Heron-Stereometrica

ΕΙΣΑΓΩΓΑΙ ΤΩΝ ΣΤΕΡΕΟΜΕΤΡΟΥΜΕΝΩΝ ΗΡΩΝΟΣ.

[1]

[1] Σφαίρας δοθείσης τῆς διαμέτρου ποδῶν ι εὑρεῖν τὸ στερεόν. Ἀρχιμήδης ἐν τοῖς Περὶ σφαίρας καὶ κυλίνδρου δείκνυσιν, ὅτι ὁ κύλινδρος ὁ βάσιν μὲν ἔχων ἴσην τῷ μεγίστῳ τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ κύκλων, ὕψος δὲ ἴσον τῇ διαμέτρῳ τῆς σφαίρας, ἡμιόλιός ἐστι τῆς σφαίρας· ὥστε κατὰ τοῦτον τὸν λόγον δεῖ τὰ ι ἐφ' ἑαυτὰ λαβεῖν, καὶ τῶν γινομένων ἐπὶ τὰ ια [ὧν] τὸ ιδ΄, καὶ ταῦτα ἐπὶ τὸ ὕψος τοῦ κυλίνδρου πολυπλασιασθέντα, τουτέστιν ἐπὶ τὰ ι, καὶ τῶν γινομένων λαβεῖν τὸ Ϛ΄ Ϛ΄ καὶ ἀποφέρεσθαι ἐπὶ τὸ τῆς σφαίρας στερεόν· εἰσὶ δὲ [2] πόδες φκγ καὶ ιζ εἰκοστομόνα. κατὰ τὸν αὐτὸν λόγον δείκνυται, ὡς ια κύβοι ἀπὸ τῆς διαμέτρου τῆς σφαίρας ἴσοι γίνονται κα σφαίραις· ὥστε δεήσει τὰ ι κυβίσαντα· ἔστι δὲ Ϛα· τούτων λαβεῖν τὸ ἑνδεκάκις κα΄· καὶ τοσοῦτον γίνεται τὸ στερεὸν τῆς σφαίρας.

[2]

[1] Σφαῖρα, ἧς ἡ περίμετρος ποδῶν κβ· εὑρεῖν αὐτῆς τὸ στερεόν. ποίει οὕτως· λαβὲ ἀπὸ τῆς περιμέτρου τὴν διάμετρον ἀπὸ τοῦ ὑποκειμένου ὑποδείγματος τῶν κύκλων· καὶ ἔσται ἡ διάμετρος ποδῶν ζ. ταῦτα ἐφ' ἑαυτά· γίνονται μθ. ταῦτα πάλιν ἐπὶ τὰ ζ· γίνονται τμγ· καὶ ταῦτα δεκάκις καὶ ἅπαξ· γίνονται Ϛγψογ. ταῦτα ἀνάλυσον παρὰ τὰ κα· γίνονται ροθ ΄. τοσούτων ἔσται [2] ποδῶν τὸ στερεὸν τῆς σφαίρας. τὴν δὲ ἐπιφάνειαν εὑρήσομεν οὕτως· ἀεὶ δὶς τὴν διάμετρον· γίνονται ιδ. ταῦτα δεκάκις καὶ ἅπαξ· γίνονται ρνδ. τοσούτων ἔσται ποδῶν ἡ ἐπιφάνεια τῆς σφαίρας.

[3]

[1] Ἄλλως. Σφαῖρα, ἧς ἡ διάμετρος, τουτέστιν ὁ ἄξων, ποδῶν ζ· εὑρεῖν αὐτῆς τὸ στερεόν. ποίει οὕτως· τὰ ζ τῆς διαμέτρου κύβισον, τουτέστιν αὐτὰ ἐφ' ἑαυτά· γίνονται μθ· καὶ ταῦτα πάλιν ἑπτάκις· γίνονται τμγ. ταῦτα ἀεὶ δεκάκις καὶ ἅπαξ· γίνονται Ϛγψογ· ὧν τὸ κα΄· γίνονται ροθ ΄. τοσούτων ἔσται ποδῶν τὸ στερεὸν τῆς σφαίρας.

[3] Σφαῖραν μετρήσομεν, ἧς ἡ διάμετρος ποδῶν ζ, ἡ δὲ περίμετρος ποδῶν κβ· εὑρεῖν αὐτῆς τὸ στερεόν. ποιῶ οὕτως· τὴν διάμετρον ἐφ' ἑαυτήν· γίνονται μθ. ταῦτα ποιῶ πάλιν ἐπὶ τὴν διάμετρον τῶν ζ· γίνονται πόδες τμγ. ταῦτα πολυπλασιάζω ἑνδεκάκις· γίνονται πόδες Ϛγψογ. ταῦτα μερίζω παρὰ τὸν κα· γίνονται ροθ . τοσούτου ἐστὶ τὸ στερεὸν τῆς σφαίρας.

τὴν δὲ ἐπιφάνειαν τῆς αὐτῆς σφαίρας εὑρήσομεν οὕτως· πάντοτε τὴν διάμετρον τῶν ζ ἐπὶ τὴν περίμετρον τῶν κβ· γίνονται πόδες ρνδ. τοσούτου ἔσται ἡ ἐπιφάνεια τῆς σφαίρας, ποδῶν ρνδ.

[4] Σφαίρας ἡ διάμετρος ποδῶν ι· εὑρεῖν αὐτῆς τὴν ἐπιφάνειαν. ποιῶ οὕτως· τὴν διάμετρον ἐφ' ἑαυτήν· γίνονται ρ. ταῦτα καθολικῶς ποίησον ἑνδεκάκις· γίνονται Ϛαρ. τούτων λαβὲ τὸ ιδ΄· γίνονται οη Ϛ΄ ιδ΄. ταῦτα καθολικῶς ποίησον [δακτύλους ἤγουν] τετράκις [τετράκις εἶπεν διὰ τὸ τὸν παλαιστὴν ἔχειν δ δακτύλους]· γίνονται τιδ δ΄ κη΄. τοσούτου γίνεται ἡ ἐπιφάνεια [2] τῆς σφαίρας. ἐποίησα δὲ τὰ γενόμενα τετράκις παρὰ ταύτην τὴν αἰτίαν· δείκνυσι γὰρ Ἀρχιμήδης, ὅτι ἡ ἐπιφάνεια τῆς σφαίρας τετραπλάσιον ἑνὸς μεγίστου κύκλου.

[Κύκλου ἐπιπέδου διδάσκει τὸ ἐμβαδὸν τετραπλούμενον ποιεῖν σφαίρας ἐπιφάνειαν. μέγιστος δὲ κύκλος ἐστὶν ὁ αὐτὸ τὸ κέντρον ἔχων τῆς σφαίρας.]

[5]

[1] Ἄλλως μετρῆσαι τὴν ἐπιφάνειαν. ποίησον οὕτως· τὴν διάμετρον ἐφ' ἑαυτήν· γίνονται ρ. ταῦτα ποίησον ἐπὶ τὰ μδ· γίνονται Ϛδυ. τούτων λαβὲ τὸ ιδ΄· γίνονται τιδ δ΄ κη΄. τοσούτων ποδῶν [ἡ περιφέρεια εἴτουν] ἡ ἐπιφάνεια τῆς σφαίρας.

[6] Ἄλλως. ποίησον τὴν διάμετρον δίς· γίνονται κ. ταῦτα ἐφ' ἑαυτά· γίνονται υ. ταῦτα ἑνδεκάκις· γίνονται Ϛδυ. τούτων τὸ ιδ΄· γίνονται τιδ δ΄ κη΄. τοσούτων γίνεται ἡ ἐπιφάνεια τῆς σφαίρας.

[7] Πάλιν σφαίρας τὸ στερεὸν εὑρήσομεν οὕτως· ἡ διάμετρος ποδῶν ι. κύβισον τὰ ι· ἐφ' ἑαυτὰ γίνονται ρ· ταῦτα πάλιν ἐπὶ ι· γίνονται Ϛα. ταῦτα ποίησον ἑνδεκάκις καὶ τούτων λαβὲ τὸ κα΄· καὶ γίνεται τὸ στερεὸν φκγ καὶ ιζ κα΄. ἐποιήσαμεν δὲ τὰ γενόμενα ἑνδεκάκις καὶ [ὧν] τὸ κα΄ ἐλάβομεν διὰ ταύτην τὴν αἰτίαν· δείκνυσιν Ἀρχιμήδης, ὅτι ια κύβοι ἴσοι γίνονται κα σφαίραις.

[8] Ἄλλως. σφαίρας ἡ διάμετρος ποδῶν δ. ποίει οὕτως· μέτρει κύκλον· γίνεται ἄρα ἀπὸ τῆς διαμέτρου τὸ ἐμβαδὸν ποδῶν ιβ Ϛ΄ ιδ΄· γίνεται καὶ ἡ βάσις τοῦ περιλαμβάνοντος κυλίνδρου τὴν σφαῖραν τὸ αὐτό. πολυπλασιάζω οὖν τὰ ιβ Ϛ΄ ιδ΄ ἐπὶ τὸ ὕψος τοῦ κυλίνδρου τοῦ περιλαμβάνοντος τὴν σφαῖραν, τουτέστιν ἐπὶ τὰ δ· γίνονται ν δ΄ κη΄· τοσούτου γίνεται ὁ αὐτὸς κύλινδρος [ἡμιόλιος γάρ ἐστι τῆς σφαίρας]. καὶ ἐλάβομεν [τὸ ΄ μέρος] τὰ β μέρη τῶν ν δ΄ κη΄· καὶ τοσούτου γίνεται τὸ στερεὸν τῆς σφαίρας· ἔστι δὲ λγ Ϛ΄ μβ΄.

[9] Ἄξων σφαίρας τί ἐστιν; εὐθεῖα διὰ κέντρου ἠγμένη καὶ περατουμένη ἐφ' ἑκάτερα τὰ μέρη ὑπὸ τῆς σφαίρας, ἀμετακίνητος, περὶ ἣν ἡ σφαῖρα κινεῖται καὶ στρέφεται.

[10] Ἐὰν σφαῖρα τμηθῇ, ἡ τομὴ κύκλος γίνεται. τῶν δὲ ἐν τῇ σφαίρᾳ κύκλων οἱ μὲν διὰ μέσου τὴν σφαῖραν τέμνουσιν, οἱ δὲ οὔ· οἱ μὲν οὖν διὰ μέσου τέμνοντες καλοῦνται μέγιστοι καὶ πάντες ἀλλήλοις ἴσοι εἰσίν, οἱ δὲ οὐ διὰ μέσου οὐ πάντες πᾶσιν ἴσοι, ἀλλά τινές τισι. καὶ ἔτι τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ κύκλων οἳ μέν εἰσιν ὀρθοὶ πρὸς τὸν ἄξονα, οὗτοι ἑαυτοῖς παράλληλοί εἰσιν· παράλληλοι δέ εἰσιν οἱ τὸ αὐτὸ ἀεὶ διάστημα μεταξὺ ἔχοντες ἑαυτῶν καὶ μήτε μεῖζον μήτε ἔλαττον.

[11] Ὁρίζων κύκλος ἐστίν, ὃς καὶ αὐτὸς διὰ μέσου τέμνει τὴν σφαῖραν εἴς τε τὸ ἀφανὲς καὶ τὸ φαινόμενον, ἀφ' οὗ καὶ ὁρίζων ἐκλήθη. διαφοραὶ δὲ τῶν ὁριζόντων πλείους· ὁ μὲν γὰρ ἔστι διὰ τῶν πόλων τῆς σφαίρας, ὁ δὲ ὀρθὸς πρὸς τὸν ἄξονα· καὶ ὅσαι εἰσὶ διαφοραὶ τῶν ὁριζόντων, τοσαῦται διαφοροὶ καὶ θέσεις τῆς σφαίρας τυγχάνουσιν.

[12] Ὀξὺς κῶνος, οὗ ἡ μὲν διάμετρος τῆς βάσεως ποδῶν ζ, ἡ δὲ ἀπὸ τῆς κορυφῆς κάθετος ποδῶν λ· εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ στερεόν. ποίει οὕτως· ὥσπερ ἐπὶ τῶν κύκλων ἀπὸ τῶν ζ τῆς διαμέτρου ἔσται τὸ ἐμβαδὸν ποδῶν λη Ϛ΄· καὶ λαβὲ ἀπὸ τῶν λ τοῦ ὕψους, τουτέστι τῆς καθέτου, τὸ γ΄· γίνονται ι. ταῦτα ἐπὶ τὰ λη Ϛ΄· γίνονται τπε. τοσούτων ἔσται ποδῶν τὸ στερεὸν τοῦ κώνου.

[12] Κῶνον μετρήσομεν, οὗ ἡ διάμετρος τῆς βάσεως ποδῶν ζ, ἡ δὲ ἀπὸ τῆς κορυφῆς κάθετος ποδῶν λ· εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδόν. ποιῶ οὕτως· ὥσπερ καὶ ἐπὶ τῶν κύκλων ἀπὸ τῶν ζ ποδῶν τῆς διαμέτρου [καὶ] ἔστω τὸ ἐμβαδὸν ποδῶν λη Ϛ΄· καὶ λαμβάνω ἀπὸ τῶν λ ποδῶν τοῦ ὕψους ἢ τῆς καθέτου τὸ γ΄· γίνονται ι. ταῦτα ποιῶ ἐπὶ τὰ λη Ϛ΄· γίνονται πόδες τπε. τοσούτων ποδῶν ἔσται τὸ στερεὸν τοῦ κώνου.

[13] Ἄλλως ὁ αὐτὸς κῶνος ὀξυγώνιος. μετρήσωμεν οὕτως· ἔστω ἡ διάμετρος τοῦ περὶ τὴν βάσιν κύκλου ποδῶν Ϛ, ὁ δὲ ἄξων ποδῶν ιβ, ὅ ἐστιν ὕψος ἢ μῆκος· εὑρεῖν τὸ στερεόν. ποιῶ οὕτως· ἔλαβον τοῦ κύκλου τὴν διάμετρον. τὸ ἐμβαδὸν ποιήσας· ἐφ' ἑαυτὰ τὰ Ϛ καὶ τὰ γινόμενα ἑνδεκάκις καὶ τὸ ιδ΄, καὶ γίνονται κη δ΄ κη΄· ταῦτα ἐπολυπλασίασα ἐπὶ τὰ ιβ· γίνονται τλθ γ ζ΄. τοσοῦτον γίνεται τὸ στερεὸν τοῦ κυλίνδρου.

[2] ἐπεὶ οὖν οὐχ ὑπόκειταί μοι κυλίνδρου μέτρησιν εὑρεῖν ἐπὶ τοῦ προκειμένου, ἀλλὰ κώνου, ἔλαβον τὸ γ΄ τῶν τλθ γ ζ΄· γίνονται ριγ ζ΄. τοσούτου γίνεται τὸ στερεὸν τοῦ κώνου· δέδεικται γὰρ ἐν τῇ στοιχειώσει Εὐκλείδου, ὅτι πᾶς κῶνος τρίτον μέρος ἐστὶ κυλίνδρου τοῦ τὴν αὐτὴν βάσιν ἔχοντος καὶ ὕψος ἴσον.

[14]

[1] Ἔστι κῶνον μετρῆσαι ἀπό τε κλιμάτων καὶ τῆς περὶ τὸν κύκλον διαμέτρου οὕτως· τὰ κλίματα ἀνὰ ποδῶν κ, τῆς δὲ βάσεως ἡ διάμετρος ποδῶν κδ· εὑρεῖν τὴν κάθετον καὶ τὸ στερεόν. ποιῶ οὕτως· ἔλαβον τῆς διαμέτρου τὸ Ϛ΄· γίνονται ιβ. ταῦτα ἐφ' ἑαυτά· γίνονται ρμδ. καὶ τὰ ἀπὸ τοῦ κλίματος κ ἐφ' ἑαυτά· γίνονται υ. ἀπὸ τούτων ἆρον τὰ ρμδ· λοιπὰ σνϚ. τούτων λαβὲ πλευρὰν τετραγωνικήν· γίνονται ιϚ· τοσούτου γίνεται [2] ἡ κάθετος. ἵνα δὲ καὶ τὸ στερεὸν εὕρω, ἐμέτρησα ἀπὸ τῶν κδ τὸν κύκλον· γίνεται τὸ ἐμβαδὸν υνβ Ϛ΄ ιδ΄. τούτων λαβὲ τὸ γ΄· γίνεται τοῦ κώνου τὸ στερεὸν μετὰ τοῦ πολυπλασιασμοῦ τῆς καθέτου.

[15]

[1] Κῶνος κόλουρος ὁ καὶ ἀτέλεστος, οὗ ἡ μὲν μείζων διάμετρος ποδῶν ι, ἡ δὲ ἥττων ποδῶν δ, τὸ δὲ μῆκος ποδῶν λ. εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ στερεόν. ποίει οὕτως· σύνθες τὰς δύο διαμέτρους τὰ ι καὶ δ· γίνονται ιδ· ὧν τὸ Ϛ΄· γίνονται ζ, ὅ ἐστιν ἡ διάμετρος, ὡς εἶναι τὸ ἐμβαδὸν ἀκολούθως τοῖς προγεγραμμένοις κύκλοις ποδῶν λη Ϛ΄. ταῦτα ἐπὶ τὰ λ τοῦ μήκους· γίνονται Ϛαρνε. τοσούτων ἔσται ποδῶν τὸ στερεὸν τοῦ κώνου.

[15] Ἔστω κῶνος κόλουρος, οὗ ἡ διάμετρος ἡ μείζων ποδῶν ι, ἡ δὲ ἥττων ποδῶν δ, καὶ τὸ μῆκος ποδῶν λ· εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ στερεόν. ποίει οὕτως· σύνθες τὰς β διαμέτρους τὰ ι καὶ τὰ δ· γίνονται ιδ· ὧν Ϛ΄ γίνεται ζ, ὅ ἐστι διάμετρος. τοσούτου τὸ ἐμβαδὸν γίνεται, ποδῶν λη Ϛ΄. ταῦτα ποιῶ ἐπὶ τοὺς λ τοῦ μήκους· γίνονται πόδες Ϛαρνε. τοσούτων ποδῶν ἐστι τὸ στερεὸν τοῦ κώνου, ποδῶν Ϛαρνε.

[16] Ἄλλως. κῶνον δὲ κόλουρον μετρῆσαι καὶ εὑρεῖν τὸ στερεὸν ἀπό τε τῶν διαμέτρων καὶ καθέτου. ἔστω ἡ διάμετρος τοῦ μείζονος κύκλου ποδῶν Ϛ, τοῦ δὲ ἐλάττονος ποδῶν β, ἡ δὲ κάθετος ποδῶν δ. ποιῶ οὕτως· τὰ Ϛ ἐφ' ἑαυτά· γίνονται λϚ· καὶ τὰ β ἐφ' ἑαυτά· γίνονται δ· ὁμοῦ μ. καὶ τὰ Ϛ ἐπολυπλασίασα ἐπὶ τὰ β· γίνονται ιβ· καὶ ταῦτα προσέθηκα τοῖς μ· γίνονται νβ. ταῦτα τετράκις, τουτέστιν ἐπὶ τὴν κάθετον· γίνονται ση. ποίησον ἑνδεκάκις· γίνονται Ϛβσπη. τούτων τὸ μβ΄· γίνονται νδ καὶ κ μβ΄ μβ΄, τουτέστι νδ γ΄ ζ΄. τοσούτου ἐστὶν ἄρα τὸ στερεόν.

[17] Ἔτι μετρήσωμεν κῶνον κόλουρον ἀπό τε διαμέτρου καὶ ἀπὸ τῶν κλιμάτων, οὗ ἐστι τῆς κορυφῆς ἡ διάμετρος ποδῶν δ, τὰ δὲ κλίματα ἀνὰ ιε, ἡ δὲ τῆς βάσεως διάμετρος ποδῶν κη· εὑρεῖν τὸ στερεόν. ποιῶ οὕτως· ὑφεῖλον κορυφὴν ἀπὸ τῆς βάσεως· λοιπὰ κδ. τούτων τὸ Ϛ΄· γίνονται ιβ. ταῦτα ἐφ' ἑαυτά· γίνονται ρμδ. καὶ τὰ ἀπὸ τοῦ κλίματος ἐφ' ἑαυτά· γίνονται σκε. ἀπὸ τούτων ἄφελε τὰ ρμδ· λοιπὰ πα· ὧν πλευρὰ τετραγωνικὴ γίνεται θ. τοσούτου γίνεται ἡ κάθετος.

[2] τὸ δὲ στερεὸν εὑρήσομεν οὕτως· συνέθηκα κορυφὴν καὶ βάσιν· γίνονται λβ. τούτων τὸ Ϛ΄· γίνονται ιϚ. μετρῶ νῦν κύκλον, οὗ ἡ [μὲν] διάμετρος ποδῶν ιϚ· ποιῶ τὴν διάμετρον ἐφ' ἑαυτὴν καὶ τὰ γενόμενα ἑνδεκάκις· ὧν τὸ ιδ΄· καὶ μετὰ τὸ λαβεῖν με τὸ ἐμβαδὸν [καὶ] πάλιν ἀφεῖλον κορυφὴν ἀπὸ τῆς βάσεως· λοιπὰ κδ. τούτων τὸ Ϛ΄· γίνονται ιβ. ἀπὸ τούτων πάλιν ἐμέτρησα τὸν ἐλάχιστον κύκλον, καὶ ὅταν εὕρω τὸ ἐμβαδόν, τῶν γινομένων λαμβάνω τὸ γ΄ [γίνονται λϚ]· ταῦτα προσθεὶς τῷ τοῦ μείζονος κύκλου ἐμβαδῷ τὰ γενόμενα ἐπολυπλασίασα ἐπὶ τὴν κάθετον· καὶ τοσοῦτον γίνεται τὸ στερεὸν τοῦ κώνου.

[18]

[1] Ὀβελίσκος ἔχων εἰς τὴν βάσιν κύκλον, οὗ ἡ μὲν διάμετρος ποδῶν μβ, αἱ δὲ πλευραὶ αὐτοῦ ἐγκεκλιμέναι οὖσαι ἀνὰ ποδῶν οε· εὑρεῖν αὐτοῦ τὴν κάθετον. ποίει οὕτως· λαβὲ τῆς βάσεως τὸ ἥμισυ· γίνονται κα. ταῦτα ἐφ' ἑαυτά· γίνονται υμα· καὶ μίαν πλευρὰν τοῦ κώνου γενομένην ἐφ' ἑαυτήν· γίνονται Ϛεχκε· ἐξ ὧν ὕφειλε τὰ μα πρὸς τοῖς υ· λοιπὰ Ϛερπδ· ὧν ἀεὶ πλευρὰ τετράγωνος· γίνονται οβ. τοσούτων ἔσται [2] ποδῶν ἡ κάθετος. ἐὰν δὲ θέλῃς τοῦ αὐτοῦ ὀβελίσκου τὸ στερεὸν εὑρεῖν, ποίει οὕτως· λαβὲ τῆς βάσεως τὸ ἐμβαδὸν κατὰ τὸ προκείμενον ὑπόδειγμα τῶν κύκλων καὶ τὰ γενόμενα πολυπλασίασον ἐπὶ τὸ γ΄ τῆς καθέτου. τοσούτων ἔσται ποδῶν τὸ στερεὸν τοῦ ὀβελίσκου.

[18] Ἔστω κῶνος ὁ λεγόμενος ὀβελίσκος καὶ ἐχέτω τὴν βάσιν κύκλον, οὗ ἡ διάμετρος ποδῶν μβ, τοῦ δὲ κώνου αἱ πλευραὶ αἱ ἐγκεκλιμέναι ἔστωσαν ἀπὸ ποδῶν οε· τούτου τὴν κάθετον εὑρήσομεν οὕτως· λαμβάνω τοὺς οε πόδας τῆς πλευρᾶς ἐφ' ἑαυτούς· γίνονται Ϛεχκε· καὶ τῆς βάσεως τὸ Ϛ΄· γίνονται κα. ταῦτα ποίει ἐφ' ἑαυτά· γίνονται υμα, ἅτινα ἄφελε ἀπὸ τῶν Ϛεχκε· λοιπὸν μένει Ϛερπδ· ὧν πλευρὰ τετραγωνικὴ γίνεται ποδῶν οβ. τοσούτου ἔσται ἡ κάθετος τοῦ κώνου, ποδῶν [3] οβ. εὑρεῖν καὶ τὸ ἐμβαδὸν ποδῶν ϚατπϚ. ταῦτα ἐπὶ τὸ γ΄ τῆς καθέτου, ἐπὶ τὰ κδ· γίνονται πόδες γϚγσξδ. τοσούτων ποδῶν ἔσται τὸ [4] στερεὸν τοῦ κώνου. εὑρεῖν αὐτοῦ καὶ τὴν ἐπιφάνειαν. τῆς βάσεως τὸ Ϛ΄· γίνονται κα. ταῦτα ἐπὶ τὴν κάθετον, ἐπὶ τὰ οβ· γίνονται Ϛαφιβ. ταῦτα ἐπὶ τὰ κβ· γίνονται γϚγσξδ. τούτων τὸ ζ΄· γίνονται Ϛδψνβ. τοσούτων ἡ ἐπιφάνεια τοῦ κώνου.

[19] Κύλινδρος, οὗ τὸ μὲν μῆκος ποδῶν ν, ἡ δὲ περιφέρεια ποδῶν κβ· εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ στερεόν. ποίει οὕτως· λαβὲ ἀπὸ τῆς περιφερείας ὡς καὶ ἐπὶ τῶν κύκλων τὸ ἐμβαδόν· γίνονται λη Ϛ΄. ταῦτα ἐπὶ τὰ ν· γίνονται ϚαϠκε. τοσούτων ἔσται ποδῶν τὸ στερεὸν τοῦ κυλίνδρου.

[19] Κύλινδρον μετρήσομεν, οὗ τὸ μῆκος ποδῶν ν, ἡ δὲ διάμετρος ποδῶν ζ, καὶ ἡ περιφέρεια ποδῶν κβ. εὕρομεν ἀπὸ τῆς περιφερείας ὡς καὶ ἐπὶ τῶν κύκλων, καὶ ἔστω τὸ ἐμβαδὸν ποδῶν λη Ϛ΄. ταῦτα ποιῶ ἐπὶ τὸ μῆκος τῶν ν· γίνονται πόδες ϚαϠκε. τοσούτων ποδῶν ἔσται τὸ στερεὸν τοῦ κυλίνδρου.

[20] Κύλινδρον μέτρει οὕτως, οὗ ἡ διάμετρος τοῦ κύκλου ποδῶν Ϛ, ὁ δὲ ἄξων, τουτέστι τὸ μῆκος, ποδῶν ιβ· εὑρεῖν τὸ στερεόν. ποιῶ οὕτως· ἐμέτρησα κύκλον, οὗ ἡ διάμετρος ποδῶν Ϛ, καθὼς πρόκειται· γίνεται τὸ ἐμβαδὸν αὐτοῦ ποδῶν κη δ΄ κη΄. ταῦτα ἐπολυπλασίασα ἐπὶ τὸν ἄξονα· γίνονται πόδες τλθ καὶ γ ζ΄ ζ΄. τοσούτων [5] γίνεται τὸ στερεὸν τοῦ κυλίνδρου. τὴν δὲ ἐπιφάνειαν αὐτοῦ εὑρήσεις οὕτως· ποίησον τὴν διάμετρον τρὶς καὶ ζ΄, ἐπειδὴ τῆς διαμέτρου ἡ περίμετρος τριπλάσιός ἐστιν καὶ ἐφέβδομος, καὶ προσάγαγε τὰ γενόμενα ἐπὶ τὸν ἄξονα, τουτέστιν ἐπὶ τὰ ιβ τοῦ ὕψους· καὶ τοσούτου ἐστὶν ἡ ἐπιφάνεια τοῦ κυλίνδρου.

[21]

[1] Κίων, οὗ τὸ μῆκος ποδῶν κα· λαμβάνω τούτου τὸ ζ΄ καὶ τὸ η΄, ἐπειδὴ ἡ ἕδρα τοῦ κίονος κατὰ διάμετρόν ἐστιν τὸ ζ΄ καὶ ἡ ἔφεδρος τὸ η΄. μίξας τὰς δύο διαμέτρους κράτει τὸ Ϛ΄· γίνονται β Ϛ΄ δ΄ ιϚ΄. ἀπὸ τούτων ποίει κύκλου τὸ ἐμβαδόν· γίνονται πόδες ζ ιε΄ γ΄. ταῦτα ἐπὶ τὸ μῆκος· γίνονται πόδες ρμζ Ϛ΄. τοσούτων [2] ἔσται ποδῶν τὸ στερεὸν τοῦ κίονος. εἰ δὲ θέλεις τὴν ἐπιφάνειαν μετρῆσαι, λαβὲ ἕδρας καὶ ἐφέδρας τοὺς κύκλους καὶ μίξας ἆρον τὸ Ϛ΄· ἐπὶ ταῦτα τὸ μῆκος· καὶ τοσούτου ἡ ἐπιφάνεια ἔσται τοῦ κίονος.

[3] Ἡ τοῦ κίονος ἔκθεσις τοῦ αὐτοῦ Πατρικίου διόρθωσις· οἱ γὰρ ἀρχαῖοι τὰς δύο διαμέτρους οὐκ ἔμιξαν.

[22]

[1] Κύβον μετρῆσαι, τουτέστι σχῆμα στερεὸν περιεχόμενον ὑπὸ τριῶν διαστάσεων, μήκους, πλάτους, ὕψους ἀκολούθως ἢ βάθους· καὶ πῶς; ἐπὶ μὲν τῶν σχημάτων ὕψος, ἐπὶ δὲ τῶν ὀρυγμάτων βάθος. ἔστω οὖν κύβος μῆκος πηχῶν η, πλάτος πηχῶν η καὶ ὕψος πηχῶν η· εὑρεῖν, πόσων τὸ στερεὸν πηχῶν γίνεται ὁ κύβος. ποιῶ τοὺς η τοῦ μήκους ἐπὶ τοὺς ὀκτὼ τοῦ πλάτους· γίνονται ξδ· τούτους ἐπὶ τοὺς η τοῦ ὕψους· γίνονται φιβ. ἔσται ὁ κύβος πηχῶν φιβ.

[23] Κύβος τετράγωνος ἰσόπλευρος, οὗ ἡ μὲν βάσις ποδῶν ι, τὸ μῆκος ποδῶν ι, τὸ ὕψος ποδῶν ι· εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ στερεόν. ποίει οὕτως· τὰ ι τῆς βάσεως ἑξηκοντάκις· γίνονται χ· καὶ ταῦτα ἐπὶ τὰ ι τοῦ μήκους· γίνονται ϚϚ· καὶ ταῦτα ἐπὶ τὰ ι τοῦ ὕψους· γίνονται Ϛ· ὧν [τούτων] τὸ ξ΄· γίνονται Ϛα. τοσούτων ἔσται ποδῶν τὸ στερεὸν τοῦ κύβου.

[24] Κύβος παραλληλόγραμμος, οὗ ἡ παράλληλος ποδῶν κ, ἡ δὲ ἐπιζευγνύουσα ποδῶν ι, τὸ δὲ ὕψος ποδῶν λ· εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ στερεόν. ποίει οὕτως· τὰ κ τῆς παραλλήλου ἐπὶ τὰ ι· γίνονται σ, ὅπερ ἐστὶν ἐμβαδόν. ταῦτα ἐπὶ τὰ λ τοῦ ὕψους· γίνονται ϚϚ. τοσούτου ἔσται τὸ στερεὸν τοῦ κύβου.

[25] Σφηνίσκος, οὗ τὸ μὲν μῆκος ποδῶν κε, τὸ δὲ πλάτος τὸ μεῖζον ποδῶν ζ, τὸ δὲ ἧττον ποδῶν ε, τὸ δὲ πάχος τὸ μεῖζον ποδῶν Ϛ, τὸ δὲ ἧττον ποδῶν δ· εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ στερεόν. ποίει οὕτως· σύνθες τὰ β πλάτη, τουτέστι τὰ ζ καὶ τὰ ε· γίνονται ιβ· ὧν τὸ Ϛ΄· γίνονται Ϛ. ὁμοίως καὶ τὰ δύο πάχη, τουτέστι τὰ Ϛ καὶ τὰ δ· γίνονται ι· ὧν καὶ αὐτῶν τὸ Ϛ΄· γίνονται ε. ταῦτα ἐπὶ τὰ Ϛ· γίνονται λ· καὶ ταῦτα πάλιν ἐπὶ τὰ κε· γίνονται ψν. τοσούτων ἔσται ποδῶν τὸ στερεὸν τοῦ σφηνίσκου.

[25] Σφῆνα μετρῆσαι, οὗ τὸ μῆκος ποδῶν κε, τὸ δὲ πλάτος τὸ μεῖζον ποδῶν ζ, τὸ δὲ μικρότερον ποδῶν ε, πάχος τὸ μεῖζον ποδῶν Ϛ, τὸ δὲ ἧττον ποδῶν δ· εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδόν. ποιῶ οὕτως· σύνθες τὰ β πλάτη τὰ ζ καὶ τὰ ε· γίνονται ιβ· ὧν τὸ Ϛ΄· γίνονται Ϛ. ὁμοίως καὶ τὰ β πάχη τὰ Ϛ καὶ τὰ δ· γίνονται ι· ὧν Ϛ΄ γίνονται ε. ταῦτα ἐπὶ τὰ Ϛ· γίνονται πόδες λ· καὶ ταῦτα ἐπὶ τὰ κε τοῦ μήκους· γίνονται πόδες ψν. τοσούτων ποδῶν ἐστι τὸ στερεὸν τοῦ σφηνός, ποδῶν ψν.

[26] Ἄλλως. ἔστω σφηνίσκος, ὃς καλεῖται ὑπό τινων ὄνυξ, ἔχων τὸ μὲν ἀπὸ κεφαλῆς δακτύλων ἕξ, τὸ δὲ ἄλλο δακτύλων ι, τὸ πάχος δακτύλων η· εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ στερεόν. ποιῶ οὕτως· συντιθῶ τὰ β πλάτη· γίνονται ιϚ· ἐπὶ τὸ πάχος· γίνονται ρκη. ἐπὶ τὸ μῆκος ταῦτα τῶν η· γίνονται Ϛακδ. τούτων τὸ δ΄· γίνονται σνϚ· τοσούτων χυδαίων δακτύλων. ταῦτα μερίζω ὡς τὸ τετράγωνον.

[27] Ἄλλως. ἔστω ὄνυξ ἔχων τὸ μὲν μῆκος δακτύλων ι, πλάτος δακτύλων Ϛ, πάχος δακτύλων ε· εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ στερεόν. ποιῶ οὕτως· πολυπλασιάζω τὸ πλάτος καὶ τὸ πάχος· γίνονται λ. ταῦτα ἐπὶ τὸ μῆκος· γίνονται τ. τούτων λαμβάνω τὸ Ϛ΄· γίνονται ρν. ταῦτα μερίζω ὡς τὸ τετράγωνον· γίνονται στερεοὶ δάκτυλοι ιβ δ΄.

[28] Μείουρον τὸ προεσκαριφευμένον, οὗ τὸ μὲν μῆκος ποδῶν λ, τὸ δὲ πλάτος ποδῶν Ϛ, τὸ δὲ πάχος ποδῶν δ· εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ στερεόν. ποίει οὕτως· τὰ Ϛ ἐπὶ τὰ δ· γίνονται κδ· ὧν τὸ Ϛ΄· γίνονται ιβ. ταῦτα ἐπὶ τὰ λ· γίνονται τξ. τοσούτων ἔσται ποδῶν τὸ στερεόν.

[28] Σφῆνα μείουρον μετρήσομεν, οὗ τὸ μῆκος ποδῶν λ καὶ τὸ πλάτος ποδῶν Ϛ καὶ τὸ πάχος ποδῶν δ· εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδόν. ποιῶ οὕτως· τὰ Ϛ ἐπὶ τὰ δ· γίνονται πόδες κδ· ὧν τὸ Ϛ΄· γίνονται ιβ. ταῦτα ἐπὶ τὰ λ· γίνονται πόδες τξ. τοσούτων ποδῶν ἔσται τὸ στερεὸν τοῦ σφηνός, τξ.

[29] Τὸ δὲ πλινθίον συνέστηκεν ἐκ τῶνδε τῶν ἀριθμῶν Ϛ, η, θ, ιβ, ὁ μὲν η πρὸς Ϛ ἐν ἐπιτρίτῳ λόγῳ, καθ' ἣν ἡ διὰ τεσσάρων ἐστὶν ἁρμονία, ὁ δὲ θ πρὸς τὸν Ϛ ... ἐν διπλασίῳ, καθ' ἣν ἡ διὰ πασῶν· ... ἕξεων ἐλέγχει καὶ τὰς ἀναλογίας πάσας· ἀριθμητικὴ μέν ἐστιν ἐν Ϛ καὶ θ καὶ ιβ· οἷς γὰρ ὑπερέχει ὁ μέσος τοῦ πρώτου τρισίν, ὑπερέχεται ὑπὸ τοῦ τελευταίου· γεωμετρικὴ δὲ ἡ τῶν τεσσάρων· ὃν γὰρ λόγον ἔχει τὰ η πρὸς τὰ Ϛ, τοῦτον τὰ ιβ πρὸς τὰ θ, ὁ δὲ λόγος ἐπίτριτος. ἁρμονικῆς ἀναλογίας διττὴ κρίσις, μία μέν, ὅταν, ὃν λόγον ἔχει ὁ ἔσχατος πρὸς τὸν πρῶτον, τοῦτον ἔχῃ ἡ ... ὑπερέχεται ὑπὸ τοῦ τελευταίου ....

[30] Πυραμὶς ἐπὶ τετραγώνου βεβηκυῖα, ἧς ἑκάστη τῶν πλευρῶν ἀνὰ ποδῶν κδ, τὸ δὲ κλίμα ἀνὰ ποδῶν ιη· εὑρεῖν αὐτῆς τὸ στερεόν. ποίει οὕτως· τὰ κδ ἐφ' ἑαυτά· γίνονται φοϚ· ὧν τὸ Ϛ΄· γίνονται σπη. τὰ ιη ἐφ' ἑαυτά· γίνονται τκδ· ἐξ ὧν ὕφειλε τὰ σπη· λοιπὰ λϚ· ὧν πλευρὰ τετράγωνος γίνεται Ϛ. τοσούτων ποδῶν ἔσται ἡ κάθετος. λαβὲ τοίνυν τῆς καθέτου τὸ γ΄· γίνονται β. ταῦτα ἐπὶ τὰ φοϚ· γίνονται Ϛαρνβ. τοσούτων ἔσται ποδῶν τὸ στερεὸν τῆς πυραμίδος.

[30] Πυραμίδα ἐπὶ τετραγώνου βεβηκυῖαν μετρήσομεν οὕτως, ἧς ἑκάστη τῶν πλευρῶν τῆς βάσεως ἀπὸ ποδῶν κδ καὶ τὸ κλίμα τῆς πυραμίδος ποδῶν ιη· εὑρεῖν αὐτῆς τὴν κάθετον καὶ τὸ στερεόν. ποιῶ οὕτως· τὰ κδ τῆς βάσεως ἐφ' ἑαυτά· γίνονται πόδες φοϚ· ὧν τὸ Ϛ΄· γίνονται πόδες σπη. καὶ τὰ ιη τοῦ κλίματος ποιῶ ἐφ' ἑαυτά· γίνονται πόδες τκδ. ἄρτι ὑφαιρῶ ἀπὸ τούτων τὰ σπη· λοιπὸν μένουσι πόδες λϚ· ὧν πλευρὰ τετραγωνικὴ γίνεται ποδῶν Ϛ. τοσούτου ἔσται ἡ κάθετος τῆς πυραμίδος. ἐπειδὴ οὖν ἡ κάθετος ποδῶν Ϛ, εὕρωμεν τὸ στερεόν. ποιῶ οὕτως· τὸ γ΄ τῆς καθέτου· γίνονται πόδες β. ταῦτα ποιῶ ἐπὶ τὰ φοϚ· γίνονται πόδες Ϛαρνβ. τοσούτου ἐστὶ τὸ στερεὸν τῆς πυραμίδος, ποδῶν Ϛαρνβ.

[31] Ἄλλως. ἔστω πυραμὶς τετράγωνος, ἧς τὰ κλίματα ἀνὰ ποδῶν ιη, αἱ δὲ τῆς βάσεως πλευραὶ ἀνὰ ποδῶν ιϚ· δεῖ δὲ ταύτης τὴν κάθετον καὶ τὸ στερεὸν εὑρεῖν. ποιῶ οὕτως· πολυπλασιάζω μίαν πλευρὰν ἐφ' ἑαυτήν· γίνονται πόδες σνϚ. ταῦτα δίπλασον· γίνονται φιβ. τούτων λαβὲ τὸ δ΄· γίνονται ρκη. καὶ πολυπλασίασον τὰ κλίματα ἐφ' ἑαυτά· γίνονται πόδες τκδ. ἀπὸ τούτων ὑφεῖλον τὰ ρκη· λοιπὰ ρϚ· ὧν πλευρὰ τετράγωνος [2] γίνεται ιδ. τοσούτων γίνεται ἡ κάθετος. τὸ δὲ στερεὸν εὑρήσομεν οὕτως· ἐπολυπλασίασα πάλιν τὰ ἀπὸ τῆς βάσεως τὰ ιϚ ἐφ' ἑαυτά· γίνονται πόδες σνϚ. τούτων τὸ γ΄· γίνονται πόδες πε γ΄. ταῦτα ἐπὶ τὴν κάθετον· γίνονται Ϛαρε. τοσούτου ἔσται καὶ τὸ στερεὸν τῆς αὐτῆς πυραμίδος.

[32]

[1] Πυραμὶς κόλουρος τεθραυσμένη τετράγωνος, ἧς αἱ πλευραὶ τῆς βάσεως ἀνὰ ποδῶν ι, τὰ δὲ κλίματα ἀνὰ ποδῶν θ, αἱ δὲ πλευραὶ τῆς κορυφῆς ἀνὰ ποδῶν β. εὑρεῖν αὐτῆς τὸ στερεόν. ποίει οὕτως· ὕφειλε τὰ β τῆς κορυφῆς ἀπὸ τῶν τῆς βάσεως· λοιπὰ η. ταῦτα ἐφ' ἑαυτά· γίνονται ξδ· ὧν τὸ Ϛ΄· γίνονται λβ. καὶ τὰ θ ἐφ' ἑαυτά· γίνονται πα. ἀπὸ τούτων ὕφειλε τὰ λβ· λοιπὰ μθ· ὧν πλευρὰ τετράγωνος γίνεται ζ. τοσούτων ἔσται ποδῶν ἡ κάθετος.

[2] καὶ σύνθες τὰ β τῆς κορυφῆς καὶ τὰ ι τῆς βάσεως· γίνονται ιβ· ὧν τὸ Ϛ΄· γίνονται Ϛ. ταῦτα ἐφ' ἑαυτά· γίνονται λϚ. εἶτα ὕφειλε τὰ δύο τῆς κορυφῆς ἀπὸ τῶν ι· λοιπὰ η· ὧν τὸ Ϛ΄· γίνονται δ. ταῦτα ἐφ' ἑαυτά· γίνονται ιϚ· ὧν τὸ γ΄ ε γ΄. ταῦτα πρόσθες τοῖς λϚ· γίνονται μα γ΄. ταῦτα ἐπὶ τὰ ζ τῆς καθέτου· γίνονται σπθ γ΄. τοσούτων ἔσται ποδῶν τὸ στερεὸν τῆς πυραμίδος.

[32] Πυραμὶς κόλουρος τετράγωνος, ἧς αἱ πλευραὶ τῆς βάσεως ἀπὸ ποδῶν ι καὶ αἱ πλευραὶ τῆς κορυφῆς ἀπὸ ποδῶν β, τὸ δὲ κλίμα ποδῶν θ· εὑρεῖν αὐτῆς τὴν κάθετον καὶ τὸ στερεόν. ποιῶ οὕτως· ὑφεῖλον τὰ β τῆς κορυφῆς ἀπὸ τῶν ι ποδῶν τῆς βάσεως· λοιπὸν μένουσι πόδες η. ταῦτα ποιεῖ ἐφ' ἑαυτὰ πόδας ξδ· ὧν Ϛ΄ γίνονται πόδες λβ. καὶ τὰ θ τοῦ κλίματος ἐφ' ἑαυτά· γίνονται πόδες πα. ἀπὸ τούτων ὑφεῖλον τὰ λβ· λοιπὸν μένουσι πόδες μθ· ὧν πλευρὰ τετραγωνικὴ γίνεται ποδῶν ζ. τοσούτου ἔσται ἡ [3] κάθετος. ἐπεὶ οὖν ἐστιν ἡ κάθετος ποδῶν ζ, εὕρωμεν τὸ στερεὸν οὕτως· σύνθες τοὺς β πόδας τῆς κορυφῆς καὶ τοὺς ι πόδας τῆς βάσεως· ὁμοῦ γίνονται πόδες ιβ· ὧν Ϛ΄ γίνονται Ϛ. ταῦτα ποίει ἐφ' ἑαυτά· γίνονται πόδες λϚ. πάλιν ὑφεῖλον ἀπὸ τῶν ι ποδῶν τῆς κορυφῆς τοὺς β πόδας· λοιπὸν μένουσιν η πόδες· ὧν Ϛ΄ γίνονται δ. ταῦτα ἐφ' ἑαυτά· γίνονται πόδες ιϚ· ὧν γ΄ γίνονται πόδες ε γ΄. ταῦτα πρόσθες τοῖς λϚ· γίνονται ὁμοῦ πόδες μα γ΄. ταῦτα πολυπλασιάζω ἐπὶ τοὺς ζ πόδας τῆς καθέτου· γίνονται πόδες σπθ γ΄. τοσούτων ποδῶν ἔσται τὸ στερεὸν τῆς πυραμίδος.

[33] Ἄλλως. πυραμὶς τεθραυσμένη εἴτουν κόλουρος ἔστω ἐπὶ τῆς κορυφῆς ἀνὰ ποδῶν δ, τὰ δὲ κλίματα ἀνὰ ποδῶν ιε, αἱ δὲ τῆς βάσεως πλευραὶ ἀνὰ ποδῶν κη· εὑρεῖν αὐτῆς τὸ στερεόν. ποιῶ οὕτως· ἄφελε κορυφὴν ἀπὸ τῆς βάσεως· λοιπὰ κδ. τούτων τὸ Ϛ΄· γίνονται ιβ. ταῦτα ἐφ' ἑαυτά· γίνονται ρμδ. καὶ πάλιν πολυπλασίασον τὰ ἀπὸ τοῦ κλίματος ἐφ' ἑαυτά· γίνονται σκε. ἀπὸ τούτων ὑφαιρῶ τὰ ρμδ· λοιπὰ πα. τοσούτου [4] γίνεται ἡ κάθετος τοῦ τετραπεδίου δυνάμει. καὶ πάλιν ἄφελε κορυφὴν ἀπὸ τῆς βάσεως· λοιπὰ κδ· ὧν τὸ Ϛ΄· γίνονται ιβ. ταῦτα ἐφ' ἑαυτά· γίνονται ρμδ. καὶ ἄφελε τὴν τοῦ τετραπεδίου κάθετον τὰ πα ἀπὸ τῶν ρμδ· λοιπὰ ξγ. τούτων τετραγωνικὴ πλευρὰ γίνεται [5] η παρὰ ιϚ΄. τοσούτων ἔσται ἡ κάθετος. τὸ δὲ στερεὸν εὑρήσομεν οὕτως· σύνθες κορυφὴν καὶ βάσιν· γίνονται λβ· ὧν τὸ Ϛ΄· γίνονται ιϚ· ἐφ' ἑαυτὰ γίνονται σνϚ. πάλιν ἀφεῖλον κορυφὴν ἀπὸ τῆς βάσεως· λοιπὰ κδ· ὧν τὸ Ϛ΄· γίνονται ιβ· ἐφ' ἑαυτὰ γίνονται ρμδ. τούτων τὸ γ΄· γίνονται μη. ταῦτα προσάγαγε τοῖς σνϚ· γίνονται τδ. ταῦτα ἐπὶ τὴν κάθετον· γίνονται Ϛβυιγ. τοσούτων γίνεται τὸ στερεὸν τῆς πυραμίδος.

[34]

[1] Ἔστω πυραμὶς ἑτερομήκης ὁμοίως καὶ κόλουρος εἴτουν ἡμιτελής, ἧς αἱ μὲν β πλευραὶ ἀνὰ ποδῶν ιδ, αἱ δὲ ἄλλαι ἀνὰ ποδῶν κ, τὰ δὲ κλίματα ἀνὰ ποδῶν κϚ καὶ ἡ κορυφὴ ἡ μὲν κατὰ μῆκος ποδῶν δ, ἡ δὲ κατὰ πλάτος ποδῶν β· εὑρεῖν τὸ στερεόν. ποιῶ οὕτως· ἄφελε κορυφὴν ἀπὸ τῆς βάσεως παράλληλον ἀπὸ παραλλήλου τὰ β ἀπὸ τῶν ιδ· λοιπὰ ιβ. ταῦτα ἐφ' ἑαυτά· γίνονται ρμδ· ὧν Ϛ΄ γίνονται οβ. καὶ ὁμοίως τὰ δ ἀπὸ τῶν κ· λοιπὰ ιϚ· ἐφ' ἑαυτὰ γίνονται σνϚ· ὧν τὸ Ϛ΄· γίνονται ρκη. καὶ τὰ οβ· γίνονται σ. τούτων ἄφελε τὸ Ϛ΄· γίνονται ρ. πολυπλασίασον τὰ κλίματα ἐφ' ἑαυτά· γίνονται χοϚ ἀφ' ὧν ὕφειλε τὰ ρ· λοιπὰ φοϚ. τούτων λαβὲ τετραγωνικὴν πλευράν· γίνονται κδ. τοσούτου γίνεται ἡ [2] κάθετος. σύνθες οὖν τὰς παραλλήλους βάσεις τὰ δ καὶ τὰ κ· γίνονται κδ· ὧν τὸ Ϛ΄· γίνονται ιβ. πάλιν σύνθες τὰ β καὶ τὰ ιδ· γίνονται ιϚ· ὧν τὸ Ϛ΄· γίνονται η. ταῦτα ἐπὶ τὰ ιβ· γίνονται Ϛ. ἄφελε νῦν κορυφὴν ἀπὸ τῆς βάσεως, τουτέστι τὰ δ ἀπὸ τῶν κ· λοιπὰ ιϚ· ὧν τὸ Ϛ΄· γίνονται η. ὁμοίως καὶ τὰ β ἀπὸ τῶν ιδ· λοιπὰ ιβ· ὧν Ϛ΄ γίνονται Ϛ. ταῦτα ἐπὶ τὰ η· γίνονται μη. καθόλου λάμβανε τὸ γ΄· γίνονται ιϚ. ταῦτα προσάγαγε τοῖς Ϛ· γίνονται ριβ. ταῦτα ἐπὶ τὴν κάθετον, τουτέστιν ἐπὶ τὰ κδ· γίνονται Ϛβχπη. τοσούτων γίνεται τὸ στερεὸν τῆς ἑτερομήκους πυραμίδος.

[35]

[1] Πυραμὶς ἐπὶ ἰσοπλεύρου τριγώνου βεβηκυῖα, ἧς ἑκάστη πλευρὰ τῆς βάσεως ἀνὰ ποδῶν λ, τὸ δὲ κλίμα ποδῶν κ· εὑρεῖν αὐτῆς τὸ στερεόν. ποίει οὕτως· τὰ λ ἐφ' ἑαυτά· γίνονται Ϡ· ὧν τὸ γ΄ τ. καὶ τὰ κ ἐφ' ἑαυτά· γίνονται υ· ἐξ ὧν ὑφεῖλον τὰ τ· λοιπὰ ρ· ὧν πλευρὰ τετράγωνος γίνεται ι. τοσούτων ἔσται ποδῶν [2] ἡ κάθετος. ποίει οὕτως νῦν· τὰ λ ἐφ' ἑαυτά· γίνονται Ϡ· ὧν τὸ γ΄ καὶ τὸ ι΄· γίνονται τ· ὧν τὸ γ΄· γίνονται ρλ. ταῦτα ἐπὶ τὰ ι τῆς καθέτου· γίνονται Ϛατ. τοσούτων ἔσται ποδῶν τὸ στερεὸν τῆς τριγώνου πυραμίδος.

[35] Πυραμίδα ἐπὶ ἰσοπλεύρου τριγώνου βεβηκυῖαν μετρήσομεν οὕτως, ἧς ἑκάστη πλευρὰ τῆς βάσεως ἀπὸ ποδῶν λ καὶ τὸ κλίμα ποδῶν κ· εὑρεῖν αὐτῆς τὴν κάθετον. ποιῶ οὕτως· τὰ λ ἐφ' ἑαυτά· γίνονται Ϡ· ὧν γ΄ γίνονται τ. καὶ τὰ κ ἐφ' ἑαυτά· γίνονται υ. ἀπὸ τούτων ὑφεῖλον τὰ τ· λοιπὸν μένουσι πόδες ρ· ὧν πλευρὰ τετραγωνικὴ γίνεται ποδῶν ι. τοσούτων ποδῶν ἐστιν ἡ κάθετος, [3] ποδῶν ι. ἐπεὶ οὖν ἐστιν ἡ κάθετος ποδῶν ι, εὑρήσομεν τὸ ἐμβαδὸν οὕτως· λαβὲ τὸ ἐμβαδὸν τοῦ τριγώνου τῆς βάσεως· τὰ λ ἐφ' ἑαυτά· γίνονται Ϡ· ὧν γ΄ καὶ ι΄ γίνονται πόδες τ. τούτων τὸ γ΄· γίνονται ρλ. ταῦτα ἐπὶ τὰ ι· γίνονται Ϛατ. τοσούτου ἔσται τὸ στερεὸν τῆς πυραμίδος, ποδῶν Ϛατ.

[36] Ἄλλως. ἔστω πυραμὶς ἐπὶ ἰσοπλεύρου τριγώνου, ἧς τὰ κλίματα ἀνὰ ποδῶν ιγ, αἱ δὲ τῆς βάσεως ἀνὰ ποδῶν ιβ· δεῖ δὲ αὐτῆς τὴν κάθετον καὶ τὸ στερεὸν εὑρεῖν. ποιῶ οὕτως· τὰ ιβ ἐφ' ἑαυτά· γίνονται ρμδ. τούτων τὸ γ΄· γίνονται μη. τὰ ἀπὸ τοῦ κλίματος ιγ ἐφ' ἑαυτὰ ρξθ. ἀπὸ τούτων ὕφειλε τὰ μη· λοιπὰ ρκα· τούτων πλευρὰ τετραγωνικὴ γίνεται ια. τοσούτου γίνεται [4] ἡ κάθετος. τὸ δὲ στερεὸν εὑρήσομεν οὕτως· ἐμέτρησα ἀπὸ τῶν τῆς βάσεως ιβ τὸ ἐπίπεδον τοῦ ἰσοπλεύρου τριγώνου· ἔστι δὲ τὸ ἐμβαδὸν ποδῶν ξβ γ΄ λ΄. ταῦτα ἐπὶ τὴν κάθετον· γίνονται χπϚ λ΄. τούτων τὸ γ΄· γίνονται σκη Ϛ΄ Ϛ΄ ΄. τοσούτου γίνεται τὸ στερεὸν τῆς πυραμίδος.

[37]

[1] Ἄλλως. πυραμὶς ἔχουσα τὴν βάσιν τρίγωνον ὀρθογώνιον, οὗ ἡ κάθετος ποδῶν Ϛ, ἡ δὲ βάσις ποδῶν η, ἡ δὲ ὑποτείνουσα ποδῶν ι, αἱ δὲ πλευραὶ τῆς πυραμίδος ἀνὰ ποδῶν ιγ· εὑρεῖν αὐτῆς τὴν κάθετον. ποίει οὕτως· πρῶτον λαβὲ τὴν διάμετρον τοῦ κύκλου τοῦ περιγράφοντος τὸ τρίγωνον· γίνονται ι· ὧν τὸ Ϛ΄· γίνονται ε. ταῦτα ἐφ' ἑαυτά· γίνονται κε. καὶ τὰ ιγ ἐφ' ἑαυτά· γίνονται ρξθ· ἐξ ὧν κούφισον τὰ κε· λοιπὰ ρμδ· ὧν πλευρὰ τετράγωνος γίνεται ιβ. τοσούτων ἔσται ποδῶν [2] ἡ κάθετος. ἐὰν δὲ θέλῃς τὸ στερεὸν εὑρεῖν, ποίει οὕτως· πρῶτον ζήτει τοῦ τριγώνου τὸ ἐμβαδόν· γίνονται κδ· καὶ λαβὲ τῆς καθέτου τὸ γ΄· γίνονται δ. ταῦτα πολυπλασίασον ἐπὶ τὸ ἐμβαδόν, τουτέστιν ἐπὶ τὰ κδ· γίνονται Ϛ. τοσούτων ἔσται τὸ στερεὸν τῆς πυραμίδος.

[38]

[1] Ἔστω πυραμὶς τρίγωνος ἰσόπλευρος τεθραυσμένη εἴτουν κόλουρος, ἧς αἱ πλευραὶ τῆς κορυφῆς ἀνὰ ποδῶν β, τὰ δὲ κλίματα ἀνὰ ποδῶν ιγ, αἱ δὲ τῆς βάσεως πλευραὶ ἀνὰ ποδῶν ιδ· εὑρεῖν τὸ στερεόν. ποιῶ οὕτως· ἄφελε κορυφὴν ἀπὸ τῆς βάσεως· λοιπὰ ιβ. ταῦτα ἐφ' ἑαυτά· γίνονται ρμδ. τούτων τὸ γ΄· γίνονται μη. καὶ τὰ ἀπὸ τοῦ κλίματος [γίνονται πόδες] ιγ ἐφ' ἑαυτά· γίνονται ρξθ. ἀπὸ τούτων ἆρον τὰ μη· λοιπὰ ρκα· ὧν τετραγωνικὴ πλευρὰ γίνεται ια. τοσούτου γίνεται [2] ἡ κάθετος. τὸ στερεὸν μετρήσωμεν οὕτως· συνέθηκα κορυφὴν καὶ βάσιν· γίνονται κϚ· ὧν τὸ Ϛ΄· γίνονται ιγ. ἐμέτρησα ἀπὸ τούτων τρίγωνον ἰσόπλευρον· γίνεται τὸ ἐμβαδὸν ποδῶν ογ Ϛ΄ γ΄ ιε΄. ταῦτα ἐξεθέμην. καὶ πάλιν κορυφὴν ἄφελε ἀπὸ τῆς βάσεως· λοιπὰ ιβ· ὧν Ϛ΄ γίνονται Ϛ. ἐμέτρησα ἀπὸ τούτων ἐλάχιστον τρίγωνον ἰσόπλευρον, οὗ γίνεται τὸ ἐμβαδὸν ξβ γ΄ ιε΄. τούτων τὸ γ΄· γίνονται κ Ϛ΄ δ΄ κ΄. ταῦτα προσάγαγε τοῖς πρότερον ἐκτεθεῖσιν ογ Ϛ΄ γ΄ ιε΄· γίνονται δ Ϛ΄ ε΄ ὡς ἔγγιστα. ταῦτα ἐπὶ τὴν κάθετον· καὶ τοσούτων γίνεται τὸ στερεὸν ἤγουν Ϛαμα Ϛ΄ ε΄.

[39]

[1] Πάλιν ἔστω πυραμὶς ἔχουσα τὴν βάσιν τετράγωνον, ἧς ἑκάστη πλευρὰ ἀνὰ ποδῶν ι, τὰ δὲ κλίματα ἀνὰ ποδῶν ιγ Ϛ΄· εὑρεῖν αὐτῆς τὴν κάθετον καὶ τὸ στερεόν. ποίει οὕτως· λαβὲ τοῦ τετραγώνου πλευρὰν γενομένην ἐφ' ἑαυτήν· γίνονται ρ· ὧν τὸ Ϛ΄· γίνονται ν. καὶ τὰ ιγ Ϛ΄ τῆς πλευρᾶς ἐφ' ἑαυτά, λέγω δὴ τοῦ κλίματος· γίνονται ρπβ δ΄· ἐξ ὧν ὕφειλε τὰ ν· λοιπὰ ρλβ δ΄· ὧν πλευρὰ τετράγωνος γίνεται ια Ϛ΄. τοσούτων ἔσται [2] ποδῶν ἡ κάθετος. ἐὰν δὲ θέλῃς καὶ τὸ στερεὸν αὐτῆς εὑρεῖν, λαβὲ τοῦ τετραγώνου τὸ ἐμβαδόν· γίνονται ρ. ταῦτα ἐπὶ τὸ γ΄ τῆς καθέτου, τουτέστιν ἐπὶ τὰ γ Ϛ΄ γ΄· γίνονται τπγ γ΄. τοσούτων ἔσται ποδῶν τὸ στερεὸν τῆς πυραμίδος.

[39] Ἔστω πυραμὶς βάσιν ἔχουσα τετράγωνον, καὶ ἐχέτω ἑκάστην πλευρὰν ἀνὰ ποδῶν ι, ἡ δὲ πυραμὶς ἐχέτω τὰς πλευρὰς ἀνακεκλιμένας ἀπὸ ποδῶν ιγ Ϛ΄· εὑρεῖν τῆς πυραμίδος τὴν κάθετον καὶ τὸ στερεόν. ποιῶ οὕτως· πολυπλασιάζω τοῦ τετραγώνου τὴν πλευρὰν ἐφ' ἑαυτήν· γίνονται ρ. τούτων τὸ Ϛ΄· γίνονται ν. καὶ τὰ ιγ Ϛ΄ ἐφ' ἑαυτά· γίνονται πόδες ρπβ δ΄. αἴρω ἀπὸ τούτων τὰ ν· λοιπὸν μένουσι πόδες ρλβ δ΄· ὧν πλευρὰ τετραγωνικὴ γίνεται [3] ποδῶν ια Ϛ΄. τὸ δὲ στερεὸν εὑρίσκεται οὕτως· τοῦ τετραγώνου τὸ ἐμβαδὸν γίνεται ποδῶν ρ. ταῦτα πολυπλασιάζω ἐπὶ τὸ γ΄ μέρος τῆς καθέτου· γίνονται πόδες τπγ γ΄. τοσούτων ποδῶν ἐστι τὸ στερεὸν τῆς πυραμίδος, ποδῶν τπγ γ΄.

[40]

Κογχίων μετρήσεις διάφοροι.

Κόγχη, ἧς ἡ βάσις μὲν ποδῶν η, ἡ δὲ κάθετος ποδῶν δ, καὶ ἡ ἔσω ἕλκουσα ποδῶν δ· εὑρεῖν αὐτῆς τὴν ἐπιφάνειαν. μέτρει κύκλον, οὗ ἡ διάμετρος ποδῶν η· εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδόν. ποίει οὕτως· τὰ η τῆς διαμέτρου ἐφ' ἑαυτά· γίνονται ξδ. ταῦτα δεκάκις καὶ ἅπαξ· γίνονται ψδ· ὧν τὸ ιδ΄· γίνονται ν δ΄ κη΄. τοσούτου γίνεται τῆς κόγχης ἡ ἐπιφάνεια. κύκλος δὲ μετρεῖται, ὅταν ἡ κάθετος καὶ ἡ ἔσω ἕλκουσα ἴσαι ἀλλήλαις ὦσιν, καὶ αἱ δύο ποιῶσι [τὴν] διάμετρον μίαν ἴσην ἑαυταῖς.

[41]

[1] Ἄλλως. κόγχη μετρηθήσεται τὸν τρόπον τοῦτον· ἔστω τῆς κόγχης ἡ μὲν βάσις ποδῶν ιβ, ἡ δὲ κάθετος ποδῶν δ, ἡ δὲ ἔσω ἕλκουσα ποδῶν γ. ποίει οὕτως· λαβὲ τῶν ιβ τὸ Ϛ΄· γίνονται Ϛ. ταῦτα ἐφ' ἑαυτά· γίνονται λϚ. καὶ τὰ δ ἐφ' ἑαυτά· γίνονται ιϚ. ταῦτα προσάγαγε τοῖς λϚ· γίνονται νβ. καὶ προσάγαγε αὐτοῖς τὸ ἴδιον Ϛ΄· γίνονται οη. καὶ τὰ γ ἐφ' ἑαυτά· γίνονται θ. προσάγαγε τοῖς οη· γίνονται πζ. ταῦτα ποίησον ἐπὶ τὴν ἔσω ὑποτείνουσαν, τουτέστιν ἐπὶ τὰ γ· γίνονται σξα· ὧν τὸ Ϛ΄· γίνονται ρλ Ϛ΄. ταῦτα ἑνδεκάκις· γίνονται Ϛαυλε· ὧν τὸ κα΄· γίνονται ξη γ΄. τοσούτων γίνεται τὸ στερεὸν [2] σὺν τῷ κενώματι. ἀφ' ὧν χρὴ ἆραι τὸ κένωμα ὁμοίως μετρήσαντας. ἐχέτω γὰρ ἡ κόγχη τὸ πλάτος τῆς βάσεως τοῦ οἰκοδομήματος ποδῶν β· λοιπὸν ἡ βάσις τοῦ ἐσωφώτου εἴτουν τοῦ κενώματος ποδῶν ι, ἡ δὲ πρὸς [3] ὀρθὰς ποδῶν γ, ἡ δὲ ἔσω τείνουσα ποδῶν β. γίνεται οὖν τοῦ κενώματος ὁμοίως μετρουμένου κατὰ τὰ προλεχθέντα τῶν ι τῆς διαμέτρου τὸ Ϛ΄ ε. ταῦτα ἐφ' ἑαυτά· γίνονται κε. καὶ τὰ γ ἐφ' ἑαυτά· γίνονται θ· ὁμοῦ γίνονται λδ· οἷς προσάγαγε τὸ ἴδιον ἥμισυ· γίνονται να. καὶ τὰ β ἐφ' ἑαυτά· γίνονται δ. προσάγαγε τοῖς να· γίνονται νε. ταῦτα ἑνδεκάκις· γίνονται χε· ὧν τὸ κα΄· γίνονται κη καὶ ιζ κα΄ κα΄. τοσούτου τὸ στερεὸν τοῦ κενώματος. ταῦτα ἄφελε ἀπὸ τῶν ξη γ΄· λοιπὰ λθ γ΄ ζ΄ κα΄. τοσούτου καταλείπεται τὸ στερεὸν τῆς οἰκοδομῆς, τῆς κόγχης δηλονότι.

[4] Τμήματος σφαίρας, τουτέστιν ἰσαρίθμου, πάντα ποίησον δι' ἀλλήλων, καὶ τῶν γενομένων καθόλου τὸ Ϛ΄ καὶ τὸ μβ΄, ἐπειδήπερ πάσης σφαίρας τοῦ κυβισθέντος τῆς διαμέτρου μέρος Ϛ΄ καὶ μβ΄ ἴσον ἐστὶ τῇ σφαίρᾳ.

[42]

[1] Θέατρον, οὗ ἡ μὲν μείζων περιφέρεια ποδῶν υκ, ἡ δὲ ἐλάττων ποδῶν ρπ, αἱ δὲ βαθμίδες εἰσὶ τῷ ἀριθμῷ σπ· εὑρεῖν, πόσους ἄνδρας χωρεῖ. ποίει οὕτως· σύνθες τὴν μείζονα καὶ τὴν ἐλάττονα, τουτέστι τὰ υκ καὶ τὰ ρπ· γίνονται χ· ὧν τὸ Ϛ΄· γίνονται τ. ταῦτα πολυπλασίασον ἐπὶ τὰς βαθμίδας· γίνονται Ϛδ. τοσούτους ἄνδρας χωρεῖ· ἕκαστος γὰρ ποὺς ἕνα ἄνδρα χωρεῖ.

[42] Μαθεῖν θέατρον, πόσους χωρεῖ ἄνδρας, οὕτως· μετρηθὲν τὸ ἀνώτερον βάθρον ἔσχεν πόδας υκ, καὶ τὸ κατώτερον ἔσχεν πόδας ρπ· ὁμοῦ γίνονται χ πόδες· ὧν τὸ Ϛ΄· γίνονται τ. τὰ δὲ βάθρα ἐστὶν ἀριθμῷ ν. ταῦτα πολυπλασιάζω ἐπὶ τὰ τ· γίνονται πόδες αϚε. τοσούτους ἄνδρας χωρήσει· ἑκάστου γὰρ ἀνδρὸς ὁ τόπος ποδὸς α ἐστι τοῦ πλάτους.

[43] Ἄλλο θέατρον, οὗ εἰσιν αἱ βαθμίδες, εἰ τύχοι, σν, λαμβάνει δὲ ὁ πρῶτος βαθμὸς ὁ κάτω ἄνδρας μ, ὁ δὲ ἄνω ρκ· εὑρεῖν, πόσους ἄνδρας χωρεῖ. ποίει οὕτως· σύνθες τὸν ἀριθμὸν τῶν ἀνδρῶν τοῦ κάτω βαθμοῦ καὶ τοῦ ἄνω· γίνονται ρξ· ὧν τὸ Ϛ΄· γίνονται π. ταῦτα ἐπὶ τοὺς σν βαθμούς· γίνονται β. τοσούτους ἄνδρας χωρεῖ τὸ θέατρον.

[2] Ἐὰν δὲ ἀπὸ τοῦ πρώτου βαθμοῦ ἕως τοῦ ὑστέρου εἰς τὸ ὕστερον λαμβάνει πλείους ἄνδρας ε, θέλεις δὲ γνῶναι, ὁ ὕστερος βαθμός, τουτέστιν ὁ ἀνώτερος, πόσους ἄνδρας χωρεῖ λαμβάνοντος τοῦ πρώτου βαθμοῦ, τουτέστι τοῦ κατωτέρου, ἄνδρας μ, ἔχοντος τοῦ θεάτρου βαθμοὺς σν, ποίει οὕτως· ὕφειλε ἀπὸ τῶν βαθμῶν α· λοιπὰ σμθ. ταῦτα ἐπὶ τὰ ε· γίνονται Ϛασμε. καὶ πρόσθες τοὺς μ τοὺς τοῦ πρώτου βαθμοῦ· γίνονται Ϛασπε. τοσούτους ἄνδρας χωρεῖ ὁ ὕστερος βαθμὸς ὁ ἄνωθεν.

[2a] Ἐὰν δὲ εἴπῃ τις, ὅτι ἕκαστος βαθμὸς ἐκ τοῦ ὑστέρου βαθμοῦ λαμβάνει πλέον τοῦ ἑτέρου ἄνδρας ἀριθμὸν ε, ἔχει δὲ βαθμοὺς ἀριθμῷ ν, μ δὲ λαμβάνει ὁ ὕστερος βαθμός· ὁ πρῶτος βαθμὸς πόσους χωρεῖ; ποιῶ οὕτως· αἴρω ἀπὸ τῶν ν μονάδα α· λοιπὸν μένουσι μθ. ἐπὶ τὰ ε· γίνονται ἄρα σμε. πρόσθες τούτοις τὰ μ τοῦ ὑστέρου βαθμοῦ· γίνονται σπε. τοσούτους χωρήσει ἄνδρας ὁ α΄ βαθμός.

[44]

[1] Ἀμφιθέατρον, οὗ τὸ μὲν μῆκος ποδῶν σμ, τὸ δὲ πλάτος ποδῶν ξ· εὑρεῖν αὐτοῦ τὴν περίμετρον. ποίει οὕτως· τὰ σμ τοῦ μήκους ἐφ' ἑαυτά· γίνονται Ϛζχ· καὶ τὰ ξ τοῦ πλάτους ἐφ' ἑαυτά· γίνονται Ϛγχ· καὶ τὸ πλάτος ἐπὶ τὸ μῆκος· γίνονται Ϛδυ. καὶ σύνθες τοὺς τρεῖς ἀριθμούς· γίνονται ζ Ϛεχ. τούτων ἀεὶ λάμβανε πλευρὰν τετραγωνικήν· γίνονται σοε. ταῦτα δὲ δίς· γίνονται φν. τοσούτου ἔσται [ποδῶν] ἡ περίμετρος. [44a] ‑ Ἔστω ἀμφιθέατρον καὶ ἐχέτω τὸ μὲν μῆκος ποδῶν σμ, τὸ δὲ πλάτος ξ· εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδόν. ποιῶ οὕτως· πολυπλασιάζω τὸ μῆκος ἐπὶ τὸ πλάτος· γίνονται πόδες αϚδυ. ταῦτα ἀεὶ πολυπλασιάζω ια· γίνονται πόδες ιεϚηυ. τούτων μερίζω τὸ ιδ΄· γίνονται πόδες αϚατιδ δ΄ κη΄. τοσούτων ποδῶν ἔσται τὸ ἐμβαδόν. τὴν δὲ περίμετρον εὑρήσομεν οὕτως· πολυπλασιάζω τὸ μῆκος τὰ σμ ἐκ διπλοῦ· γίνονται πόδες υπ. προστιθῶ νῦν τὸ πλάτος τοὺς ξ πόδας καὶ τὸ ἕκτον μέρος τοῦ πλάτους· γίνονται ι· ὁμοῦ γίνονται πόδες ο. ταῦτα προστιθῶ τοῖς υπ ποσὶ τοῦ διπλοῦ μήκους· γίνονται πόδες φν. τοσούτων ποδῶν ἐστιν ἡ περίμετρος τοῦ ἀμφιθεάτρου.

[45] Τρίκλινος, οὗ τὸ μὲν πλάτος ποδῶν κϚ Ϛ΄, τὸ δὲ μῆκος ποδῶν λα, τὸ δὲ ὕψος ποδῶν λη, διὰ τοίχου β δ΄. τὸ ἐν τοίχῳ ἐπὶ τὰ λα· γίνονται ξθ Ϛ΄ δ΄. ταῦτα ἐπὶ τὰ λη τοῦ ὕψους· γίνονται Ϛβχν Ϛ΄. ταῦτα τετράκις, ἐπειδὴ τέσσαρές εἰσι τοῖχοι· γίνονται χβ. τοσούτων ἔσται ποδῶν τοῦ τρικλίνου τὰ ἐν τοίχῳ.

[46] Τρίκλινος ἤτοι ὡρεῖον, οὗ τὸ μὲν μῆκος πηχῶν κ, τὸ δὲ πλάτος πηχῶν ιε, τὸ δὲ ὕψος πηχῶν Ϛ· εὑρεῖν, πόσους μοδίους χωρεῖ. ποίει οὕτως· τὰ κ τοῦ μήκους ἐπὶ τὰ ιε τοῦ πλάτους· γίνονται τ· καὶ ταῦτα ἐπὶ τὰ Ϛ τοῦ ὕψους· γίνονται Ϛαω. ταῦτα ἀεὶ πολυπλασίαζε ἐπὶ τὰ ια κβ΄· γίνονται μόδιοι Ϛθωπα Ϛ΄ δ΄ κβ΄ μδ΄. τοσούτους μοδίους λαμβάνει ὁ τρίκλινος.

[47] Κολυμβήθρας καὶ φρέατος καὶ γουβικῶν ἀνοιγμάτων καὶ τοίχων καὶ λίθων καὶ πηλῶν καὶ δοκῶν καὶ οἱωνδηποτοῦν σχημάτων ἐὰν μάθῃς τὸ μῆκος καὶ τὸ πλάτος καὶ τὸ βάθος ἢ τὸ ὕψος, θέλῃς δὲ γνῶναι, πόσα κεράμια χωρεῖ, ἢ πόσοι πόδες στερεοὶ γίνονται, ποίει οὕτως· πολυπλασίαζε τὸ μῆκος ἐπὶ τὸ πλάτος καὶ τὰ γινόμενα ἐπὶ τὸ βάθος ἢ τὸ ὕψος· καὶ τοσαῦτα κεράμια ἔσονται ἢ πόδες στερεοί.

[48] Κολυμβήθρα, ἧς τὸ μῆκος ποδῶν κε, τὸ δὲ πλάτος ποδῶν ιβ, τὸ δὲ ὕψος ἢ τὸ βάθος ποδῶν ε· εὑρεῖν, πόσα κεράμια χωρεῖ, ἢ πόσοι πόδες στερεοὶ γίνονται. ποίει οὕτως· πολυπλασίαζε τὰ ιβ ἐπὶ τὰ κε· γίνονται τ. ταῦτα ἐπὶ τὰ ε τοῦ βάθους ἢ τοῦ ὕψους· γίνονται Ϛαφ. τοσαῦτα κεράμια χωρεῖ ἡ κολυμβήθρα.

[49] Κολυμβήθρα, ἧς τὸ μὲν μῆκος ποδῶν ι, τὸ δὲ ὕψος ἢ τὸ βάθος ποδῶν δ καὶ τὸ πλάτος ποδῶν ε· εὑρεῖν, πόσους πόδας μαρμάρων συνάγει. ποίει οὕτως· σύνθες τὰ ι τοῦ μήκους καὶ τὰ ε τοῦ πλάτους· γίνονται ιε. ταῦτα δίς· γίνονται λ. ταῦτα ἐπὶ τὸ βάθος ἤτοι τὸ ὕψος· γίνονται ρκ. τοσούτους πόδας μαρμάρων [2] συνάγει ἡ κολυμβήθρα. ἐὰν θέλῃς καὶ τὸ ἔδαφος τῆς κολυμβήθρας εὑρεῖν, ποίει οὕτως· πολυπλασίαζε τὸ πλάτος ἐπὶ τὸ μῆκος· γίνονται ν. τοσούτους πόδας μαρμάρων συνάγει τὸ ἔδαφος. τούτους πρόσθες τοῖς ρκ· γίνονται ὁμοῦ ρο. τοσοῦτοι πόδες μαρμάρων εἰσὶ τῆς κολυμβήθρας.

[50]

[1] Φρέαρ, οὗ ἡ διάμετρος ποδῶν ε καὶ περιοικοδόμημα τῶν τοίχων ἐχόντων πλάτος ποδῶν β, τὸ δὲ βάθος αὐτοῦ ποδῶν κ· εὑρεῖν, πόσων ποδῶν ἐστιν ὁ τοῖχος. τοῦ τοίχου τὸ πλάτος δίς· γίνονται δ. ταῦτα προστίθει τοῖς ε τῆς διαμέτρου· γίνονται θ, ὡς εἶναι τὴν διάμετρον τοῦ τε φρέατος καὶ τῶν τοίχων ὁμοῦ ποδῶν θ. ταῦτα ἐφ' ἑαυτά· γίνονται πα· ἐξ ὧν ἄφελε τὴν διάμετρον τοῦ φρέατος γενομένην ἐφ' ἑαυτήν· γίνονται κε· λοιπὰ νϚ. ταῦτα δεκάκις καὶ ἅπαξ· γίνονται χιϚ. τούτων ἀεὶ τὸ ιδ΄· γίνονται μδ. ταῦτα πολυπλασίασον ἐπὶ τὰ κ τοῦ βάθους· γίνονται ωπ. τοσούτων ἔσται ποδῶν ὁ τοῖχος τοῦ ὅλου φρέατος.

[51] Κοῦπα, ἧς ἡ κάτω διάμετρος ποδῶν ε, ἡ δὲ ἄνω ποδῶν γ, τὸ δὲ ὕψος αὐτῆς ποδῶν η· ἔχει δὲ οἶνον, εἰ τύχοι, ποδῶν Ϛ· εὑρεῖν, πόσα κεράμια χωρεῖ. ποίει οὕτως· ὕφειλε τὰ τρία τῆς ἄνω διαμέτρου ἀπὸ τῶν ε τῆς κάτω· λοιπὰ β. ταῦτα ἐπὶ τὰ Ϛ· γίνονται ιβ. τούτων τὸ η΄· γίνεται α Ϛ΄. ὕφειλε τὴν α Ϛ΄ ἀπὸ τῶν ε· λοιπὰ γ Ϛ΄. τοσούτων ἔσται ποδῶν τὸ πλάτος, ἕως [2] ὅπῃ ὁ οἶνος ἐτύγχανε. σύνθες τοίνυν τὰ γ Ϛ΄ καὶ τὰ ε· γίνονται η Ϛ΄· ὧν τὸ Ϛ΄· γίνονται δ δ΄. ταῦτα ἐφ' ἑαυτά· γίνονται ιη ιϚ΄. ταῦτα δεκάκις καὶ ἅπαξ· γίνονται ρη Ϛ΄ η΄ ιϚ΄. τούτων τὸ ιδ΄· γίνονται ιδ ζ΄ κη΄ ριβ΄ σκδ΄. ταῦτα ἐπὶ τὰ Ϛ τοῦ ὕψους· γίνονται πε ζ΄. τοσαῦτα κεράμια χωρεῖ ἡ κοῦπα.

[52]

[1] Βούτης, ἧς ἡ ἄνω διάμετρος ποδῶν Ϛ, ἡ δὲ κάτω ποδῶν η, τὸ δὲ ὕψος ποδῶν ι· εὑρεῖν, πόσα κεράμια χωρεῖ. ποίει οὕτως· σύνθες τὴν ἄνω διάμετρον καὶ τὴν κάτω· γίνονται ιδ· ὧν τὸ Ϛ΄· γίνονται ζ. ταῦτα ἐφ' ἑαυτά· γίνονται μθ. ταῦτα δεκάκις καὶ ἅπαξ· γίνονται φλθ. τούτων τὸ ιδ΄· γίνονται λη Ϛ΄. ταῦτα ἐπὶ τὰ ι τοῦ ὕψους· γίνονται τπε. τοσαῦτα κεράμια χωρεῖ ἡ βούτης.

[53] Πλοῖον, οὗ τὸ μὲν μῆκος ποδῶν κδ, ἡ δὲ βάσις πηχῶν Ϛ, ἡ δὲ κάτω βάσις πηχῶν δ· εὑρεῖν, πόσα κεράμια χωρεῖ. ποίει οὕτως· τὴν βάσιν ἐπὶ τὴν βάσιν· γίνονται κδ. ταῦτα πάλιν ἐπὶ τὰ κδ τοῦ μήκους· γίνονται φοϚ. τούτων ἀεὶ τὸ γ΄· γίνονται ρβ. ταῦτα σύνθες μετὰ τῶν φοϚ· γίνονται ψξη· ἅπερ εἰσὶ κεράμια. χωρεῖ δὲ τὸ κεράμιον μοδίους ι· γίνονται μόδιοι Ϛζχπ. τοσούτους μοδίους χωρεῖ τὸ πλοῖον.

[54] Εἰ δὲ στερεομετρίαν οἰκοδομῆς ἡμικυκλίου ἤγουν ἀψίδος θέλῃς μετρῆσαι, ἧς ἡ διάμετρος ποδῶν Ϛ, ἡ δὲ κάθετος ποδῶν γ καὶ τὸ πάχος τοῦ τοίχου ποδὸς α, πρόσθες τοῖς Ϛ ποσὶ τῆς διαμέτρου τὸν α πόδα τοῦ ἑνὸς μέρους τοῦ πάχους τοῦ τοίχου· γίνονται πόδες ζ· ὧν ἡ περίμετρος ἕτερον αὐτῶν Ϛ΄ δ΄ μέρος· γίνονται πόδες ια. τούτους ἐπὶ τὸ ὕψος τῆς οἰκοδομῆς.

[55] Εἰ θέλεις σκηνῶσαι τὸν ἀέρα τῆς σφαίρας, μέτρησον κατὰ τὴν προγεγραμμένην μέθοδον τῆς σφαίρας χωρὶς τοῦ πάχους τῶν τοίχων. οἷον ἔστω ἡ διάμετρος τοῦ ἐμφώτου τῆς σφαίρας ποδῶν η, τὸ δὲ πάχος τῶν β τοίχων ποδῶν β. πολυπλασιάζεις τοὺς η πόδας τοῦ ἐμφώτου ἐφ' ἑαυτούς· γίνονται πόδες ξδ. τούτους πάλιν πολυπλασιάζεις ἐπὶ τοὺς αὐτοὺς η πόδας τῆς διαμέτρου· γίνονται πόδες φιβ. τούτους πολυπλασιάζεις ἑνδεκάκις· γίνονται πόδες Ϛεχλβ. τούτους μέρισον παρὰ τὸν κα· γίνονται πόδες σξη ζ΄ κα΄. τοσοῦτον ἔστω τὸ σκήνωμα τοῦ ἀέρος τῆς σφαίρας.

[56] Ἡμισφαίριον μετρήσομεν κατὰ τὴν μέθοδον τῆς σφαίρας τὰ συναγόμενα παρὰ τὸν μβ μερίζοντες. οἷον ἔστω ἡ διάμετρος ποδῶν ζ, ἡ δὲ περίμετρος ποδῶν κβ· εὑρεῖν τούτου τὸ στερεόν. ποιῶ οὕτως· τοὺς ζ πόδας τῆς διαμέτρου ἐφ' ἑαυτούς· γίνονται μθ. τούτους πάλιν ἐπὶ τοὺς αὐτοὺς ζ τῆς διαμέτρου· γίνονται τμγ ταῦτα πολυπλασιάζω ἐπὶ τὸν ια καὶ μερίζω παρὰ τὸν μβ· γίνονται πθ Ϛ΄ γ΄. τοσούτου ἔσται τὸ στερεὸν τοῦ ἡμισφαιρίου.

[57] Σκήνωσιν μετρῆσαι ἀέρος ἡμισφαιρίου. μέτρησον κατὰ τὴν προγεγραμμένην μέθοδον τῆς μετρήσεως τοῦ στερεοῦ τοῦ ἡμισφαιρίου χωρὶς τοῦ πάχους τῶν τοίχων. οἷον ἔστω ἡ διάμετρος τοῦ ἐμφώτου τοῦ ἡμισφαιρίου ποδῶν ι, τὸ δὲ πάχος τῶν β τοίχων ποδῶν δ. τοὺς ι πόδας τῆς διαμέτρου τοῦ ἐμφώτου καὶ μόνους πολυπλασιάζεις ἐφ' ἑαυτούς· γίνονται ρ. τὰ ρ ἐπὶ τοὺς αὐτοὺς ι· γίνονται Ϛα. ταῦτα πολυπλασιάζεις ἑνδεκάκις· γίνονται αϚα. τούτων τὸ μβ΄· γίνονται πόδες σξα Ϛ΄ γ΄ ιδ΄. τοσούτων ἔστω ποδῶν τὸ σκήνωμα τοῦ ἀέρος τοῦ ἡμισφαιρίου.

[58] Ἐπιφάνειαν ἤγουν ἐμβαδὸν ἢ χώρησιν τοῦ αὐτοῦ ἡμισφαιρίου τοῦ ἔχοντος διάμετρον ποδῶν ι, περίμετρον ποδῶν λα δ΄ ζ΄ κη΄, μετρήσομεν πάντοτε οὕτως· τὴν διάμετρον τῶν ι ἐπὶ τοὺς λα δ΄ ζ΄ κη΄ τῆς περιμέτρου· γίνονται τιδ δ΄ κη΄· ὧν τὸ Ϛ΄· γίνονται πόδες ρνζ η΄ νϚ΄. τοσούτου ἔσται τὸ ἐμβαδὸν τοῦ ἡμισφαιρίου.

[59] Κόγχην ἤγουν τεταρτημόριον μετρήσομεν κατὰ τὴν μέθοδον τοῦ ἡμισφαιρίου τὰ συναγόμενα μερίζοντες παρὰ τὸν πδ. οἷον ἔστω ἡ διάμετρος τῆς κόγχης σὺν τοῖς β πάχεσι τῶν τοίχων ποδῶν ιδ. τούτους ἐφ' ἑαυτούς· γίνονται ρϚ. ταῦτα πάλιν ἐπὶ τὰ ιδ τῆς αὐτῆς διαμέτρου· γίνονται Ϛβψμδ. ταῦτα ἑνδεκάκις· γίνονται γρπδ. τούτων τὸ πδ΄· γίνονται πόδες τνθ γ΄. τοσούτων ἔστω τὸ στερεὸν τῆς κόγχης ὁλόμαζον.

[60] Σκήνωσιν μετρῆσαι ἀέρος τῆς αὐτῆς κόγχης ἤγουν τεταρτημορίου καὶ εὑρεῖν τὴν στερεομετρίαν τῆς οἰκοδομῆς. μέτρησον κατὰ τὴν αὐτὴν μέθοδον τοῦ ὁλομάζου τῆς κόγχης χωρὶς τοῦ πάχους τῶν τοίχων. οἷον τοὺς ι πόδας τῆς διαμέτρου τοῦ ἐμφώτου ἐφ' ἑαυτούς· γίνονται ρ. τὰ ρ πάλιν ἐπὶ τοὺς ι· γίνονται Ϛα. τὰ Ϛα ἑνδεκάκις· γίνονται αϚα. τούτων τὸ πδ΄· γίνονται πόδες ρλ Ϛ΄ γ΄ ιβ΄ κη΄. τοσούτων ποδῶν ἔστω ὁ ἀὴρ τῆς κόγχης· οὓς ἄφελε ἀπὸ τῶν προγεγραμμένων τνθ γ΄ ποδῶν τοῦ ὁλομάζου· καὶ οἱ λοιποὶ πόδες σκη δ΄ η΄ τῆς οἰκοδομῆς.

[61] Χώρησιν μετρῆσαι ἤγουν ἐμβαδὸν τῆς αὐτῆς κόγχης. τοὺς ι πόδας τῆς διαμέτρου ἐφ' ἑαυτούς· γίνονται ρ. τούτους ἑνδεκάκις· γίνονται Ϛαρ. τούτους παρὰ τὸν ιδ· γίνονται πόδες οη Ϛ΄ ιδ΄. τοσούτων ἔστω ποδῶν ἡ χώρησις ἤγουν τὸ ἐμβαδὸν τῆς κόγχης.

[62] Εἰ θέλεις εὑρεῖν καὶ διὰ τῆς περιμέτρου τὴν ἐπιφάνειαν τῆς κόγχης, ποιήσεις οὕτως· ἔστω ἡ διάμετρος ποδῶν ζ, ἡ δὲ περίμετρος ποδῶν ια. τὴν διάμετρον τῶν ζ ἐπὶ τὴν περίμετρον τῶν ια· γίνονται οζ. τούτων τὸ Ϛ΄· γίνονται πόδες λη Ϛ΄. τοσούτων ἔστω ποδῶν ἡ ἐπιφάνεια τῆς κόγχης.

[63] Πυραμίδα μετρήσομεν, ἧς τὸ μῆκος ποδῶν κ καὶ τὸ πλάτος ποδῶν κ καὶ τὸ ὕψος ποδῶν ιϚ· εὑρεῖν αὐτῆς τὰς ὑποτεινούσας πλευρὰς ἑκάστου τοίχου ἔχοντος πάχος ποδῶν β. ποιῶ οὕτως· ἐπειδὴ ἡ πλευρὰ ἔχει ἔξωθεν πόδας κ, τὸ δὲ ἀπὸ τοῦ ἔξωθεν ἐμφώτου ἕως τοῦ μεσοκέντρου, ὡς προεῖπον, τὸ ὕψος ποδῶν ιϚ, ποίησον οὕτως· τὰ ιϚ τοῦ ὕψους ἐφ' ἑαυτά· γίνονται σνϚ· καὶ τὰ ι, τουτέστι τὸ Ϛ΄ τῆς πλευρᾶς, ἐφ' ἑαυτά· γίνονται ρ· ὁμοῦ γίνονται πόδες τνϚ· ὧν πλευρὰ τετραγωνικὴ γίνεται ποδῶν ιη Ϛ΄ δ΄ η΄. τοσούτων ποδῶν ἔσται ἡ ὑποτείνουσα πλευρὰ τοῦ ἑνὸς σκέλους ἕως τοῦ [2] μεσοκέντρου. εἰ δὲ θέλεις τὸ στερεὸν τῶν τοίχων εὑρεῖν, ποίει οὕτως· τὴν ὑποτείνουσαν ἐπὶ τὰ ι· γίνονται πόδες ρπη Ϛ΄ δ΄. τούτων τὸ Ϛ΄· γίνονται δ δ΄ η΄. ταῦτα ἐπὶ τὸ πάχος, ἐπὶ τοὺς β πόδας· γίνονται ρπη Ϛ΄ δ΄. τοσούτων ποδῶν ἔσται τὸ στερεὸν τοῦ τοίχου τῆς α πλευρᾶς. ἀλλὰ ἐπειδὴ δ πλευρὰς ἔχει ἡ πυραμίς, γίνονται τῶν δ πλευρῶν πόδες ψνε. τοσούτων ποδῶν ἔσται τὸ στερεὸν τῶν τοίχων τῆς πυραμίδος.

[64]

[1] Εἰ δὲ θέλεις εὑρεῖν τῆς στέγης τὸν μόλιβδον ἢ τὸν χαλκὸν ἢ τὸν κέραμον τῆς αὐτῆς πυραμίδος, ποιεῖς οὕτως· τὴν ὑποτείνουσαν, τουτέστι τὰ ιη Ϛ΄ δ΄ η΄, ἐπὶ τοὺς ι πόδας· γίνονται πόδες ρπη Ϛ΄ δ΄. τούτων ὑφαιρῶ τὸ Ϛ΄· λοιπὸν μένουσι πόδες δ δ΄ η΄. τοσούτων ποδῶν ἐστιν ἡ ἐπιφάνεια τῆς στέγης τῆς α πλευρᾶς. ἀλλ' ἐπειδὴ δ πλευρὰς ἔχει ἡ πυραμίς, ὁμοῦ γίνονται τῶν δ πλευρῶν πόδες τοζ Ϛ΄. τοσούτων ἔσται ἡ ἐπιφάνεια τῆς στέγης τοῦ μολίβδου ἢ τοῦ χαλκοῦ ἢ τοῦ κεράμου τῆς πυραμίδος, ποδῶν τοζ Ϛ΄, ἐπειδὴ ἀπὸ γ ἐστέγασται ἡ πυραμίς.

[65] Σφαίρας ἡ διάμετρος ποδῶν ιγ· εὑρεῖν αὐτῆς τὸ στερεόν. ποιῶ οὕτως· ιγ κύβισον· γίνονται Ϛβρζ. ταῦτα ἑνδεκάκις· βϚδρξζ γίνονται. τούτων τὸ κα΄· γίνονται Ϛαρν Ϛ΄ δ΄ κα΄ πδ΄. τοσούτων ποδῶν τὸ στερεόν. εὑρεῖν δὲ αὐτῆς καὶ τὴν ἐπιφάνειαν. ποίει οὕτως· ιγ ἐφ' ἑαυτά· γίνονται ρξθ. ταῦτα καθόλου τετράκις· γίνονται χοϚ. ταῦτα ἑνδεκάκις· γίνονται ϚζυλϚ. τούτων τὸ ιδ΄· γίνονται φλα ζ΄. τοσούτων ποδῶν ἔσται ἡ ἐπιφάνεια.

[66] Ἡμισφαίριον μετρῆσαι, οὗ ἡ διάμετρος ποδῶν ιγ· εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ στερεόν. ποίει οὕτως· τὰ ιγ κύβισον· γίνονται Ϛβρζ. ταῦτα ἑνδεκάκις· γίνονται βϚδρξζ. τοῦ αὐτοῦ μβ΄ γίνονται φοε δ΄ η΄. τοσούτων ποδῶν ἔσται τὸ στερεόν. εὑρεῖν αὐτοῦ καὶ τὴν ἐπιφάνειαν. τὰ ιγ ἐφ' ἑαυτά .....

[67] ..... λϚ. ταῦτα τρισσάκις· γίνονται ρη· καὶ τὴν κάθετον ἐφ' ἑαυτήν· γίνονται πα. σύνθες ὁμοῦ· γίνονται ρπθ. ταῦτα ἐπὶ τὴν κάθετον, ἐπὶ τὰ θ· γίνονται Ϛαψα. ταῦτα ἑνδεκάκις· γίνονται αϚηψια. τούτων [2] τὸ κα΄· γίνονται ωα. τοσούτων ἔσται τὸ στερεόν. εὑρεῖν αὐτοῦ καὶ τὴν ἐπιφάνειαν. τῆς βάσεως τὸ Ϛ΄ ἐφ' ἑαυτό· γίνονται λϚ· καὶ τὴν κάθετον ἐφ' ἑαυτήν· γίνονται πα· ὁμοῦ γίνονται ριζ. ταῦτα τετράκις· γίνονται υξη. ταῦτα ἑνδεκάκις· γίνονται Ϛερμη. τούτων τὸ ιδ΄· γίνονται τξζ Ϛ΄. τοσούτου ἡ ἐπιφάνεια τοῦ μείζονος τμήματος τοῦ ἡμισφαιρίου.

[68]

[1] Σφαίρας ἡ διάμετρος ποδῶν ιγ· εὑρεῖν αὐτῆς τὸ στερεόν. ποίει οὕτως· κύβισον τὴν διάμετρον· γίνονται Ϛβρζ. ταῦτα ἑνδεκάκις βϚδρξζ. τούτων τὸ κα΄· γίνονται Ϛαρν κα΄. τοσούτων ἔσται τὸ στερεόν.

[69] Ἡμισφαιρίου ἡ διάμετρος ποδῶν ιγ· εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ στερεόν. ποιῶ οὕτως· κύβισον τὴν διάμετρον· γίνονται Ϛβρζ. ταῦτα ἑνδεκάκις· γίνονται βϚδρξζ. τούτων τὸ μβ΄· γίνονται φοε δ΄ ιδ΄.

[70] Τμῆμα μεῖζον ἡμισφαιρίου, οὗ ἡ διάμετρος ποδῶν ιβ καὶ ἡ κάθετος ποδῶν θ· εὑρεῖν τὸ στερεόν. ποιῶ οὕτως· τῆς διαμέτρου τὸ Ϛ΄· γίνονται Ϛ. ταῦτα ἐφ' ἑαυτά· γίνονται λϚ. ταῦτα καθόλου ἐπὶ γ· γίνονται ρη· καὶ τὴν κάθετον ἐφ' ἑαυτήν· γίνονται πα. σύνθες ὁμοῦ· γίνονται ρπθ. ταῦτα ἐπὶ τὴν κάθετον· γίνονται Ϛαψα. ταῦτα ἑνδεκάκις· γίνονται αϚηψια. τούτων τὸ κα΄· γίνονται ωα. τοσούτων ἔσται.

[71] Τμῆμα ἧττον ἡμισφαιρίου, οὗ ἡ διάμετρος ποδῶν ιβ καὶ ἡ κάθετος ποδῶν δ· εὑρεῖν τὸ στερεόν. ποιῶ οὕτως· τῆς διαμέτρου τὸ Ϛ΄· γίνονται Ϛ. ταῦτα ἐφ' ἑαυτά· γίνονται λϚ. ταῦτα καθόλου ἐπὶ τὰ γ· γίνονται ρη· καὶ τὴν κάθετον ἐφ' ἑαυτήν· γίνονται ιϚ. σύνθες ὁμοῦ· γίνονται ρκδ. ταῦτα ἐπὶ τὴν κάθετον, ἐπὶ τὰ δ· γίνονται υϚ. ταῦτα ἑνδεκάκις· γίνονται ϚευνϚ. τούτων τὸ κα΄· γίνονται σνθ ζ΄.

[72] Σφαίρας ἡ διάμετρος ποδῶν ιγ· εὑρεῖν αὐτῆς τὴν ἐπιφάνειαν. ποιῶ οὕτως· τὰ ιγ ἐφ' ἑαυτά· γίνονται ρξθ. ταῦτα ἐπὶ τὰ δ· γίνονται χοϚ. ταῦτα ἑνδεκάκις· γίνονται ϚζυλϚ. τούτων τὸ ιδ΄· γίνονται φλα ζ΄. τοσούτου ἔσται.

[73] Ἡμισφαιρίου ἡ διάμετρος ποδῶν ιγ· εὑρεῖν τὴν ἐπιφάνειαν. ποιῶ οὕτως· τὰ ιγ ἐφ' ἑαυτά· γίνονται ρξθ. ταῦτα τετράκις· γίνονται χοϚ. ταῦτα ποίει ἑνδεκάκις· γίνονται ϚζυλϚ. τούτων τὸ κη΄· γίνονται σξε Ϛ΄ ιδ΄.

[74] Τμῆμα μεῖζον [ἡ ὑποτείνουσα] ἡμισφαιρίου, οὗ ἡ διάμετρος ποδῶν ιβ καὶ ἡ κάθετος ποδῶν θ· εὑρεῖν τὴν ἐπιφάνειαν. ποιῶ οὕτως· τὸ Ϛ΄ τῆς διαμέτρου ἐφ' ἑαυτό· γίνονται λϚ· καὶ τὴν κάθετον ἐφ' ἑαυτήν· γίνονται πα. σύνθες· ὁμοῦ ριζ. ταῦτα ἐπὶ τὰ δ· γίνονται υξη. ταῦτα ἑνδεκάκις· γίνονται Ϛερμη. τούτων τὸ ιδ΄· γίνονται τξζ Ϛ΄ ζ΄ ιδ΄.

[75] Τμῆμα ἧττον ἡμισφαιρίου, οὗ ἡ διάμετρος ποδῶν ιβ, ἡ δὲ κάθετος ποδῶν δ· εὑρεῖν τὴν ἐπιφάνειαν. ποιῶ οὕτως· τὸ Ϛ΄ τῆς διαμέτρου ἐφ' ἑαυτό· γίνονται λϚ· καὶ τὴν κάθετον ἐφ' ἑαυτήν· γίνονται ιϚ. σύνθες ὁμοῦ· γίνονται νβ. ταῦτα καθολικῶς ἐπὶ τὰ δ· γίνονται πόδες ση. ταῦτα ἑνδεκάκις· γίνονται πόδες Ϛβσπη. τούτων τὸ ιδ΄· γίνονται ρξγ γ΄ ιδ΄ μβ΄.

[76] Φοῦρνον μετρῆσαι, οὗ τὸ ἔμφωτον ποδῶν ι καὶ τὸ πάχος τῆς οἰκοδομῆς ποδῶν β· εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ στερεόν. ποίει οὕτως· σύνθες τὰ β πάχη· .... γίνονται ιδ. ταῦτα κύβισον· γίνονται Ϛβψμδ. ἐκ τούτων ἆρον τὸ ἔμφωτον κυβίσας· γίνονται Ϛα· λοιπὸν Ϛαψμδ. ταῦτα ἑνδεκάκις· γίνονται αϚθρπδ. τούτων τὸ μβ΄· γίνονται υνϚ Ϛ΄ ζ΄ ιδ΄. [76a] Μέτρησις φούρνου. φοῦρνον μετρήσωμεν οὕτως, οὗ τὸ ἔμφωτον μοδίων ι· ταῦτα τὰ ι κυβίσεται· ταῦτα ἑνδεκάκις· τούτων τὸ μβ΄. τὸ δὲ βησαλικόν· σύνθες τὴν διάμετρον καὶ τὰ πάχη· ταῦτα κύβισον.

[77] Ἀστερίσκον μονοείλητον μετρῆσαι, οὗ τὸ ἔμφωτόν ἐστι ποδῶν δ, τὸ δὲ πάχος ἀνὰ ποδὸς α, τὸ δὲ πλάτος ποδῶν γ· εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ στερεόν. ποιῶ οὕτως· σύνθες ἑκατέρωθεν τὸν ἕνα πόδα· ὁμοῦ γίνονται Ϛ. ταῦτα ἐφ' ἑαυτά· γίνονται λϚ. ἆρον τὸ ἔμφωτον ἐφ' ἑαυτό· γίνονται ιϚ· λοιπὸν κ. ταῦτα ἐπὶ τὸ ἕν, ἐπὶ τὸ ὕψος· γίνονται κ. ταῦτα ἐπὶ τὸ πλάτος, ἐπὶ τὰ γ· γίνονται ξ. ταῦτα ἑνδεκάκις· γίνονται χξ· ὧν ιδ΄ γίνονται μζ ζ΄.

[78] Ἄλλως δὲ πάλιν· σύνθες τὸ ἔμφωτον καὶ ἓν πάχος· γίνονται ε. ταῦτα ἐπὶ τὰ κβ· γίνονται ρι. ταῦτα ἐπὶ τὸ ὕψος, ἐπὶ τὸ α· γίνονται ρι· ὧν ζ΄ γίνονται ιε Ϛ΄ ζ΄ ιδ΄. ταῦτα ἐπὶ τὸ πλάτος, ἐπὶ τὰ γ· γίνονται μζ ζ΄.

[79] Ἀστερίσκον διπλοείλητον μετρῆσαι, οὗ ἡ διάμετρος ποδὸς α καὶ τὸ πλάτος ποδῶν γ καὶ τὸ ὕψος ποδῶν β· εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ στερεόν. ποίει οὕτως· [σύνθες] τὴν διάμετρον ἐπὶ τὰ β· γίνονται η. ταῦτα ἐφ' ἑαυτά· γίνονται ξδ. ἆρον τὸ ἔμφωτον ἐφ' ἑαυτό· γίνονται ιϚ· λοιπὸν γίνονται μη. ταῦτα ἐπὶ τὸ πλάτος, ἐπὶ τὰ γ· γίνονται ρμδ. ταῦτα ἑνδεκάκις· γίνονται Ϛαφπδ· ὧν τὸ ιδ΄· γίνονται ριγ ζ΄.

[80] Κόγχης ἡ διάμετρος ποδῶν κ, τὸ δὲ κέντρον ποδῶν Ϛ Ϛ΄· εὑρεῖν, ἀπὸ ποίου κύκλου τὸ τμῆμα ἢ ἀπὸ ποίας διαμέτρου. ποίει πάντοτε τῆς βάσεως μέρος Ϛ΄ ἐφ' ἑαυτό· γίνονται ρ. ταῦτα μέρισον παρὰ τὸν Ϛ Ϛ΄ τοῦ κέντρου· γίνονται ιε γ΄. νῦν πρόσθες καὶ τὸ κέντρον πόδας Ϛ Ϛ΄· καὶ γίνεται κα Ϛ΄ γ΄ ἡ διάμετρος.

[81] Τεταρτημορίου κόγχης ἡ διάμετρος ποδῶν ιβ, τὸ δὲ κέντρον ποδῶν γ, ἡ δὲ κάθετος ποδῶν δ· εὑρεῖν τὸ στερεὸν τῆς ὑφαιρέσεως. ποίει οὕτως· τῆς βάσεως τὸ Ϛ΄ ἐφ' ἑαυτό· γίνονται λϚ. ἀλλὰ καὶ τὴν κάθετον ἐφ' ἑαυτήν· γίνονται ιϚ. ταῦτα σύνθες· γίνονται νβ. τούτοις πρόσθες τὸ Ϛ΄· γίνονται οη. ἔτι τούτοις πρόσβαλε τοῦ κέντρου τὰ γ ἐφ' ἑαυτά· γίνονται θ· ὁμοῦ πόδες πζ. ταῦτα ἀεὶ τρισσάκις· γίνονται σξα· ὧν τὸ Ϛ΄ ρλ Ϛ΄. ταῦτα ἑνδεκάκις· γίνονται Ϛαυλε Ϛ΄· ὧν κα΄ γίνονται ξη γ΄. τοσούτου τὸ στερεὸν τῆς ὑφαιρέσεως.

[82] Τεταρτημορίου κόγχης ἡ διάμετρος ποδῶν ι, κέντρον ποδῶν ζ, κάθετος ποδῶν Ϛ· εὑρεῖν τὸ στερεὸν τῆς ὑφαιρέσεως. ποιῶ τῆς διαμέτρου τὸ Ϛ΄ ἐφ' ἑαυτό· γίνονται κε· καὶ τὰ Ϛ τῆς καθέτου ἐφ' ἑαυτά· γίνονται λϚ· ὁμοῦ γίνονται ξα. τούτοις πρόσθες τὸ Ϛ΄· γίνονται α Ϛ΄. καὶ τὰ ζ ἐφ' ἑαυτά· γίνονται μθ· ὁμοῦ πρόσθες· γίνονται ρμ Ϛ΄. ταῦτα ἀεὶ ἐπὶ τὰ γ· γίνονται υκα Ϛ΄· ὧν τὸ Ϛ΄· γίνονται σι Ϛ΄ δ΄. ταῦτα ἑνδεκάκις· γίνονται Ϛβτιη δ΄· ὧν τὸ κα΄· γίνονται ρι δ΄ η΄. τοσούτου τὸ στερεόν.

[83] Τεταρτημορίου κόγχης ἡ διάμετρος ποδῶν ιβ, τὸ δὲ κέντρον ποδῶν γ, ἡ δὲ κάθετος ποδῶν δ· εὑρεῖν τὴν ἐπιφάνειαν. ποίει οὕτως· τὸ Ϛ΄ τῆς βάσεως ἐφ' ἑαυτό· γίνονται λϚ· καὶ τὰ δ προσλάμβανε ἐφ' ἑαυτὰ τῆς καθέτου· γίνονται ιϚ· ὁμοῦ νβ· ὧν τὸ Ϛ΄· γίνονται κϚ. καὶ τὰ γ τοῦ κέντρου ἐφ' ἑαυτά· γίνονται θ. σύνθες ὁμοῦ· γίνονται λε. ταῦτα ἐπὶ τὰ γ· γίνονται ρε. ταῦτα ἑνδεκάκις· γίνονται Ϛαρνε· ὧν τὸ κα΄· γίνονται νε. τοσούτου ἡ ἐπιφάνεια.

[84] Τεταρτημορίου κόγχης ἡ διάμετρος ποδῶν ι, κέντρον ποδῶν ζ, κάθετος ποδῶν Ϛ· εὑρεῖν τὴν ἐπιφάνειαν. οὕτως· τῶν ι τὸ Ϛ΄· γίνονται ε. ταῦτα ἐφ' ἑαυτά· γίνονται κε· καὶ τὰ Ϛ ἐφ' ἑαυτὰ τῆς καθέτου· γίνονται λϚ. σύνθες ὁμοῦ· γίνονται ξα· ὧν τὸ Ϛ΄· γίνονται λ Ϛ΄. καὶ τὰ ζ τοῦ κέντρου ἐφ' ἑαυτά· γίνονται μθ. σύνθες ὁμοῦ· γίνονται οθ Ϛ΄. ταῦτα ἀεὶ ἐπὶ τὰ γ· γίνονται σλη Ϛ΄. ταῦτα ἑνδεκάκις· γίνονται Ϛβχκγ Ϛ΄· ὧν τὸ κα΄· γίνονται ρκδ Ϛ΄ γ΄ ιδ΄ μβ΄. τοσούτου ἡ ἐπιφάνεια.

[85] Τεταρτημορίου κόγχης λαβεῖν τὸ στερεὸν τοῦ σκηνώματος. ποίει οὕτως· τὴν διάμετρον κύβισον αὐτὴν ἐφ' ἑαυτήν· ταῦτα ἑνδεκάκις· ὧν πδ΄ γίνονται πόδες.

[2] Ἐὰν δὲ ἡμισφαιρίου, τῇ αὐτῇ μεθόδῳ παρὰ τὸ μβ· γίνονται πόδες. ἐὰν δὲ σφαίρας, ὧν κα΄ γίνονται πόδες.

[86]

[1] Τὸ ἐξεχίγωνον ἐὰν ἔχῃ διαμέτρου πόδας ι, μήκους πόδας ι, καθέτου πόδας ε, πόσου τὸ στερεὸν τῆς ὑφαιρέσεως; ποιῶ οὕτως· τὸ μῆκος ἐπὶ τὸ πλάτος· γίνονται ρ. ταῦτα ἐπὶ τὴν κάθετον· γίνονται φ. ταῦτα ἐννεακαιδεκάκις· γίνονται Ϛθφ· ὧν τὸ κα΄· γίνονται πόδες υνβ γ΄ κα΄. τοσούτου ἔσται τὸ στερεὸν τῆς ὑφαιρέσεως.

[2] Καὶ πόσου ἡ ἐπιφάνεια; ποίει οὕτως· τῆς διαμέτρου τὰ ι ἐφ' ἑαυτά· γίνονται ρ. ταῦτα ἑνδεκάκις· γίνονται Ϛαρ· ὧν κη΄ γίνονται πόδες λθ δ΄ κη΄. ταῦτα ἐπὶ τὰ ι τοῦ μήκους· γίνονται πόδες τβ Ϛ΄ δ΄ η΄. τοσούτου ἔσται ἡ ἐπιφάνεια.

[87]

[1] Καὶ ἐὰν ἔχῃ τὸ αὐτὸ ἐξεχίγωνον διαμέτρου πόδας ι, μήκους ιε, καθέτου πόδας ε, ποίει οὕτως· τὰ ι ἐπὶ τὰ ιε· γίνονται ρν. ταῦτα ἐπὶ τὰ ε τῆς καθέτου· γίνονται ψν. ταῦτα ἐννεακαιδεκάκις· γίνονται αϚδσν· ὧν κα΄ γίνονται πόδες χοη Ϛ΄ ιδ΄. τοσούτου τὸ στερεὸν τῆς ὑφαιρέσεως.

[2] Καὶ πόσου ἡ ἐπιφάνεια; οὕτως· τῆς διαμέτρου τὰ ι ἐφ' ἑαυτά· γίνονται ρ. ταῦτα ἑνδεκάκις· γίνονται Ϛαρ· ὧν κη΄ γίνονται λθ δ΄ κη΄. ταῦτα ἐπὶ τὰ ιε τοῦ μήκους· γίνονται πόδες φπθ. τοσούτων ποδῶν ἔστω ἡ ἐπιφάνεια.

[88]

[1] Καὶ ἐὰν ἔχῃ τὸ αὐτὸ ἐξεχίγωνον διαμέτρου πόδας ι, μήκους πόδας ιε, καθέτου πόδας ζ, πόσου τὸ στερεόν; ζήτει, καθὼς προγέγραπται, τῇ αὐτῇ μεθόδῳ. καὶ πόσου ἡ ἐπιφάνεια; ζήτει, καθὼς προγέγραπται.

[2] Καὶ ἐὰν ἔχῃ διαμέτρου πόδας ι, μήκους πόδας ιε, καθέτου πόδας γ, πόσου τὸ στερεὸν τῆς ὑφαιρέσεως; ποδῶν υζ ζ΄. ζήτει, καθὼς προγέγραπται. καὶ πόσου ἡ ἐπιφάνεια; ζήτει, καθὼς προγέγραπται.

[3] Ὁμοίως καὶ τὸ τετρακάμαρον τῇ αὐτῇ μεθόδῳ μετρεῖται, τό τε στερεὸν καὶ τὸ κένωμα.

[89]

[1] Χρὴ εἰδέναι, ὅτι ἐν τῇ μετρήσει αὐτῶν τῶν εἰλημάτων ἡμισφαιρίου ἤτοι ἐξεχιγώνου ὅτι λαμβάνει τις τὸ μῆκος καὶ τὸ πλάτος τοῦ σχήματος καὶ συντίθησι καὶ ποιεῖ τὸ Ϛ΄, τουτέστι ι καὶ η· ὧν τὸ Ϛ΄· γίνονται θ. καὶ πάλιν τὴν διαγώνιον λαβών, τουτέστι πόδας ιγ, σύνθες μετὰ τῶν θ· γίνονται πόδες κβ· ὧν τὸ Ϛ΄· γίνονται ια. ἔστω ἡ διάμετρος κοινῷ λόγῳ ποδῶν ια.

[90] Τετρακάμαρον μετρῆσαι. ποίει οὕτως· ἔστω τὸ μῆκος ποδῶν ι καὶ τὸ πλάτος ποδῶν ι, τὸ δὲ ὕψος ποδῶν ε. ποίει τὸ μῆκος ἐπὶ τὸ πλάτος· γίνονται πόδες ρ. ταῦτα ἐπὶ τοὺς ε τοῦ ὕψους· γίνονται πόδες φ· ἐξ ὧν ὑφαιρῶ τὸν ἔσωθεν ἀέρα, μῆκος ποδῶν η, πλάτος ποδῶν η· γίνονται πόδες ξδ. ταῦτα ἐπὶ τὴν κάθετον, ἐπὶ τοὺς δ πόδας· γίνονται πόδες σνϚ. ταῦτα ποιῶ ἐπὶ τὰ ιθ· γίνονται πόδες Ϛδωξδ. ἄρτι μερίζω· ὧν τὸ κα΄· γίνονται πόδες σλα Ϛ΄ ιδ΄ κα΄. ἆρον ἀπὸ τῶν φ ποδῶν τῆς μάσσης· λοιπὸν γίνονται πόδες σξη Ϛ΄ ζ΄ ιδ΄.

[91] Τετράσειρον μετρήσομεν, οὗ τὸ μῆκος ποδῶν Ϛ καὶ τὸ πλάτος ποδῶν Ϛ καὶ ἡ κάθετος ποδῶν γ· εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ στερεόν. ποιῶ οὕτως· τὴν διάμετρον ἐπὶ τὸ μῆκος· γίνονται λϚ· ταῦτα ἑνδεκάκις· γίνονται τϚ· ὧν ιδ΄ γίνονται κη δ΄. ταῦτα ἐπὶ τὰ γ τῆς καθέτου· γίνονται πόδες πδ Ϛ΄ δ΄· καὶ τὰ ιη δ΄· ὁμοῦ γίνονται πόδες ργ. τοσούτων ποδῶν τὸ στερεὸν τοῦ κενώματος.

[2] Καὶ πόσου ἡ ἐπιφάνεια τοῦ αὐτοῦ τετρασείρου; ποιῶ οὕτως· λάμβανε τὴν περίμετρον ἀπὸ τῆς διαμέτρου· γίνονται πόδες ιθ παρὰ τὸ ζ΄. ταῦτα ποιῶ ἐπὶ τὴν κάθετον τῶν γ ποδῶν· γίνονται νϚ Ϛ΄ ιδ΄. τοσούτων ἔστω ἡ ἐπιφάνεια τοῦ τετρασείρου.

[92]

[1] Ἔλλειψιν μετρήσομεν, ἧς ὁ μὲν μείζων ἄξων ποδῶν ιϚ, ὁ δὲ μικρότερος ποδῶν ιβ. ἐπειδὴ οὖν ἐν τοῖς Κωνοειδέσιν ὁ Ἀρχιμήδης δείκνυσιν, ὅτι τὸ ὑπὸ τῶν ἀξόνων δύναται τὸ ἀπὸ κύκλου διαμέτρου ἴσου τῇ ἐλλείψει, ποίει οὕτως· πολυπλασίαζε τὰ ιβ ἐπὶ τὰ ιϚ· γίνονται πόδες ρβ. ταῦτα ποιῶ ἑνδεκάκις· γίνονται πόδες Ϛβριβ· ὧν ιδ΄ γίνονται πόδες ρν Ϛ΄ δ΄ ιδ΄ κη΄. καὶ ἕξεις τοσούτων ἀποφαίνεσθαι τὸ τῆς ἐλλείψεως ἐμβαδόν.

[93] Ἔστω δὴ παραβολὴν μετρῆσαι τὴν ΑΒΓ, ἧς ἡ μὲν ΑΓ βάσις ποδῶν ιβ, ὁ δὲ ΒΔ ἄξων ποδῶν ε. ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΒ, ΒΓ· τὸ ἄρα ἐμβαδὸν τοῦ ΑΒΓ τριγώνου τὸ Ϛ΄ ἐστιν τοῦ ὑπὸ ΑΓ, ΒΔ, τουτέστι ποδῶν λ. ἀπέδειξεν δὲ ὁ Ἀρχιμήδης ἐν τῷ Ἐφοδικῷ λόγῳ, ὡς προείρηται, ὅτι πᾶν τμῆμα περιεχόμενον ὑπὸ εὐθείας καὶ ὀρθογωνίου κώνου τομῆς, τουτέστι παραβολῆς, ἐπίτριτον τοῦ τριγώνου τοῦ τὴν βάσιν ἔχοντος αὐτοῦ καὶ ὕψος ἴσον, τουτέστιν τοῦ ΑΒΓ τριγώνου. τοῦ δὲ ΑΒΓ τριγώνου τὸ ἐμβαδὸν ποδῶν λ· τὸ ἄρα τοῦ τμήματος τοῦ περιεχομένου ὑπὸ τῆς παραβολῆς ἔσται ποδῶν μ.

[94] Ὄνυχα μετρήσομεν, οὗ ἡ κάθετος ποδῶν ζ καὶ ἡ βάσις ποδῶν ζ καὶ ἡ κοίλη ποδῶν ια· εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδόν. ποιῶ οὕτως τῆς κοίλης οὐκ ἀναγκαίας οὔσης μετρεῖσθαι· τὰ οὖν ζ ἐφ' ἑαυτά· γίνονται πόδες μθ. ταῦτα διὰ παντὸς ἐπὶ τὰ γ· γίνονται πόδες ρμζ. τούτων τὸ ιδ΄· γίνονται πόδες ι Ϛ΄. ἔστω τὸ ἐμβαδὸν ποδῶν ι Ϛ΄. λοιπόν, ἐὰν ᾖ στερεόν, ποίει ταῦτα τὰ τοῦ ἐμβαδοῦ ἐπὶ τὸ πάχος· γίνονται. ἐὰν δὲ θέλῃς τὴν κοίλην τοῦ ὄνυχος εὑρεῖν, πάντοτε τῇ καθέτῳ πρόστιθε τὸ ἴδιον Ϛ΄ καὶ τὸ ιδ΄· ὁμοῦ γίνονται πόδες ια.

[95] Διόνυχα μετρήσομεν, οὗ ἡ διάμετρος ποδῶν ιδ καὶ ἡ κάθετος ποδῶν ζ· εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδόν. ποίει οὕτως· τὴν κάθετον ἐπὶ τὴν βάσιν, τὰ ζ ἐπὶ τὰ ιδ· γίνονται η. ταῦτα ἀεὶ ἐπὶ τὰ γ· γίνονται πόδες σδ. τούτων τὸ ιδ΄· γίνονται πόδες κα. τοσούτου τὸ ἐμβαδόν. ἐὰν δὲ ᾖ στερεόν, ποίει τὸ ἐμβαδὸν ἐπὶ πάχος, καὶ ἕξεις τὸ στερεόν.

[96] Τρίκεντρον μετρήσομεν, οὗ ἡ βάσις ποδῶν η καὶ ἡ κάθετος ποδῶν θ· εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδόν. ποιῶ οὕτως· τὰ η ἐπὶ τὰ θ· γίνονται οβ· ὧν Ϛ΄ γίνονται λϚ. τούτων τὸ γ΄· γίνονται πόδες ιβ. σύνθες· ὁμοῦ γίνονται πόδες μη. τοσούτου τὸ ἐμβαδόν ἐστιν. τινὲς δὲ οὕτως ἐμέτρησαν ὡς παραβολήν.

[97] Ἄλλως δὲ πάλιν μετρήσομεν, οὗ ἡ βάσις ποδῶν η καὶ ἡ κάθετος ποδῶν θ· εὑρεῖν τὸ ἐμβαδόν. ποιῶ οὕτως· σύνθες βάσιν καὶ κάθετον· ὁμοῦ γίνονται πόδες ιζ· ὧν Ϛ΄ γίνονται πόδες η Ϛ΄. ταῦτα ἐφ' ἑαυτά, ὡς ἐπὶ τῶν κύκλων· γίνονται πόδες οβ δ΄. ταῦτα ἑνδεκάκις· γίνονται πόδες ψδ Ϛ΄ δ΄. ἄρτι μερίζω· ὧν ιδ΄ γίνονται πόδες νϚ Ϛ΄ δ΄ νϚ΄.

Μέτρησις τετραστόου ἤτοι τετρακαμάρου ἐπὶ τετραγώνου βάσεως οὕτως·

[1] Ἔστω ἡ πλευρὰ ποδῶν ιβ. ταῦτα ἐφ' ἑαυτά· γίνονται πόδες ρμδ. ταῦτα δίς· γίνονται σπη· ὧν πλευρὰ τετραγωνική ἐστι ποδῶν ιζ παρὰ τὸ σύνεγγυς. τοσούτου ἡ διάμετρος. ταῦτα ἐφ' ἑαυτά· γίνονται σπη. ταῦτα ἐπὶ τὴν κάθετον, ἐπὶ τὰ η Ϛ΄· γίνονται Ϛβυμη. ταῦτα ἑνδεκάκις· γίνονται β ϚϚϠκη· ὧν κα΄ γίνονται [2] Ϛασπβ Ϛ κα΄. τοσούτου ἐστὶν ἡ ὑφαίρεσις. ἔτι ἐκ τῆς ὑφαιρέσεως διᾶραι τὰ δ τμήματα τῶν κογχῶν οὕτως· ἡ ἡμίσεια τῶν πλευρῶν ἐστι ποδῶν Ϛ. ταῦτα ἐφ' ἑαυτά· γίνονται λϚ· ταῦτα ἀεὶ καὶ πάντοτε ἐπὶ τὰ γ· γίνονται πόδες ρη. καὶ τὸ ἀπὸ τῆς καθέτου, τουτέστιν ἀπὸ τῶν β Ϛ΄· γίνονται Ϛ δ΄· πρόσβαλε τοῖς ρη· γίνονται πόδες ριδ δ΄. ταῦτα ἐπὶ τὴν κάθετον, ἐπὶ τοὺς β Ϛ΄ πόδας· γίνονται πόδες σπε Ϛ΄ η΄. ταῦτα ἑνδεκάκις· γίνονται πόδες Ϛγρμα· ὧν κα΄ γίνονται πόδες ρμθ Ϛ΄ η΄. ταῦτα δίς· γίνονται πόδες σθ δ΄. λοιπὸν Ϡπβ Ϛ΄ δ΄.

[2]

[1] Εἰς σφαῖραν θέλω ἐμβαλεῖν κύβον τετράγωνον· εἰπέ μοι, πόση ἑκάστη πλευρὰ τοῦ κύβου. ποιῶ οὕτως· ἐὰν ᾖ ἡ διάμετρος τῆς σφαίρας ποδῶν ιζ, ποιῶ τὸ Ϛ΄· τῆς διαμέτρου· γίνονται πόδες η Ϛ΄. ταῦτα ἐφ' ἑαυτά· γίνονται πόδες οβ δ΄. ταῦτα δίς· γίνονται πόδες ρμδ Ϛ΄· ὧν πλευρὰ τετραγωνικὴ γίνεται ποδῶν ιβ. τοσούτων [2] ποδῶν ἐστιν ἑκάστη πλευρὰ τοῦ κύβου, ποδῶν ιβ. τὴν δὲ διαγώνιον εὑρεῖν τοῦ αὐτοῦ κύβου, ἥτις ἐστὶ διάμετρος τῆς σφαίρας. ποιῶ οὕτως· τὴν μίαν πλευρὰν τοῦ κύβου, ἥτις ἐστὶ ποδῶν ιβ, ποίει ἐφ' ἑαυτήν· γίνονται πόδες ρμδ. ταῦτα δίς· γίνονται σπη· ὧν πλευρὰ τετραγωνικὴ γίνεται ποδῶν ιζ. τοσούτου ἐστὶν ἡ διαγώνιος τοῦ κύβου, ἥτις ἐστὶ διάμετρος τῆς σφαίρας.

[3]

[1] Κολυμβήθρας καὶ φρέατος καὶ κούππας καὶ κίονος καὶ τοίχων καὶ λίθων καὶ πηλῶν καὶ τῶν δοκῶν οἱονδηποτοῦν σχῆμα ἐάν τις εἴπῃ τὸ μῆκος καὶ τὸ πλάτος καὶ τὸ βάθος ἢ τὸ ὕψος, ἐάν τις ζητήσῃ, πόσα κεράμια χωρεῖ, ἢ πόσοι πόδες στερεοὶ γίνονται, εὑρήσομεν οὕτως· πολυπλασιάζω τὸ μῆκος ἐπὶ τὸ πλάτος καὶ τὰ γινόμενα ἐπὶ τὸ βάθος ἢ ἐπὶ τὸ ὕψος· καὶ τοσαῦτα κεράμια ἔσται ἢ πόδες στερεοί.

[4] Οἷον ἔστω κολυμβήθρα καὶ ἐχέτω τὸ μῆκος ποδῶν κε, τὸ δὲ πλάτος ποδῶν ιβ, τὸ δὲ ὕψος [ἤτοι τὸ βάθος] ποδῶν ε· εὑρεῖν, πόσα κεράμια χωρήσει, ἢ πόσοι στερεοὶ γίνονται πόδες. ποίει οὕτως· πολυπλασιάζω τὸ μῆκος ἐπὶ τὸ πλάτος ἤγουν τὰ κε ἐπὶ τὰ ιβ· γίνονται τ. ταῦτα ἐπὶ τὸ βάθος, ἐπὶ τὰ ε· γίνονται Ϛαφ. τοσαῦτα χωρήσει κεράμια.

[5] Ἔστω κολυμβήθρα καὶ ἐχέτω τὸ μῆκος ποδῶν ι, τὸ δὲ πλάτος ποδῶν ε καὶ τὸ βάθος ποδῶν δ, καὶ μεμαρμαρώσθω· ζητῶ, πόσους πόδας συνάγει. ποίει οὕτως· συντιθῶ τὰ ι καὶ τὰ ε· γίνονται ιε. ταῦτα ποιῶ δίς· γίνονται λ. ταῦτα ἐπὶ τὸ βάθος, ἐπὶ τοὺς δ πόδας· γίνονται ρκ. γενήσονται οἱ τοῖχοι τῆς κολυμβήθρας [2] ρκ. ἔστω νῦν καὶ τὸ ἔδαφος τῆς κολυμβήθρας εὑρεῖν. ποίει οὕτως· πολυπλασιάζω τὸ πλάτος ἐπὶ τὸ μῆκος· γίνονται πόδες ν. ταῦτα προστίθημι τοῖς ρκ· γίνονται ρο. ἔσται ποδῶν ρο.

[6]

[1] Ἔστω φρέαρ καὶ ἐχέτω διάμετρον ποδῶν ε, καὶ περιοικοδομείσθω τοῖχος ἔχων πλάτος ποδῶν β, τὸ δὲ βάθος ποδῶν κ· εὑρεῖν, πόσων ποδῶν γίνεται ὁ τοῖχος. ποίει οὕτως· τοῦ τοίχου τὸ πλάτος δίς· γίνονται δ. ταῦτα προστίθημι τῇ διαμέτρῳ τοῖς ε· γίνονται πόδες θ· ἔστω ἡ διάμετρος τοῦ τοίχου καὶ τοῦ φρέατος ποδῶν θ. ταῦτα ἐφ' ἑαυτά· γίνονται πα· καὶ ἀφαιρῶ ἀπὸ τῶν πα τὴν διάμετρον τοῦ φρέατος τὰ ε ἐφ' ἑαυτά· γίνονται κε· λοιπὸν νϚ. ταῦτα ἀεὶ ἑνδεκάκις· γίνονται χιϚ. τούτων ἀεὶ τὸ ιδ΄· γίνονται μδ. ταῦτα πολυπλασιάζω ἐπὶ τὸ βάθος· γίνονται ωπ. ἔσται ὁ τοῖχος στερεῶν ποδῶν ωπ.

[7] Ἔστω κοῦππα καὶ ἐχέτω τὴν κάτω διάμετρον ποδῶν ε, τὴν δὲ ἄνω ποδῶν γ, τὸ δὲ ὕψος ποδῶν η, καὶ ἐχέτω τὸν οἶνον ἕως ποδῶν Ϛ· πόσα οὖν κεράμια χωρήσει; ποιῶ οὕτως· ἀφαιρῶ τὰ γ ἀπὸ τῶν ε· λοιπὸν β. ταῦτα ἐπὶ τὰ Ϛ· γίνονται ιβ. τούτων τὸ η΄· γίνεται α Ϛ΄. καὶ ἀφαιρῶ τὴν α Ϛ΄ ἀπὸ τῶν ε· λοιπὸν γ Ϛ΄. ἔσται οὖν τὸ πλάτος, ἕως ὅπου ὁ οἶνος ἀνέβαινεν, [2] ποδῶν γ Ϛ΄. καὶ ποιῶ τὰ γ Ϛ΄ καὶ τὰ ε ὁμοῦ· γίνονται πόδες η Ϛ΄· ὧν Ϛ΄ γίνονται δ δ΄. καὶ ταῦτα ἐφ' ἑαυτά· γίνονται πόδες ιη ιϚ΄. ταῦτα ἑνδεκάκις· γίνονται ρη Ϛ΄ η΄ ιϚ΄. τούτων μερίζω τὸ ιδ΄· γίνονται πόδες ιδ ζ΄ κη΄ ριβ΄ σκδ΄. ταῦτα ποιῶ ἐπὶ τὸ ὕψος, ἐπὶ τοὺς Ϛ. γίνονται πόδες πε ζ΄ ριβ΄. τοσαῦτα κεράμια χωρήσει, πε ζ΄ ριβ΄.

[8]

[1] Ἔστω κοῦππα καὶ ἐχέτω τὴν ἄνω διάμετρον ποδῶν Ϛ καὶ τὴν κάτω διάμετρον ποδῶν η, τὸ δὲ ὕψος ποδῶν ι· εὑρεῖν, πόσα κεράμια χωρήσει. ποιῶ οὕτως· συντίθημι τὴν ἄνω διάμετρον καὶ τὴν κάτω· γίνονται ιδ· ὧν τὸ Ϛ΄· γίνονται ζ. ταῦτα ἐφ' ἑαυτά· γίνονται πόδες μθ. ταῦτα ἑνδεκάκις· γίνονται φλθ. τούτων τὸ ιδ΄· γίνονται πόδες λη Ϛ΄. ταῦτα ποιῶ ἐπὶ τὸ ὕψος, ἐπὶ τοὺς ι πόδας· γίνονται τπε. τοσαῦτα κεράμια χωρήσει, τπε.

[9] Ἔστω βούττις καὶ ἐχέτω τὴν ἄνω διάμετρον ποδῶν Ϛ, τὴν δὲ μέσην ποδῶν η, τὸ δὲ ὕψος ποδῶν ι· εὑρεῖν, πόσα κεράμια χωρεῖ. ποιῶ οὕτως· συντιθῶ τὴν μέσην διάμετρον καὶ τὴν ἄνω· ὁμοῦ γίνονται πόδες ιδ· ὧν Ϛ΄ γίνονται πόδες ζ. ταῦτα ἐφ' ἑαυτά· γίνονται πόδες μθ. ταῦτα ἑνδεκάκις· γίνονται πόδες φλθ. ἄρτι μερίζω· ὧν ιδ΄· γίνονται πόδες λη Ϛ΄. ταῦτα ποιῶ ἐπὶ τὸ ὕψος τοὺς ι πόδας· γίνονται τπε. τοσαῦτα κεράμια χωρεῖ ἡ βούττις.

[10] Ἔστω κίων, οὗ μῆκος ποδῶν κδ, διάμετρος ἡ ἐν τῇ ῥίζῃ ποδῶν γ, ἡ δὲ ἐν τῷ αὐχένι ποδῶν β Ϛ΄ δ΄. ποιῶ οὕτως· σύνθες τὰς δύο διαμέτρους· γίνονται ε Ϛ΄ δ΄· ὧν Ϛ΄ γίνονται β Ϛ΄ δ΄ η΄. ταῦτα ἐφ' ἑαυτά· γίνονται πόδες η δ΄ ξδ΄. ταῦτα ποίει ἑνδεκάκις· γίνονται Ϛ΄ δ΄ η΄ λβ΄ ξδ΄· ὧν ιδ΄ γίνονται Ϛ Ϛ΄ παρὰ ιϚ΄. ταῦτα ἐπὶ τὸ μῆκος· γίνονται ρνϚ. τοσούτων ποδῶν ἔσται.

[11] Ἀπὸ δὲ περιμέτρου· ἔστω κίων, οὗ τὸ μὲν μῆκος ποδῶν κδ, ἡ δὲ περίμετρος ποδῶν θ δ΄ η΄ ιδ΄ κη΄ λβ΄ ξδ΄ ρκη΄ υμη΄, ἡ δὲ ἐλάσσων ποδῶν η Ϛ΄ ιϚ΄. σύνθες τὰς β περιμέτρους· γίνονται ιη ιϚ΄ λβ΄ ρκη΄ σκδ΄· ὧν Ϛ΄ γίνονται θ καὶ μο λβ΄ ξδ΄ σνϚ΄ υμη΄. ταῦτα ἐφ' ἑαυτά· γίνονται πα Ϛ΄. ταῦτα ἑπτάκις· γίνονται πόδες φο Ϛ΄. μέρισον εἰς τὸν πη· γίνονται Ϛ δ΄ η΄ ια΄ πη΄ ροϚ΄. ταῦτα ἐπὶ τὸ μῆκος· γίνονται ρνϚ.

[12] Κίων, οὗ τὸ μῆκος ποδῶν κδ, διάμετρος ἡ μὲν πρὸς ῥίζῃ ποδῶν γ, ἡ δὲ πρὸς κορυφὴν ποδῶν β δ΄· εὑρεῖν τὸ στερεόν. ποίει οὕτως· τὴν διάμετρον ἐφ' ἑαυτήν· γίνονται θ. ἐπὶ τὸ μῆκος· γίνονται σιϚ· ὧν δ΄ γίνονται νδ· ὧν Ϛ΄ γίνονται κζ· ὁμοῦ γίνονται πα. ἆρον ἀπὸ τῶν σιϚ τὰ πα· λοιπὸν ρλε.

[13] Λίθου μῆκος ποδῶν η, πλάτος ποδῶν ε, πάχος ποδῶν δ. ποίει δι' ἀλλήλων· γίνονται ρξ. τοσούτων ποδῶν ἐστι τὸ στερεὸν τοῦ λίθου.

[14] Λίθου μῆκος ποδῶν Ϛ δ΄, πλάτος ποδῶν δ η΄, πάχος ποδῶν β γ΄. ποιῶ οὕτως· τὰ Ϛ δ΄ εἰς δ· γίνονται κε· καὶ τὰ δ η΄ εἰς η· γίνονται λγ· καὶ τὰ β γ΄ εἰς γ· γίνονται ζ· καὶ τὰ μέρη δι' ἀλλήλων· γίνονται Ϛ. νῦν πολυπλασιάζω τὰ κε ἐπὶ τὰ λγ· γίνονται ωκε· καὶ ἐπὶ τὸ πάχος, ἐπὶ τὰ ζ· γίνονται Ϛεψοε· ὧν Ϛ΄ γίνονται ξ η΄ λβ΄.

[15] Λίθου μῆκος ποδῶν ζ ζ΄, πλάτος ποδῶν δ ε΄, πάχος ποδῶν β θ΄. ποίει οὕτως· τὰ ζ ζ΄ εἰς ζ· γίνονται ν· καὶ τὰ δ ε΄ εἰς ε γίνονται κα· καὶ τὰ β θ΄ εἰς θ γίνονται ιθ· καὶ τὰ μέρη δι' ἀλλήλων· γίνονται τιε. πολυπλασίαζε νῦν τὰ ν ἐπὶ τὰ κα· γίνονται Ϛαν· καὶ ἐπὶ τὰ ιθ· γίνονται ϚθϠν. μέριζε παρὰ τὰ τιε· γίνονται ξγ γ΄. τοσούτων ποδῶν ἔσται τὸ στερεὸν τοῦ λίθου.

[16] Λίθου μῆκος ποδῶν ε η΄, πλάτος ποδῶν γ Ϛ΄ δ΄, πάχος β ιϚ΄. ποίει οὕτως· τὰ ε η΄ εἰς η· γίνονται μα· καὶ τοὺς γ Ϛ΄ δ΄ εἰς δ· γίνονται ιε· καὶ τοὺς β ιϚ΄ εἰς ιϚ· γίνονται λγ· καὶ τὰ μόρια δι' ἀλλήλων· γίνονται φιβ. νῦν πολυπλασίαζε τὰ μα ἐπὶ τὰ ιε· γίνονται χιε· καὶ ἐπὶ τὰ λγ· γίνονται β σε· ὧν φιβ΄ γίνονται λθ Ϛ΄ η΄ ογ΄.

[17] Λίθου μειούρου τὸ μῆκος ποδῶν η, πλάτος τὸ μεῖζον ποδῶν γ, τὸ δὲ ἔλασσον ποδῶν β. ποίει τὰ μείζω πάχη δι' ἀλλήλων· γίνονται θ· καὶ τοὺς β δι' ἀλλήλων· γίνονται δ. σύνθες· γίνονται ιγ· ὧν Ϛ΄ γίνονται Ϛ Ϛ΄· καὶ ἐπὶ τὸ μῆκος· γίνονται νβ. τοσούτου τὸ στερεὸν τοῦ λίθου.

[18] Σκούτλης μῆκος ποδῶν η Ϛ΄ δ΄, πλάτος ποδῶν ε Ϛ΄ Ϛ΄. ποίει οὕτως· τοὺς η Ϛ΄ δ΄ εἰς δ· γίνονται λε· καὶ τοὺς ε Ϛ΄ Ϛ΄ εἰς Ϛ· γίνονται λδ· καὶ τὰ μόρια δι' ἀλλήλων· γίνονται κδ. νῦν πολυπλασίαζε τὰ λε ἐπὶ τὰ λδ· γίνονται Ϛαρ· ὧν κδ΄ γίνονται μθ Ϛ΄ ιβ΄. τοσούτων ποδῶν ἔσται τὸ στερεὸν τῆς σκούτλης.

[19] Σκούτλης τριγώνου ὀξείας μῆκος ποδῶν ζ γ΄, πλάτος ποδῶν δ δ΄. ποίει οὕτως· τοὺς ζ γ΄ ἐπὶ τὰ γ· γίνονται κβ· καὶ τοὺς δ δ΄ ἐπὶ τὰ δ· γίνονται ιζ· ὧν Ϛ΄ γίνονται η Ϛ΄· καὶ τὰ μόρια δι' ἀλλήλων· γίνονται ιβ. νῦν πολυπλασίασον τὰ κβ ἐπὶ τὰ η Ϛ΄· γίνονται ρπζ. μέριζε παρὰ τὰ ιβ· γίνονται ιε γ΄ δ΄. τοσούτων ποδῶν ἔσται.

[20] Ἔστω κίων τετράγωνος, οὗ αἱ περὶ τὴν βάσιν πλευραὶ ἐκ ποδῶν δ, αἱ περὶ τὴν κορυφὴν ἐκ ποδῶν γ, μῆκος ποδῶν λ· εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ στερεόν. ποίει οὕτως· τοὺς ἐν τῇ βάσει πόδας δι' ἀλλήλων· γίνονται ιϚ· ὁμοίως καὶ τοὺς ἐν τῇ κορυφῇ δι' ἀλλήλων· γίνονται θ ...

[21] Ὤατον δὲ μετρῆσαι, οὗ ἡ κάτω διάμετρος ποδῶν ε καὶ ἡ ἄνω διάμετρος ποδῶν γ· εὑρεῖν, πόσους κυάθους χωρήσει. ποίει οὕτως· σύνθες τὰς δύο διαμέτρους· ὁμοῦ γίνονται πόδες η· ὧν Ϛ΄ γίνονται πόδες δ. ταῦτα κύβισον· γίνονται πόδες ξδ. ταῦτα ἑνδεκάκις· γίνονται πόδες ψδ. τούτων τὸ μβ΄· γίνονται πόδες ιϚ Ϛ΄ ζ΄ ιδ΄ κα΄. τοσούτους κυάθους χωρήσει.

[22] Πιθοειδὲς σχῆμα μετρήσομεν, οὗ ἡ μὲν μείζων διάμετρος ποδῶν δ, ἡ δὲ μικροτέρα ποδῶν γ· εὑρεῖν, πόσους χωρήσει ἀμφορέας. ποίει οὕτως· συντιθῶ τὰς β διαμέτρους· γίνονται ζ· ὧν Ϛ΄ γίνονται γ Ϛ΄. ταῦτα ἐφ' ἑαυτά· γίνονται ιβ δ΄. ταῦτα ἑνδεκάκις· γίνονται πόδες ρλε· ὧν τὸ ιδ΄· γίνονται πόδες θ Ϛ΄ ζ΄. τοσούτους ἀμφορέας χωρεῖ· ἔχει δὲ ὁ ἀμφορεὺς ξέστας Ἰταλικοὺς ἀριθμὸν μη.

[23] Πίθου σφαιροειδοῦς ἡ πρὸς τὸ χεῖλος διάμετρος ποδῶν ε, τὸ δὲ βάθος ποδῶν η· εὑρεῖν, πόσους ἀμφορέας χωρεῖ. ποιῶ οὕτως· τῆς διαμέτρου τὸ Ϛ΄· γίνονται πόδες β Ϛ΄. ταῦτα ποιῶ τρισσάκις· γίνονται πόδες ζ Ϛ΄. τούτοις προστιθῶ τὸ βάθος· ὁμοῦ γίνονται πόδες ιε Ϛ΄. ταῦτα ἐφ' ἑαυτά· γίνονται πόδες σμ δ΄. ταῦτα ἑνδεκάκις· γίνονται πόδες Ϛβχμβ Ϛ΄ δ΄. ἄρτι μερίζω· ὧν κα΄ γίνονται πόδες ρκε Ϛ΄ γ΄ πδ΄. τοσούτους ἀμφορέας χωρήσει, διότι ὁ ποὺς ὁ στερεὸς χωρεῖ ἀμφορίσκον α.

[24] Ἄλλου πίθου ἡ κάτω διάμετρος ποδῶν β Ϛ΄, ἡ δὲ ἄνω ποδῶν γ, τὸ δὲ βάθος ἔχει πόδας Ϛ· εὑρεῖν, πόσους ἀμφορέας χωρεῖ. ποιῶ οὕτως· σύνθες τὰς β διαμέτρους· γίνονται πόδες ε Ϛ΄· ὧν Ϛ΄ γίνονται β Ϛ΄ δ΄. ταῦτα ἐφ' ἑαυτά· γίνονται πόδες ζ Ϛ΄ ιϚ΄. ταῦτα ἐπὶ τὸ βάθος, ἐπὶ τοὺς Ϛ πόδας· γίνονται με δ΄ η΄. ταῦτα ἑνδεκάκις· γίνονται πόδες υθ η΄. ἄρτι μερίζω· ὧν ιδ΄ γίνονται πόδες λε Ϛ΄ ζ΄ ριβ΄. τοσούτους ἀμφορίσκους χωρήσει· ὁ δὲ ἀμφορίσκος ἔχει πόδα α στερεόν, χωρεῖ δὲ ὁ στερεὸς ποὺς ξέστας Ἰταλικοὺς ἀριθμῷ μη· γίνονται μόδιοι γ, ἕκαστος μόδιος ἐκ ξεστῶν Ἰταλικῶν ἀριθμῷ ιϚ.

[25] Ἔστω λουτὴρ στρογγύλος, οὗ ἡ κάτω διάμετρος ποδῶν ε, ἡ δὲ ἄνω πρὸς τὸ χεῖλος ποδῶν ι, τὸ δὲ βάθος ποδῶν Ϛ· εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ στερεόν. ποιῶ οὕτως· τὰ ε ἐφ' ἑαυτά· γίνονται κε· καὶ τὰ ι ἐφ' ἑαυτά· γίνονται ρ· ὁμοῦ ρκε. καὶ ποιῶ τὰ ε ἐπὶ τὰ ι· γίνονται ν. ταῦτα προστιθῶ τοῖς ρκε· ὁμοῦ γίνονται πόδες ροε. τούτων λαμβάνω τὸ γ΄ μέρος· γίνονται πόδες νη γ΄. ταῦτα ποιῶ ἐπὶ τὸ βάθος, ἐπὶ τοὺς Ϛ πόδας· γίνονται πόδες τν. ἔσονται στερεοὶ πόδες τν, καὶ χωρήσει κεράμια τν.

[26] Ἔστω κολυμβήθρα καὶ ἐχέτω τὸ μῆκος ποδῶν κε, τὸ δὲ πλάτος ποδῶν ιβ, τὸ δὲ ὕψος ποδῶν ε [ἤτοι τὸ βάθος]· εὑρεῖν, πόσα κεράμια χωρήσει, ἢ πόσοι πόδες στερεοὶ γίνονται. ποίει οὕτως· πολυπλασιάζω τὰ ιβ ἐπὶ τὰ κε· γίνονται τ. ταῦτα ἐπὶ τὸ βάθος, ἐπὶ τὰ ε· γίνονται Ϛαφ. τοσαῦτα χωρήσει κεράμια.

[27] Ἀπὸ σκιᾶς εὑρεῖν κίονος μεγάλου ἢ δένδρου ὑψηλοῦ τὸ ὕψος ἀπὸ ὥρας ε΄ ἕως ὥρας ζ΄, ὅτε μικρὰν τὴν σκιὰν ἔχει. ποιῶ οὕτως· θὲς εἰς τὸν ἥλιον ῥάβδον ἴσην δίπηχυν πλησίον τοῦ δένδρου ἢ κίονος καὶ ἰδέ, πόσην σκιὰν ποιεῖ, καὶ νόμιζε, ὅτι ἐποίησε τὴν σκιὰν ποδῶν Ϛ· δῆλον, ὅτι διπλασίονα ἀναλογίαν ἔχει ἡ σκιὰ πρὸς [2] τὴν ῥάβδον. μετρήσωμεν οὖν τοῦ κίονος ἢ δένδρου τὴν σκιάν, καὶ εὑρέθησαν νόμιζε πόδες ρ· λέγω, ὅτι ν πόδας ἔχει. ὥσπερ καὶ ἐπὶ τῆς ῥάβδου διπλασίονα ἀναλογίαν ἔχει ἡ σκιά, οὕτω καὶ ἐπὶ τοῦ κίονος ἤτοι ἐπὶ τοῦ δένδρου τῷ διαλογισμῷ, καίτοι διάφοροι εὑρίσκονται. ὥσπερ οὖν ἐνταῦθα τὰ μὲν .... οἷον λόγον ἔχει ἡ ῥάβδος πρὸς τὴν ἀφ' ἑαυτῆς σκιάν, οὕτω καὶ τὸ δένδρον πρὸς τὴν ἀφ' ἑαυτοῦ σκιὰν καὶ ὁ κίων.

[28]

[1] Ἐὰν ᾖ ψαλίς, ἣ ἐγγεγραμμένη ἐστὶν ἐν τετραγώνῳ, ταύτην μετρήσωμεν οὕτως· ἔστω γὰρ αὐτῆς τὸ μὲν μῆκος ποδῶν κα, τὸ δὲ πλάτος ποδῶν ιβ, τὸ δὲ βάθος ποδῶν ε, τῆς μὲν ψαλίδος ἡ βάσις ποδῶν δ, ἡ δὲ τῆς καμάρας ποδῶν ιϚ, ἡ δὲ κάθετος ποδῶν ιδ, τὸ δὲ βάθος ποδῶν β, τοῦ δὲ προσεκβεβλημένου τετραγώνου τὸ μῆκος ποδῶν ε, τὸ δὲ πλάτος ἀνὰ ποδῶν δ, τὸ δὲ [2] βάθος ποδῶν γ. μετρήσομεν οὕτως· τὸ τετράγωνον ὅλον μετρήσωμεν πρῶτον κατ' ἰδίαν οὕτω· τὰ ιβ ἐπὶ τὰ κα· γίνονται σνβ. ταῦτα πολυπλασίασον ἐπὶ τὸ [3] βάθος, ἐπὶ τὰ ε· γίνονται Ϛασξ. αὐτὴν πάλιν μετρῆσαι τὴν ψαλίδα κατ' ἰδίαν· μετρήσωμεν δὲ αὐτὴν οὕτως· σύνθες τὴν κάθετον τὰ ιδ καὶ ἔτι τὴν βάσιν τῆς καμάρας τὰ ιϚ εἰς τὸ αὐτό· γίνονται λ. τούτων τὸ Ϛ΄ ιε· ταῦτα πολυπλασίασον ἐπὶ τὴν κάθετον τῆς καμάρας, ἐπὶ τὰ ιδ· γίνονται σι. ταῦτα δίς· γίνονται υκ. ταῦτα ἀφαιροῦμεν ἀπὸ τοῦ ὅλου τετραγώνου, ἀπὸ τῶν Ϛασξ· λοιπὸν ωμ. τοσούτων ποδῶν ἔσται τὸ [d] λοιπὸν τετράγωνον ἄνευ τῆς καμάρας. τὸ ἔξωθεν μετρήσωμεν τετράγωνον τὸ προσεκβεβλημένον, τουτέστι τὰ δ ἐπὶ τὰ ε· γίνονται κ· ταῦτα πάλιν ἐπὶ τὸ βάθος πολυπλασίασον, ἐπὶ τὰ γ· γίνονται ξ. ταῦτα προσθήσομεν τοῖς ωμ· γίνονται Ϡ· καὶ τοσούτων ποδῶν ἔσται [e] τοῦ σχήματος τὸ ἐμβαδὸν σὺν τῇ ψαλίδι. ἐὰν δὲ ᾖ μείζων ἡμικυκλίου, λαβὲ τῆς ψαλίδος τὸ κα΄ μέρος, οἷον ἂν ᾖ τὸ σχῆμα, καὶ προστίθει πρὸς τὸ ὅλον ἐμβαδόν· καὶ τοσούτων ποδῶν ἔσται τὸ σχῆμα. ἐὰν δὲ ᾖ μείων ἡμικυκλίου ἄν τε ἡμικύκλιον, ὁμοίως μετρήσωμεν· καὶ ἐὰν δύο ᾖ τετράγωνα προσεκβεβλημένα, ὡσαύτως μετρήσωμεν, ὡς προγέγραπται.

[29]

[1] Ἔστω ψαλίς, ἧς ἡ βάσις ποδῶν ιδ, ἡ δὲ κάθετος ποδῶν ζ, τὸ δὲ βάθος ἐχέτω ὁ κατακλειόμενος σφὴν ποδῶν β, τὸ πάχος α Ϛ΄· εὑρεῖν τὴν περίμετρον καὶ τὸ στερεόν. σύνθες τὰ ιδ καὶ τὰ ζ· γίνονται κα. τούτοις πρόσθες καθόλου τὸ ἴδιον κα΄· γίνεται α· ὁμοῦ γίνεται κβ ποδῶν ἡ περίμετρος. καὶ πολυπλασιάζω τὰ β ἐπὶ τὸν α Ϛ΄· γίνονται γ. ταῦτα ἐπὶ τὰ κβ· γίνεται ξϚ ποδῶν τὸ στερεόν.

[30] Ἐὰν δὲ ᾖ μείζων καμάρα, καὶ ᾖ ἐν αὐτῇ ἑτέρα ἐγγεγραμμένη καμάρα, καὶ ὦσι τῆς μὲν μείζονος καμάρας αἱ μὲν ἄνωθεν ἀνὰ ποδῶν β, ἡ δὲ βάσις ποδῶν κ, ἡ δὲ κάθετος ποδῶν ι, τῆς δὲ ἐλάσσονος καμάρας ἡ μὲν βάσις ποδῶν ιϚ, ἡ δὲ κάθετος ποδῶν η, ταύτην μετρήσωμεν οὕτως· συνθέντες τῆς μείζονος καμάρας τὴν βάσιν καὶ τὴν κάθετον τὴν ὅλην, τὰ ι καὶ τὰ κ· γίνονται λ· τούτων ληψόμεθα τὸ Ϛ΄· γίνονται ιε. ταῦτα πολυπλασίαζε ἐπὶ τὴν κάθετον, ἐπὶ τὰ ι· γίνονται ρν. τούτοις προσθήσομεν πάντως τὸ κα΄ μέρος· γίνονται ρνζ ζ΄. καὶ πάλιν ὁμοίως τῆς ἐλάσσονος καμάρας συνθέντες τά τε ιϚ καὶ τὰ η· γίνονται κδ· τούτων ὁμοίως ληψόμεθα τὸ Ϛ΄· γίνονται ιβ. ταῦτα πολυπλασίασον ἐπὶ τὴν κάθετον, ἐπὶ τὰ η· γίνονται Ϛ. τούτων ληψόμεθα ὁμοίως τὸ κα΄ μέρος· γίνονται δ Ϛ΄ ιδ΄. ταῦτα προσθήσομεν τοῖς Ϛ· γίνονται ρ Ϛ΄ ιδ΄. ... καὶ τοσούτων ποδῶν ἔσονται αἱ ἀποχαὶ τῆς μείζονος καμάρας. τῇ δὲ αὐτῇ μεθόδῳ μετρήσωμεν καὶ ἐπ' ἄλλων ἀριθμῶν· [2] τὸ δὲ περικείμενον οἰκοδόμημα τῆς καμάρας μετρήσωμεν οὕτως· σύνθες τὴν ἐλάσσονα περιφέρειαν καὶ τὴν μείζονα, τά τε ι καὶ τὰ ιη· γίνονται κη. τούτων ληψόμεθα τὸ Ϛ΄· γίνονται ιδ. ταῦτα πολυπλασίαζε ἐπὶ τὸ βάθος, ἐπὶ τοὺς ι πόδας· γίνονται ρμ. ταῦτα πολυπλασίασον ἐπὶ τὰ κη· γίνονται ϚγϠκ. καὶ τοσούτων ποδῶν ἔσται ἡ οἰκοδομὴ τῆς καμάρας, τουτέστιν ἡ περικειμένη τῷ κενώματι οἰκοδομὴ μετὰ τοῦ ἐπ' αὐτῆς.

[31]

[1] Ἔστω καμάρα, ἧς ἡ διάμετρος ποδῶν κδ, τοῦ δὲ κενώματος οἱ πρῶτοι πρωτοσφῆνες ἐκ ποδῶν β, τὸ δὲ βάθος ποδῶν ιη. ποίει οὕτως· σύνθες πάντοτε τοὺς πρώτους πρωτοσφῆνας· γίνονται δ. τούτοις πρόσθες τὴν διάμετρον τοῦ κενώματος τοὺς κδ· γίνονται κη. τούτους ἐφ' ἑαυτούς· γίνονται ψπδ. ταῦτα ἑνδεκάκις· γίνονται Ϛηχκδ. τούτων πάντοτε λάμβανε τὸ κη΄· γίνονται τη. ταῦτα ἀπόγραψαι. εἶτα τὴν διάμετρον τοῦ κενώματος ἐφ' ἑαυτὴν τὰ κδ· γίνονται φοϚ. ταῦτα ἑνδεκάκις· γίνονται ϚϚτλϚ. ταῦτα μέριζε παρὰ τὸν κη· γίνονται σκϚ δ΄ κη΄. ταῦτα ὕφελε ἀπὸ τῶν τη· λοιπὸν πα εζ. ταῦτα ποίησον ἐπὶ τὸ βάθος, ἐπὶ τοὺς ιη· γίνονται [2] Ϛαυο Ϛ΄ γ΄ μβ΄. τοσούτων ποδῶν ἔσται ἡ καμάρα. ἐὰν δὲ ἀπὸ περιφερείας μετρῆται ἡ καμάρα ἡ αὐτή, ποιῶ οὕτως· σύνθες τὰ κδ καὶ πρόσθες τὸν πρῶτον πρωτοσφῆνα, τουτέστι τὸ πάχος τῶν β ποδῶν· ὁμοῦ γίνονται κϚ. ταῦτα πολυπλασίασον εἰς τὰ γ καὶ ζ΄ τούτων πρόσθες· γίνονται πα Ϛ΄ ζ΄ ιδ΄· ὧν Ϛ΄ γίνονται μ Ϛ΄ γ΄ μβ΄. τοσούτων ἡ μεσότης τῶν β περιφερειῶν ἐστιν. ταῦτα ποιῶ ἐπὶ τὸν πρωτοσφῆνα, ἐπὶ τοὺς β πόδας τοῦ πάχους· γίνονται πόδες πα Ϛ΄ ζ΄ ιδ΄. ταῦτα ποιῶ ἐπὶ τὸ βάθος, ἐπὶ τοὺς ιη πόδας· γίνονται πόδες Ϛαυο Ϛ΄ γ΄ μβ΄. τοσούτων ποδῶν ἔστω ἡ καμάρα.

[32]

[1] Ὡς δεῖ μετρῆσαι καμάραν ἀπευλόγου. ἔστω καμάρα, ἧς ἡ διάμετρος ποδῶν ι, οἱ δὲ πρωτοσφῆνες, οἵ εἰσιν πλάτος τοῦ κλίματος τῆς καμάρας, ἑκατέρωθεν ἐκ ποδῶν β, τῶν ἀπευλόγων αἱ βάσεις ἐκ πάχους ποδῶν γ, ἡ δὲ κάθετος ἀπὸ τῆς κορυφῆς ἐπὶ τὸ κέντρον τοῦ πάχους ποδῶν ιε, τὸ δὲ βάθος τῆς καμάρας ποδῶν ιβ. ποιῶ οὕτως· τοὺς τοῦ κενώματος τοὺς ι πόδας ἐφ' ἑαυτούς· γίνονται ρ. ταῦτα ποιῶ ἑνδεκάκις· γίνονται Ϛαρ. τούτων τὸ κη΄· γίνονται λθ δ΄ κη΄. ταῦτα ἀπόγραψαι. καὶ σύνθες τὴν βάσιν τῆς καμάρας σὺν πάχεσι, τὰ γ καὶ τὰ β καὶ ιβ καὶ γ· ὁμοῦ γίνονται κ. ταῦτα ποίει ἐπὶ τὰ ιε· γίνονται τ. τούτων τὸ Ϛ΄· γίνονται ρν. ἀπὸ τούτων ἆρον τὰ λθ δ΄ κη΄· λοιπὸν γίνονται πόδες ρι εζ. ταῦτα ἐπὶ τὸ βάθος τῆς καμάρας, ἐπὶ τοὺς ιβ πόδας· γίνονται Ϛατκη Ϛ΄ ιδ΄. τοσούτων ποδῶν ἔσται τὸ στερεόν.

[33] Ἐὰν δὲ ἡ καμάρα ὀπτοπλίνθινος ᾖ, τὰ δὲ ἄλλα πάχη διὰ σπαρακτοῦ, καὶ θέλωμεν διαχωρίσαι, τοῦτο ποιοῦμεν οὕτως· σύνθες τοὺς ι πόδας τοῦ κενώματος καὶ τοὺς ἑκατέρωθεν πρωτοσφῆνας τοὺς ἀνὰ β· ὁμοῦ γίνονται πόδες ιδ. ταῦτα ἐφ' ἑαυτά· γίνονται ρϚ. ταῦτα ἑνδεκάκις· γίνονται ϚβρνϚ· ὧν κη΄, ἐπειδή ἐστιν Ϛ΄ κύκλου, γίνονται οζ. ἀπὸ τούτων ὕφελε τοὺς τοῦ κενώματος τοὺς λθ δ΄ κη΄· λοιπὸν γίνονται πόδες λζ Ϛ΄ ζ΄ ιδ΄. τούτους ποίει ἐπὶ τὸ βάθος τῆς καμάρας, ἐπὶ τοὺς ιβ πόδας· γίνονται πόδες υνβ Ϛ΄ ιδ΄. τοσούτων ποδῶν εἰσιν οἱ ὀπτόπλινθοι. τούτους ὕφελε ἀπὸ τοῦ παντὸς στερεοῦ τῶν Ϛατκη Ϛ΄ ιδ΄· λοιπὸν γίνονται σπαρακτοῦ πόδες ωοϚ.

[34] Ὡς δεῖ κόγχην μετρεῖν ἐν τῇ πλίνθῳ, ἧς ἡ διάμετρος τοῦ κενώματος ποδῶν ιη, οἱ πρωτοσφῆνες ἑκατέρωθεν ἐκ ποδὸς α· εὑρεῖν τὸ στερεόν. ποίει οὕτως· σύνθες τοὺς τοῦ κενώματος πόδας ιη καὶ τοὺς πρωτοσφῆνας τοὺς β· γίνονται πόδες κ. ταῦτα ἐφ' ἑαυτά· γίνονται υ. καὶ πάλιν ἐπὶ τοὺς κ· γίνονται Ϛη· καὶ ἐγένετο κύβος· ὧν Ϛ΄ γίνονται Ϛδ, καὶ πάλιν ὧν κα΄ γίνονται ρ γ΄ ζ΄· ὁμοῦ γίνονται πόδες Ϛδρ γ΄ ζ΄. τοσούτου ἔσται ἡ σφαῖρα, ὡς Ἀπολλώνιος ἐν τῷ γ΄ τῶν [2] Λογιστικῶν. πάλιν τοὺς τοῦ κενώματος πόδας ιη ἐφ' ἑαυτούς· γίνονται τκδ. τούτους ἐπὶ τοὺς ιη· γίνονται πόδες Ϛεωβ καὶ λ· ὧν Ϛ΄ γίνονται ϚβϠιϚ. καὶ λαβὲ αὐτῶν τὸ μβ΄ τῶν Ϛεωλβ· γίνονται ρλη ζ΄ κα΄· ὁμοῦ σύνθες· γίνονται πόδες Ϛγνδ ζ΄ κα΄. ταῦτα ὕφειλον ἀπὸ τῶν Ϛδρ γ΄ ζ΄· λοιπὸν Ϛαρλε Ϛ΄ ιδ΄ κα΄. τούτων τὸ δ΄, ἐπειδὴ κόγχης ἐστίν, ἔστι δὲ δ΄ τῆς σφαίρας· [3] γίνονται σπγ Ϛ΄ γ΄ ιδ΄. τοσούτου τὸ στερεὸν τῆς κόγχης. ἐὰν δὲ νενομισμένη ᾖ ἡ μέτρησις ὡς στερεοῦ, καὶ ὑφέλῃς τὸ κένωμα τῆς κόγχης εἰς τὸ ὀπτόπλινθον, καὶ τὸ λοιπὸν ἔσται τῶν νενομισμένων.

[35]

[1] Ἐὰν δὲ ᾖ κόγχη συνεψηφολογημένη, μετρήσεις οὕτως· ἔστω ἡ διάμετρος ποδῶν ιη. ἐπεὶ ἡ κόγχη δ΄ μέρος ἐστὶ τῆς σφαίρας, ἡ δὲ τῆς σφαίρας ἐπιφάνεια τετραπλασία ἐστὶ τοῦ μεγίστου τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ κύκλου τοῦ ἐπιπέδου ποδῶν ιη, ταῦτα ἐφ' ἑαυτά· γίνονται τκδ. ταῦτα ἑνδεκάκις· γίνονται Ϛγφξδ· ὧν ιδ΄ γίνονται σνδ δζ. τοσούτων ἔσται ποδῶν τὸ ἐν αὐτῇ ψηφολόγημα.

[36] Ἐὰν δὲ ὅλης τῆς σφαίρας βούλῃ τὴν ἐπιφάνειαν εὑρεῖν, τετραπλασίασον τοὺς σνδ δζ· γίνονται Ϛαιη καὶ β ἕβδομα. τοσούτου ἡ τῆς ὅλης σφαίρας ἐπιφάνεια ἔσται. λέγει τοῦτο Ἀρχιμήδης ἐν τῷ περὶ σφαιρικῶν.

[37] Καμάραν μετρῆσαι ἔλαττον ἡμικυκλίου τὸ ἔγχυμα ἔχουσαν, ἧς ἡ βάσις τοῦ κενώματος ποδῶν ιδ, οἱ πρωτοσφῆνες ἑκατέρωθεν ἐκ ποδῶν β, ἡ κάθετος ἐν τῷ κενώματι ποδῶν Ϛ, τὸ μῆκος ποδῶν ιε. ποίει οὕτως· σύνθες τοὺς ιδ πόδας τοῦ κενώματος καὶ τοὺς Ϛ τῆς καθέτου· γίνονται κ. τούτων τὸ Ϛ΄· γίνονται ι. ταῦτα ἐπὶ τὰ Ϛ· γίνονται ξ. καὶ σύνθες πάλιν τοὺς τοῦ κενώματος πόδας ιδ καὶ τοὺς ἑκατέρωθεν πρωτοσφῆνας ἀνὰ ποδῶν β· ὁμοῦ γίνονται ιη. τούτοις πρόσθες τὰ Ϛ τοῦ κενώματος τῆς καθέτου καὶ τοὺς β πόδας· γίνονται κϚ· ὧν Ϛ΄ γίνονται ιγ. ταῦτα ἐπὶ τὰ τῆς ὅλης ἀνατάσεως, ἐπὶ τὰ η· γίνονται ρδ. ἀπὸ τούτων ὕφελε τοὺς τοῦ κενώματος πόδας ξ· λοιπὸν τοῦ στερεώματος πόδες μδ. τούτους ποίησον ἐπὶ τοὺς ιε τοῦ μήκους· γίνονται πόδες χξ. τοσούτων ἡ καμάρα.

[38] Κόγχην μετρῆσαι, ἧς ἡ βάσις ποδῶν ιβ, ἡ δὲ πρὸς ὀρθὰς ποδῶν δ, ἡ δὲ ὑπὸ τὸ ἀναφύσημα ποδῶν γ· εὑρεῖν αὐτῆς τὸ στερεόν. ποίει οὕτως· τῶν ιβ τὸ Ϛ΄· γίνονται Ϛ .... σύνθες· γίνονται νβ. πρόσθες αὐτοῖς τὸ Ϛ΄· γίνονται κϚ· ὁμοῦ γίνονται οη. καὶ τὰ γ ἐφ' ἑαυτά· γίνονται θ· μετὰ τῶν οη ὁμοῦ γίνονται πζ. ταῦτα ἐπὶ τὰ γ· γίνονται σξα. ταῦτα ἑνδεκάκις· γίνονται Ϛβωοα. τούτων τὸ μβ΄· γίνονται ξη Ϛ΄ ζ΄ κα΄· [κατὰ] [2] τὸ στερεόν. τῆς αὐτῆς κόγχης εὑρεῖν τὴν ἐπιφάνειαν. ποιῶ οὕτως· τῶν ιβ τὸ Ϛ΄· γίνονται Ϛ. ταῦτα ἐφ' ἑαυτά· γίνονται λϚ. καὶ τὰ δ ἐφ' ἑαυτά· γίνονται ιϚ· ὁμοῦ γίνονται νβ. τούτων τὸ Ϛ΄· γίνονται κϚ. καὶ τὰ γ ἐφ' ἑαυτά· γίνονται θ. ταῦτα πρόσθες τοῖς κϚ· ὁμοῦ γίνονται λε. ταῦτα τρίς· γίνονται ρε. ταῦτα ἑνδεκάκις· γίνονται Ϛαρνε. τούτων τὸ κα΄· γίνονται νε· ἡ ἐπιφάνεια.

[39]

[1] Κόγχην μετρῆσαι, ἧς ἡ διάμετρος ποδῶν ιδ καὶ ἡ κάθετος ποδῶν ζ, τὸ δὲ πλάτος ποδῶν β· εὑρεῖν τὸ στερεόν. ποιῶ οὕτως· σύνθες διάμετρον καὶ τὰ β πάχη· ιη. ταῦτα κύβισον· γίνονται Ϛεωλβ. τούτων ἆρον τὴν διάμετρον κυβίσας· γίνονται Ϛβψμδ· λοιπὸν γίνονται Ϛγπη. ταῦτα ἐπὶ ια· γίνονται γϚγϠξη. τούτων τὸ πδ΄· γίνονται υδ γ΄ κα΄. τοσούτων ποδῶν τὸ στερεόν.

[40] Ἄλλως. τῇ διαμέτρῳ πρόσθες τὸ ἓν πάχος· γίνονται ιϚ. ταῦτα ἐφ' ἑαυτά· γίνονται σνϚ. ταῦτα ἐπὶ ια· γίνονται ϚβωιϚ. τούτων τὸ ιδ΄· γίνονται σα ζ΄. ταῦτα δίς· γίνονται υβ καὶ β ἕβδομα. ‑ ‑ ‑ ‑ ‑ ‑ ‑ ‑

[41] Στοὰ ἔχουσα τὸ μὲν μῆκος ποδῶν ριδ, τὸ δὲ πλάτος ποδῶν ιβ Ϛ΄· εὑρεῖν, πόσους πήχεις στρωτήρων λαμβάνει. ποίει οὕτως· τὸ μῆκος ἐπὶ τὸ πλάτος· γίνονται Ϛαυκε. προστίθει αὐτοῖς δι' ὅλου τὸ ι΄· γίνονται ρμβ Ϛ΄· σύνθες ὁμοῦ· γίνονται Ϛαφξζ Ϛ΄. τοσούτων πηχῶν στερεὸν λήψεται. προσετέθη τὸ ι΄ διὰ τὴν μέλλουσαν ἀπουσίαν γίνεσθαι τοῦ στρωτῆρος.

[42] Ἔστω πυλὼν ὁ ὑποκείμενος, ὡς κατατέτακται, ἔχων ἐπάνω τὴν ψαλίδα· ἐξ ἑκατέρου μέρους ἔστωσαν κίονες στρογγύλοι ἐπὶ βάσεων, καὶ αἱ μὲν βάσεις ἐχέτωσαν τὰ μὲν πλάτη ἀνὰ ποδῶν δ Ϛ΄, τὰ δὲ μήκη ἀνὰ ποδῶν ζ, τὸ δὲ πάχος ποδῶν γ Ϛ΄· γίνονται ἕκαστος τοῦ λίθου πόδες ρι δ΄. ἐχέτω δὲ ἀπὸ τῆς βάσεως ἡμιπόδια β. ἀφαιρῶ τοίνυν ἀπὸ τοῦ μήκους· λοιπὸν Ϛ. τοσούτων ἔσται ἡ βάσις τῶν στύλων. τὸ δὲ ὕψος ἔστω ποδῶν ιδ, ἡ δὲ κορυφὴ ἀνὰ ποδῶν β, τὸ δὲ διάστημα τοῦ πυλῶνος ..... ὡς ἐπὶ τῶν κολοβῶν κώνων ἐστὶν ὑπὸ τὸν ἀνώτερον ὑποδεδειγμένον .. καὶ .... ὅσου ἐὰν ὦσιν. ἐκθήσομαι ἐπὶ τῷ αὐτῷ ἐπιχόμενος μέτρῳ τὸ μεῖζον ἡμικύκλιον, ὡς ἐμάθομεν· ἐὰν δὲ ᾖ μείζων ἢ ἐλάσσων, ποίει ὡς τὰ τμήματα τοῦ κύκλου.

[2] τὸ μὲν ἡμικύκλιον μετρηθὲν γίνεται ποδῶν νδ· ὅλην γὰρ ἔχει τὴν βάσιν ποδῶν ιβ. ἔπειτα ἀνταναφέρω τοὺς β πόδας τοὺς ἀπὸ τῆς κορυφῆς ἐξ ἑκατέρου τοῦ μέρους [λοιπόν εἰσι πόδες ν]. ἐμέτρησα νῦν ἕτερον ἡμικύκλιον ἔλασσον, ὡς ἐπὶ τοῦ πρώτου μετρηθέντος, καὶ γίνεται ποδῶν κδ· ἃ συναναφέρω ἀπὸ τοῦ μείζονος ἡμικυκλίου, οἷον ἀπὸ τῶν νδ τὰ κδ· λοιπὸν λ. τοσούτων ἔσται αὐτὴ ἡ ψαλίς. τῷ δ' ἐν ταῖς στερεομετρίαις ἔξεστιν εὐκόπως κατακολουθεῖν, ἐπεὶ ἑνὸς ἑκάστου ἡ μέτρησις, καθὼς ἄνω προδεδήλωται.

[43]

[1] Ἔστω οἶκος ἔχων τὸ μῆκος ποδῶν κ καὶ τὸ πλάτος ποδῶν ιγ Ϛ΄· δεῖ δὲ γνῶναι, πόσαι εἰς τοῦτον τὸν οἶκον κεραμίδες ἀναβαίνουσιν· ἔστω δὲ ἡ κεραμὶς ποδῶν β, τὸ δὲ πλάτος ποδῶν α Ϛ΄. ποίει οὕτως· ἐπειδὴ ἡ κεραμὶς ἡμιπόδιον ὑποτίθεται ὑπὸ τὴν ἑτέραν κεραμίδα, ἄφελε ἀπὸ τοῦ μήκους τῆς κεραμίδος, εἰς ὃν τόπον κατέχει. καὶ ἐπεί ἐστι τὸ μῆκος ποδῶν κ, τὸ δὲ πλάτος ποδῶν ιγ Ϛ΄, πολυπλασίασον τὰ κ ἐπὶ ιγ Ϛ΄· γίνονται σο. ταῦτα μέρισον εἰς τὰ β δ΄· γίνονται ρκ. τοσαῦται ἀναβήσονται κεραμίδες ἐπὶ τὸν οἶκον.

[44] Ἔστι δὲ καὶ ἑτέρα μέθοδος ἐπὶ τῶν κεραμίδων. ἐὰν ᾖ οἶκος ἔχων τὸ μῆκος ποδῶν ξ, τὸ δὲ πλάτος ποδῶν λ, ἄφελε διὰ παντὸς τὸ γ΄ μέρος τῶν ξ· λοιπὸν μ. καὶ ἔτι ὁμοίως ἀπὸ τοῦ πλάτους ἀπὸ τῶν λ τὸ γ΄· λοιπὸν κ. καὶ πολυπλασίασον τὰ μ ἐπὶ τὰ κ· γίνονται ω. τοσαῦται κεραμίδες ἀναβήσονται ἐπὶ τὸν οἶκον. εὕρηται καὶ ταῦτα τῇ μεθόδῳ.

[45] Ἔστω δὲ στῦλος, καὶ ἐπιστηκέτω ἐπ' αὐτὸν ὑδρία κεράμιον χωροῦσα Ἰταλικὸν ξεστῶν μη, ἔχει δὲ τρύπημα περὶ τὸν πυθμένα δακτύλου α. ἀπολυομένου οὖν, φησί, τοῦ ὕδατος καὶ ἐνεχθέντος ἐπὶ τὴν γῆν παραχρῆμα κενοῦται ἡ ὑδρία. ἐκ τούτου οὖν τοῦ λόγου εὑρεῖν τὸ ὕψος τοῦ στύλου. ἀποδειχθήσεται οὖν οὕτως· ἐπειδή ἐστιν ἡ ὑδρία κεράμιον χωροῦσα ξεστῶν μη, ὁ δὲ ποὺς ὁ τετράγωνος χωρεῖ ξέστας Ἰταλικοὺς μη, ἔχει δὲ ὁ κύβος τοῦ στερεοῦ ποδὸς δακτύλους ϚδϚ, ἔστι δὲ τὸ τρύπημα δακτύλου α, λήψομαι τοίνυν τῶν ϚδϚ τὸ ιϚ΄, ἵνα ἔχωμεν πόδας εὐθυμετρικούς, οἵ εἰσι δακτύλων σνϚ. τοσούτων ἄρα ποδῶν ἔσται ὁ στῦλος· [2] ὅπερ ἔδει δεῖξαι. φανερὸν δέ σοι ἔσται ἐκ τούτου τοῦ λόγου, ὅσου ἂν δοθῇ ἡ ὑδρία, καὶ πηλίκον ἂν ᾖ τὸ τρύπημα, ὡς δεῖ μεθοδικῶς ζητῆσαι, καθὼς καὶ ἐπὶ τούτου δέδεικται.

[46]

[1] Ἀμφορὰ ὕδατος κρέμαται τρύπημα ἔχουσα δακτύλων β· καὶ συνέβη ἅψασθαι τὸ ὕδωρ τῆς γῆς καὶ κεκενῶσθαι τὴν ἀμφοράν. ζητῶ, ἀπὸ πόσων ποδῶν ἐκρέματο τῆς γῆς. ποιῶ οὕτως· ὅσων ἐὰν εἴπῃ δακτύλων, ἕλκε ἐφ' ἑαυτά· γίνονται δ. καὶ ἐπειδὴ ὁ ποὺς ἔχει δακτύλους ιϚ, ἐφ' ἑαυτούς· γίνονται σνϚ. ταῦτα μέριζε παρὰ τὸν δ· γίνονται ξδ. τοσούτων ποδῶν τὸ ὕψος ἦν.

[47] Ὁ σωλὴν ὁ οὐγκίαν φέρων ἔχει τὴν διάμετρον δακτύλου α. ἐὰν οὖν τις βουληθῇ κατασκευάσαι σωλῆνα γραμμάτων θ, εὑρεῖν, πόσων δακτύλων τάσσωμεν τὸν σωλῆνα ἔχοντα διάμετρον. ποιῶ οὕτως· ἐπειδὴ ὁ σωλὴν οὐγκίας α δάκτυλον α ἔχει, ἀναλύω τὴν οὐγκίαν εἰς γράμματα· γίνονται κδ. καὶ πολυπλασιάζω τὰ κδ ἐφ' ἑαυτά· γίνονται φοϚ. ἐπειδὴ σωλῆνα θ γραμμάτων βουλόμεθα κατασκευάσαι, πάλιν ποιῶ τὰ θ ἐφ' ἑαυτά· γίνονται πα. ταῦτα εἰς φοϚ· γίνονται ξδ. τοσούτων δακτύλων τὸν σωλῆνα τῶν θ γραμμάτων τάσσομεν.

[48] Πῶς δεῖ ὀθόνας ἐκμετρεῖν εἰς ἄρμενον. ἔστω ἱστός, οὗ τὸ μὲν ὑποκέρας ποδῶν π, βάθος ποδῶν ν· εὑρεῖν, πόσα ὀθόνια ἐμπεσοῦνται εἰς τὸ ἄρμενον ἐχούσης τῆς ὀθόνης τὸ μὲν μῆκος ποδῶν δ, τὸ δὲ πλάτος ποδῶν γ. ποίει οὕτως· τὰ γ ἐπὶ τὰ δ· γίνονται ιβ. ταῦτα τετράκις· γίνονται μη. καὶ τὰ π ἐπὶ τὰ ν· γίνονται Ϛδ. τούτων τὸ μη΄· γίνονται πγ γ΄. τοσαῦτα ἀπέρχεται ὀθόνια

[49] Ἄλλως τὸ αὐτό.

τὰ ν ἐπὶ τὰ π· γίνονται Ϛδ· ὧν δ΄ γίνονται Ϛα. καὶ ποιῶ τοὺς γ ἐπὶ τοὺς δ· γίνονται πόδες ιβ. λαμβάνω τῶν Ϛα τὸ ιβ΄· γίνονται πγ γ΄. φανερόν.

[50] Πλοίου τὸ μῆκος ποδῶν κδ, ἡ δὲ βάσις ποδῶν Ϛ, ἡ δὲ κατάβασις ποδῶν δ· εὑρεῖν, πόσα κεράμια ἢ πόσους μοδίους χωρεῖ. ποιῶ οὕτως· τὴν κατάβασιν ἐπὶ τὴν βάσιν· γίνονται πόδες κδ. τούτους πολυπλασιάζω ἐπὶ τὸ μῆκος, ἐπὶ τοὺς κδ· γίνονται πόδες φοϚ. τούτων τὸ γ΄ προστιθῶ τοῖς φοϚ· ὁμοῦ γίνονται ψξη. τοσαῦτα κεράμια χωρεῖ. χωρεῖ δὲ τὸ κεράμιον μοδίους ι· γίνονται Ϛζχπ.

[51] Ἔστω πλοῖον, καὶ ἐχέτω [μῆκος] ἀπὸ κορύμβου εἰς κόρυμβον τὸ μὲν μῆκος ποδῶν ν, τὸ δὲ πλάτος ποδῶν ιβ καὶ τὸ βάθος ποδῶν ζ. ποίει οὕτως· τὰ ν ἐπὶ τὰ ιβ· γίνονται χ. ταῦτα ποιῶ ἐπὶ τὸ βάθος, ἐπὶ τοὺς ζ· γίνονται Ϛδσ. ταῦτα ποιῶ δι' ὅλου ἑξάκι· γίνονται βϚεσ. τοσούτους μοδίους χωρήσει τὸ πλοῖον.

[52] Πλοῖον μετρήσωμεν, οὗ τὸ μῆκος πηχῶν μη, ἡ δὲ ἔμβασις πηχῶν δ καὶ ἡ διάβασις πρώρας πηχῶν Ϛ, ἡ δὲ ἄνω βάσις πρύμνης καὶ πτέρνης πηχῶν η καὶ ἡ βάσις μέση πηχῶν θ· εὑρεῖν, πόσους μοδίους χωρεῖ. ποίει οὕτως· σύνθες πρώραν καὶ πρύμναν· γίνονται ιδ. τούτων τὸ Ϛ΄· γίνονται ζ. τούτοις πρόσθες τὴν διάβασιν τῆς μέσης· ὁμοῦ γίνονται πήχεις ιϚ. τούτων τὸ Ϛ΄· γίνονται η· τούτους ποιῶ ἐπὶ τὴν βάσιν, ἐπὶ τοὺς δ πήχεις· γίνονται πήχεις λβ. ἐπὶ τὸ μῆκος, ἐπὶ τοὺς μη πήχεις· γίνονται πήχεις ϚαφλϚ. ὁ δὲ πῆχυς χωρεῖ Ἰταλικοὺς μοδίους ιβ Ϛ΄· γίνονται μόδιοι Μα Ϛθσ. τοσούτους μοδίους χωρήσει τὸ πλοῖον.

[53]

Μέτρησις ὄντος σίτου ἐξ ἀποθέσεως.

ὁ στερεὸς ποὺς ἔχει σίτου μοδίους γ, ἕκαστος μόδιος ἀπὸ ξεστῶν ιϚ· γίνονται ξέσται μη. ἕκαστος ξέστης ἀπὸ Γο κ.

ἐὰν δὲ ᾖ μόδιος ξεστῶν ιη, ὁ στερεὸς ποὺς ἔχει σίτου μοδίους β Ϛ΄ Ϛ΄.

ἐὰν δὲ ᾖ μόδιος ξεστῶν κ, ὁ στερεὸς ποὺς ἔχει μοδίους β γ΄ ιε΄.

ἐὰν δὲ ᾖ μόδιος ξεστῶν κβ, ὁ στερεὸς ποὺς ἔχει μοδίους β Ϛ΄ ξϚ΄.

ἐὰν δὲ ᾖ ὁ μόδιος ξεστῶν κδ, ὁ στερεὸς ποὺς ἔχει μοδίους β.

ἐὰν δὲ ᾖ ὁ μόδιος ξεστῶν κε, ὁ στερεὸς ποὺς ἔχει μόδιον α Ϛ΄ γ΄ ιε΄ ν΄.

ἐὰν δὲ ᾖ ὁ μόδιος ξεστῶν κη, ὁ στερεὸς ποὺς ἔχει μόδιον α Ϛ΄ ζ΄ ιδ΄.

ἐὰν δὲ ᾖ ὁ μόδιος ξεστῶν λ, ὁ στερεὸς ποὺς ἔχει μόδιον α Ϛ΄ ι΄. ἕκαστος ξέστης ἀπὸ Γο κ.

εἰ δὲ ᾖ ὁ μόδιος ξεστῶν λβ, ὁ στερεὸς ποὺς ἔχει μόδιον α Ϛ΄.

[2] Δεῖ οὖν εἰδέναι ἐπὶ τῆς μετρήσεως τῶν ὁρίων καὶ λαμβάνειν τὸ ἐμβαδὸν τοῦ παντὸς καὶ ποιεῖν ἐπὶ τὸ ὕψος ἤτοι ἐπὶ τὸ βάθος, καὶ ὅτε εὕρῃς τὸ στερεὸν τοῦ παντὸς [ἐμβαδοῦ] τῆς ἀποθέσεως τοῦ σίτου, τότε πρὸς τὸν μόδιον ποίει τὰ μέτρα οὕτως·

[3] ἐὰν ᾖ ὁ μόδιος ξεστῶν ιϚ, ποίει τὸ στερεὸν τοῦ σίτου ἤτοι κριθῶν ἐπὶ τὰ γ· καὶ τοσοῦτοι μόδιοι ἔσονται, ἐπειδὴ ὁ στερεὸς ποὺς χωρεῖ μοδίους γ, ἕκαστος μόδιος ἀπὸ ξεστῶν ιϚ, ἕκαστος ξέστης ἀπὸ Γο κ.

ἐὰν δὲ ᾖ ὁ μόδιος ξεστῶν ιη, ποίει τὸ στερεὸν τοῦ σίτου ἤτοι κριθῶν, καθὼς προγέγραπται, ἐπὶ τὰ β Ϛ΄ Ϛ΄· καὶ τοσοῦτοι μόδιοι ἔσονται.

ἐὰν δὲ ᾖ ὁ μόδιος ξεστῶν κ, ποίει τὸ στερεὸν τοῦ ποδισμοῦ ἐπὶ τὰ β γ΄ ιε΄· καὶ τοσοῦτοι ἔσονται μόδιοι.

ἐὰν δὲ ᾖ ὁ μόδιος ξεστῶν κβ, ποίει τὸ στερεὸν τοῦ ποδισμοῦ ἐπὶ τὰ β Ϛ΄ ξϚ΄· καὶ τοσοῦτοι ἔσονται μόδιοι.

ἐὰν δὲ ᾖ ὁ μόδιος ξεστῶν κε, ποίει τὸ στερεὸν τοῦ ποδισμοῦ ἐπὶ τὸν α Ϛ΄ γ΄ ιε΄ ν΄· καὶ τοσοῦτοι ἔσονται μόδιοι.

ἐὰν δὲ ᾖ ὁ μόδιος ξεστῶν κη, ποίει τὸ στερεὸν τοῦ ποδισμοῦ τῆς ἀποθέσεως τοῦ σίτου ἤτοι κριθῶν διὰ τῶν α Ϛ΄ ζ΄ ιδ΄· καὶ τοσοῦτοι ἔσονται μόδιοι.

[4] Δεῖ δὲ εἰδέναι ἐν τῇ ἀποθέσει τοῦ σίτου ἤτοι κριθῶν, ὅτι, ἂν πρόσφατος ἀποτεθῇ, ψυγόμενος ὁ στερεὸς ποὺς ἀποποιεῖ μέρος ι΄ νε΄ οὕτως·

ὄντος σίτου ἐξ ἀποθέσεως ὁ στερεὸς ποὺς ἔχει ξέστας νε, ἕκαστος ξέστης Γο κ. εἰ δὲ πρόσφατος ἐτέθη, ἔχει ὁ στερεὸς ...

[54]

Μέτρησις ὁρίων διαφόρων.

[1] Σῖτος ἀπόθετος ἀποτεθεὶς πρὸ φανεροῦ χρόνου εὑρέθη εἰς τὸν στερεὸν πόδα μοδίων β Ϛ ἀπὸ ξεστῶν κβ· γίνονται ξέσται Ἰταλικοὶ νε ἀπὸ Γο κ· ἐπιβάλλουσιν εἰς τὸν στερεὸν πόδα λίτραι α . ἐν δὲ τῷ προσφάτως ἀποτεθέντι ἐν τοῖς ὁρίοις εὑρέθησαν εἰς τὸν στερεὸν πόδα μόδιοι β ξέσται μδ [καὶ] Γο κ· γίνονται λίτραι π· ὅπερ ὅριον ἐμετρήθη.

[2] Ὅριον κριθῶν ἀποκειμένων πρὸ φανεροῦ χρόνου· καὶ εὑρέθησαν εἰς τὸν στερεὸν πόδα τῶν κριθῶν μόδιοι β Ϛ΄ ἀπὸ ξεστῶν κβ ἐξ Γο κ· γίνονται λίτραι α . ἐν δὲ ταῖς προσφάτως ἀποτεθείσαις κριθαῖς εὑρέθησαν εἰς τὸν στερεὸν πόδα ξέσται Ἰταλικοὶ μη Ϛ΄ Ϛ΄ Γο κ· [3] γίνονται λίτραι π Ϛ΄ γ΄. οἴνου εἰς τὸν στερεὸν πόδα Ἰταλικοὺς λϚ γίνονται ξέσται μ ιη. λάρδου εἰς πόδα α λίτραι οε. ταῦτα δὲ ἐξαγιάσθησαν ἐπὶ Μοδέστου τηνικαῦτα ὄντος ἐπάρχου πραιτωρίων.

[55]

Μέτρησις πυραμίδων.

[1] Πυραμίδα ἐπὶ τετραγώνῳ βεβηκυῖαν μετρήσωμεν οὕτως· ἑκάστη τῶν πλευρῶν τῆς βάσεως ἀνὰ ποδῶν κδ καὶ τὰ κλίματα τῆς πυραμίδος ἀνὰ ποδῶν ιη. ποίει τὰ κδ ἐφ' ἑαυτά· γίνονται φοϚ· ὧν Ϛ΄ γίνονται σπη. καὶ τὰ ιη ἐφ' ἑαυτά· γίνονται τκδ. ἀπὸ τούτων ἄφελε τὰς σπη· λοιπὸν λϚ· ὧν πλευρὰ τετραγωνικὴ γίνεται ποδῶν Ϛ. τοσούτων ἔσται ἡ κάθετος τῆς πυραμίδος. ἐπεὶ οὖν ἡ κάθετός ἐστι ποδῶν Ϛ, λάμβανε τῆς καθέτου γ΄· γίνονται β. ταῦτα ποίει ἐπὶ τὰ φοϚ· γίνονται Ϛαρνβ. τοσούτου ἔσται τὸ στερεόν.

[56] Ἔστω πυραμὶς ἔχουσα τὴν βάσιν τετράγωνον, καὶ ἐχέτω τὸ τετράγωνον ἑκάστην πλευρὰν ἀνὰ ποδῶν ι, ἡ δὲ πυραμὶς ἐχέτω πλευρὰς ἀνακεκλιμένας ἀνὰ ποδῶν ιγ Ϛ΄· εὑρεῖν τῆς πυραμίδος τὴν κάθετον καὶ τὸ στερεόν. ποιῶ οὕτως· πολυπλασιάζω τοῦ τετραγώνου τὴν πλευρὰν ἐφ' ἑαυτήν· γίνονται ρ. τούτων τὸ Ϛ΄· γίνονται ν. καὶ πολυπλασιάζω τὰ ιγ Ϛ΄ ἐφ' ἑαυτά· γίνονται ρπβ δ΄. ἀφαιρῶ ἀπὸ τούτων τὰ ν· λοιπὸν ρλβ δ΄. τούτων λαμβάνω πλευρὰν τετραγωνικήν· γίνονται ια Ϛ΄.

[2] ἔσται ἡ κάθετος ποδῶν ια Ϛ΄. τὸ δὲ στερεὸν εὑρήσομεν οὕτως· ποιῶ τοῦ τετραγώνου τὸ ἐμβαδόν· γίνονται ρ. ταῦτα πολυπλασιάζω ἐπὶ τὸ γ΄ τῆς καθέτου, ὅ ἐστι ποδῶν γ Ϛ΄ γ΄· γίνονται τπγ γ΄. ἔσται τὸ στερεὸν τῆς πυραμίδος τπγ γ΄.

[57]

[1] Πυραμίδα μετρῆσαι βάσιν ἔχουσαν τετράγωνον, ὥστε ἑκάστην τῶν περὶ τὴν βάσιν πλευρῶν ἔχειν ποδῶν ιβ, τὰ δὲ κλίματα ἐκ ποδῶν λϚ· εὑρεῖν αὐτῆς τὴν κάθετον καὶ τὴν βάσιν. ποιῶ οὕτως· τὴν πλευρὰν τὴν περὶ τὴν βάσιν τὰ ιβ πολυπλασίαζε ἐφ' ἑαυτά· γίνονται ρμδ. εἶτα τὴν ἑτέραν ἐφ' ἑαυτήν· γίνονται ρμδ· ὁμοῦ σύνθες· γίνονται σπη· ὧν πλευρὰ τετραγωνικὴ γίνεται ποδῶν ιζ μετὰ διαφόρου. τοσούτου ἡ διαγώνιος τοῦ περὶ τὴν βάσιν τετραγώνου. ὧν Ϛ΄ γίνονται η Ϛ΄. ταῦτα ἐφ' ἑαυτά· γίνονται οβ δ΄· ἀπόγραψαι.

[2] καὶ τὰ τοῦ κλίματος τὰ λϚ ἐφ' ἑαυτά· γίνονται ϚασϚ. ἀπὸ τούτων ἆρον τὰ οβ δ΄· λοιπὸν Ϛασκδ μετὰ διαφόρου· ὧν πλευρὰ τετραγωνικὴ γίνεται λε μετὰ διαφόρου. τοσούτου καὶ ἡ κάθετος. ταῦτα ποίει ἐπὶ τὰ ρμδ τὸ ἐμβαδόν· γίνονται Ϛεμ. τούτων λαβὲ τὸ γ΄· γίνονται [3] Ϛαχπ. τοσούτου ἔσται τὸ στερεόν. διὰ τί δὲ τὸ γ΄; ὅτι πᾶν πρίσμα στερεὸν διαιρεῖται εἰς γ πυραμίδας ἴσας [τῷ ὕψει τοῦ πρίσματος] τριγώνους βάσεις ἐχούσας· πεποιήκαμεν δὲ ὡς στερεὸν παραλληλεπίπεδον, τὸ δὲ στερεὸν παραλληλεπίπεδον ἔχει πρίσματα β, ἕκαστον δὲ πρίσμα τῆς καθ' ἑαυτὸ πυραμίδος ἐστὶ τριπλάσιον τὸ ἐπὶ τῆς ἡμισείας τῆς ὑποκειμένης πυραμίδος· ἔστι γὰρ τετράγωνον βάσιν ἔχουσα. ἀπέδειξεν Εὐκλείδης ἐν τῷ δωδεκάτῳ.

[58]

[1] Πυραμὶς κόλουρος τετράγωνος, ἧς αἱ πλευραὶ τῆς βάσεως ἀνὰ ποδῶν ι καὶ αἱ πλευραὶ τῆς κορυφῆς ἀνὰ ποδῶν β, τὸ δὲ κλίμα ποδῶν θ. μετρηθήσεται οὕτως· ὕφελε τὰ β τῆς κορυφῆς ἀπὸ τῶν ι τῆς βάσεως· λοιπὸν η. ταῦτα ἐφ' ἑαυτά· γίνονται ξδ· ὧν Ϛ΄ γίνονται λβ. καὶ τὰ θ ἐφ' ἑαυτά· γίνονται πα. ἀπὸ τούτων ὕφελε τὰ λβ· λοιπὸν μθ· ὧν πλευρὰ τετραγωνικὴ γίνεται [2] ποδῶν ζ. τοῦτό ἐστιν ἡ κάθετος. ἐπεὶ οὖν ἡ κάθετος ποδῶν ζ, εὑρεθήσεται τὸ στερεὸν οὕτως· σύνθες τὰ β τῆς κορυφῆς καὶ τὰ ι τῆς βάσεως· ὁμοῦ γίνονται ιβ· ὧν Ϛ΄ γίνονται Ϛ. ταῦτα ἐφ' ἑαυτά· γίνονται λϚ. εἶτα ἄφελε ἀπὸ τῶν ι τὰ β τῆς κορυφῆς· λοιπὸν η· ὧν Ϛ΄ γίνονται δ. ταῦτα ἐφ' ἑαυτά· γίνονται ιϚ· ὧν γ΄ γίνονται ε γ΄. ταῦτα πρόσθες τοῖς λϚ· ὁμοῦ γίνονται μα γ΄. ταῦτα ἐπὶ τὰ ζ τῆς καθέτου· γίνονται σπθ γ΄. τοσούτων ἔσται τὸ στερεὸν ποδῶν.

[59]

[1] Πυραμίδα ἡμιτελῆ μετρῆσαι τὴν λεγομένην κόλουρον τὴν βάσιν ἔχουσαν τετράγωνον, ἧς αἱ περὶ τὴν βάσιν πλευραί εἰσιν ἐκ ποδῶν ιϚ καὶ αἱ περὶ τὴν κορυφὴν ἐκ ποδῶν Ϛ καὶ τὰ κλίματα ἐκ ποδῶν μ· εὑρεῖν, πόσων ἐστὶ ποδῶν. ποίει οὕτως· τὰ ιϚ ἐφ' ἑαυτά· γίνονται σνϚ· καὶ ὁμοίως τὰ ἕτερα ιϚ ἐφ' ἑαυτά· γίνονται σνϚ. σύνθες ὁμοῦ· γίνονται φιβ. τούτων ἀεὶ λάμβανε πλευρὰν τετραγωνικήν· γίνονται κβ . τοσούτου μετὰ διαφόρου ἡ [2] διαγώνιος τοῦ ἐν τῇ βάσει τετραγώνου. εἶτα ὁμοίως τὰ περὶ τὴν κορυφὴν τὰ Ϛ ἐφ' ἑαυτά· γίνονται λϚ. καὶ ὁμοίως τὰ παρακείμενα τὰ Ϛ ἐφ' ἑαυτά· γίνονται λϚ. σύνθες ὁμοῦ· γίνονται οβ. τούτων πλευρὰ τετραγωνικὴ γίνεται η Ϛ΄ μετὰ διαφόρου. τοσούτου ἡ διαγώνιος [3] τοῦ περὶ τὴν κορυφὴν τετραγώνου. ταῦτα ὕφελε ἀπὸ τῆς ἐν τῇ βάσει διαγωνίου, ἀπὸ τῶν κβ · λοιπὸν ιδ Ϛ΄. ταῦτα πολυπλασίαζε ἐφ' ἑαυτά· γίνονται σ γ΄ δ΄ θ΄. καὶ ὁμοίως τὰ τοῦ κλίματος τὰ μ ἐφ' ἑαυτά· γίνονται Ϛαχ. ἀπὸ τούτων ὕφελε τὰ σ γ΄ δ΄ θ΄. λοιπὸν Ϛαυ· ὧν πλευρὰ τετραγωνικὴ γίνεται λζ δ΄ Ϛ΄ μετὰ διαφόρου.

[4] τοσούτου ἡ κάθετος. ἔχομεν οὖν λίθον μείουρον, ὅ ἐστιν ἀνισοπαχοῦντα, οὗ αἱ περὶ τὴν βάσιν πλευραὶ ἐκ ποδῶν ιϚ, αἱ δὲ περὶ τὴν κορυφὴν ἐκ ποδῶν Ϛ, μῆκος ποδῶν λζ δ΄ Ϛ΄. ποίει οὕτως· τοὺς ἐν τῇ βάσει δι' ἀλλήλων· γίνονται σνϚ. καὶ ὁμοίως τοὺς ἐν τῇ κορυφῇ Ϛ· γίνονται λϚ. σύνθες ὁμοῦ· γίνονται σβ· ὧν Ϛ΄ γίνονται ρμϚ. ταῦτα ἐπὶ τὴν κάθετον, ἐπὶ τὰ λζ δ΄ Ϛ΄· γίνονται Ϛευξγ. τοσούτων ποδῶν ἡ κόλουρος πυραμὶς καλουμένη.

[5] ἐὰν δὲ μὴ ᾖ ἡ βάσις μήτε ἡ κορυφὴ τετράγωνος ἀλλὰ ἑτερομήκης, κατὰ ἑκάστην τῶν πλευρῶν πολυπλασιάσας συνθήσεις [τὴν πλευρὰν] εἰς τὸ τὴν διαγώνιόν σε εὑρεῖν· οἷον ἐπὶ ὑποδείγματος· ἐὰν ἡ μία τῶν περὶ τὴν βάσιν ᾖ ποδῶν ιϚ, ἡ δὲ ἑτέρα ποδῶν ιβ, ποιήσεις τὰ ιϚ ἐφ' ἑαυτά· γίνονται σνϚ· ὁμοίως καὶ τὰ ιβ ἐφ' ἑαυτά· γίνονται ρμδ. σύνθες ὁμοῦ· γίνονται υ· ὧν πλευρὰ τετραγωνικὴ γίνεται κ. τοσούτου ἡ διαγώνιος τοῦ ἐν τῇ βάσει τετραγώνου. τοῦ κατ' αὐτὴν μεθόδου εὑρήσεις τὸ στερεόν.

[60]

[1] Πυραμίδα μετρῆσαι τρίγωνον ὀρθογώνιον βάσιν ἔχουσαν, ἧς τὰ κλίματα οὐκ ἐπ' ἀνάγκης ζητῆσαι ὀρθῆς οὔσης τῆς καθέτου. ἔστω ἡ μὲν κάθετος ποδῶν κε, ἡ δὲ πρώτη τῶν περὶ τὴν ὀρθὴν γωνίαν τοῦ περὶ τὴν βάσιν τριγώνου ποδῶν δ, ἡ δὲ ἑτέρα ποδῶν ε. ποίει οὕτως· τοὺς δ ἐπὶ τοὺς ε· γίνονται κ· ὧν Ϛ΄ γίνονται ι. τούτους ἐπὶ τοὺς κε τῆς καθέτου· γίνονται σν· ὧν τὸ [2] Ϛ΄· γίνονται μα . δι' αἰτίαν τοιαύτην· πᾶν πρίσμα τρίγωνον ἔχον βάσιν ἐστὶν ἥμισυ τετραγώνου, διαιρεῖται δὲ εἰς γ πυραμίδας τριγώνους βάσεις ἐχούσας καὶ ὁμοίως τῷ πρίσματι· τοῦτο ἀποδείκνυσιν Εὐκλείδης ἐν τῷ ιβ΄. εἰ οὖν τὸ πρίσμα ἐστὶν ἥμισυ τετραγώνου καὶ διαιρεῖται εἰς γ πυραμίδας, γίνεται ἀναγκαίως τὸ τῆς πυραμίδος τῆς τρίγωνον βάσιν ἐχούσης ἕκτον ......

[3] βάσιν ἐχούσης. ἀποτετραγωνισθείσης οὖν ληψόμεθα τὸ Ϛ΄. ἐὰν δὲ ᾖ τὸ τρίγωνον ἰσοσκελές· οἷον ἔστωσαν αἱ ἴσαι ἐκ ποδῶν ιβ, ἡ βάσις ποδῶν η, τὰ κλίματα ἐκ ποδῶν κε τῆς πυραμίδος· ποίει οὕτως· δίελε τὴν βάσιν, τῶν η τὸ Ϛ΄· γίνονται δ. ταῦτα ἐφ' ἑαυτά· γίνονται ιϚ. καὶ ποίει μίαν τῶν πλευρῶν τὰ ιβ ἐφ' ἑαυτά· γίνονται ρμδ. ἀπὸ τούτων ὕφελε τὰ δ ἐφ' ἑαυτά· γίνονται ιϚ· λοιπὰ ρκη· ὧν πλευρὰ τετραγωνικὴ ποδῶν ια δ΄ κβ΄ μδ΄. τοσούτου ἔσται ἡ κάθετος ἡ ἐν τῇ βάσει [4] τοῦ ἰσοσκελοῦς τριγώνου. τὸ δὲ ἐμβαδὸν ποιήσεις οὕτως· τὴν κάθετον ἐπὶ τὴν βάσιν, τοὺς ια δ΄ κβ΄ μδ΄ ἐπὶ τοὺς η· γίνονται Ϛ΄ κβ΄. τούτους ἐπὶ τὴν κάθετον τῆς πυραμίδος, ἣν εὑρήσεις οὕτως· ἐπὶ παντὸς τριγώνου καθόλου λαμβάνων τῆς καθέτου τῆς ἐν τῇ βάσει τὸ Ϛ΄, τῶν ια δ΄ κβ΄ μδ΄· γίνονται ε Ϛ΄ η΄ μδ΄ πη΄· ταῦτα ἐφ' ἑαυτά· γίνονται λβ μδ΄· καὶ τὰ τοῦ κλίματος ἐφ' ἑαυτά· γίνονται χκε. λοιπὸν ὕφελε τοὺς λβ μδ΄· γίνονται φγ. τούτων πλευρὰν τετραγωνικήν· γίνονται κδ δ΄ η΄ μετὰ διαφόρου. τοσούτου ἡ κάθετος.

[5] ταῦτα ἐπὶ τὸ ἐμβαδὸν τοῦ τριγώνου, ἐπὶ τοὺς Ϛ΄ κβ΄· γίνονται Ϛβσζ. τούτων λάμβανε Ϛ΄ ..... τετραγώνου· [6] γίνονται πόδες τξζ Ϛ΄ γ΄. τοσούτου ἡ πυραμίς. ἐὰν δὲ ᾖ πυραμὶς τρίγωνον ἀμβλυγώνιον βάσιν ἔχουσα, τοῦ ἀμβλυγωνίου τριγώνου τὸ ἐμβαδὸν ποίει ἐπὶ τὴν κάθετον, καὶ λήψῃ τὸ γ΄ καὶ ἕξεις τῆς πυραμίδος τὸ στερεόν· ὁμοίως κἂν ὀξυγώνιος ᾖ.

[61]

[1] Ἔστω πυραμὶς ἔχουσα βάσιν τρίγωνον ὀρθογώνιον, οὗ ἔστω ἡ κάθετος ποδῶν Ϛ, ἡ δὲ βάσις ποδῶν η, ἡ δὲ ὑποτείνουσα ποδῶν ι, ἡ δὲ πυραμὶς ἐχέτω ἑκάστην πλευρὰν ἀνὰ ποδῶν ιγ· εὑρεῖν αὐτῆς τὴν κάθετον.

[2] ποιῶ οὕτως· εὑρίσκω πρῶτον τὴν διάμετρον τοῦ κύκλου τοῦ περιγράφοντος τὸ τρίγωνον ποδῶν ι, ἥτις ἐστὶν ἡ ὑποτείνουσα. τούτων λαβὲ τὸ Ϛ΄· γίνονται ε. ταῦτα ἐφ' ἑαυτά· γίνονται κε· καὶ τὰ ιγ τοῦ κλίματος ἐφ' ἑαυτά· γίνονται ρξθ. ὑφαιρῶ ἀπ' αὐτῶν τὰ κε· λοιπὸν ρμδ. τούτων λαμβάνω πλευρὰν τετραγωνικήν· [3] γίνονται πόδες ιβ. τὸ δὲ στερεὸν εὑρήσομεν οὕτως· πρῶτον ποιῶ τοῦ τριγώνου τὸ ἐμβαδόν, καὶ εἰσὶ πόδες κδ· καὶ λαμβάνω τῆς καθέτου τὸ γ΄, ἥτις ἐστὶ τῆς πυραμίδος· γίνονται δ. ταῦτα πολυπλασιάζω ἐπὶ τὸ ἐμβαδόν· γίνονται Ϛ πόδες. τοσούτου τὸ στερεόν.

[62]

[1] Πυραμίδα ἐπὶ ἰσοπλεύρου τριγώνου βεβηκυῖαν μετρήσομεν οὕτως· ἔστω ἑκάστη πλευρὰ τῆς βάσεως ἀνὰ ποδῶν λ καὶ τὸ κλίμα ποδῶν κ. ποίει τὰ λ ἐφ' ἑαυτά· γίνονται Ϡ. τούτων τὸ γ΄· γίνονται τ· καὶ τὰ κ ἐφ' ἑαυτά· γίνονται υ. ἐκ τούτων ὑφαιρῶ τὰ τ· λοιπὸν ρ· ὧν πλευρὰ τετραγωνικὴ γίνεται ποδῶν ι. τοσούτων [2] ἔσται ἡ κάθετος. ἐπεὶ οὖν ἡ κάθετος ποδῶν ι, εὑρεθήσεται τὸ ἐμβαδὸν οὕτως· τὰ λ ἐφ' ἑαυτά· γίνονται Ϡ. τούτων τὸ γ΄ καὶ τὸ ι΄· γίνονται τ. τούτων τὸ γ΄· γίνονται ρλ. ταῦτα ἐπὶ τὰ ι τῆς καθέτου· γίνονται πόδες Ϛατ. τοσούτων ποδῶν ἔσται τὸ στερεόν.

[63]

[1] Ἔστω πυραμὶς πεντάγωνον βάσιν ἔχουσα τὴν ὑπογεγραμμένην, ἧς ἑκάστη τῶν περὶ τὴν βάσιν πλευρῶν ἀνὰ ποδῶν ιβ, τὰ δὲ κλίματα ἐκ ποδῶν λε· εὑρεῖν τὴν [2] κάθετον καὶ τὸ στερεόν. καὶ περιγεγράφθω περὶ τὸ πεντάγωνον κύκλος ἔχων τὴν περίμετρον ποδῶν ξγ· ἔσται ἄρα ἡ διάμετρος ποδῶν κ. ταύτης λαβὲ τὸ Ϛ΄· γίνονται ι. ταῦτα ἐφ' ἑαυτά· γίνονται ρ· καὶ τοὺς τοῦ κλίματος πόδας λε ἐφ' ἑαυτούς· γίνονται Ϛασκε. ἆρον ἀπὸ τούτων τὰ ρ· λοιπὸν Ϛαρκε· ὧν πλευρὰ τετραγωνικὴ ποδῶν λγ Ϛ΄ κβ΄ μετὰ διαφόρου. τοσούτου [3] ἔσται ἡ κάθετος. ταῦτα ποίει ἐπὶ τὸ ἐμβαδὸν τοῦ πενταγώνου οὕτως· λαβὲ τῶν ἐν τῇ βάσει ποδῶν ιβ τὸ Ϛ΄· γίνονται Ϛ. τούτους ἐφ' ἑαυτούς· γίνονται λϚ. καὶ τὸ Ϛ΄ τῆς διαμέτρου τοὺς ι ἐφ' ἑαυτούς· γίνονται πόδες ρ. ἀπὸ τούτων ὕφελε τοὺς λϚ· λοιπὸν γίνονται πόδες ξδ· ὧν πλευρὰ τετραγωνικὴ γίνεται ποδῶν η.

[4] τοσούτου ἡ κάθετος ἡ ἐν τῷ τριγώνῳ. τούτους ἐπὶ τὴν βάσιν, ἐπὶ τοὺς ιβ· γίνονται Ϛ· ὧν Ϛ΄ γίνονται μη. τοσούτου ἔσται τὸ ἐμβαδὸν τοῦ τριγώνου. ταῦτα ποίει πεντάκις, ἐπεὶ ε τρίγωνά ἐστιν· γίνονται πόδες σμ. ταῦτα ποίει ἐπὶ τὴν κάθετον, ἐπὶ τοὺς λγ Ϛ΄ κβ΄· γίνονται πόδες Ϛην. τούτων λάμβανε τὸ Ϛ΄, ἐπεὶ Ϛ΄ πρίσματός ἐστιν· γίνονται πόδες Ϛατμα . τοσούτου [5] ἔσται τὸ στερεόν. δύναται δὲ καὶ χωρὶς τῆς περιγραφῆς τοῦ κύκλου ἡ διάμετρος εὑρεθῆναι. ἐπεὶ γὰρ ἡ τοῦ πενταγώνου δύναται τὴν τοῦ ἑξαγώνου καὶ τοῦ δεκαγώνου, τὸ Ϛ΄ τῆς πλευρᾶς, λέγω δὲ τῶν ιβ τὸ Ϛ΄· γίνονται Ϛ. ταῦτα ἐφ' ἑαυτά· γίνονται πόδες λϚ· καὶ τὰ ιβ ἐφ' ἑαυτά· γίνονται ρμδ. ἀπὸ τούτων ὕφελε τὰ λϚ· λοιπὸν ρη· ὧν πλευρὰ τετραγωνικὴ γίνεται ποδῶν ι γ΄ ιε΄. τοσούτου ἔσται τοῦ ἑξαγώνου ἡ πλευρά. τοσούτου ἐστὶν ἡ ἐκ τοῦ κέντρου· α γάρ ἐστι.

[64]

[1] Καὶ τὴν ἑξάγωνον μετρήσεις οὕτως οὐκέτι ζητῶν τὴν διάμετρον· οἷον ἔστω πυραμὶς ἑξάγωνος, ἧς ἑκάστη τῶν πλευρῶν ἀνὰ ποδῶν ιβ, τὰ δὲ κλίματα ἐκ ποδῶν λε· εὑρεῖν τὴν κάθετον καὶ τὸ στερεόν. ποιῶ οὕτως· τὰ ιβ ἐφ' ἑαυτά· γίνονται ρμδ· καὶ τὰ λε ἐφ' ἑαυτά· γίνονται Ϛασκε. ὕφελε ἀπὸ τούτων τὰ ρμδ· λοιπὸν Ϛαπα· ὧν πλευρὰ τετραγωνικὴ γίνεται ποδῶν λβ Ϛ΄ δ΄ [2] η΄ ξδ΄. συντείνει τοσούτου ἡ κάθετος. ταύτην ποίησον ἐπὶ τὸ ἐμβαδὸν τοῦ ἑξαγώνου, λήψῃ δὲ οὕτως· ἐπεὶ ἓξ τρίγωνα ἰσόπλευρα ἔχει τὸ ἑξάγωνον, τοῦ ἑνὸς τριγώνου τὸ ἐμβαδὸν λαβὼν ἑξάκι ποιήσεις, καὶ εὑρήσεις τὸ ἐμβαδὸν τοῦ ἑξαγώνου τοῦ ἰσοπλεύρου· ποιήσεις δὲ [3] οὕτως· τὴν α αὐτοῦ πλευρὰν ἐφ' ἑαυτήν· γίνονται ρμδ. τούτων τὸ γ΄· γίνονται μη· καὶ τὸ ι΄· γίνονται ιδ γ΄ ιε΄· ὁμοῦ γίνονται ξβ γ΄ ιε΄. ταῦτα ποίησον ἑξάκι, ἐπεὶ Ϛ τρίγωνά ἐστιν· γίνονται τοδ γ΄ ιε΄. ταῦτα ποίησον ἐπὶ τὴν κάθετον, ἐπὶ τὰ λβ Ϛ΄ δ΄ η΄ ξδ΄· γίνονται πόδες αϚβτιδ· ὧν ἕκτον, ἐπεὶ Ϛ΄ πρίσματος· γίνονται πόδες Ϛβνβ γ΄. τοσούτων ἔσται ποδῶν ἡ πυραμίς, ποδῶν Ϛβνβ γ΄.

[65]

[1] Πυραμίδα ἐπὶ ὀκταγώνου βάσεως βεβηκυῖαν μετρῆσαι. ἔστω πυραμὶς ἔχουσα ἑκάστην τῶν ἐν τῇ βάσει πλευρῶν ἀνὰ ποδῶν ι, τὰ δὲ κλίματα ἀνὰ ποδῶν ιε· εὑρεῖν αὐτῆς τὴν κάθετον καὶ τὸ στερεόν. ποιῶ οὕτως· λαμβάνω τὸ Ϛ΄ τῆς πλευρᾶς τοῦ ἐν τῇ βάσει ὀκταγώνου, τουτέστιν τῶν ι τὸ Ϛ΄· γίνονται ε. ταῦτα ἐφ' ἑαυτά· γίνονται κε. ταῦτα ποίει δίς· γίνονται ν· ὧν πλευρὰ τετραγωνικὴ γίνεται ποδῶν ζ ιδ΄. τούτοις προστιθῶ τὸ Ϛ΄ τῆς τοῦ ὀκταγώνου πλευρᾶς τοὺς ε πόδας· ὁμοῦ γίνονται πόδες ιβ ιδ΄. ταῦτα ἐφ' ἑαυτά· [2] γίνονται πόδες ρμϚ μετὰ διαφόρου. καὶ τὸ Ϛ΄ τῆς πλευρᾶς ποίει ἐφ' ἑαυτά· γίνονται κε. ταῦτα συντίθημι μετὰ τῶν ρμϚ· γίνονται ροα. καὶ τὰ ιε τοῦ κλίματος ἐφ' ἑαυτά· γίνονται σκε. ἀπὸ τούτων αἴρω τὰ ροα· λοιπὸν νδ· ὧν πλευρὰ τετραγωνικὴ γίνεται ζ γ΄. τοσούτου [3] ἔσται ἡ κάθετος. τὸ δὲ στερεὸν οὕτως· λαμβάνω τοῦ ἐν τῇ βάσει ὀκταγώνου τὸ ἐμβαδὸν καὶ ποιῶ ἐπὶ τὴν κάθετον, καὶ τῶν γενομένων τὸ γ΄· ἔστιν δὲ Ϛαρπα. τοσούτων ποδῶν ἔσται τὸ στερεὸν τῆς πυραμίδος τῆς ὀκταγώνου.

[66]

[1] Ἔστω πυραμὶς ξυστρωτὴ τρίγωνος ἐπὶ βάσεως περιφερειῶν ἐλασσόνων ἡμικυκλίου, ἧς ἀπὸ πέρατος ἐπὶ πέρας ἡ ὑποτείνουσα τῆς ἐν τῇ βάσει περιφερείας ἑκάστη ποδῶν ι καὶ αἱ προσπίπτουσαι κάθετοι ποδῶν β, πλάτους τὰ κλίματα ἐκ ποδῶν κ. ποίει οὕτως· λαβὲ μιᾶς εὐθείας τῶν ἐν τῇ βάσει τὸ Ϛ΄· γίνονται ε· ταῦτα ἐφ' ἑαυτά· γίνονται κε· καὶ τὴν ἑτέραν ἐφ' ἑαυτήν, τὰ ι· γίνονται ρ· ἀπὸ τούτων ὕφελε τὰ κε· λοιπὸν οε τούτων λαβὲ πλευρὰν τετραγωνικήν· γίνεται ποδῶν η Ϛ΄ η΄ ιϚ΄. τοσούτου ἡ ἀπὸ τῆς κορυφῆς τοῦ τριγώνου [2] ἐπὶ τὴν βάσιν κάθετος. ταύτης λαβὲ τὸ Ϛ΄· γίνονται δ δ΄ ιϚ΄ λβ΄. ταῦτα ἐφ' ἑαυτά· γίνονται ιη Ϛ΄ δ΄ θ΄ μετὰ διαφόρου [τοσούτου]· καὶ τὸ Ϛ΄ τῆς βάσεως τὰ ε ἐφ' ἑαυτά· γίνονται κε· ὁμοῦ γίνονται μγ Ϛ΄ δ΄ θ΄. τούτων λαβὲ πλευρὰν τετραγωνικήν· γίνονται Ϛ Ϛ΄ θ΄. τοσούτου ἡ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ κύκλου τοῦ [3] περιγραφομένου περὶ τὸ τρίγωνον. εὑρεῖν τὴν κάθετον. ποίει τὰ Ϛ Ϛ΄ θ΄ ἐφ' ἑαυτά· γίνονται πόδες μγ Ϛ΄ δ΄ θ΄· καὶ τὰ τοῦ κλίματος τὰ κ ἐφ' ἑαυτά· γίνονται υ· ἀπὸ τούτων ἆρον τὰ μγ Ϛ΄ δ΄ θ΄· λοιπὸν τνϚ ιη΄. τούτων λαβὲ πλευρὰν τετραγωνικήν· γίνονται [4] ιη Ϛ΄ δ΄ θ΄. τοσούτου ἡ κάθετος. ταύτην ἐπὶ τὸ ἐμβαδὸν τοῦ τριγώνου, λήψῃ δὲ οὕτω· τὴν Ϛ΄ τῆς βάσεως τὰ ε ἐπὶ τὴν κάθετον τῆς βάσεως τοῦ τριγώνου, ἐπὶ τοὺς η Ϛ΄ η΄ ιϚ΄· γίνονται μγ Ϛ΄. τοσούτων ποδῶν ἔσται τὸ ἐμβαδὸν τοῦ τριγώνου. ταῦτα ἐπὶ τοὺς ιη Ϛ΄ δ΄ θ΄· γίνονται πόδες ωκ Ϛ΄. τοσούτου τὸ στερεὸν [5] τοῦ συμπληρώματος. ἀπὸ τούτων δεῖ ὑφελεῖν τὰς ξύστρας. ποιήσεις δὲ οὕτως· σύνθες τὴν βάσιν καὶ τὴν κάθετον, τὰ ι καὶ τὰ β· γίνονται πόδες ιβ. ταῦτα ἐπὶ τὴν κάθετον τῆς πυραμίδος, ἐπὶ τὰ ιη Ϛ΄ δ΄ θ΄· γίνονται πόδες σκϚ γ΄. ταῦτα τρισσάκι, ἐπειδὴ γ ξύστραι εἰσίν· γίνονται χοθ. ἦν δὲ τὸ ὅλον συμπλήρωμα ποδῶν ωκ Ϛ΄· ἀπὸ τούτων ἐὰν ὑφέλωμεν τὰ χοθ, λοιπὸν ρμα Ϛ΄· ὧν Ϛ΄ [γίνονται κγ ], ἐπειδὴ ἕκτον πρίσματός ἐστι· γίνονται κγ . τοσούτου τὸ στερεὸν τῶν ξυστρῶν.

[67]

[1] Δέδεικται δὲ ἐν τῷ ιβ΄ τῶν Στοιχείων, ὅτι πᾶν πρίσμα τρίγωνον ἔχον βάσιν διαιρεῖται εἰς γ πυραμίδας ἴσας· ὅθεν φανερόν, ὅτι πᾶσα πυραμὶς τρίτον μέρος ἐστὶ τοῦ πρίσματος τοῦ τὴν αὐτὴν βάσιν ἔχοντος καὶ ὕψος ἴσον. ἐκ δὲ τούτων δῆλον, ὅτι πᾶσα πυραμὶς ἐπὶ οἱουδηποτοῦν σχήματος βεβηκυῖα γ΄ μέρος ἐστὶ στερεοῦ παραλληλεπιπέδου τοῦ τὴν αὐτὴν βάσιν ἔχοντος καὶ ὕψος ἴσον.

[68] Τὸν δὲ λεγόμενον βωμίσκον μετρήσομεν οὕτως, οὗ τὸ μὲν ὕψος ἐστὶ ποδῶν ν, ἡ δὲ βάσις τοῦ βωμίσκου ἔχουσα τὴν μὲν μείζονα πλευρὰν ποδῶν κδ, τὴν δὲ ἐλάσσω ποδῶν ιϚ, ἡ δὲ κορυφὴ ἐχέτω ἡ μὲν μείζων [2] πλευρὰ πόδας ιβ, ἡ δὲ ἐλάσσων πόδας η. συνέθηκα τῆς κορυφῆς καὶ τῆς βάσεως τὰς μείζονας πλευράς, οἷον τὰ ιβ καὶ τὰ κδ· γίνονται λϚ· καὶ ἔτι τὰ τῆς βάσεως καὶ τῆς κορυφῆς τὰς ἐλάσσονας πλευρὰς συνέθηκα εἰς τὸ αὐτό, οἷον τὰ ιϚ καὶ τὰ η· γίνονται κδ. λαβὲ τὸ Ϛ΄ τῶν λϚ· γίνονται ιη· ὁμοίως καὶ τῶν κδ τὸ Ϛ΄· γίνονται ιβ. πολυπλασίασον ταῦτα ἐπὶ τὰ ιη· [3] γίνονται σιϚ. καὶ πάλιν ἀφαιρῶ ἀπὸ τῆς μείζονος πλευρᾶς τὰ ιβ ἀπὸ τῶν κδ· λοιπὸν γίνονται ιβ. τούτων τὸ Ϛ΄· γίνονται Ϛ. καὶ πάλιν ὁμοίως τὴν κορυφὴν ἀπὸ τῆς βάσεως τὴν ἐλάσσονα πλευράν, οἷον τὰ η ἀπὸ τῶν ιϚ· λοιπὸν γίνονται η. τούτων τὸ Ϛ΄· γίνονται δ. ταῦτα πολυπλασίασον ἐπὶ τὰ Ϛ· γίνονται [4] κδ. τούτων τὸ γ΄ μέρισον· γίνονται η. ταῦτα προσέθηκα τοῖς σιϚ· γίνονται ὁμοῦ σκδ. ταῦτα πολυπλασίασον ἐπὶ τὸ ὕψος, ἐπὶ τὰ ν· γίνονται αϚασ καὶ τοσούτων ποδῶν ἔσται τὸ στερεὸν τοῦ βωμίσκου. ὁμοίως δὲ καὶ ἐπ' ἄλλων ἀριθμῶν μετρήσομεν.

[69]

Εὑρεῖν ἡμᾶς, πόδα ἐπὶ πόδα τί συνάγει;

[1] Ποίει οὕτως· ὁ ποὺς ἔχει δακτύλους ιϚ. τούτους ἐπανάλαβε· γίνονται ιϚ οὗτοι ἐπὶ τοὺς ιϚ σνϚ. τούτους ἀνάλυε εἰς τοὺς ιϚ δακτύλους· γίνονται ιϚ, ποὺς εἷς. ἔχομεν οὖν ἐν ἀποδείξει ἐκ τοῦ εἰπεῖν ἡμᾶς ἀπὸ ιϚ [2] δακτύλων τὸν πόδα, ὅτι γέγονεν εἷς πούς. ὁ δὲ εἷς Ϛ΄ ποὺς ἐπὶ α Ϛ΄ πόδα οὕτως ψηφισθήσεται· ἐπεὶ τὸν πόδα ιϚ ἐφωρίσαμεν δακτύλων εἶναι, γίνεται ὁ εἷς Ϛ΄ ποὺς δάκτυλοι κδ. λέγεις οὖν αὐτὰ ἐφ' ἑαυτά· γίνονται φοϚ. ταῦτα ὕφειλε παρὰ τῶν ιϚ· γίνονται λϚ, οἵτινες [3] ποιοῦσι πόδας β δ΄. Ϛ΄ δ΄ πόδα ἐπὶ Ϛ΄ δ΄· ποίει οὕτως· τὸ Ϛ΄ δάκτυλοι η, τὸ δ΄ δ, ὁμοῦ ιβ, ἅτινα αὐτὰ ἐφ' ἑαυτὰ γίνονται ρμδ. ἐπανάλαβε καὶ τὸν πόδα, τουτέστι τοὺς ιϚ δακτύλους, ἐπὶ τοὺς ιϚ· γίνονται σνϚ. σκόπει οὖν ἄρτι, τὰ ρμδ τί γίνεται εἰς τὰ σνϚ, καὶ λέγομεν Ϛ΄ ιϚ΄· ὡς δῆλον εἶναι, ὅτι Ϛ΄ δ΄ ἐπὶ Ϛ΄ δ΄ γίνεται Ϛ΄ ιϚ΄. [4] β Ϛ΄ δ΄ η΄ ιϚ΄ πρὸς β Ϛ΄ δ΄ η΄ ιϚ΄· ποίησον οὕτως· δὶς ιϚ λβ· Ϛ΄ τῶν ιϚ η· δ΄ τῶν ιϚ δ· η΄ τῶν ιϚ β· ιϚ΄ τῶν ιϚ α· ὁμοῦ μζ. ταῦτα ἐφ' ἑαυτά· γίνονται Ϛβσθ. τούτους ἀπάρτιζε εἰς τὰ σνϚ οὕτως· ὀκτάκις τὰ σνϚ· γίνονται Ϛβμη· μένουσι καὶ ρξα, καί εἰσιν εἰς τὰ σνϚ Ϛ΄ η΄ καὶ σνϚ΄· καὶ ἰδοῦ τὰ β Ϛ΄ δ΄ η΄ ιϚ΄ πρὸς τὰ [5] β Ϛ΄ δ΄ η΄ ιϚ΄ γεγόνασιν η Ϛ΄ η΄ καὶ σνϚ΄. ἀρκείτω τοίνυν εἰς δήλωσιν τῆς τοῦ ποδὸς ἀκριβεστάτης ἐπιψηφίσεως.