀρχὰς οὕτω συμβέβηκεν ἀνυποστάτους εἶναι τούτων δὲ ἀναιρουμένων οὐδὲ ἄλλο τι γεωμετρικὸν θεώρημα συστῆναι δύναται. ὁποῖον γὰρ ἂν ᾖ τοῦτο, γραμμικῶς ὀφείλει ἀποδείκνυσθαι, ἐδείξαμεν δὲ ἡμεῖς ὅτι οὐδέν ἐστιν ἡ γενικὴ γραμμή, ᾧ ἀκολουθεῖ μηδὲ τῶν ἐπ' εἴδους τινὰ ὑπάρχειν, ἐάν τε εὐθεῖάν τις ταύτην ὑποτίθηται ἐάν τε κεκλασμένην ἐάν τε ἄλλως πως [93] ἔχουσαν. ὅθεν ἤρκει μὲν ἴσως ἐν τούτοις περατοῦν τὴν πρὸς τοὺς γεωμέτρας ἀντίρρησιν ὅμως δὲ ἐπαγωνιζόμενοι πειρασόμεθα διδάσκειν ὅτι κἂν τῶν ἀρχῶν ἀποστῶμεν τῶν τῆς γεωμετρίας, οὐ δύνανται θεώρημα συστῆσαι οἱ [94] γεωμέτραι οὐδ' ἀποδεῖξαι. καίτοι πρὶν τούτων καὶ πρὸς τὰς ὑποβεβηκυίας αὐτῶν ἀρχὰς οὐκ ὀλίγα δυνατόν ἐστι λέγειν, οἷον ὅταν φῶσιν εὐθεῖαν εἶναι γραμμὴν τὴν ἐξ ἴσου τοῖς ἑαυτῆς μέρεσι κειμένην. ἵνα γὰρ τὰ ἄλλα παρῶμεν, ἐκεῖνο μὲν συμφανές ἐστιν ὅτι τῆς γενικῆς γραμμῆς μὴ οὔσης οὐδὲ εὐθεῖα γραμμὴ γένοιτ' ἄν· ὡς γὰρ ζῴου μὴ ὄντος οὐδὲ ἄνθρωπος ἔστι καὶ ἀνθρώπου μὴ ὄντος οὐδὲ Σωκράτης ἔστιν, οὕτω τῆς γενικῆς ἀναιρουμένης γραμμῆς συνανῄρηται καὶ ἡ ἐπίπεδος εὐθεῖα γραμμή.
[95] εἶτα καὶ τὸ ἴσον λέγεται διχῶς, κατὰ ἕνα μὲν τρόπον τὸ ἰσομέγεθες καὶ μήτε ὑπερέχον ἐκείνου τοῦ ᾧ λέγεται ἴσον μήτε ὑπερεχόμενον, καθὸ καὶ τὸ πηχυαῖον ξύλον ἴσον εἶναι λέγομεν τῷ πηχυαίῳ, καθ' ἕτερον δὲ τὸ ἔχον ἐξ ἴσου τὰ μέρη κείμενα, τουτέστι τὸ ὁμαλόν· οὕτω γοῦν [96] τὸ 'ἴσον' ἔδαφος καλοῦμεν ἀντὶ τοῦ 'ὁμαλόν'. διχῶς οὖν τοῦ ἴσου προσαγορευομένου, ὅταν οἱ γεωμέτραι τὴν εὐθεῖαν γραμμὴν ὑπογράφοντες φῶσιν 'εὐθεῖά ἐστι γραμμὴ ἡ ἐξ ἴσου τοῖς ἑαυτῆς μέρεσι κειμένη', ἤτοι τὸ κατὰ τὸ πρῶτον σημαινόμενον λαμβάνουσιν ἴσον ἢ τὸ κατὰ τὸ δεύτερον. ἀλλ' εἰ μὲν τὸ κατὰ τὸ πρῶτον, τελέως εἰσὶν ἀνόητοι· οὐδένα γὰρ ἔχει νοῦν τὸ εὐθεῖαν εἶναι γραμμὴν τὴν ἰσομεγέθη τοῖς ἑαυτῆς μέρεσι καὶ μήτε ὑπερέχουσαν ταῦτα [97] μήτε ὑπερεχομένην ὑπὸ τούτων. εἰ δὲ τὸ κατὰ τὸ δεύτερον, δι' αὐτοῦ τοῦ ζητουμένου διδάξουσιν, εἴγε ὅτι μέν ἐστιν εὐθεῖα παριστᾶσιν ἐκ τοῦ ὁμαλῶς τε καὶ ἐπ' εὐθείας ἔχειν κείμενα τὰ μέρη, τὸ δὲ ἐπ' εὐθείας τι κεῖσθαι [98] οὐκ ἔστι μαθεῖν μὴ ἐπιβαλόντας τῇ εὐθείᾳ. πολλῷ δὲ ἀτοπώτατοι τυγχάνουσι κἀκείνως ὁριζόμενοι 'εὐθεῖά ἐστιν ἥτις ἐξ ἴσου τοῖς ἑαυτῆς πέρασι στρέφεται' ἢ οὕτως 'ἥτις περὶ τὰ ἑαυτῆς πέρατα στρεφομένη πᾶσι τοῖς ἑαυτῆς μέρεσιν ἅπτεται τοῦ ἐπιπέδου.' πρῶτον μὲν γὰρ καὶ αὗται αἱ ἀποδόσεις ὑποπίπτουσι ταῖς πρότερον ἡμῖν εἰρημέναις ἀπορίαις· εἶτα, καθὼς καὶ οἱ Ἐπικούρειοί φασιν, ἡ τοῦ κενοῦ εὐθεῖα εὐθεῖα μέν ἐστιν, οὐ στρέφεται δὲ διὰ τὸ καὶ αὐτὸ τὸ κενὸν [99] μήτε ὅλον μήτε κατὰ μέρος κίνησιν ἐπιδέχεσθαι. ἡ μὲν γὰρ ἐπὶ τέλει ἀπόδοσις καὶ εἰς τὸν δι' ἀλλήλων ἐμπίπτει τρόπον, ὅς ἐστι μοχθηρότατος. τό τε γὰρ ἐπίπεδον διὰ τῆς εὐθείας διδάσκουσι τήν τ' εὐθεῖαν διὰ τοῦ ἐπιπέδου· εὐθεῖαν γὰρ εἶναί φασιν ἥτις εἰς πάντα τὰ μέρη τοῦ ἐπιπέδου ἅπτεται, ἐπίπεδον δὲ τυγχάνειν δι' οὗ ἡ καταγομένη εὐθεῖα πᾶσι τοῖς μέρεσιν ἅπτεται, ὥσθ' ἵνα μὲν τὴν εὐθεῖαν μάθωμεν, πρῶτον τὸ ἐπίπεδον μαθεῖν δεῖ, ἵνα δὲ τοῦτο, ἀναγκαῖον προεγνωκέναι τὴν εὐθεῖαν· ὅπερ ἄτοπον. καθόλου τε ὁ διὰ τοῦ ἐπιπέδου τὴν εὐθεῖαν διδάσκων οὐδὲν ἄλλο ποιεῖ ἢ δι' εὐθείας τὴν εὐθεῖαν παρίστησιν, ἐπείπερ τὸ ἐπίπεδον πολλαί εἰσιν εὐθεῖαι κατ' αὐτούς.
[100] Οἷος δέ ἐστιν ὁ περὶ τῆς εὐθείας λόγος, τοιοῦτος γένοιτ' ἂν καὶ ὁ περὶ τῆς γωνίας. πάλιν γὰρ ὅταν ὑπογράφοντες λέγωσιν ὅτι γωνία ἐστὶ δυοῖν εὐθειῶν μὴ κατάλληλα κειμένων τὸ ὑπὸ τὴν κλίσιν ἐλάχιστον, ἤτοι ἐλάχιστον λέγουσι τὸ ἀμερὲς σῶμα ἢ τὸ κατ' αὐτοὺς σημεῖον [101] καὶ στιγμήν. ἀλλὰ τὸ μὲν ἀμερὲς σῶμα οὐκ ἂν εἴποιεν, ἐπείπερ τοῦτο μὲν οὐδ' εἰς δύο μέρη δύναται διαιρεῖσθαι, ἡ δὲ γωνία κατ' αὐτοὺς ἐπ' ἄπειρον τέμνεται. καὶ ἄλλως, τῆς γωνίας ἣν μὲν μείζονά φασιν εἶναι ἣν δὲ μικροτέραν· τοῦ δὲ ἐλαχίστου σώματος οὐδέν ἐστι βραχύτερον, ἐπεὶ [102] ἐκεῖνο ἀλλ' οὐ τοῦτο γενήσεται ἐλάχιστον. λείπεται ἄρα τὸ κατ' αὐτοὺς σημεῖον εἶναι λέγειν· ὃ καὶ αὐτὸ τῶν ἀπόρων. εἰ γὰρ πάντῃ πανταχῶς ἀδιάστατόν ἐστι τὸ σημεῖον, οὐ διαιρεθήσεται ἡ γωνία. καὶ μὴν οὐδὲ μείζων τις ἔσται ἢ ἐλάσσων γωνία· ἐν γὰρ τοῖς μηδεμίαν ἔχουσι [103] διάστασιν οὐκ ἂν εἴη τις κατὰ μέγεθος διαφορά. ἄλλως τε, εἰ μεταξὺ τῶν εὐθειῶν πίπτει τὸ σημεῖον, διορίζει [104] τὰς εὐθείας, διορίζον δὲ οὐκ ἔσται ἀδιάστατον. νὴ Δία, ἀλλ' εἰώθασί τινες ἐξ αὐτῶν γωνίαν λέγειν τὸ ὑπὸ τὴν κλίσιν πρῶτον διάστημα. πρὸς οὓς
ἁπλοῦς ὁ μῦθος τῆς ἀληθείας ἔφυ. ἤτοι γὰρ ἀμερές ἐστι τὸ διάστημα τοῦτο ἢ μεριστόν. ἀλλ' εἰ μὲν ἀμερές, αἱ προειρημέναι τῶν ἀποριῶν ἀκολουθήσουσιν αὐτοῖς, εἰ δὲ μεριστόν, οὐδὲν ἔσται πρῶτον· τοῦ γὰρ ὑποσταθέντος πρώτου ἕτερον εὑρεθήσεται πρότερον διὰ τὴν ἀρεσκομένην αὐτοῖς εἰς ἄπειρον τῶν ὄντων τομήν.
[105] Ἐῶ λέγειν ὅτι καὶ ἄλλῃ τινὶ τεχνολογίᾳ μάχεται ἡ τοιαύτη τῶν γωνιῶν νόησις. διαιρούμενοι γάρ φασι τῆς γωνίας τὴν μέν τινα εἶναι ὀρθὴν τὴν δὲ ἀμβλεῖαν τὴν δὲ ὀξεῖαν, καὶ τῆς μὲν ἀμβλείας ἄλλην καὶ ἄλλην μᾶλλον [106] ἀμβλυτέραν εἶναι, ὡσαύτως δὲ καὶ τῆς ὀξείας. εἰ δὴ γωνίαν φαμὲν τὸ ἐλάχιστον ὑπὸ τὴν κλίσιν διάστημα, οὐ σωθήσονται αἱ τοιαῦται τῶν γωνιῶν διαφοραί, παρόσον ὑπερέχουσί τε ἀλλήλας καὶ ὑπερέχονται ὑπ' ἀλλήλων. ἢ εἴπερ [οὐ] σῴζονται, ἀναιρεῖται ἡ γωνία, μὴ ἔχουσα ἑστηκὸς μέτρον ᾧ διαγνωσθήσεται.
Περὶ μὲν οὖν εὐθείας γραμμῆς καὶ γωνίας τοιαῦτα ῥητέον [107] πρὸς αὐτούς· ὁριζόμενοι δὲ καὶ τὸν κύκλον φασὶ 'κύκλος ἐστὶ σχῆμα ἐπίπεδον ὑπὸ μιᾶς γραμμῆς περιεχόμενον, πρὸς ἣν αἱ ἀπὸ τοῦ κέντρου προσπίπτουσαι εὐθεῖαι ἴσαι εἰσὶν ἀλλήλαις' ματαιάζοντες· τοῦ γὰρ σημείου καὶ τῆς γραμμῆς καὶ τῆς εὐθείας καὶ ἔτι τοῦ ἐπιπέδου [καὶ ‹τῆς› γωνίας] ἀνῃρημένων οὐδὲ κύκλος ἐπινοηθῆναι δύναται.
[108] Ἀλλ' ἵνα μὴ δοκῶμεν σοφιστικοί τινες εἶναι καὶ τὴν σύμπασαν τῆς ἀντιρρήσεως κατασκευὴν ἐν μόναις καταναλίσκειν ταῖς τῆς γεωμετρίας ἀρχαῖς, φέρε μετελθόντες, ὡς πρότερον ὑπεσχόμεθα, καὶ τὰ μετὰ τὰς ἀρχὰς [109] αὐτῶν θεωρήματα ἐπισκεψώμεθα. ὅταν οὖν λέγωσι τὴν δοθεῖσαν εὐθεῖαν δίχα τεμεῖν, ἤτοι τὴν ἐπὶ τοῦ ἄβακος διδομένην λέγουσι διχοτομεῖν ἢ τὴν ἀπὸ ταύτης κατὰ μετάβασιν νοουμένην. οὔτε δὲ τὴν ἐπὶ τοῦ ἄβακος δοθεῖσαν διχοτομεῖν ἐροῦσιν· αὕτη μὲν γὰρ μῆκος καὶ πλάτος αἰσθητὸν ἔχειν φαίνεται, ἡ δὲ κατ' αὐτοὺς εὐθεῖα γραμμὴ μῆκός ἐστιν ἀπλατές, ὥστε μὴ οὖσα κατ' αὐτοὺς [ἡ] γραμμὴ ἡ ἐπὶ τοῦ ἄβακος οὐδὲ δίχα τμηθήσεται [110] ὡς γραμμή. καὶ μὴν οὐδὲ ἡ ἀπὸ ταύτης κατὰ μετάβασιν νοουμένη. ὑποκείσθω γὰρ λόγου χάριν ἐξ ἐννέα στιγμῶν συνεστῶσα, ἀφ' ἑκατέρου μὲν τῶν ἄκρων τεσσάρων καὶ τεσσάρων ἀριθμουμένων, μιᾶς δὲ τὰς δύο τετράδας μεσολαβούσης στιγμῆς. οὐκοῦν εἰ δίχα τέμνεται ἡ ὅλη γραμμή, ἤτοι μεταξὺ ταύτης τῆς πέμπτης στιγμῆς καὶ τῆς ἑτέρας τετράδος ἐνεχθήσεται τὸ τέμνον, ἢ κατ' αὐτῆς τῆς πέμπτης, [111] ὥστε καὶ αὐτὴν διχάζειν. τὸ μὲν οὖν μεταξὺ τῆς πέμπτης στιγμῆς καὶ τῆς ἑτέρας τετράδος φέρεσθαι τὸ τέμνον τῶν ἀλόγων· γενήσεται γὰρ ἄνισα τὰ τμήματα, καὶ τὸ μὲν ἐκ τεσσάρων στιγμῶν συγκείμενον τὸ δὲ ἐκ πέντε. τὸ δὲ αὐτὴν διχάζειν τὴν στιγμὴν πολλῷ τοῦ προτέρου ἀλογώτερον οὐκέτι γὰρ ἀδιάστατον ἀπολείψουσι τὸ σημεῖον, ὅ γε διχάζεται πρὸς τοῦ τέμνοντος.
[112] ὁ δὲ αὐτὸς λόγος καὶ ἐπειδὰν φῶσι τὸν κύκλον εἰς ἴσα τέμνειν. εἰ γὰρ ὁ κύκλος εἰς ἴσα τέμνεται, πάντως ἐπεὶ μεσαίτατον ἔχει τὸ κέντρον, ὃ καὶ αὐτό ἐστι σημεῖον, ἤτοι τῷδε τῷ τμήματι ἢ τῷδε [τινι] προσμερισθήσεται, ἢ καὶ αὐτὸ δίχα τμηθήσεται. ἀλλὰ τὸ μὲν τῷδε ἢ τῷδε προσμερισθῆναι ἄνισον τὴν διχοτόμησιν ποιεῖ, τὸ δὲ καὶ αὐτὸ διχοτομεῖσθαι μαχόμενόν ἐστι τῷ ἀδιάστατον [113] καὶ ἀμερὲς ὑπάρχειν τὸ σημεῖον. τό τε τέμνον τὴν γραμμὴν ἤτοι σῶμά ἐστιν ἢ ἀσώματον. οὔτε δὲ σῶμα δύναται τυγχάνειν· ἀθιγὲς γάρ τι καὶ ἀσώματον καὶ μὴ ὑποπῖπτον αὑτῷ οὐκ ἂν τέμοι· οὔτε ἀσώματον, τουτὶ γὰρ πάλιν εἰ μὲν στιγμή ἐστι, τῷ ἀμερὴς εἶναι καὶ κατὰ ἀμεροῦς πίπτειν οὐκ ἂν τέμοι, εἰ δὲ γραμμή, πάλιν ἐπεὶ τῷ πέρατι ἑαυτῆς ὀφείλει τέμνειν, τὸ δὲ πέρας αὐτῆς [114] ἐστιν ἀμερές, οὐ τέμνει. ἄλλως τε τὸ τέμνον πέρας ἤτοι μέσον τῶν δυοῖν στιγμῶν πῖπτον διχοτομεῖ τὴν γραμμήν, ἢ κατὰ μέσου φερόμενον τοῦ σημείου. ἀλλὰ τὸ μὲν κατὰ μέσου φέρεσθαι τοῦ σημείου τῶν ἀδυνάτων· δεήσει γάρ, ὡς πρότερον ἐλέγομεν, τὸ καθ' οὗ φέρεται μεριστὸν [115] εἶναι καὶ μηκέτι ἀδιάστατον τυγχάνειν. μεταξὺ δὲ τῶν δυοῖν στιγμῶν φέρεσθαι πολλῷ ἀλογώτερον. πρῶτον μὲν γὰρ οὐδὲν δύναται μεταξὺ συνεχείας μέσον πεσεῖν πέρας· εἶτα κἂν δοθῇ τὸ τοιοῦτον ὡς δυνατόν, ὀφείλει μετακινεῖν τὰ ὧν μεταξὺ τάσσεται, εἴπερ ἐστὶ συνεχῆ· ταῦτα δ' ἐστὶν ἀκίνητα. τοίνυν ἄπορος καὶ ὁ περὶ [116] τοῦ τέμνοντός ἐστι λόγος. οὐ μὴν ἀλλὰ κἂν δῶμεν αὐτοῖς τὰς ἀφαιρέσεις ποιεῖσθαι ἐπὶ τῶν αἰσθητῶν τούτων γραμμῶν, οὐ δυνήσονται οὐδ' οὕτως εὐοδῆσαι. ἢ γὰρ ἀφ' ὅλης τῆς γραμμῆς ἡ ἀφαίρεσις γενήσεται ἢ ἀπὸ μέρους, καὶ τὸ ἀφαιρούμενον ἢ ἴσον ἀπὸ ἴσου ἢ ἄνισον ἀπὸ ἀνίσου [ἢ ἐναλλὰξ] γενήσεται· οὐδὲν δὲ τούτων ἐστὶν εὔπορον, ὡς ἐν τῷ Πρὸς τοὺς γραμματικοὺς καὶ ἐν τῷ Πρὸς τοὺς φυσικοὺς ὑπομνήματι παρεστήσαμεν· οὐκ ἄρα δυνατόν ἐστι τοῖς γεωμέτραις ἀφαιρεῖν τι καὶ τέμνειν ἀπὸ γραμμῆς.