Heron-Metrica I

ΗΡΩΝΟΣ ΜΕΤΡΙΚΩΝ Α

ΠΡΟΟΙΜΙΟΝ

[proem] Ἡ πρώτη γεωμετρία, ὡς ὁ παλαιὸς ἡμᾶς διδάσκει λόγος, περὶ τὰς ἐν τῇ γῇ μετρήσεις καὶ διανομὰς κατησχολεῖτο, ὅθεν καὶ γεωμετρία ἐκλήθη· χρειώδους δὲ τοῦ πράγματος τοῖς ἀνθρώποις ὑπάρχοντος ἐπὶ πλέον προήχθη τὸ γένος, ὥστε καὶ ἐπὶ τὰ στερεὰ σώματα χωρῆσαι τὴν διοίκησιν τῶν τε μετρήσεων καὶ διανομῶν· καὶ ἐπειδὴ οὐκ ἐξήρκει τὰ πρῶτα ἐπινοηθέντα θεωρήματα, προσεδεήθησαν ἔτι περισσοτέρας ἐπισκέψεως, ὥστε καὶ μέχρι νῦν τινὰ αὐτῶν ἀπορεῖσθαι, καίτοι Ἀρχιμήδους τε καὶ Εὐδόξου γενναίως ἐπιβεβληκότων τῇ πραγματείᾳ. ἀμήχανον γὰρ ἦν πρὸ τῆς Εὐδόξου ἐπινοίας ἀπόδειξιν ποιήσασθαι, δι' ἧς ὁ κύλινδρος τοῦ κώνου τοῦ τὴν αὐτὴν βάσιν ἔχοντος αὐτῷ καὶ ὕψος ἴσον τριπλάσιός ἐστι, καὶ ὅτι οἱ κύκλοι πρὸς ἀλλήλους εἰσὶν ὡς ἀπὸ τῶν διαμέτρων τετράγωνα πρὸς ἄλληλα. καὶ πρὸ[ς] τῆς Ἀρχιμήδους συνέσεως ἄπιστον ἦν ἐπινοῆσαι, διότι ἡ τῆς σφαίρας ἐπιφάνεια τετραπλασία ἐστὶ τοῦ μεγίστου κύκλου τῶν ἐν αὐτῇ καὶ ὅτι τὸ στερεὸν αὐτῆς δύο τριτημόριά ἐστι τοῦ περιλαμβάνοντος αὐτὴν κυλίνδρου καὶ ὅσα τούτων ἀδελφὰ τυγχάνει. ἀναγκαίας οὖν ὑπαρχούσης τῆς εἰρημένης πραγματείας καλῶς ἔχειν ἡγησάμεθα συναγαγεῖν, ὅσα τοῖς πρὸ ἡμῶν εὔχρηστα ἀναγέγραπται καὶ ὅσα ἡμεῖς προ‹ς›εθεωρήσαμεν. ἀρξώμεθα δὲ ἀπὸ τῶν ἐπιπέδων μετρήσεων, συμπαραλαμβάνοντες τοῖς ἐπιπέδοις καὶ τὰς ἄλλας ἐπιφανείας κοίλας ἢ κυρτὰς, ἐπειδήπερ πᾶσα ἐπιφάνεια ἐκ δύο ‹δια›στάσεων ἐπινοεῖται. αἱ δὲ συγκρίσεις τῶν εἰρημένων ἐπιφανειῶν γίγνονται πρός τι χωρίον εὐθύγραμμόν τε καὶ ὀρθογώνιον, εὐθύγραμμον μὲν, ἐπεὶ ἡ εὐθεῖα ἀμετάπτωτός ἐστι παρὰ τὰς ἄλλας γραμμάς· πᾶσα γὰρ εὐθεῖα ἐπὶ πᾶσαν εὐθεῖαν ἐφαρμόζει, αἱ δὲ ἄλλαι κοῖλαι ἢ κυρταὶ οὐ πᾶσαι ἐπὶ πάσας. ‹...› διὸ πρὸς ἑστηκός τι, λέγω δὲ τὴν εὐθεῖαν, ἔτι δὲ καὶ πρὸς τὴν ὀρθὴν γωνίαν τὴν σύγκρισιν ἐποιήσαντο· πάλιν γὰρ πᾶσα ὀρθὴ ἐπὶ πᾶσαν ὀρθὴν ἐφαρμόζει, αἱ δ' ἄλλαι οὐ πᾶσαι ἐπὶ πάσας. καλεῖται δὲ πῆχυς μὲν ἐμβαδὸς, ὅταν χωρίον τετράγωνον ἑκάστην πλευρὰν ἔχῃ πήχεος ἑνός· ὁμοίως δὲ καὶ ἐμβαδὸς ποῦς καλεῖται, ὅταν χωρίον τετράγωνον ἔχῃ ἑκάστην πλευρὰν ποδὸς ἑνός. ὥστε αἱ εἰρημέναι ἐπιφάνειαι τὰς συγκρίσεις λαμβάνουσι πρὸς τὰ εἰρημένα χωρία ἢ τὰ τούτων μέρη. πάλιν δ' αὖ τὰ στερεὰ σώματα τὰς συγκρίσεις λαμβάνει πρὸς χωρίον στερεὸν εὐθύγραμμόν τε καὶ ὀρθογώνιον, πάντη ἰσόπλευρον· τοῦτο δέ ἐστι κύβος ἔχων ἑκάστην πλευρὰν ἤτοι πήχεος ἑνὸς ἢ ποδὸς ἑνός· ἢ πάλιν πρὸς τὰ τούτων μέρη. δι' ἣν μὲν οὖν αἰτίαν πρὸς τὰ εἰρημένα χωρία ἡ σύγκρισις γίνεται, εἴρηται, ἑξῆς δὲ ἀρξώμεθα τῶν ἐν ταῖς ἐπιφανείαις μετρήσεων. ἵνα οὖν μὴ καθ' ἑκάστην μέτρησιν πόδας ἢ πήχεις ἢ τὰ τούτων μέρη ὀνομάζωμεν, ἐπὶ μονάδων τοὺς ἀριθμοὺς ἐκθησόμεθα· ἐξὸν γὰρ αὐτὰς πρὸς ὃ βούλεταί τις μέτρον ὑποτίθεσθαι.

[1] Ἔστω χωρίον ἑτερόμηκες ‹τὸ ΑΒΓΔ ἔχον› τὴν μὲν ΑΒ μονάδων ε, τὴν δὲ ΑΓ μονάδων γ. εὑρεῖν αὐτοῦ ‹τὸ ἐμβαδόν›. ἐπεὶ πᾶν παραλληλόγραμμον ὀρθογώνιον ‹περιέχεσθαι λέ›γεται ὑπὸ δύο τῶν τὴν ὀρθὴν γωνίαν περι‹εχουσῶν εὐθειῶν› καὶ ἔστι τὸ ὑπὸ τῶν ΒΑ ΑΓ περιεχόμενον ‹τοιοῦτο, τὸ› ἐμβαδὸν τοῦ ἑτερομήκους ἔσται μονάδων ιε. ‹ἐὰν γὰρ ἑκατέρα πλευρὰ› διαιρεθῇ ἡ μὲν ΑΒ εἰς τὰς μονάδας ε, ἡ δὲ ΑΓ ὁμοίως ‹εἰς τὰς γ μονάδας καὶ δι›ὰ τῶν τομῶν παράλληλοι ἀχθῶσιν ταῖς τοῦ παραλληλογράμμου πλευραῖς, ἔσται τὸ χωρίον διῃρημένον εἰς χωρία ιε, ὧν ἕκαστον ἔσται μονάδος α. κἂν τετράγωνον δὲ ᾖ τὸ χωρίον, ὁ αὐτὸς ἁρμόσει λόγος.

[2] Ἔστω τρίγωνον ὀρθογώνιον τὸ ΑΒΓ ὀρθὴν ἔχον τὴν πρὸς τῷ Β γωνίαν. καὶ ἔστω ἡ μὲν ΑΒ μονάδων γ, ἡ δὲ ΒΓ μονάδων δ. εὑρεῖν τὸ ἐμβαδὸν τοῦ τριγώνου καὶ ‹τὴν ὑποτείνουσαν. προσανα›πεπληρώσθω τὸ ΑΒΓΔ ‹παραλληλόγραμμον ὀρθογώνιον, οὗ› τὸ ἐμβαδὸν, ὡς ἐπάνω ‹δέδεικται, μονάδων ιβ. τὸ δὲ ΑΒΓ τρίγωνον› ἥμισύ ἐστι τοῦ ΑΒΓΔ ‹παραλληλογράμμου· ἔσται οὖν› τοῦ ΑΒ‹Γ› τριγώνου ‹τὸ ἐμβαδὸν μονάδων Ϛ· καὶ› ἐπεὶ ὀρθή ἐστιν ‹ἡ πρὸς τῷ Β γωνία, τὰ ἀπὸ τῶν ΑΒ ΒΓ› τετράγωνα ἴσα ἐστὶν ‹τῷ ἀπὸ τῆς ΑΓ τετραγώνῳ.› καὶ ἔστι τὰ ἀπὸ τῶν ΑΒ ΒΓ ‹τετράγωνα μονάδων κε· καὶ τὸ ἀπὸ τῆς› ΑΓ ἄρα ἔσται μονάδων κε· αὐτὴ ‹ἄρα ἡ ΑΓ μονάδων ε. ἡ δὲ μέθοδός ἐστιν αὕτη·› τὰ μὲν γ ἐπὶ τὰ δ ποιήσαντα λαβεῖν ‹τὸ ἥμισυ τούτων· γίνεται Ϛ· τοσούτων› τὸ ἐμβαδὸν τοῦ τριγώνου. καὶ ‹...... τὰ γ› ἐφ' ἑαυτὰ ποιήσαντα καὶ ὁμοίως τὰ δ ἐφ' ἑαυτὰ ‹ποιήσαντα συνθεῖναι›· καὶ γίγνονται κε· καὶ τούτων πλευρὰν λαβόντα ἔχειν ‹τοῦ τριγώνου τὴν› ὑποτείνουσαν.

[3] Ἔστω τρίγωνον ἰσοσκελὲς τὸ ΑΒΓ ἴσην ἔχον τὴν ΑΒ τῇ ΑΓ καὶ ἑκατέραν ‹τῶν› ἴσων μονάδων ι. τὴν δὲ ΒΓ [τῇ ΑΓ ‹καὶ› ἑκατέραν τῶν ἴσων μονάδων ι ‹τὴν δὲ ΒΓ›] μονάδων ιβ. εὑρεῖν αὐτοῦ[ς] ‹τὸ ἐμβαδὸν.› ἤχθω κάθετος ἐπὶ τὴν ΒΓ ἡ ΑΔ. καὶ διὰ μὲν τοῦ Α τῇ ΒΓ παράλληλος ἤχθω ἡ ΕΖ, διὰ δὲ τῶν Β, Γ τῇ ΑΔ παράλληλοι ἤχθωσαν αἱ ΒΕ, Γ‹Ζ›· διπλάσιον ἄρα ἐστὶν τὸ ΒΓΕΖ παραλληλόγραμμον τοῦ ΑΒΓ τριγώνου· βάσιν τε γὰρ αὐτῷ ἔχει τὴν αὐτὴν καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις ἐστίν. καὶ ἐπεὶ ἰσοσκελές ἐστι καὶ κάθετος ἦκται ἡ ΑΔ, ἴση ἐστὶν ἡ ΒΔ τῇ ΔΓ. καὶ ἔστιν ἡ ΒΓ μονάδων ιβ· ἡ ἄρα ΒΔ ἐστὶ μονάδων Ϛ. ἡ δὲ ΑΒ μονάδων ι· ἡ ἄρα ΑΔ ἔσται μονάδων η, ἐπειδήπερ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΒΔ ΔΑ· ‹ὥστε καὶ› ἡ ΒΕ ἔσται μονάδων η. ἡ δὲ ΒΓ ἐστὶ μονάδων ιβ. τοῦ ἄρα ΒΓΕΖ παραλληλογράμμου τὸ ἐμβαδόν ἐστι μονάδων Ϛ· ὥστε τοῦ ΑΒΓ τριγώνου τὸ ἐμβαδόν ἐστι μονάδων μη. ἡ δὲ μέθοδός ἐστιν αὕτη· λαβὲ τῶν ιβ τὸ ἥμισυ· γίνονται Ϛ· καὶ τὰ ι ἐφ' ἑαυτά· γίνονται ρ. ἄφελε τὰ Ϛ ἐφ' ἑαυτὰ, ἅ ἐστι λϚ· γίγνονται λοιπὰ ξδ. ‹τούτων πλευρὰ γίνεται η·› τοσούτου ἔσται ἡ ΑΔ κάθετος. ‹καὶ τὰ ιβ ἐπὶ τὰ η· γίνονται› Ϛ. τούτων τὸ ἥμισυ. ‹γίνονται μη· τοσούτων ἔσται τὸ ἐμβαδὸν τοῦ τριγώνου›.

[4] Τῶν δὲ ἀνισοσκελῶν τριγώνων ‹τὰς γωνίας δεῖ ἐπισκέ›ψασθαι ὅπως τὰς ἀγομένας καθέτους ἀπὸ τῶν γωνιῶν ἐπὶ τὰς πλευρὰς εἰδῶμεν, ἤτοι ἐντὸς τῶν γωνιῶν πίπτουσιν ἢ ἐκτός· ἔστω οὖν δοθὲν τρίγωνον τὸ ΑΒΓ ἔχον ἑκάστην πλευρὰν δοθεισῶν μοιρῶν. καὶ δέον ἐστὶν ἐπισκέψασθαι εἰ τύχοι τὴν πρὸς τῷ Α γωνίαν, ἤτοι ὀρθή ἐστιν ἢ ἀ‹μβλεῖ›α ἢ ὀξεῖα· εἰ μὲν οὖν τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ τετράγωνον ἴσον ἐστὶν ‹τοῖς› ἀπὸ τῶν ΒΑ ΑΓ τετραγώνοις, δῆλον ὅτι ὀρθή ἐστιν ἡ πρὸς τῷ Α γωνία· εἰ δὲ ἔλασσον, ὀξεῖα· εἰ δὲ μεῖζον, δῆλον ὅτι ἀμβλεῖά ἐστιν ἡ πρὸς τῷ Α γωνία. ὑποκείσθω δὴ τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ τετράγωνον ἔλασσον τῶν ἀπὸ τῶν ΒΑ ΑΓ τετραγώνων. ὀξεῖα ἄρα ἐστὶν ἡ πρὸς τῷ Α γωνία. εἰ γὰρ οὐκ ἔσται ὀξεῖα, ἤτοι ὀρθή ἐστιν ἢ ἀμβλεῖα. ὀρθὴ μὲν οὖν οὔκ ἐστιν· ἔδει γὰρ τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ τετράγωνον ἴσον εἶναι τοῖς ἀπὸ τῶν ΓΑ ΑΒ τετραγώνοις· οὐκ ἔστιν δέ· οὐκ ἄρα ὀρθή ἐστιν ἡ πρὸς τῷ Α γωνία. οὐδὲ μὴν ἀμβλεῖά ἐστιν· ἔδει γὰρ τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ τετράγωνον μεῖζον εἶναι τῶν ἀπὸ τῶν ΓΑ ΑΒ τετραγώνων· οὐκ ἔστιν δέ· οὐδὲ ἄρα ἀμβλεῖα ἐστιν. ἐδείχθη δὲ ὅτι οὐδὲ ὀρθή· ὀξεῖα ἄρα ἐστίν. ὁμοίως δὴ ἐπιλογιούμεθα καὶ ἐὰν τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ τετράγωνον μεῖζον ᾖ τῶν ἀπὸ τῶν ΒΑ ΑΓ τετραγώνων, ὅτι ἀμβλεῖά ἐστιν ἡ πρὸς τῷ Α γωνία.

[5] Ἔστω τρίγωνον ὀξυγώνιον τὸ ΑΒΓ ἔχον τὴν μὲν ΑΒ μονάδων ιγ, τὴν δὲ ‹ΒΓ μονάδων ιδ, τὴν δὲ ΑΓ μονάδων ιε.› εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδόν. φανερὸν ‹........... ὅτι› ὀξεῖά ἐστιν ἡ πρὸς τῷ Β γωνία· τὸ ‹γὰρ ἀπὸ τῆς ΑΓ τετράγωνον ἔλασσον› ἐστὶ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΒ ‹ΒΓ τετραγώνων. κάθετος ἤχθω ἐπὶ› τὴν ΒΓ ἡ ΑΔ. τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΑΓ ‹τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΓΒ ΒΔ ἔλασσόν› ἐστι τῶν ἀπὸ τῶν ΑΒ ΒΓ ὡς ‹..............› δέδεικται. καὶ ἔστι τὰ μὲν ἀπὸ τῶν ΑΒ ΒΓ ‹μονάδων τξε, τὸ δὲ ἀπὸ τῆς› ΑΓ μονάδων ‹ς›κε· λοιπὸν ἄρα τὸ δὶς ὑπὸ ‹τῶν ΓΒ ΒΔ μονάδων ρμ· τὸ ἄρα› ἅπαξ ὑπὸ τῶν ΓΒ ΒΔ ἔσται μονάδων ο. καὶ ‹ἔστιν ἡ ΒΓ μονάδων› ιδ· ἡ ἄρα ΒΔ ἔσται μονάδων ε. καὶ ἐπεὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ ‹ἴσον ἐστὶ› τοῖς ἀπὸ τῶν ΑΔ ΔΒ· καὶ ἔστι τὸ μὲν ἀπὸ τῆς ΑΒ μονάδων ρξθ, τὸ δὲ ἀπὸ τῆς ΒΔ μονάδων κε· λοιπὸν ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΑΔ ἔσται μονάδων ρμδ. αὐτὴ ἄρα ἡ ΑΔ ἔσται μονάδων ιβ. ἔστι δὲ καὶ ἡ ΒΓ μονάδων ιδ· τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΒΓ ΑΔ ἔσται μονάδων ρξη. καὶ ἔστι τοῦ ΑΒΓ τριγώνου διπλάσιον· τὸ ‹ἄρα› ΑΒΓ τρίγωνον ἔσται μονάδων πδ. ἡ δὲ μέθοδος ἔσται τοιαύτη· τὰ ιγ ἐφ' ἑαυτά· γίγνεται ρξθ· καὶ τὰ ιδ ἐφ' ἑαυτά· γίγνεται ρϚ· καὶ τὰ ιε ἐφ' ἑαυτά· γίγνεται σκε· ‹σύνθες τὰ ρξθ καὶ τὰ ρϚ· γίγνεται τξε· ἀπὸ τούτων ἄφελε τὰ σκε·› γίγνεται λοιπὰ ρμ· τούτων τὸ ἥμισυ· γίγνεται ο· παράβαλε παρὰ τὸν ιδ· γίγνεται ε· καὶ τὰ ιγ ἐφ' ἑαυτά· γίγνεται ρξθ. ἀφ' ὧν ἄφελε τὰ ε ἐφ' ἑαυτά· λοιπὰ ρμδ. τούτων πλευρὰ γίγνεται ιβ· τοσούτου ἔσται ἡ κάθετος. ταῦτα πολυπλασίασον ἐπὶ τὸν ιδ· γίγνεται ρξη· τούτων τὸ ἥμισυ πδ· τοσούτου ἔσται τὸ ἐμβαδόν.

[6] Ἔστω τρίγωνον ἀμβλυγώνιον τὸ ΑΒΓ ἔχον τὴν μὲν ΑΒ μονάδων ιγ, τὴν δὲ ΒΓ μονάδων ια, τὴν δὲ ΑΓ μονάδων κ· εὑρεῖν αὐτοῦ τὴν κάθετον καὶ τὸ ἐμβαδόν. ἐκβεβλήσθω ἡ ΒΓ καὶ ἐπ' αὐτὴν κάθετος ἤχθω ἡ ΑΔ. τὸ ‹ἄρα› ἀπὸ τῆς ΑΓ μεῖζόν ἐστι τῶν ἀπὸ τῶν ΑΒ ΒΓ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΓΒ ΒΔ. καὶ ἔστιν ‹τὸ› μὲν ἀπὸ τῆς ΑΓ μονάδων υ, τὸ δὲ ἀπὸ τῆς ΒΓ μονάδων ‹ρκα, τὸ δὲ ἀπὸ τῆς ΑΒ ρξθ· τὸ ἄρα δὶς ὑπὸ› τῶν ΓΒ ΒΔ μονάδων ρι. τὸ ἄρα ἅπαξ ὑπὸ τῶν ΓΒ ΒΔ ἔστιν ‹μονάδων νε.› καὶ ἔστιν ἡ ΒΓ μονάδων ια· ἡ ἄρα ΒΔ ἔσται μονάδων ε. ἀλλὰ καὶ ἡ ΑΒ μονάδων ιγ· ἡ ἄρα ΑΔ ἔσται μονάδων ιβ. ἀλλὰ καὶ ἡ ΒΓ μονάδων ‹ια· τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΔ› ΒΓ ἔσται μονάδων ρλβ. καὶ ἔστι διπλάσιον τοῦ ΑΒ‹Γ› τριγώνου. τὸ ἄρα ΑΒΓ τρίγωνον ἔσται μονάδων ξ ‹Ϛ›. ἡ δὲ μέθοδος ἔσται [ἡ] αὕτη. τὰ ιγ ἐφ' ἑαυτὰ γίγνεται ρξθ· καὶ τὰ ια ἐφ' ἑαυτά· γίγνεται ρκα· καὶ τὰ κ ἐφ' ἑαυτά· γίγνεται υ. σύνθες τὰ ρξθ καὶ τὰ ρκα· γίγνεται σ· ταῦτα ἄφελε ἀπὸ τῶν υ· λοιπὰ ρι. τούτων τὸ ἥμισυ· γίγνεται νε. παράβαλε παρὰ τὸν ια· γίγνεται ε. καὶ τὰ ιγ ἐφ' ἑαυτά· γίγνεται ρξθ. ἄφελε τὰ ε ἐφ' ἑαυτά· λοιπὰ ρμδ. τούτων πλευρὰ γίγνεται ιβ. ἔσται ἡ κάθετος μονάδων ιβ. ταῦτα ἐπὶ τὰ ια· γίγνεται ρλβ. τούτων τὸ ἥμισυ ξϚ· τοσούτου ἔσται τὸ ἐμβαδὸν τοῦ τριγώνου.

Μέχρι μὲν οὖν τούτου ἐπιλογιζόμενοι τὰς γεωμετρικὰς ἀποδείξεις ἐποιησάμεθα, ἑξῆς δὲ κατὰ ἀνάλυσιν διὰ τῆς τῶν ἀριθμῶν συνθέσεως τὰς μετρήσεις ποιησόμεθα.

[7] Ἐὰν ὦσι δύο ἀριθμοὶ οἱ ΑΒ, ΒΓ, ἔσται τοῦ ἀπὸ ΑΒ τετραγώνου ἐπὶ τὸν ἀπὸ τοῦ ΒΓ τετράγωνον πλευρὰ ‹ὁ› ὑπὸ ΑΒ‹Γ› περιεχόμενος ἀριθμός. ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς ὁ ΑΒ πρὸς τὸν ΒΓ, οὕτως ὅ τε ἀπὸ ΑΒ τετράγωνος πρὸς τὸν ὑπὸ ΑΒΓ περιεχόμενον ἀριθμὸν καὶ ὁ ὑπὸ ΑΒΓ πρὸς τὸν ἀπὸ ΒΓ τετράγωνον, ἔσται ἄρα καὶ ὡς ὁ ἀπὸ ΑΒ τετράγωνος πρὸς τὸν ὑπὸ ΑΒΓ, οὕτως ὁ ὑπὸ ΑΒΓ πρὸς τὸν ἀπὸ ΒΓ τετράγωνον. ἐπεὶ οὖν τρεῖς ἀριθμοὶ ἀνάλογον ἔχουσιν, ἔσται ὁ ὑπὸ τῶν ἄκρων ἴσος τῷ ἀπὸ τοῦ μέσου τετραγώνῳ· ὁ ἄρα ἀπὸ τοῦ ΑΒ τετράγωνος ἐπὶ τὸν ἀπὸ τοῦ ΒΓ ἴσος ἔσται τῷ ὑπὸ τῶν ΑΒΓ ἐφ' ἑαυτόν. τοῦ ἄρα ἀπὸ ΑΒ ἐπὶ τὸν ἀπὸ ΒΓ τετράγωνον πλευρά ἐστιν ὁ ὑπὸ τῶν ΑΒΓ περιεχόμενος ἀριθμός.

[8] Ἔστι δὲ καθολικὴ μέθοδος ὥστε τριῶν πλευρῶν δοθεισῶν οἱουδηποτοῦν τριγώνου τὸ ἐμβαδὸν εὑρεῖν χωρὶς καθέτου· οἷον ἔστωσαν αἱ τοῦ τριγώνου πλευραὶ μονάδων ζ, η, θ. σύνθες τὰ ζ καὶ τὰ η καὶ τὰ θ· γίγνεται κδ. τούτων λαβὲ τὸ ἥμισυ· γίγνεται ιβ. ἄφελε τὰς ζ μονάδας· λοιπαὶ ε. πάλιν ἄφελε ἀπὸ τῶν ιβ τὰς η· λοιπαὶ δ. καὶ ἔτι τὰς θ· λοιπαὶ γ. ποίησον τὰ ιβ ἐπὶ τὰ ε· γίγνονται ξ. ταῦτα ἐπὶ τὸν δ· γίγνονται σμ· ταῦτα ἐπὶ τὸν γ· γίγνεται ψκ· τούτων λαβὲ πλευρὰν καὶ ἔσται τὸ ἐμβαδὸν τοῦ τριγώνου. ἐπεὶ οὖν αἱ ψκ ῥητὴν τὴν πλευρὰν οὐκ ἔχουσι, ληψόμεθα μετὰ διαφόρου ἐλαχίστου τὴν πλευρὰν οὕτως· ἐπεὶ ὁ συνεγγίζων τῷ ψκ τετράγωνός ἐστιν ὁ ψκθ καὶ πλευρὰν ἔχει τὸν κζ, μέρισον τὰς ψκ εἰς τὸν κζ· γίγνεται κϚ καὶ τρίτα δύο· πρόσθες τὰς κζ· γίγνεται νγ τρίτα δύο. τούτων τὸ ἥμισυ· γίγνεται κϚϚγ΄. ἔσται ἄρα τοῦ ψκ ἡ πλευρὰ ἔγγιστα τὰ κϚϚγ΄. τὰ γὰρ κϚϚγ΄ ἐφ' ἑαυτὰ γίγνεται ψκ λϚ΄· ὥστε τὸ διάφορον μονάδος ἐστὶ μόριον λϚ΄. ἐὰν δὲ βουλώμεθα ἐν ἐλάσσονι μορίῳ τοῦ λϚ΄ τὴν διαφορὰν γίγνεσθαι, ἀντὶ τοῦ ψκθ τάξομεν τὰ νῦν εὑρεθέντα ψκ καὶ λϚ΄, καὶ ταὐτὰ ποιήσαντες εὑρήσομεν πολλῷ ἐλάττονα ‹τοῦ› λϚ΄ τὴν διαφορὰν γιγνομένην.

ἡ δὲ γεωμετρικὴ τούτου ἀπόδειξίς ἐστιν ἥδε· τριγώνου δοθεισῶν τῶν πλευρῶν εὑρεῖν τὸ ἐμβαδόν. δυνατὸν μὲν οὖν ἐστιν ἀγαγόντα[Ϛ] μίαν κάθετον καὶ πορισάμενον αὐτῆς τὸ μέγεθος εὑρεῖν τοῦ τριγώνου τὸ ἐμβαδόν, δέον δὲ ἔστω χωρὶς τῆς καθέτου τὸ ἐμβαδὸν πορίσασθαι.

ἔστω τὸ δοθὲν τρίγωνον τὸ ΑΒΓ καὶ ἔστω ἑκάστη τῶν ΑΒ, ΒΓ, ΓΑ δοθεῖσα· εὑρεῖν τὸ ἐμβαδόν. ἐγγεγράφθω εἰς τὸ τρίγωνον κύκλος ὁ ΔΕΖ, οὗ κέντρον ἔστω τὸ Η, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΗ, ΒΗ, ΓΗ, ΔΗ, ΕΗ, ΖΗ. τὸ μὲν ἄρα ὑπὸ ΒΓ ΕΗ διπλάσιόν ἐστι τοῦ ΒΗΓ τριγώνου, τὸ δὲ ὑπὸ ΓΑ ΖΗ τοῦ ΑΓΗ τριγώνου, ‹τὸ δὲ ὑπὸ ΑΒ ΔΗ τοῦ ΑΒΗ τριγώνου›· τὸ ἄρα ὑπὸ τῆς περιμέτρου τοῦ ΑΒΓ τριγώνου καὶ τῆς ΕΗ, τουτέστι τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ΔΕΖ κύκλου, διπλάσιόν ἐστι τοῦ ΑΒΓ τριγώνου. ἐκβεβλήσθω ἡ ΓΒ, καὶ τῇ ΑΔ ἴση κείσθω ἡ ΒΘ· ἡ ἄρα ΓΒΘ ἡμίσειά ἐστι τῆς περιμέτρου τοῦ ΑΒΓ τριγώνου διὰ τὸ ἴσην εἶναι τὴν μὲν ΑΔ τῇ ΑΖ, τὴν δὲ ΔΒ τῇ ΒΕ, τὴν δὲ ΖΓ τῇ ΓΕ. τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΓΘ ΕΗ ἴσον ἐστὶ τῷ ΑΒΓ τριγώνῳ. ἀλλὰ τὸ ὑπὸ τῶν ΓΘ ΕΗ πλευρά ἐστιν τοῦ ἀπὸ τῆς ΓΘ ἐπὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΕΗ· ἔσται ἄρα τοῦ ΑΒΓ τριγώνου τὸ ἐμβαδὸν ἐφ' ἑαυτὸ γενόμενον ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς ΘΓ ἐπὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΕΗ. ἤχθω τῇ μὲν ΓΗ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΗΛ, τῇ δὲ ΓΒ ἡ ΒΛ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΓΛ. ἐπεὶ οὖν ὀρθή ἐστιν ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΓΗΛ, ΓΒΛ, ἐν κύκλῳ ἄρα ἐστὶ τὸ ΓΗΒΛ τετράπλευρον· αἱ ἄρα ὑπὸ ΓΗΒ, ΓΛΒ δυσὶν ὀρθαῖς εἰσιν ἴσαι. εἰσὶν δὲ καὶ αἱ ὑπὸ ΓΗΒ, ΑΗΔ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι διὰ τὸ δίχα τετμῆσθαι τὰς πρὸς τῷ Η γωνίας τα‹ῖ›ς ΑΗ, ΒΗ, ΓΗ καὶ ἴσας εἶναι τὰς ὑπὸ τῶν ΓΗΒ, ΑΗΔ ταῖς ὑπὸ τῶν ΑΗΓ, ΔΗΒ καὶ τὰς πάσας τέτρασιν ὀρθαῖς ἴσας εἶναι· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΑΗΔ τῇ ὑπὸ ‹Γ›ΛΒ. ἔστι δὲ καὶ ὀρθὴ ἡ ὑπὸ ΑΔΗ ὀρθῇ τῇ ὑπὸ ΓΒΛ ἴση· ὅμοιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΗΔ τρίγωνον τῷ ΓΒΛ τριγώνῳ. ὡς ἄρα ἡ ΒΓ πρὸς ΒΛ, ἡ ΑΔ πρὸς ΔΗ, τουτέστιν ἡ ΒΘ πρὸς ΕΗ, καὶ ἐναλλάξ, ὡς ἡ ΓΒ πρὸς ΒΘ, ἡ ΒΛ πρὸς ΕΗ, τουτέστιν ἡ ΒΚ πρὸς ΚΕ διὰ τὸ παράλληλον εἶναι τὴν ΒΛ τῇ ΕΗ, καὶ συνθέντι, ὡς ἡ ΓΘ πρὸς ΒΘ, οὕτως ἡ ΒΕ πρὸς ΕΚ· ὥστε καὶ ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΓΘ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΓΘ ‹ΘΒ›, οὕτως τὸ ὑπὸ ΒΕΓ πρὸς τὸ ὑπὸ ΓΕΚ, τουτέστι πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΗ· ἐν ὀρθογωνίῳ γὰρ ἀπὸ τῆς ὀρθῆς ἐπὶ τὴν βάσιν κάθετος ἦκται ἡ ΕΗ· ὥστε τὸ ἀπὸ τῆς ΓΘ ἐπὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΕΗ, ‹οὗ› πλευρὰ ἦν τὸ ἐμβαδὸν τοῦ ΑΒΓ τριγώνου, ἴσον ἔσται τῷ ὑπὸ ΓΘΒ ἐπὶ τὸ ὑπὸ ΓΕΒ. καὶ ἔστι δοθεῖσα ἑκάστη τῶν ΓΘ, ΘΒ, ΒΕ, ΓΕ· ἡ μὲν γὰρ ΓΘ ἡμίσειά ἐστι τῆς περιμέτρου τοῦ ΑΒΓ τριγώνου, ἡ δὲ ΒΘ ἡ ὑπεροχὴ, ᾗ ὑπερέχει ἡ ἡμίσεια τῆς περιμέτρου τῆς ΓΒ, ἡ δὲ ΒΕ ἡ ὑπεροχὴ, ᾗ ὑπερέχει ἡ ἡμίσεια τῆς περιμέτρου τῆς ΑΓ, ἡ δὲ ΕΓ ‹ἡ› ὑπεροχὴ, ᾗ ὑπερέχει ἡ ἡμίσεια τῆς περιμέτρου τῆς ΑΒ, ἐπειδήπερ ἴση ἐστὶν ἡ μὲν ΕΓ τῇ ΓΖ, ἡ δὲ ΒΘ τῇ ΑΖ, ἐπεὶ καὶ τῇ ΑΔ ἐστὶν ἴση. δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ἐμβαδὸν τοῦ ΑΒ‹Γ› τριγώνου. συντεθήσεται δὴ οὕτως· ἔστω ἡ μὲν ΑΒ μονάδων ‹ιγ›, ἡ δὲ ΒΓ μονάδων ιδ, ἡ δὲ ΑΓ μονάδων ιε. σύνθες τὰ ιγ καὶ ιδ καὶ ιε· καὶ γίγνεται μβ. ὧν ἥμισυ· γίγνεται κα. ὕφελε τὰς ιγ· λοιπαὶ η· εἶτα τὰς ιδ· λοιπαὶ ζ· καὶ ἔτι τὰς ιε· λοιπαὶ Ϛ. τὰ κα ἐπὶ τὰ η, καὶ τὰ γενόμενα ἐπὶ τὸν ζ, καὶ ἔτι τὰ γενόμενα ἐπὶ τὸν Ϛ· συνάγονται ϚζνϚ· τούτων πλευρὰ ‹πδ.› τοσούτου ἔσται τοῦ τριγώνου τὸ ἐμβαδόν.

[9] Ἐπεὶ οὖν ἐμάθομεν τριγώνου τῶν πλευρῶν δοθεισῶν εὑρεῖν τὸ ἐμβαδὸν ῥητῆς οὔσης ‹τῆς› καθέτου, ἔστω μὴ ῥητῆς ὑπαρχούσης τῆς καθέτου τὸ ἐμβαδὸν εὑρεῖν. ἔστω γὰρ τρίγωνον τὸ ΑΒΓ ἔχον τὴν μὲν ΑΒ μονάδων η, τὴν δὲ ΒΓ μονάδων ι, τὴν δὲ ΑΓ μονάδων ιβ· καὶ ἤχθω κάθετος ἡ ΑΔ. ἀκολούθως δὴ τοῖς ἐπὶ τοῦ ὀξυγωνίου εἰρημένοις ἔσται τὸ δὶς ὑπὸ ΓΒΔ μονάδων κ· ἡ ἄρα ΒΔ ἔσται μονάδος α, καὶ τὸ ἀπ' αὐτῆς ἄρα μονάδος α. ἀλλὰ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ μονάδων ξδ· λοιπὸν ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΑΔ ἔσται μονάδων ξγ. ἀλλὰ καὶ τὸ ἀπὸ ΒΓ μονάδων ρ· τὸ ἄρα ἀπὸ ΒΓ ἐπὶ τὸ ἀπὸ ΑΔ ἔσται μονάδων ϚϚτ. τούτου δὲ πλευρά ἐστιν ὁ ὑπὸ ΒΓ ΑΔ [ἐφ' ἑαυτόν]· ὁ ὑπὸ τῶν ΒΓ ΑΔ ἄρα ἐφ' ἑαυτὸν ἔσται μονάδων ϚϚτ. τὸ ἄρα ἥμισυ τοῦ ὑπὸ ΒΓ ΑΔ ἐφ' ἑαυτὸ μονάδων Ϛαφοε· ὧν γὰρ τετραγώνων αἱ πλευραὶ διπλασίονες ἀλλήλων εἰσίν, τὰ ἀπ' αὐτῶν τετραπλάσιά ἐστιν τῶν ἀπὸ τῶν ἡμίσεων. τὸ δὲ ἥμισυ τοῦ ὑπὸ τῶν ΒΓ ΑΔ τὸ ἐμβαδόν ἐστι τοῦ τριγώνου· ἔστιν ἄρα τὸ τοῦ τριγώνου ἐμβαδὸν δυνάμει Ϛαφοε. ἔξεστι δὲ τῶν ξγ τὴν πλευρὰν σύνεγγυς λαβόντα εὑρεῖν τὸ ἐμβαδὸν ὡς ῥητῆς οὔσης τῆς καθέτου. τῶν δὲ ξγ σύνεγγύς ἐστιν ἡ πλευρὰ ζϚδ΄ η΄ ιϚ΄. δεήσει οὖν τοσούτου ὑποστησάμενον τὴν κάθετον τὸ ἐμβαδὸν εὑρεῖν· ἔστι δὲ λθϚη΄ ιϚ΄.

[10] Ἔστω τραπέζιον ὀρθογώνιον τὸ ΑΒΓΔ ὀρθὰς ἔχον τὰς πρὸς τοῖς Α, Β γωνίας, καὶ ἔστω ἡ μὲν ΑΔ μονάδων Ϛ, ἡ δὲ ΒΓ ια, ἡ δὲ ΑΒ μονάδων ιβ· εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδὸν καὶ ἔτι τὴν ΓΔ. τετμήσθω δίχα ἡ ΓΔ κατὰ τὸ Ε, καὶ τῇ ΑΒ παράλληλος ἤχθω διὰ τοῦ Ε ἡ ΖΕΗ, καὶ ἐκβεβλήσθω ἡ ΑΔ ἐπὶ τὸ Ζ. ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΔΕ τῇ ΕΓ, ἴση ἄρα καὶ ἡ ΔΖ τῇ ΗΓ. κοιναὶ προσκείσθωσαν αἱ ΑΔ ΒΗ· συναμφότερος ἄρα ἡ ΑΖ ΒΗ συναμφοτέρῳ τῇ ΑΔ ΒΓ ἴση ἐστίν. δοθεῖσα δέ ἐστιν συναμφότερος ἡ ΑΔ ΒΓ, ἐπεὶ καὶ ἑκατέρα αὐτῶν· δοθεῖσα ἄρα καὶ συναμφότερος ἡ ΑΖ ΒΗ, τουτέστι δύο αἱ ΒΗ· καὶ ἡ ΒΗ ἄρα ἐστὶ δοθεῖσα. ἀλλὰ καὶ ἡ ΑΒ· δοθὲν ἄρα τὸ ΑΒΖΗ παραλληλόγραμμον. καὶ ἐπεὶ ἴσον ἐστὶ τὸ ΔΕΖ τρίγωνον τῷ ΕΗΓ, κοινὸν προσκείσθω τὸ ΑΒΗΕΔ πεντάπλευρον· ὅλον ἄρα τὸ ΑΒΖΗ παραλληλόγραμμον ὅλῳ τῷ ΑΒΓΔ τραπεζίῳ ἴσον ἐστί. δοθὲν δὲ ἐδείχθη τὸ ΑΒΖΗ παραλληλόγραμμον· δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ΑΒΓΔ τραπέζιον. ἡ δὲ ΓΔ εὑρεθήσεται οὕτως· ἤχθω κάθετος ἡ ΔΘ. ἐπεὶ οὖν δοθεῖσά ἐστιν ἡ ΑΔ, δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ΒΘ. ἀλλὰ καὶ ἡ ΒΓ· καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ΓΘ δοθεῖσά ἐστιν. ἀλλὰ καὶ ἡ ΔΘ· ἴση γάρ ἐστι τῇ ΑΒ· καὶ ὀρθή ἐστιν ἡ πρὸς τῷ Θ γωνία· δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ΓΔ. συντεθήσεται δὲ ἀκολούθως τῇ ἀναλύσει οὕτως· σύνθες τὰ Ϛ καὶ τὰ ια· γίγνεται ιζ. τούτων τὸ ἥμισυ· γίγνεται ηϚ. ταῦτα ἐπὶ τὰ ιβ· γίγνεται ρβ· τοσούτου ἄρα τὸ ἐμβαδόν. ἡ δὲ ΔΓ οὕτως· ὕφελε ἀπὸ τῶν ια τὰ Ϛ· καὶ γίγνεται λοιπὰ ε. ταῦτα ἐφ' ἑαυτά· γίγνεται κε· καὶ τὰ ιβ ἐφ' ἑαυτά· γίγνεται ρμδ. πρόσθες τὰ κε· γίγνεται ρξθ. τούτων πλευρὰ γίγνεται ‹ιγ·› τοσούτων ἔσται ἡ ΔΓ.

[11] Ἔστω τραπέζιον ἰσοσκελὲς τὸ ΑΒΓΔ ἴσην ἔχον τὴν ΑΒ τῇ ΓΔ, καὶ ἑκατέρα αὐτῶν ἔστω μονάδων ιγ, ἡ δὲ ΑΔ μονάδων Ϛ, ἡ δὲ ΒΓ μονάδων ιϚ· εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδὸν καὶ τὴν κάθετον. ἤχθω τῇ ΓΔ παράλληλος ἡ ΑΕ, καὶ κάθετος ἤχθω ἐπὶ τὴν ΒΓ ἡ ΑΖ· παραλληλόγραμμον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΕΓΔ. ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ μὲν ΑΔ τῇ ΕΓ, ἡ δὲ ΓΔ τῇ ΑΕ· ὥστε ἔσται ἡ μὲν ΑΕ μονάδων ιγ, ἡ δὲ ΕΓ μονάδων Ϛ· λοιπὴ ἄρα ἡ ΒΕ μονάδων ι. ἐπεὶ οὖν ἰσοσκελές ἐστι τὸ ΑΒΕ τρίγωνον ἔχον ἑκάστην πλευρὰν δοθεῖσαν, ἔσται ἄρα καὶ ἡ ΑΖ κάθετος δοθεῖσα· καὶ ἔσται μονάδων ιβ, ὡς προδέδεικται. τετμήσθωσαν δὴ δίχα αἱ ΑΒ, ΓΔ τοῖς Η, Θ, καὶ κάθετοι ἐπὶ τὴν ΒΓ ‹ἤχθωσαν› αἱ ΚΗΛ, ΜΘΝ. ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ μὲν ΑΚΗ τρίγωνον τῷ ΒΗΛ, τὸ δὲ ΔΜΘ τῷ ΓΝΘ· ὥστε κοινοῦ προστεθέντος τοῦ ΑΗΛΝΘΔ ἑξαπλεύρου ἴσον ἔσται τὸ ΚΛΜΝ παραλληλόγραμμον τῷ ΑΒΓΔ τραπεζίῳ. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ μὲν ΑΚ τῇ ΒΛ, ἡ δὲ ΔΜ τῇ ΓΝ, αἱ ἄρα ΑΚ ΔΜ ἴσαι εἰσὶν ταῖς ΒΛ ΝΓ. κοινῶν προστεθεισῶν τῶν ΑΔ ΛΝ ἔσται συναμφότερος ἡ ΚΜΛΝ, τουτέστι δύο αἱ ΚΜ, συναμφοτέρῳ τῇ ΑΔ ΒΓ ἴση. καὶ ἔστι δοθεῖσα συναμφότερος ἡ ΑΔ ΒΓ· ἔστι γὰρ μονάδων κβ· ἔσονται ἄρα καὶ αἱ δύο αἱ ΚΜ μονάδων κβ· ‹αὐτὴ ἄρα ἡ ΚΜ› μονάδων ια. ἀλλὰ καὶ ἡ ΚΛ μονάδων ιβ· ἴση γάρ ἐστι τῇ Α ‹Ζ· τὸ ἄρα ΚΛΝΜ› παραλληλόγραμμον ἔσται μονάδων ρλβ. καὶ ἔστιν ἴσον τῷ ΑΒΓΔ τραπεζίῳ· ἔσται ἄρα καὶ τὸ ΑΒΓΔ τραπέζιον μονάδων ρλβ. ‹συντε›θήσεται δὲ ἀκολούθως τῇ ἀναλύσει οὕτως· ἄφελε ἀπὸ τῶν ιϚ τὰς Ϛ· γίγνονται λοιπαὶ ι. τούτων τὸ ἥμισυ ε. καὶ ταῦτα ἐφ' ἑαυτά· γίγνονται κε· καὶ τὰ ιγ ἐφ' ἑαυτά· γίγνονται ρξθ. ἄφελε τὰ κε· λοιπὰ ρμδ. τούτων πλευρὰ γίγνεται ‹ιβ·› ἔσται ἡ κάθετος μονάδων ιβ. τὸ δὲ ἐμβαδὸν οὕτως· σύνθες τὰ ιϚ καὶ τὰ Ϛ· γίνονται κβ· ὧν ἥμισυ· γίγνονται ια· ‹ταῦτα› ἐπὶ τὴν κάθετον· γίγνεται ρλβ· τοσούτων ἔσται τὸ ἐμβαδόν.

[12] Ἔστω τραπέζιον ὀξυγώνιον τὸ ΑΒΓΔ ὀξεῖαν ἔχον τὴν πρὸς τῷ Β γωνίαν, καὶ ἔστω ἡ μὲν ΑΒ μονάδων ιγ, ἡ δὲ ΓΔ μονάδων κ, ἡ δὲ ΑΔ μονάδων Ϛ, ἡ δὲ ΒΓ μονάδων κζ· εὑρεῖν αὐτοῦ τὴν κάθετον καὶ τὸ ἐμβαδόν. ἤχθω τῇ ΓΔ παράλληλος ἡ ΑΕ καὶ κάθετος ἡ ΑΖ. ἡ μὲν ἄρα ΑΕ ἔσται μονάδων κ· ἡ δὲ ΓΕ μονάδων Ϛ· λοιπὴ ἄρα ἡ ΒΕ μονάδων κα· ὥστε διὰ τὸ ‹τὸ› ΑΒΕ ὀξυγώνιον τρίγωνον ‹εἶναι› ἔσται ἡ ΑΖ κάθετος μονάδων ιβ. δίχα δὴ τμηθεισῶν τῶν ΑΒ ΓΔ τοῖς Η, Θ καὶ καθέτων ἀχθεισῶν τῶν ΚΗΛ ΜΘΝ ὁμοίως τῷ ἐπάνω δείξομεν, ὅτι τὸ μὲν ΑΒΓ ‹Δ› τραπέζιον ἴσον ἐστὶ τῷ ΚΛΜΝ παραλληλογράμμῳ, συναμφότερος δὲ ἡ ΒΓ ΑΔ διπλῆ ἐστι τῆς ΚΜ· καὶ ἔσται ἡ ΚΜ μονάδων ιϚϚ· ἔστι δὲ καὶ ἡ ΚΛ μονάδων ιβ, ἐπεὶ καὶ ἡ ΑΖ· τὸ ἄρα ἐμβαδὸν τοῦ τραπεζίου ἔσται μονάδων ρη. συντεθήσεται δὲ ἀκολούθως τῇ ἀναλύσει οὕτως· ἄφελε ἀπὸ τῶν κζ τὰ Ϛ· λοιπὰ γίγνεται κα. καὶ τριγώνου ὀξυγωνίου τῶν πλευρῶν δοθεισῶν ιγ καὶ κα καὶ κ εὑρήσθω ἡ ΑΖ κάθετος· ἔστιν δὲ μονάδων ιβ, ὡς ἐμάθομεν· καὶ σύνθες κζ καὶ ‹Ϛ›· γίγνεται τὸ ἥμισυ ιϚϚ· ταῦτα ἐπὶ ‹ιβ· γίγνεται ρη›. τοσούτου ἔσται τὸ ἐμβαδόν.

[13] Ἔστω τραπέζιον ἀμβλυγώνιον τὸ ΑΒΓΔ ἔχον ἀμβλεῖαν τὴν πρὸς τῷ Β, καὶ ἔστω ἡ μὲν ΑΒ μονάδων ιγ, ἡ δὲ ΓΔ κ, ἡ δὲ ΑΓ Ϛ, ἡ δὲ ΒΔ μονάδων ιζ. εὑρεῖν αὐτοῦ τὴν κάθετον καὶ τὸ ἐμβαδόν. ἤχθω κάθετος ἡ ΑΕ καὶ τῇ ΓΔ παράλληλος ἡ ΑΖ· ἔσται ἄρα ἡ μὲν ΑΖ μονάδων κ, ἡ δὲ ΖΔ μονάδων Ϛ· καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ΒΖ μονάδων ια· ὥστε διὰ τὸ τὸ ΑΒΖ τρίγωνον ἀμβλυγώνιον εἶναι ἔσται ἡ ΑΕ μονάδων ιβ. καὶ ὁμοίως τοῖς ἐπάνω δειχθήσεται τὸ ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς ΒΔΑΓ καὶ τῆς ΑΕ διπλάσιον τοῦ ΑΒΓΔ τραπεζίου· τὸ ἄρα ἐμβαδὸν τοῦ τραπεζίου ἔσται μονάδων ρλη. συντεθήσεται δὲ οὕτως· ἄφελε ἀπὸ τῶν ιζ τὰ Ϛ· λοιπὰ ια· καὶ τριγώνου ἀμβλυγωνίου τῶν πλευρῶν δοθεισῶν ιγ, ια, κ εὑρήσθω ἡ κάθετος· γίγνεται ιβ· καὶ σύνθες τὰ ιζ καὶ ‹Ϛ·› γίγνεται κγ· τούτων τὸ ἥμισυ γίγνεται ιαϚ· ταῦτα ἐπὶ τὰ ιβ· γίγνεται ρλη· τοσούτου ἔσται τὸ ἐμβαδὸν τοῦ τραπεζίου.

[14] Ὁ δὲ ῥόμβος καὶ τὸ ῥομβοειδὲς τὴν μέτρησιν φανερὰν ἔχουσιν. δεῖ γὰρ ἑκατέρου αὐτῶν τὰς πλευρὰς δοθείσας εἶναι καὶ μίαν διάμετρον. ὧν δοθέντων ὁ μὲν ῥόμβος ἔσται ἐκ δύο ἰσοσκελῶν τριγώνων συγκείμενος, τὸ δὲ ῥομβοειδὲς ἐκ δύο τριγώνων ἤτοι ὀξυγων‹ί›ων ‹ἢ ἀμβλυγωνίων›, καὶ διὰ τοῦτο δοθήσεται αὐτῶν ‹τὸ ἐμβαδόν›. τὰ μὲν οὖν ἀποδειχθέντα τετράπλευρα ‹μίαν πλευρὰν μιᾷ πλευρᾷ› παράλληλον εἶχε· ‹τὸ δὲ παρὸν τὸ Α›ΒΓΔ τὴν μὲν πρὸς τῷ Γ γωνίαν ‹ἐχέτω› ὀρθὴν, μηδεμίαν δὲ πλευρὰν μηδεμιᾷ παράλληλο‹ν καὶ› ἔτι ἑκάστην τῶν πλευρῶν δοθεῖσαν, τὴν μὲν ‹ΑΒ μονάδων› ιγ, τὴν δὲ ‹Β›Γ μονάδων ι, τὴν δὲ ΓΔ μονάδων κ, τὴν δὲ ΔΑ μονάδων ιζ· δεῖξαι αὐτοῦ τὸ ἐμβαδὸν δοθέν. ἐπεζεύχθω ἡ Β‹Δ›· καὶ ἐπ' αὐτὴν κάθετος ‹ἤχθω› ἡ ΑΕ. ἐπεὶ ἑκατέρα τῶν ΒΓ ΓΔ δοθεῖσά ἐστιν καὶ ὀρθὴ ἡ πρὸς τῷ [Δ]Γ, δοθὲν ἄρα ἐστὶ τὸ ΒΓΔ τρίγωνον· καὶ ἔτι τὸ ἀπὸ τῆς ΒΔ ἔσται δοθέν· ἔστι γὰρ μονάδων φ· ἀλλὰ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ δοθέν· δοθέντα ἄρα ἐστὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΒ ΒΔ· καὶ ἔστι μείζονα τοῦ ἀπὸ τῆς ΑΔ. ὀξεῖα ἄρα ἐστὶν ἡ ἀπὸ ΑΒΔ· τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΑΒ ΒΔ τοῦ ἀπὸ τῆς ΑΔ μείζονά ἐστιν τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΔΒ ΒΕ. δοθὲν ἄρα ἐστὶν τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΔΒ ΒΕ· ὥστε καὶ τὸ ἅπαξ ὑπὸ τῶν ΔΒ ΒΕ δοθέν ἐστι· καὶ ἔστι πλευρὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΒΔ ἐπὶ τὸ ἀπὸ ΒΕ. δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ ΔΒ ἐπὶ τὸ ἀπὸ ΒΕ· καὶ ἔστι δοθὲν τὸ ἀπὸ ΒΔ· δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ ΒΕ. ἀλλὰ καὶ τὸ ἀπὸ [Β]ΕΑ ἐπὶ τὸ ἀπὸ ΒΔ· καὶ ἔστιν αὐτοῦ πλευρὰ τὸ ὑπὸ ΒΔ ΑΕ. δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ὑπὸ ΒΔ ΑΕ. καὶ ἔστι διπλάσιον τοῦ ΑΒΔ τριγώνου· δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ΑΒΔ τρίγωνον· ἀλλὰ καὶ τὸ ΒΓΔ· ὥστε καὶ ὅλον τὸ ΑΒΓΔ τετράπλευρον δοθὲν ἔσται. συντεθήσεται δὲ ἀκολούθως τῇ ἀναλύσει οὕτως· τὰ ι ἐπὶ τὰ κ· γίγνεται σ. καὶ τούτων τὸ ἥμισυ· γίγνεται ρ. καὶ πάλιν τὰ ι ἐφ' ἑαυτά· γίγνεται ρ. καὶ τὰ κ ἐφ' ἑαυτά· γίγνεται υ. σύνθες· γίγνεται φ. καὶ τὰ ιγ ἐφ' ἑαυτά· γίγνεται ρξθ. ταῦτα μετὰ τῶν φ γίγνεται χξθ· ἄφελε τὰ ιζ ἐφ' ἑαυτά· λοιπαὶ τπ· τούτων τὸ ἥμισυ γίγνεται ρ· ταῦτα ἐφ' ἑαυτά· γίγνεται μγϚϚρ. ταῦτα παρὰ τὸν φ· γίγνεται οβ ε΄· ἄφελε ταῦτα ἀπὸ τῶν ‹ρ›ξθ· γίγνονται λοιπαὶ ϚϚε΄ι΄. ταῦτα ἐπὶ τὸν φ· γίγνεται ‹μδϚηυ.› τούτων πλευρὰ γίγνεται σκ· τούτων τὸ ἥμισυ γίγνεται ρι· τοσούτου ἔσται τοῦ ΑΒΔ τὸ ἐμβαδόν. ἀλλὰ καὶ τοῦ ‹ΒΓΔ› μονάδων ρ· τοῦ ἄρα ΑΒΓΔ τετραπλεύρου τὸ ἐμβαδὸν ἔσται ‹σι.› [ἔστιν] ‹ὅτι› δὲ καὶ ἡ ἀπὸ τοῦ Α κάθετος ἀγομένη ἐπὶ τὴν ΓΔ δοθεῖσά ἐστιν, δείξομεν ἑξῆς.

[15] Ἔστω τραπέζιον τὸ ΑΒΓΔ δοθεῖσαν ἔχον ἑκάστην τῶν πλευρῶν καὶ ὀρθὴν τὴν ὑπὸ ΒΓΔ γωνίαν. ὅτι δοθεῖσά ἐστιν ἡ ἀπὸ τοῦ Α κάθετος ἀγομένη ἐπὶ τὴν ΓΔ. ἤχθω γὰρ ἐπὶ μὲν τὴν ΓΔ κάθετος ἡ ΑΖ, ἐπὶ δὲ τὴν ΑΖ ἡ ΒΗ, ἐπὶ δὲ τὴν ΒΔ ἡ ΑΕ. φανερὸν δὴ, ὅτι δοθεῖσά ἐστιν ἡ ΒΔ καὶ ἡ ἐπ' αὐτὴν κάθετος ἡ ΑΕ, ἐπεὶ καὶ αἱ ΒΑ, ΑΔ δοθεῖσαί εἰσιν. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΓΒΔ τῇ ὑπὸ ΒΘΑ, ἀλλὰ καὶ ὀρθὴ ἡ ὑπὸ ΒΓΔ ὀρθῇ τῇ ὑπὸ ΑΕΘ ἴση, ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΔΓ πρὸς ΓΒ, ἡ ΑΕ πρὸς ΕΘ. λόγος δὲ τῆς ΓΔ πρὸς ΓΒ δοθείς· λόγος ἄρα καὶ τῆς ΑΕ πρὸς ΕΘ δοθείς. καὶ ἔστι δοθεῖσα ἡ ΑΕ· δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ΕΘ. καὶ ὀρθὴν γωνίαν περιέχουσι· δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ΑΘ. καὶ ἐπεὶ ἑκατέρα τῶν ΒΕ, ΕΘ δοθεῖσά ἐστιν, δοθὲν ἄρα τὸ ὑπὸ τῶν ΒΘΕ. καὶ ἔστιν ἴσον τῷ ὑπὸ τῶν ΑΘΗ· ὀρθὴ γὰρ ἑκατέρα τῶν πρὸς τοῖς Ε, Η. δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ΗΘ· ὥστε καὶ ἡ ΑΗ· ἀλλὰ καὶ ἡ ΗΖ· ἴση γάρ ἐστι τῇ ΒΓ· καὶ ὅλη ἄρα ἡ ΑΖ δοθεῖσά ἐστιν. συντεθήσεται δὴ ἀκολούθως τῇ ἀναλύσει οὕτως· ἔστω γὰρ ἡ μὲν ΑΒ μονάδων ιγ, ἡ δὲ ΒΓ μονάδων ι, ἡ δὲ ΓΔ μονάδων κ, ἡ δὲ ΔΑ μονάδων ιζ. ἀκολούθως δὴ τοῖς ἐπὶ τοῦ ἐμβαδοῦ εἰρημένοις ἔσται ἡ μὲν ΑΕ κάθετος δυνάμει ϚϚε΄ι΄, ἡ δὲ ΒΕ δυνάμει οβ ε΄, ἡ δὲ ΒΔ δυνάμει φ. καὶ ἐπεὶ ἡ μὲν ΓΔ ἐστὶ μονάδων κ, ἡ δὲ ΓΒ μονάδων ι, τὰ ἄρα ἀπὸ τούτων μονάδων υ καὶ μονάδων ρ. ποίησον οὖν ὡς τὰ υ πρὸς ρ, τὰ Ϛ δ‹ε΄› πρὸς τί· ἔσται πρὸς κδε΄· τοσούτου ἔσται τὸ ἀπὸ Ε‹Θ›. καὶ ‹πο›λλα ‹πλασιάσαντες› τὰ οβ ε΄ ἐπὶ τὰ κδ ε΄ καὶ τῶν γενομένων τὴν πλευρὰν λαβόντες καὶ διπλασιάσαντες ἃ γίγνεται τοῦ δὶς ὑπὸ τῶν ΒΕ ‹ΕΘ› προσθήσομεν τοῖς ἀπὸ ΒΕ, ΕΘ, τουτέστι τοῖς οβ ε΄ καὶ κδ ε΄ συντεθεῖσιν. καὶ ἕξομεν τὴν ΒΘ δυνάμει ρπ. καὶ σύνθες τὰ Ϛ Ϛ ε΄ ι΄ καὶ κδ ε΄· γίγνεται ρκα. καὶ πολλαπλασίασον τὰ ρπ ἐπὶ τὰ κδ ε΄· γίγνεται δυνάμει ϚδτνϚ. μέρισον εἰς τὸν ρκα· γίγνεται λϚ. καὶ ἄφελε ἀπὸ δυνάμει ρκα δυνάμει λϚ [λοιπὰ δυνάμει λϚ] λοιπὰ δυνάμει κε, ἅ ἐστι μήκει ε. πρόσθες ὅσων ἐστὶν ἡ ΒΓ· ἔστι δὲ ι· γίγνεται ιε· τοσούτου ἔσται ἡ ΑΖ κάθετος. καὶ ἡ μὲν ΕΘ δυνάμει κδε΄, ἡ δὲ ΗΘ μήκει Ϛ, ἡ δὲ ΑΘ μήκει ια.

[16] Ἔστω δὴ πάλιν τραπέζιον τὸ ΑΒΓΔ ἔχον τὴν μὲν πρὸς τῷ Γ ὀρθὴν, τὴν δὲ ΑΒ μονάδων ιγ, τὴν δὲ ΒΓ μονάδων ι, τὴν δὲ ΓΔ μονάδων η, τὴν δὲ ΑΔ μονάδων κε. εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδόν. ἐπεζεύχθω ἡ ΒΔ. ὁμοίως δὴ ἔσται τοῦ ΒΓΔ τριγώνου τὸ ἐμβαδὸν δοθέν. καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΒΔ μονάδων ρξδ· ἀλλὰ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ μονάδων ρξθ· τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΑΒ ΒΔ ἔσται μονάδων τλγ. καὶ ἔστιν ἐλάσσονα τοῦ ἀπὸ τῆς ΑΔ. ἀμβλεῖα ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΑΒΔ. ἤχθω δὴ κάθετος ἐπὶ τὴν ΒΔ ἐκβληθεῖσαν ἡ ΑΕ· τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΑΔ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΒ ΒΔ μεῖζόν ἐστι τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΒΔ ΒΕ· δοθὲν ἄρα τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΒΔ ΒΕ· ὥστε καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΔΒ ΒΕ δοθέν ἐστιν. καὶ ἔστι πλευρὰ τοῦτο τοῦ ἀπὸ ΒΔ ἐπὶ τὸ ἀπὸ ΒΕ· δοθὲν ἄρα τὸ ἀπὸ ΒΔ ἐπὶ τὸ ἀπὸ ΒΕ. ἀλλὰ καὶ τὸ ἀπὸ ΒΔ. καὶ λοιπὸν ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΕΒ δοθέν ἐστι. καὶ ὀρθή ἐστιν ἡ πρὸς τῷ Ε· δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ ΑΕ. ὥστε καὶ τὸ ἀπὸ ΑΕ ἐπὶ τὸ ἀπὸ ΒΔ δοθέν ἐστιν. καὶ ἔστιν αὐτοῦ πλευρὰ ‹τὸ› ὑπὸ τῶν ΑΕ ΒΔ. δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ὑπὸ ΑΕ ΒΔ. καὶ ἔστιν αὐτοῦ ἥμισυ τὸ ΑΒΔ τρίγωνον. δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ΑΒΔ τρίγωνον· ὥστε καὶ ὅλον τὸ ΑΒΓΔ τετράπλευρον δοθέν ἐστιν. συντεθήσεται δὲ οὕτως· τὰ ι ἐφ' ἑαυτά· γίγνεται ρ. καὶ τὰ η ἐφ' ἑαυτά· γίνεται ξδ· ὁμοῦ ρξδ. καὶ τὰ ιγ ἐφ' ἑαυτά· γίγνεται ρξθ· σύνθες· γίγνεται τλγ. καὶ τὰ κε ἐφ' ἑαυτά· γίγνεται χκε. ἄφελε τὰ τλγ· γίγνεται λοιπὰ σβ. τούτων τὸ ἥμισυ· γίγνεται ρμϚ· ταῦτα ἐφ' ἑαυτά· γίγνεται μονάδες Ϛκατις· παρὰ τὸν ρξδ· γίγνεται ρκθ καὶ ρξρξδ· ταῦτα ἄφελε ἀπὸ τῶν ρξθ· λοιπὰ λθ καὶ δρξδ΄. ταῦτα πολλαπλασίασον ἐπὶ τὸν ρξδ· γίγνεται ϚϚυ· ὧν πλευρὰ γίγνεται π· τούτων τὸ ἥμισυ· γίγνεται μ. ἔσται τοῦ ΑΒΔ τριγώνου τὸ ἐμβαδὸν μονάδων μ. ἀλλὰ καὶ τοῦ ΒΓΔ ὁμοίως μ· ὅλου ἄρα τοῦ ΑΒΓΔ τραπεζίου τὸ ἐμβαδὸν ἔσται μονάδων π, ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

Ὅσα μὲν οὖν ἔδει ἐπί τε τριπλεύρων καὶ τετραπλεύρων τεταγμένων εἰπεῖν, προγέγραπται· ἐὰν δὲ δέῃ καὶ τετραπλεύρου τυχόντος τὰς πλευρὰς λαβόντας τὸ ἐμβαδὸν εἰπεῖν, δεήσει καὶ μίαν διαγώνιον λαβεῖν αὐτοῦ, ὥστε διαιρεθὲν αὐτὸ εἰς δύο τρίγωνα ἔχειν τὸ ἐμβαδὸν δοθέν. ἐμάθομεν γὰρ τριγώνου τῶν πλευρῶν δοθεισῶν τὸ ἐμβαδὸν εὑρεῖν τῇ καθολικῇ μεθόδῳ. ἄνευ δὲ μιᾶς διαγωνίου ἀδύνατον ἔσται τὸ ἐμβαδὸν τοῦ τετραπλεύρου εἰπεῖν. τῶν γὰρ αὐτῶν πλευρῶν δοθεισῶν τοῦ τετραπλεύρου μεταπίπτει τὸ ἐμβαδὸν διαρομβουμένου αὐτοῦ καὶ παρασπωμένου ἐν ταῖς αὐταῖς πλευραῖς. καὶ τὰ μὲν περὶ τῶν τριπλεύρων καὶ τετραπλεύρων ἐπὶ τοσοῦτον εἰρήσθω, ἑξῆς δὲ περὶ τῶν ἰσοπλεύρων τε καὶ ἰσογωνίων εὐθυγράμμων γράψομεν ἄχρι τοῦ δωδεκαγώνου, ἐπειδὴ τοῦτο συνεγγίζει μᾶλλον τῇ τοῦ κύκλου περιφερείᾳ.

[17] Ἔστω δὲ πρότερον τρίγωνον ἰσόπλευρον, οὗ ἑκάστη ἐστὶ πλευρὰ μονάδων ι. καὶ ἔστω τὸ ΑΒΓ. ἤχθω κάθετος ἐπὶ τὴν ΓΒ ἡ ΑΔ. ἐπεὶ διπλῆ ἐστιν ἡ ΒΓ, τουτέστιν ἡ ΑΒ, τῆς ΒΔ, τετραπλάσιον ἄρα τὸ ἀπὸ ΑΒ τοῦ ἀπὸ ΒΔ. ὥστε τριπλάσιον τὸ ἀπὸ ΑΔ τοῦ ἀπὸ ΔΒ. τοῦ δὲ ἀπὸ ΔΒ τετραπλάσιόν ἐστι τὸ ἀπὸ ΒΓ. ἐπίτριτον ἄρα ἔσται τὸ ἀπὸ ΒΓ τοῦ ἀπὸ ΑΔ. τὸ ἄρα ἀπὸ ΒΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΑΔ λόγον ἔχει, ὃν δ πρὸς γ, καὶ πάντα ἐπὶ τὸν ἀπὸ ΒΙ, τουτέστιν τό τε ἀπὸ ΒΓ ἐφ' ἑαυτὸ καὶ τὸ ἀπὸ ΑΔ ἐπὶ τὸ ἀπὸ ΒΓ. ἡ ἄρα ἀπὸ τῆς ΒΓ δυνάμεως πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ ἐπὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΔ λόγον ἔχει, ὃν δ πρὸς γ, τουτέστιν ὃν ιϚ πρὸς ιβ. τὸ δὲ ἀπὸ τῆς ΒΓ ἐπὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΔ τὸ ὑπὸ ΑΔ ΒΓ ἐστὶν ἐφ' ἑαυτό, τουτέστι δύο τρίγωνα ἐφ' ἑαυτά. ἡ ἄρα ἀπὸ ΒΓ δυναμοδύναμις πρὸς δύο τρίγωνα ἐφ' ἑαυτὰ λόγον ἔχει, ὃν ιϚ πρὸς ιβ· δύο δὲ τρίγωνα ἐφ' ἑαυτὰ ἑνὸς τριγώνου ἐφ' ἑαυτό ἐστιν τετραπλάσια. ἡ ἄρα ἀπὸ τῆς ΒΓ δυναμοδύναμις πρὸς ἓν τρίγωνον ἐφ' ἑαυτὸ λόγον ἔχει, ὃν ιϚ πρὸς γ. καὶ ἔστι δοθεῖσα ἡ ἀπὸ ΒΓ δυναμοδύναμις, ἐπεὶ καὶ ἡ ΒΓ. δοθὲν ἄρα ἐστὶ τὸ ἐμβαδὸν τοῦ τριγώνου ἐφ' ἑαυτό· ὥστε καὶ αὐτὸ τὸ τρίγωνον δοθέν ἐστιν. συντεθήσεται δὲ ἀκολούθως τῇ ἀναλύσει οὕτως. τὰ ι ἐφ' ἑαυτά· γίγνεται ρ. ταῦτα ἐφ' ἑαυτά· γίγνεται μα· τούτων λαβὲ γιϚ΄. γίγνεται Ϛαωοε. τούτων πλευρὰν λαβέ· καὶ ἐπεὶ οὐκ ἔχει ῥητὴν πλευρὰν, εἰλήφθω ὡς ἐμάθομεν ἔγγιστα μετὰ διαφόρου. καὶ ἔσται τὸ ἐμβαδὸν μγ γ΄.

Λῆμμα. Ἔστω τρίγωνον ὀρθογώνιον τὸ ΑΒΓ ὀρθὴν ἔχον τὴν πρὸς τῷ Γ, δύο δὲ πέμπτων ὀρθῆς τὴν πρὸς τῷ Α. δεῖξαι ὅτι τὸ ἀπὸ συναμφοτέρου τῆς ΒΑ ΑΓ πενταπλάσιόν ἐστι τοῦ ἀπὸ ΑΓ. ἐκβεβλήσθω ἡ ΑΓ ἐπὶ τὸ Δ, καὶ τῇ ΑΓ ἴση κείσθω ἡ ΓΔ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΒΔ. ἴση ἄρα ἡ μὲν ΑΒ τῇ ΒΔ, ἡ δὲ ὑπὸ ΑΒΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΓΒΔ. ἀλλὰ ἡ ὑπὸ ΓΒΑ γωνία τριῶν πέμπτων ἐστὶν ὀρθῆς διὰ τὸ τὴν ὑπὸ ΒΑΓ γωνίαν δύο πέμπτων εἶναι· ἡ ἄρα ὑπὸ ΑΒΔ γωνία ἓξ πέμπτων ἐστὶν ὀρθῆς· πενταγώνου ἄρα ἐστὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΑΒΔ. καὶ ἔστιν ἴση ἡ ΑΒ τῇ ΒΔ· τῆς ἄρα ΑΔ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τεμνομένης τὸ μεῖζον τμῆμά ἐστιν ἡ ΑΒ. καὶ ἔστι τῆς ΑΔ ἡμίσεια ἡ ΑΓ· τὸ ἄρα ἀπὸ συναμφοτέρου τῆς ΒΑ ΑΓ πενταπλάσιόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΑΓ.

[18] Ἔστω πεντάγωνον ἰσόπλευρόν τε καὶ ἰσογώνιον τὸ ΑΒΓΔΕ, οὗ ἑκάστη πλευρὰ ἔστω μονάδων ι. εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδόν. εἰλήφθω τὸ κέντρον τοῦ περὶ αὐτὸ κύκλου τὸ Ζ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΓΖ, ΖΔ καὶ κάθετος ἐπὶ τὴν ΓΔ ἡ ΖΗ. ἔσται ἄρα ἡ ὑπὸ τῶν ΓΖΔ γωνία τεσσάρων πέμπτων ὀρθῆς· ἡ ἄρα ὑπὸ ΓΖΗ δύο πέμπτων ἐστὶν ὀρθῆς. καὶ ἔστιν ὀρθὴ ἡ ὑπὸ ΓΗΖ· τὸ ἄρα ἀπὸ συναμφοτέρου τῆς ΓΖ ΖΗ πενταπλάσιόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΖΗ. ἀλλ' ἐπεὶ ἐν ἀριθμοῖς οὐκ ἔστιν εὑρεῖν τετράγωνον τετραγώνου πενταπλάσιον, ὡς σύνεγγυς δεῖ λαβεῖν· ἔστι δὲ ὁ πα πρὸς ‹ιϚ.› συναμφοτέρος ἄρα ὁ ΓΖ ΖΗ λόγον ἔχει πρὸς τὸν ΖΗ, ὃν θ πρὸς δ. καὶ διελόντι ὁ ΓΖ πρὸς ΖΗ λόγον ἔχει ‹ὃ›ν ε πρὸς δ. καὶ τοῦ ‹ἀπὸ› ΓΖ ἄρα πρὸς ‹τὸ› ἀπὸ ΖΗ, ὃν κε πρὸς ιϚ. καὶ λοιπὸς τοῦ ἀπὸ ΓΗ πρὸς ‹τὸ› ἀπὸ ΖΗ, ὃν θ πρὸς ιϚ· τῆς ἄρα ΓΗ πρὸς ΗΖ λόγος, ὃν γ πρὸς δ· ὥστε τῆς ΓΔ πρὸς ΖΗ λόγος ἐστὶν, ὃν Ϛ πρὸς δ, τουτέστιν ὃν γ πρὸς β· τὸ ἄρα ἀπὸ ΓΔ πρὸς τὸ ὑπὸ ΓΔ ΖΗ λόγον ἔχει, ὃν γ πρὸς β. καὶ ἔστι δοθὲν τὸ ἀπὸ τῆς ΓΔ· δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΓΔ ΖΗ. καὶ ἔστι διπλάσιον τοῦ ΓΖΔ τριγώνου· δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ΓΖΔ τρίγωνον. καὶ ἔστι πέμπτον μέρος τοῦ ΑΒΓΔΕ πενταγώνου· δοθὲν ἄρα καὶ τὸ πεντάγωνον. συντεθήσεται δὲ οὕτως· τὰ ι[ε] ἐφ' ἑαυτά· γίγνεται ρ. τούτων τὸ τρίτον· γίνεται λγ γ΄. ταῦτα πεντάκις· γίγνεται ρξϚ βγ΄. τοσούτου ἔσται τὸ ἐμβαδὸν τοῦ πενταγώνου ὡς ἔγγιστα· ἐὰν δὲ ἕτερον τετράγωνον ἑτέρου τετραγώνου πενταπλάσιον μᾶλλον ἐγγίζον λάβωμεν, ἀκριβέστερον εὑρήσομεν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδόν.

[19] Ἔστω ἑξάγωνον ἰσόπλευρον καὶ ἰσογώνιον τὸ ΑΒΓΔΕΖ, οὗ ἑκάστη πλευρὰ ἀνὰ μονάδας ι. εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδόν. εἰλήφθω τὸ κέντρον τοῦ περὶ αὐτὸ κύκλου τὸ Η, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΓΗ, ΗΔ. ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΔ ἑκατέρᾳ τῶν ΓΗ, ΗΔ· ἰσόπλευρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΓΗΔ τρίγωνον. καὶ ἔστιν αὐτοῦ ἡ πλευρὰ δοθεῖσα· δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ΓΗΔ τρίγωνον. καὶ ἔστιν ἕκτον μέρος τοῦ ἑξαγώνου· δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ΑΒΓΔΕΖ ἑξάγωνον. συντεθήσεται δὲ οὕτως· τὰ ι ἐφ' ἑαυτά· γίνεται ρ. ταῦτα ἐφ' ἑαυτά· γίγνονται μα. τούτων τὸ τέταρτον· γίγνεται Ϛβφ. ταῦτα εἰκοσάκι καὶ ἑπτάκι· γίγνεται μϚ Ϛζφ. τούτων λαβὲ πλευρὰν ἔγγιστα· γίγνεται σνθ. τοσούτου ἔσται τὸ ἐμβαδὸν τοῦ ἑξαγώνου.

Λῆμμα. Ἐὰν εἰς κύκλον ἑπτάγωνον ἰσόπλευρον ἐγγραφῇ, ἡ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ κύκλου πρὸς τὴν τοῦ ἑπταγώνου πλευρὰν λόγον ἔχει, ὃ‹ν› η πρὸς ζ. ἔστω γὰρ κύκλος ὁ ΒΓ περὶ κέντρον τὸ Α, καὶ ἐνηρμόσθω εἰς αὐτὸν ἑξαγώνου πλευρὰ ἡ ΒΓ, τουτέστιν ἴση τῇ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ κύκλου· καὶ κάθετος ἐπ' αὐτὴν ἡ ΑΔ. ἔσται ἄρα ἡ ΑΔ ὡς ἔγγιστα ἴση τῇ τοῦ ἑπταγώνου πλευρᾷ. ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΒΑ, ΑΓ· ἰσόπλευρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον. τριπλάσιον ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΔ τοῦ ἀπὸ τῆς ΔΒ. λόγος ἄρα τῆς ΑΔ πρὸς ΔΒ δυνάμει ὡς ἔγγιστα ὃ[ν] τοῦ μθ πρὸς ιϚ· καὶ μήκει λόγος τῆς ΑΔ πρὸς ΔΒ, ὃν ζ πρὸς δ. καὶ ἔστι τῆς ΒΔ διπλῆ ἡ ΒΓ· τῆς ΒΓ ἄρα πρὸς ΔΑ λόγος ἐστὶν, ὃν ἔχει τὰ η πρὸς ζ.

[20] Ἔστω ἑπτάγωνον ἰσόπλευρον τὸ ΑΒΓΔΕΖΗ, οὗ ἑκάστη πλευρὰ μονάδων ι. εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδόν. εἰλήφθω τὸ κέντρον τοῦ περὶ αὐτὸ κύκλου τὸ Θ καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΔΘ, ΘΕ καὶ κάθετος ἐπὶ τὴν ΔΕ ἡ ΘΚ. λόγος ἄρα τῆς ΘΔ πρὸς ΔΕ, ὃν η πρὸς ζ, πρὸς δὲ τὴν ΔΚ, ὃν η πρὸς γϚ, τουτέστιν ὃν ιϚ πρὸς ζ. ὥστε τῆς Θ[Ε]Κ πρὸς ΚΔ λόγος ὡς ἔγγιστα ὁ τῶν ιδ γ΄ πρὸς τὸν ζ, τουτέστιν ὃν μγ πρὸς κα. ὥστε καὶ τῆς ΔΕ πρὸς ΚΘ λόγος, ὃν μβ πρὸς μγ, τουτέστιν ὃν πδ πρὸς πϚ. καὶ τοῦ ἀπὸ ΔΕ ἄρα πρὸς τὸ ὑπὸ ΔΕ ΚΘ λόγος ὁ αὐτός· ὥστε ‹τοῦ ἀπὸ ΔΕ› πρὸς τὸ ΔΘΕ τρίγωνον λόγος, ὃν πδ πρὸς μγ. τοῦ δὲ τριγώνου πρὸς τὸ ἑπτάγωνον λόγος ὁ τοῦ α πρὸς ζ· καὶ τοῦ ἀπὸ ΔΕ ἄρα πρὸς τὸ ἑπτάγωνον ιβ πρὸς μγ. καὶ ἔστι δοθὲν τὸ ἀπὸ ΔΕ· δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ἑπτάγωνον. συντεθήσεται δὲ οὕτως· τὰ ι ἐφ' ἑαυτά· γίγνεται ρ. ταῦτα ἐπὶ τὰ μγ· γίγνεται Ϛδτ. τούτων τὸ ιβ΄· γίγνεται τνη γ΄. τοσούτου ἔσται τὸ ἐμβαδὸν τοῦ ἑπταγώνου.

[21] Ἔστω ὀκτάγωνον ἰσόπλευρον καὶ ἰσογώνιον τὸ ΑΒΓΔΕΖΗΘ, οὗ ἑκάστη πλευρὰ μονάδων ι. εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδόν. εἰλήφθω τὸ κέντρον τοῦ περὶ αὐτὸ κύκλου τὸ Κ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΚΔ, ΚΕ καὶ ἐπὶ τὴν ΔΕ κάθετος ἤχθω ἡ ΚΛ. ἡ ἄρα ὑπὸ ΔΚΕ γωνία ἡμίσους ἐστὶν ὀρθῆς· ὥστε τετάρτου ἐστὶν ὀρθῆς ἡ ὑπὸ ΔΚΛ. συνεστάτω δὴ αὐτῇ ἴση ἡ ὑπὸ ΚΔΜ· τετάρτου ἄρα καὶ ἡ ὑπὸ ΚΔΜ· ἡμίσους ἄρα ἡ ὑπὸ ΔΜΛ ἐστὶν ὀρθῆς. ὀρθὴ δὲ ἡ πρὸς τῷ Λ· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΔΛ τῇ ΜΛ. διπλάσιον ἄρα τὸ ἀπὸ ΔΜ τοῦ ἀπὸ ΜΛ· ἡ ἄρα ΔΜ πρὸς ΜΛ λόγον ἔχει ἔγγιστα, ὃν ιζ πρὸς ιβ. ἴση δέ ἐστιν ἡ ΔΜ τῇ ΜΚ· λόγος ἄρα ἐστὶ τῆς ΚΜ πρὸς ΜΛ, ὃν αἱ ιζ πρὸς ιβ. τῆς ἄρα ΚΛ πρὸς ΜΛ, τουτέστι πρὸς ΔΛ λόγος, ὃν κθ πρὸς ιβ· πρὸς ἄρα τὴν ΔΕ ὃν κθ πρὸς κδ. τὸ ἄρα ἀπὸ ΔΕ πρὸς τὸ ὑπὸ ΔΕ ΚΛ λόγον ἔχει, ὃν κδ πρὸς κθ· πρὸς ἄρα τὸ ΚΕΔ τρίγωνον, ὃν κδ πρὸς ιδϚ. πρὸς ἄρα τὸ ΑΒΓΔΕΖΗΘ ὀκτάγωνον λόγον ἔχει [τ]ὃν κδ πρὸς ριϚ, τουτέστιν ὃν Ϛ πρὸς κθ. καὶ ἔστι τὸ ἀπὸ ΔΕ δοθέν· δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ὀκτάγωνον. συντεθήσεται δὲ οὕτως· τὰ ι ἐφ' ἑαυτά· γίγνεται ρ. ταῦτα ἐπὶ κθ· γίγνεται ϚβϠ. τούτων τὸ ἕκτον· γίγνεται υλγ γ΄. τοσούτου ἔσται τὸ ἐμβαδὸν τοῦ ὀκταγώνου.

[22] Ἔστω ἐννάγωνον ἰσόπλευρον καὶ ἰσογώνιον τὸ ΑΒΓΔΕΖΗΘΚ, οὗ ἑκάστη τῶν πλευρῶν μονάδων ι. εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδόν. περιγεγράφθω περὶ αὐτὸ κύκλος, οὗ κέντρον ἔστω τὸ Λ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΕΛ καὶ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ Μ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΜΖ. τὸ ἄρα ΕΖΜ τρίγωνον δοθέν ἐστιν τοῦ ἐν‹ν›αγώνου. δέδεικται δὲ ἐν τοῖς περὶ τῶν ἐν κύκλῳ εὐθειῶν, ὅτι ἡ ΖΕ τῆς ΕΜ τρίτον μέρος ἐστὶν ὡς ἔγγιστα· τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΜΕ ἐνναπλάσιόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΕΖ. ὥστε ὀκταπλάσιόν ἐστι τὸ ἀπὸ ΜΖ τοῦ ἀπὸ ΖΕ· ἐν γὰρ ἡμικυκλίῳ ὀρθή ἐστιν ἡ πρὸς τῷ Ζ γωνία. τὸ ἄρα ἀπὸ ΜΖ πρὸς τὸ ἀπὸ ΖΕ λόγον ἔχει ὡς ἔγγιστα, ὃν σπθ πρὸς λϚ. ἡ ἄρα ΜΖ πρὸς ΖΕ λόγον ἔχει ὡς ἔγγιστα, ὃν ιζ πρὸς Ϛ· ὥστε τὸ ἀπὸ ΕΖ πρὸς τὸ ΕΜΖ τρίγωνον λόγον ἔχει, ὃν λϚ πρὸς να, τουτέστιν ὃν ιβ πρὸς ιζ. πρὸς ἄρα τὸ ἐν‹ν›άγωνον λόγον ἔχει, ὃν ιβ πρὸς οϚϚ, τουτέστιν ὃν κδ πρὸς ρνγ, τουτέστιν ὃν η πρὸς να. καὶ ἔστι δοθὲν τὸ ἀπὸ ΕΖ· δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ἐννάγωνον. συντεθήσεται δὲ οὕτως· τὰ ι ἐφ' ἑαυτά· γίγνεται ρ. ταῦτα ἐπὶ να· γίγνεται Ϛερ. τούτων τὸ η΄· γίγνεται χλζϚ. τοσούτου ἔσται τοῦ ἐνναγώνου τὸ ἐμβαδόν.

[23] Ἔστω δεκάγωνον ἰσόπλευρόν τε καὶ ἰσογώνιον τὸ ΑΒΓΔΕΖΗΘΚΛ, οὗ ἑκάστη πλευρὰ μονάδων ι. εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδόν. εἰλήφθω τὸ κέντρον τοῦ περὶ αὐτὸ κύκλου τὸ Μ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΜΕ, ΜΖ καὶ κάθετος ἐπὶ τὴν ΕΖ ἡ ΜΝ. ἡ ἄρα ὑπὸ ΕΜΖ γωνία δύο πέμπτων ἐστὶν ὀρθῆς· ὥστε ἡ ὑπὸ ΕΜΝ πέμπτου ἐστὶν ὀρθῆς. συνεστάτω αὐτῇ ἴση ἡ ὑπὸ ΜΕΞ· δύο ἄρα πέμπτων ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΝΞΕ. ὀρθὴ δὲ ἡ ὑπὸ ΕΝΞ· λόγος ἄρα τῆς ΕΞ πρὸς ΝΞ, ὃν ε πρὸς δ, πρὸς δὲ τὴν ΕΝ, ὃν ε πρὸς γ. ἴση δὲ ἡ μὲν ΕΞ τῇ ΞΜ, ἡ δὲ ΕΝ τῇ ΝΖ· ἔσται ἄρα λόγος τῆς ΕΖ πρὸς ΜΝ, ὃν Ϛ πρὸς θ, τουτέστιν ὃν β πρὸς γ. καὶ τοῦ ἀπὸ Ε‹Ζ› ἄρα πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΖ Μ‹Ν›, ὃν β πρὸς γ· ὥστε πρὸς τὸ ΕΖΜ τρίγωνον, ὃν β πρὸς αϚ· ὥστε πρὸς τὸ δεκάγωνον λόγον ἔχει, ὃν β πρὸς ιε. καὶ ἔστι δοθὲν τὸ ἀπὸ ΕΖ· δοθὲν ἄρα καὶ τὸ δεκάγωνον. συντεθήσεται δὲ οὕτως. τὰ ι ἐφ' ἑαυτά· γίγνεται ρ. ταῦτα ἐπὶ τὰ ιε· γίγνεται Ϛαφ. τούτων τὸ ἥμισυ· γίγνεται ψν· τοσούτου ἔσται τὸ ἐμβαδὸν τοῦ δεκαγώνου.

[24] Ἔστω ἑνδεκάγωνον ἰσόπλευρόν τε καὶ ἰσογώνιον τὸ ΑΒΓΔΕΖΗΘΚΛΜ, οὗ ἑκάστη πλευρὰ μονάδων ι. εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδόν. περιγεγράφθω περὶ αὐτὸ κύκλος, οὗ κέντρον ἔστω τὸ Ν, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΖΝ καὶ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ Ξ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΞΗ. τὸ ἄρα ΖΗΞ τρίγωνον δύο ἑνδέκατα τοῦ ἑνδεκαγώνου ἐστίν. δέδεικται δὲ ἐν τοῖς περὶ τῶν ἐν κύκλῳ εὐθειῶν, ὅτι λόγος τῆς ΖΞ πρὸς ΖΗ ὡς ἔγγιστα ὁ τῶν κε πρὸς ζ, ὁ δὲ τῆς ΞΗ πρὸς ΗΖ λόγος, ὃν κδ πρὸς ζ· τοῦ ἄρα ἀπὸ ΖΗ πρὸς τὸ ΖΗΞ τρίγωνον λόγος ὁ τῶν μθ πρὸς πδ, τουτέστιν ὁ τῶν ζ πρὸς ιβ. τοῦ δὲ τριγώνου πρὸς τὸ ἑνδεκάγωνον λόγος, ὃν β πρὸς ια· ὥστε πρὸς τὸ ἑνδεκάγωνον λόγον ἔχει τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ, ὃν ζ πρὸς ξϚ· καὶ ἔστι δοθὲν τὸ ἀπὸ ΖΗ· δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ἑνδεκάγωνον. συντεθήσεται δὴ οὕτως· τὰ ι ἐφ' ἑαυτά· γίγνεται ρ. ταῦτα ἐπὶ τὰ ξϚ· γίγνεται ϚϚχ. τούτων τὸ ἕβδομον· γίγνεται Ϡ μβ Ϛζ΄· τοσούτου ἔσται τὸ ἐμβαδὸν τοῦ ἑνδεκαγώνου.

[25] Ἔστω δωδεκάγωνον ἰσοπλευρόν τε καὶ ἰσογώνιον τὸ ΑΒΓΔΕΖΗΘΚΛΜΝ ἔχον ἑκάστην πλευρὰν μονάδων ι. εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδόν. εἰλήφθω τὸ κέντρον τοῦ περὶ αὐτὸ[ν] κύκλου τὸ Ξ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΞΗ, ΞΖ καὶ κάθετος ἐπὶ τὴν ΗΖ ἡ ΞΟ. ἡ ἄρα ὑπὸ ΖΞΟ γωνία ἕκτου ἐστὶν ὀρθῆς· συνεστάτω οὖν αὐτῇ ἴση ἡ ὑπὸ ΞΖΠ. τρίτου ἄρα ἐστὶν ὀρθῆς ἡ ὑπὸ ΖΠΟ· τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΠΟ τριπλάσιόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΟΖ. λόγος ἄρα τῆς ΠΟ πρὸς ΟΖ ὡς ἔγγιστα, ὃν ζ πρὸς δ· ὥστε καὶ τῆς ΖΗ, τουτέστι τῆς ΞΠ, πρὸς ΠΟ λόγος ὡς ἔγγιστα, ὃν η πρὸς ζ· ὥστε καὶ τῆς ΖΗ πρὸς ΞΟ λόγος, ὃν ‹η› πρὸς ιε. καὶ τοῦ ἀπὸ τῆς ΖΗ ἄρα πρὸς τὸ ὑπὸ ΖΗ ΞΟ λόγος, ὃν ‹η› πρὸς ιε, πρὸς δὲ τὸ ΖΗΞ ἄρα τρίγωνον, ὃν ‹η› πρὸς ζ. καὶ πρὸς τὸ δωδεκάγωνον ἄρα, ὃν η πρὸς , τουτέστιν ὃν δ πρὸς με. καὶ ἔστι δοθὲν τὸ ἀπὸ ΖΗ· δοθὲν ἄρα καὶ τὸ δωδεκάγωνον. συντεθήσεται δὲ οὕτως· τὰ ι ἐφ' ἑαυτά· γίγνεται ρ. ταῦτα ἐπὶ τὰ με· γίγνεται Ϛδφ. τούτων τὸ τέταρτον· γίγνεται Ϛαρκε. τοσούτου ἔσται τὸ ἐμβαδὸν τοῦ δωδεκαγώνου.

Ὅσα δὲ τῶν πολυγώνων σχημάτων οὔκ ἐστιν ἰσόπλευρα καὶ ἰσογώνια, ταῦτα εἰς τρίγωνα καταδιαιρούμενα μετρεῖται· τὰ δὲ περιφερῆ τῶν ἐπιπέδων σχημάτων καὶ καθόλου τῶν ἐπιφανειῶν ὅσαι δύνανται μετρεῖσθαι, ἑξῆς κατὰ τὸ ἀκόλουθον ἐκθησόμεθα.

[26] Ἀρχιμήδης μὲν οὖν ἐν τῇ τοῦ κύκλου μετρήσει δείκνυσιν, ὅτι ια τετράγωνα τὰ ἀπὸ τῆς διαμέτρου τοῦ κύκλου ἴσα γίγνεται ὡς ἔγγιστα ιδ κύκλοις· ὥστε ἐὰν δοθῇ ἡ διάμετρος τοῦ κύκλου εἰ τύχοι μονάδων ι, δεήσει τὰ ι ἐφ' ἑαυτὰ ποιῆσαι· γίγνονται ρ· ταῦτα ἐπὶ τὰ ια· γίγνεται αρ· ὧν τὸ ιδ΄. γίγνεται οηϚιδ΄. τοσούτου δεῖ ἀποφαίνεσθαι τὸ ἐμβαδὸν τοῦ κύκλου. ὁ δὲ αὐτὸς Ἀρχιμήδης δείκνυσιν ἐν τῷ περὶ πλινθίδων καὶ κυλίνδρων, ὅτι παντὸς κύκλου ἡ περίμετρος πρὸς τὴν διάμετρον μείζονα μὲν λόγον ἔχει ‹ἢ ὃν ἔχει› μκα αωοε πρὸς μϚ ζυμα, ἐλάσσονα δὲ ἢ ὃν ἔχει[ν] μιθ ζωπη πρὸς μϚ Ϛβτνα· ἀλλ' ἐπεὶ οὗτοι οἱ ἀριθμοὶ πρὸς τὰς μετρήσεις οὐκ εὐθετοῦσι, καταβιβάζονται εἰς ἐλαχίστους ἀριθμούς, ὡς τὸν κβ πρὸς τὰ ζ. ὥστε ἐὰν δοθῇ ἡ διάμετρος τοῦ κύκλου εἰ τύχοι μονάδων ιδ καὶ βούληταί τις τὴν περίμετρον εὑρεῖν, δεῖ ποιῆσαι τὰ ιδ ἐπὶ τὰ κβ καὶ τούτων λαβεῖν τὸ ἕβδομον, καὶ ἀποφαίνεσθαι τοσούτου τὴν περίμετρον· ἔστι δὲ μονάδων μδ. καὶ ἀνάπαλιν δὲ, ἐὰν δοθῇ ἡ περίμετρος μονάδων μδ καὶ βουλώμεθα τὴν διάμετρον εὑρεῖν, ποιήσομεν τὰ μδ ἑπτάκις καὶ τῶν γενομένων τὸ κβ΄ λαβόντες ἕξομεν τὴν διάμετρον· ἔστι δὲ ιδ. δείκνυσι δὲ ὁ αὐτὸς Ἀρχιμήδης ἐν τῇ τοῦ κύκλου μετρήσει ὅτι τὸ ὑπὸ τῆς περιφερείας τοῦ κύκλου καὶ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου διπλάσιόν ἐστι τοῦ κύκλου· ὥστε ἐὰν δοθῇ ἡ περίμετρος μονάδων μδ, λαβόντες τῆς διαμέτρου τὸ ἥμισυ· εἰσὶ δὲ μονάδες ζ· πολλαπλασιάσομεν ἐπὶ τὰ μδ· καὶ τῶν γενομένων τὸ ἥμισυ λαβόντες· εἰσὶ δὲ μονάδες ρνδ· τοσούτου ἀποφα[ι]νούμεθα τὸ ἐμβαδὸν τοῦ κύκλου.

Ἐὰν δέῃ χωρίου τινὸς δοθέντος ἤτοι εὐθυγράμμου ἢ οἱουδηποτοῦν τούτῳ ἴσον κύκλον πορίσασθαι, λαβόντες τὸ ἐμβαδὸν τοῦ χωρίου· ἔστω δὲ μονάδων ρνδ· τούτων τὰ ιδ ἑνδέκατα· ἃ γίγνεται ρϚ· καὶ τούτων πάλιν λαβόντες πλευράν· ἔστι δὲ μονάδων ιδ· τοσούτου ἀποφανούμεθα τὴν τοῦ κύκλου διάμετρον.

Δύο κύκλων περὶ τὸ αὐτὸ κέντρον ὄντων τὸ μεταξὺ τῶν περιφερειῶν αὐτῶν χωρίον δυνατόν ἐστιν εὑρεῖν μετρήσαντα ἑκάτερον τῶν κύκλων καὶ ἀφελόντα ἀπὸ τοῦ μείζονος τὸν ἐλάσσονα. ἵνα δὲ μὴ δύο κύκλων μέτρησιν ποιησώμεθα, δείξομεν οὕτως.

Ἔστωσαν δύο κύκλοι περὶ τὸ αὐτὸ κέντρον, ὧν διάμετροι αἱ ΑΒ ΓΔ. ἐπεὶ οὖν τοῦ ἀπὸ τῆς ΑΒ τὰ ια ιδ΄ γίγνεται τὸ ἐμβαδὸν τοῦ μείζονος κύκλου καὶ ὁμοίως τοῦ ἀπὸ τῆς ΓΔ τὰ ια ιδ΄ γίγνεται τὸ ἐμβαδὸν τοῦ ἐλάσσονος κύκλου, τῆς ἄρα τῶν ἀπὸ ΑΒ ΓΔ ὑπεροχῆς τὰ ια ιδ΄ γίγνεται τὸ ἐμβαδὸν τοῦ εἰρημένου χωρίου, ὃ καλεῖται ἴτυς. ἡ δὲ τῶν ἀπὸ ΑΒΓΔ ὑπεροχὴ τὸ τετράκις ἐστὶν ὑπὸ ΓΒ ΒΔ· ἐπειδήπερ καὶ ‹τὸ› τετράκις ὑπὸ ΓΒ ΒΔ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΓΔ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ συναμφοτέρου τῆς ΓΒ ΒΔ. συναμφότερος δὲ ἡ ΓΒ ΒΔ ἴση ἐστὶ τῇ ΑΒ, ἐπειδήπερ καὶ ἡ ΒΔ τῇ ΑΓ ἴση ἐστίν. ὥστε ἐὰν δοθῇ ἡ μὲν ΓΔ μονάδων ιδ, ἑκατέρα δὲ τῶν ΑΓ ΒΔ μονάδων Ϛ, ἔσται ἡ ΓΒ μονάδων κ. ταῦτα ἐπὶ τὰ Ϛ· γίγνεται ρκ· ταῦτα τετράκι· γίγνεται υπ· τούτων τὰ ια ιδ΄. γίγνεται τοζ ζ΄. τοσούτου ἔσται τὸ ἐμβαδὸν τῆς ἴτυος.

[27] Εἰς δὲ τὴν τοῦ τμήματος μέτρησιν προγράψομεν ταῦτα. ἔστω ὁσαδηποτοῦν μεγέθη τετραπλάσια ἀλλήλων τὰ Α, Β, Γ, Δ ἢ καὶ πλείονα ἀρχόμενα ἀπὸ μεγίστου τοῦ Α· λέγω ὅτι τὸ γ΄ τοῦ Α ἴσον ἐστὶν τοῖς ΒΓΔ καὶ τῷ γ΄ τοῦ Δ· ἐπεὶ γὰρ τὸ Α τετραπλάσιόν ἐστι τοῦ Β, τὸ Α ἄρα ἴσον ἐστὶ τέτ‹τ›αρσι τοῖς Β. τὸ ἄρα τρίτον τοῦ Α ἴσον ἐστὶ τῷ Β καὶ τῷ γ΄ τοῦ Β. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ τὸ γ΄ τοῦ Β ἴσον ἐστὶν τῷ Γ καὶ τῷ γ΄ τοῦ Γ. ὁμοίως δὴ καὶ τοῦ Γ τὸ γ΄ ἴσον ἐστὶ τῷ Δ καὶ τῷ γ΄ τοῦ Δ. ὥστε τὸ γ΄ τοῦ Α ἴσον ἐστι τοῖς ΒΓΔ καὶ τῷ γ΄ τοῦ Δ.

[28] Ἔστω τμῆμα κύκλου τὸ ΑΒΓ καὶ ἀπὸ μέσης τῆς ΑΓ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΔΒ, ἀπὸ δὲ μέσης τῆς ΑΔ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΕΖ. ὅτι ἡ ΒΔ τῆς ΕΖ ἐλάσσων ἐστὶν ἢ ἐπίτριτος. προσαναπεπληρώσθω ὁ κύκλος καὶ ἐκβεβλήσθωσαν αἱ ΒΔ, ΖΕ ἐπὶ τὰ Η, Θ, καὶ κάθετος ἡ ΖΚ. ἐπεὶ διπλῆ ἐστιν ἡ ΑΔ τῆς ΔΕ, τετραπλάσιον ἄρα τὸ ἀπὸ ΑΔ τοῦ ἀπὸ ΔΕ, τουτέστι τοῦ ἀπὸ ΖΚ. ὥστε καὶ τὸ ὑπὸ ΗΔΒ τετραπλάσιόν ἐστι τοῦ ὑπὸ ΗΚΒ· ἀλλὰ τὸ ὑπὸ ΗΔΒ πρὸς τὸ ὑπὸ ΗΚΒ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ὑπὸ ΗΔΒ πρὸς τὸ ὑπὸ ΗΔ, ΚΒ, τουτέστιν ἢ ΔΒ πρὸς ΒΚ. ἡ ἄρα ΔΒ τῆς ΒΚ μείζων ἐστὶν ἢ τετραπλῆ· ἀναστρέψαντι ἄρα ἡ ΔΒ τῆς ΔΚ, τουτέστι τῆς ΕΖ, ἐλάττων ἐστὶν ‹ἢ› ἐπίτριτος.

[29] Ἔστω τμῆμα τὸ ἐπὶ τῆς ΑΓ, καὶ πρὸς ὀρθὰς ἀπὸ μέσης τῆς ΑΓ ἡ ΔΒ καὶ δίχα αἱ ΑΒ, ΒΓ περιφέρειαι κατὰ τὰ Ε, Ζ· καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΒ ΒΓ ΑΕ ΕΒ ΒΖ ΖΓ. ὅτι τὸ ΑΒΓ τρίγωνον ἔλασσόν ἐστιν ἢ τετραπλάσιον τῶν ΑΕΒ ΒΖΓ τριγώνων. ἤχθω κάθετος μὲν ἐπὶ τὴν ΑΒ ἡ ΕΗ, παράλληλος δὲ τῇ ΒΔ διὰ τοῦ Η ἡ ΘΚ· καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΘ ΘΒ· ἴση ἄρα ἡ ΑΚ τῇ ΚΔ. ἡ ἄρα ΒΔ τῆς ΘΚ ἐλάττων ἐστὶν ἢ ἐπίτριτος. τῆς δὲ ΗΚ ἔστι διπλῆ· ὥστε ἡ ΚΗ τῆς ΘΗ ἐλάττων ἐστὶν ἢ διπλασίων· ὡς δὲ ‹ἡ› ΚΗ πρὸς ΘΗ, τὸ ΑΚΒ τρίγωνον πρὸς τὸ ΑΒΘ τρίγωνον· ἔλαττον ἄρα ἐστὶν ἢ διπλάσιον τὸ ΑΚΒ τρίγωνον τοῦ ΑΒΘ τριγώνου. τοῦ δὲ ΑΚΒ διπλάσιόν ἐστιν τὸ ΑΒΔ· ἔλαττον ἄρα ἢ τετραπλάσιον τὸ ΑΒΔ τοῦ ΑΒΘ· τὸ δὲ ΑΒΘ τρίγωνον ἔλαττόν ἐστι τοῦ ΑΕΒ, ἐπεὶ καὶ ἡ ΕΗ τῆς ἀπὸ τοῦ Θ ἐπὶ τὴν ΑΒ καθέτου. πολλῷ ἄρα τὸ ΑΔΒ ἔλαττόν ἐστιν ἢ τετραπλάσιον τοῦ ΑΕΒ. διὰ τὰ αὐτὰ καὶ τὸ ΔΒΓ τρίγωνον ἔλαττόν ἐστιν ἢ τετραπλάσιον τοῦ ΒΖΓ τριγώνου· τὸ ἄρα ΑΒΓ ἔλαττόν ἐστιν ἢ τετραπλάσιον τῶν ΑΕΒ ΒΖΓ τριγώνων.

[30] Τὸ δὲ τμῆμα τοῦ κύκλου τὸ ἔλαττον ἡμικυκλίου οἱ μὲν ἀρχαῖοι ἀμελέστερον ἐμέτρουν. συντιθέντες γὰρ αὐτοῦ τὴν βάσιν καὶ τὴν κάθετον καὶ τούτων τὸ ἥμισυ λαμβάνοντες ἐπὶ τὴν κάθετον ἐποίουν καὶ το‹σο›ύτου τὸ ἐμβαδὸν ‹τοῦ› τμήματος ἀπεφαίνοντο. δοκοῦσι δὲ οὗτοι ἠκολουθηκέναι τοῖς τὴν περίμετρον τοῦ κύκλου τριπλασίονα ὑπολαμβάνουσιν τῆς διαμέτρου. ἐὰν γὰρ ἡμικύκλιον κατὰ τὴν τ‹οι›αύτην ὑπόθεσιν μετρῶμεν, ἀκολουθήσει τὸ ἐμβαδὸν τοῦ ἡμικυκλίου σύμφωνον τῇ εἰρημένῃ μεθόδῳ. οἷον ἔστω ἡμικύκλιον, οὗ διάμετρος ἡ ΑΒ καὶ κάθετος ἡ ΓΔ. καὶ ἔστω ἡ διάμετρος μονάδων ιβ. ἡ ἄρα ΓΔ μονάδων Ϛ. οὐκοῦν ἡ τοῦ κύκλου περιφέρεια ἔσται μονάδων λϚ. ἡ ἄρα τοῦ ἡμικυκλίου μονάδων ιη. ἐπεὶ οὖν ἐδείχθη, ὅτι τὸ ὑπὸ τῆς περιφερείας καὶ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου διπλάσιόν ἐστι τοῦ χωρίου, δεῖ τὰ ιη πολλαπλασιάσαντας ἐπὶ τὰ Ϛ λαβεῖν τὸ ἥμισυ· εἰσὶ δὲ μονάδες νδ. ὥστε τοῦ ἡμικυκλίου τὸ ἐμβαδὸν κατὰ τὴν εἰρημένην ὑπόθεσιν ἔσται μονάδων νδ. τὸ δ' αὐτὸ ἔσται κἂν συνθῇς τὰ ιβ καὶ τὰ Ϛ, ἃ γίγνεται ιη. ὧν ἥμισυ λαβὼν ἐπὶ τὰ τῆς καθέτου ποιήσεις· γίγνεται ὁμοίως νδ.

[31] Οἱ δὲ ἀκριβέστερον ἐζητηκότες προστιθέασι τῷ εἰρημένῳ ἐμβαδῷ τοῦ τμήματος τὸ ιδ΄ μέρος τοῦ ἀπὸ τῆς ἡμισείας τῆς βάσεως. οὗτοι δὴ τῇ ἑτέρᾳ φαίνονται ἠκολουθηκότες ἐφόδῳ, καθ' ἣν ἡ τοῦ κύκλου περιφέρεια τριπλασία ἐστὶ τῆς διαμέτρου τοῦ κύκλου καὶ τῷ ζ΄ μέρει μείζων· ἐὰν γὰρ ὁμοίως ὑποστησώμεθα τὴν μὲν ΑΒ διάμετρον μονάδων ιδ, τὴν δὲ ΔΓ κάθετον ζ, ἔσται ἡ περιφέρεια τοῦ ἡμικυκλίου μονάδων κβ· ἐπὶ τὸν ζ· γίγνεται ρνδ. ὧν ἥμισυ γίγνεται οζ. καὶ τοσούτου τὸ ἐμβαδὸν τοῦ ἡμικυκλίου ἀποφαίνεσθαι. τὸ δ' αὐτὸ καὶ ἐὰν οὕτως ποιήσωμεν. σύνθες τὰ ιδ καὶ τὰ ζ· ὧν ἥμισυ γίγνεται ιϚ· ἐπὶ τὰ ζ· γίγνεται ογϚ. καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ἡμισείας τῆς βάσεως μονάδων μθ. τούτων καθόλου τὸ ιδ΄· γίγνεται γϚ. ταῦτα πρόσθες τοῖς ογϚ· γίγνεται οζ. ταύτῃ οὖν τῇ ἐφόδῳ χρήσασθαι δεῖ ἐπὶ τῶν ἐλασσόνων τοῦ ἡμικυκλίου τμημάτων· οὐ μέντοι ἐπὶ παντὸς τμήματος πάλιν καὶ αὕτη ἁρμόσει ἡ ἔφοδος, ἀλλ' ὅταν ἡ βάσις τοῦ τμήματος μὴ μείζων ᾖ ἢ τριπλῆ τῆς καθέτου· ἐπεί τοι, ἐὰν ἡ βάσις ᾖ μονάδων ξ, ἡ δὲ κάθετος α, ἔσται τὸ περιεχόμενον σχῆμα μονάδων ξ, ὃ δὴ μεῖζόν ἐστι τοῦ τμήματος. τούτου δὲ μεῖζόν ἐστι τὸ ιδ΄ τοῦ ἀπὸ τῆς ἡμισείας τῆς βάσεως· ἔστι γὰρ μονάδων ξδ ιδ΄. ὥστε οὐκ ἐπὶ παντὸς τμήματος ἁρμόσει ἡ εἰρημένη ἔφοδος, ἀλλ', ὡς εἴρηται, ὅταν ἡ βάσις τῆς καθέτου μὴ μείζων ᾖ ἢ τριπλῆ. ἐὰν δὲ ᾖ μείζων ἢ τριπλῆ, τῇ ἑξῆς ἐφόδῳ χρησόμεθα.

[32] Πᾶν τμῆμα κύκλου μεῖζόν ἐστιν ἢ ἐπίτριτον τριγώνου τοῦ τὴν αὐτὴν βάσιν ἔχοντος αὐτῷ καὶ ὕψος ἴσον. ἔστω τμῆμα κύκλου τὸ ΑΒΓ καὶ ἀπὸ μέσης τῆς ΑΓ πρὸς ὀρθὰς ἤχθω ἡ ΔΒ καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΒ ΒΓ. λέγω ὅτι τὸ ΑΒΓ τμῆμα μεῖζόν ἐστιν ἢ ἐπίτριτον τοῦ ΑΒΓ τριγώνου· τετμήσθωσαν γὰρ αἱ ΑΒ ΒΓ περιφέρειαι δίχα κατὰ τὰ Ε, Ζ καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΕ ΕΒ ΒΖ ΖΓ. τὸ ἄρα ΑΒΓ τρίγωνον ἔλαττόν ἐστιν ἢ τετραπλάσιον τῶν ΑΕΒ ΒΖΓ τριγώνων. ἔστω οὖν τῷ μὲν ΑΒΓ τριγώνῳ ἴσον τὸ Η χωρίον, τοῖς δὲ ΑΒΕ ΒΖΓ τριγώνοις ἴσον τὸ ΘΚ. τὸ ἄρα Η τοῦ ΘΚ ἔλαττόν ἐστιν ἢ τετραπλάσιον, ‹....› τὸ Η, τὸ δὲ Θ τοῦ Λ, τὸ δὲ τοῦ Μ. καὶ τοῦτο γιγνέσθω, ἕως οὗ τὸ τοῦ ἐσχάτου τρίτον ἔλαττον γένηται τοῦ Κ. γεγονέτω καὶ ἔστω τὸ Μ. καὶ τετμήσθωσαν αἱ ΑΕ ΕΒ ΒΖ ΖΓ περιφέρειαι δίχα καὶ ἐπὶ τὰς διχοτομίας ἐπεζεύχθωσαν· τὰ ἄρα ΑΕΒ ΒΖΓ τρίγωνα τῶν γενομένων τριγώνων ἐλάττονα ἔσται ἢ τετραπλάσια· τὸ δὲ ΘΚ τοῦ Λ μεῖζον ἢ τετραπλάσιόν ἐστιν· τὰ ἄρα γενόμενα τρίγωνα μείζονά ἐστι τοῦ Λ. ἔστω αὐτοῖς ἴσα τὰ ΛΝ. καὶ πάλιν τετμήσθωσαν αἱ γενόμεναι περιφέρειαι καὶ ἐπεζεύχθωσαν ὁμοίως. τὰ ἄρα προειρημένα, οἷς ἴσα ἐστὶ τὰ ΛΝ, τῶν γενομένων τριγώνων ἐλάττονά ἐστι ‹ἢ τετραπλάσια›, τὸ ‹δὲ› ΛΝ τοῦ Μ μεῖζόν ἐστιν ἢ τετραπλάσιον· ὥστε τὰ ἔσχατα γενόμενα τρίγωνα μείζονά ἐστι τοῦ Μ. ἔστω αὐτοῖς ἴσον τὸ ΜΞ. καὶ ἐπεὶ τὰ ΗΘ ΛΜ τετραπλάσιά ἐστιν ἀλλήλων, τὸ ἄρα τρίτον τοῦ Η ἴσον ἐστὶ τοῖς ΘΛΜ καὶ τῷ γ΄ τοῦ Μ, ‹τὸ δὲ γ΄ τοῦ Μ› ἔλαττόν ἐστι τῶν ΚΝΞ, ἐπεὶ καὶ τοῦ Κ. τὸ ἄρα τρίτον τοῦ Η ἔλασσόν ἐστι τῶν ΘΚΛ ΝΜΞ. τὸ ἄρα Η τῶν εἰρημένων ἔλασσόν ἐστιν ἢ τριπλάσιον. τὸ Η ἄρα μετὰ τῶν ΘΚ ΛΝ ΜΞ τῶν ΘΚ ΛΝ ΜΞ ἔλασσόν ἐστιν ἢ τετραπλάσιον· ἀναστρέψαντι ἄρα τὰ ΘΚ ΛΝ ΜΞ μετὰ τοῦ Η τοῦ Η ‹....› ἴσον ἐστὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον. τὰ δὲ ΘΚ ΛΝ ΜΞ μετὰ τοῦ Η ἴσα τῷ ἐγγραφέντι εἰς τὸ τμῆμα πολυγώνῳ· τὸ ἄρα ἐγγεγραμμένον εἰς τὸ τμῆμα πολύγωνον τοῦ ΑΒΓ τριγώνου μεῖζόν ἐστιν ἢ ἐπίτριτον· πολλῷ ἄρα τὸ ἐπὶ τῆς ΑΓ τμῆμα τοῦ ΑΒΓ τριγώνου μεῖζόν ἐστιν ἢ ἐπίτριτον. ὥστε ἐὰν μετρήσωμεν τὸ τρίγωνον καὶ τούτου τὸ τρίτον προσθῶμεν, ἀποφανούμεθα ὡς ἔγγιστα τὸ ἐμβαδὸν τοῦ τμήματος. ἁρμόσει δὲ ἡ αὐτὴ μέθοδος, ὅταν ἡ βάσις τῆς καθέτου μείζων ᾖ ἢ τριπλασίων· ἐὰν μέντοι τμῆμα ᾖ περιεχόμενον ὑπὸ εὐθείας καὶ παραβολῆς καὶ δοθῇ ἡ τε βάσις αὐτῆς καὶ ἡ κάθετος, τουτέστιν ὁ ἄξων ὁ μέχρι τῆς βάσεως, καὶ τούτου βουλώμεθα τὸ ἐμβαδὸν εὑρεῖν, μετρήσαντες τὸ τρίγωνον τὸ τὴν αὐτὴν βάσιν ἔχον αὐτῷ καὶ ὕψος ἴσον καὶ τούτῳ προσθέντες τὸ τρίτον αὐτῶν ἀποφανούμεθα τὸ ἐμβαδὸν τοῦ τμήματος. ἔδειξε γὰρ Ἀρχιμήδης ἐν τῷ ἐφοδικῷ, ὅτι πᾶν τμῆμα περιεχόμενον ὑπὸ εὐθείας καὶ ὀρθογωνίου κώνου τομῆς, τουτέστι παραβολῆς, ἐπίτριτόν ἐστι τριγώνου τοῦ βάσιν μὲν ἔχοντος αὐτῷ τὴν αὐτὴν καὶ ὕψος δὲ ἴσον.

Λῆμμα. Ἔστω τῷ μὲν Η ἴσον τὸ ΑΒ, τοῖς δὲ Θ, Κ, Λ, Ν, Μ, Ξ τὸ ΒΓ[Δ], τὸ δὲ ΑΒ τοῦ ΒΓ ἔλασσον ἢ τριπλάσιον ἔστω· πῶς ἀναστρέψαντι τὸ ΑΓ, τουτέστι τὸ Η μετὰ τῶν Θ, Κ, Λ, Ν, Μ, Ξ, τοῦ ΑΒ, τουτέστι τοῦ Η, μεῖζόν ἐστιν ‹ἢ› ἐπίτριτον; ἔστω γὰρ τὸ ΑΔ τοῦ ΔΓ τριπλάσιον· τὸ[ῦ] ΑΓ ἄρα τετραπλάσιόν ἐστι τοῦ ΔΓ. ἀναστρέψαντι ἄρα τὸ ΑΓ τοῦ ΑΔ ἐπίτριτόν ἐστιν. τὸ ΑΓ ἄρα τοῦ ΑΒ μεῖζόν ἐστιν ἢ ἐπίτριτον.

[33] Ἐὰν δὲ δέῃ τμῆμα μετρῆσαι μεῖζον ἡμικυκλίου, μετρήσομεν οὕτως. ἔστω τμῆμα κύκλου τὸ[ῦ] ΑΒΓ, οὗ ἡ μὲν ΑΓ βάσις ἔστω μονάδων ιδ, ἡ δὲ ΒΔ κάθετος μονάδων ιδ. προσαναπεπληρώσθω ὁ κύκλος καὶ ἐκβεβλήσθω ἡ ΒΔ ἐπὶ τὸ Ε. ἐπεὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΔ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν ΒΔΕ, τὸ δὲ ἀπὸ τῆς ΑΔ μονάδων ἐστὶ μθ, ἔσται ἄρα καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΒΔΕ μονάδων μθ. καὶ ἔστιν ἡ ΒΔ μονάδων ιδ· ἡ ἄρα ΔΕ ἔσται μονάδων γϚ· ἔστιν δὲ καὶ ἡ ΑΓ μονάδων ιδ· τοῦ ἄρα ΑΕΓ τμήματος, ὅ ἐστιν ἔλασσον ἡμικυκλίου, τὸ ἐμβαδὸν ἔσται μονάδων, ὡς ἐμάθομεν, λδ η΄. καὶ ἐπεὶ ἡ μὲν ΒΔ ἐστὶ μονάδων ιδ, ἡ δὲ ΔΕ γϚ, ἡ ἄρα ΒΕ διάμετρος ἔσται μονάδων ιζϚ· τοῦ ἄρα κύκλου τὸ ἐμβαδὸν ὡς ἐμάθομεν ἔσται σμϚη΄. ὧν τὸ τοῦ ΑΕΓ τμήματος ἐμβαδόν ἐστι μονάδων λδη΄. λοιπὸν ἄρα τὸ τοῦ ΑΒΓ τμήματος ἐμβαδὸν ἔσται μονάδων σϚϚ.

[34] Ἔστω δὲ ἔλλειψιν μετρῆσαι, ἧς ὁ μὲν μείζων ἄξων μονάδων ιϚ, ὁ δὲ ἐλάσσων ιβ. ἐπεὶ οὖν ἐν τοῖς κωνοειδέσιν Ἀρχιμήδους δείκνυται ὅτι τὸ ὑπὸ τῶν ἀξόνων δύναται κύκλον ἴσον τῇ ἐλλείψει, δεήσει τὰ ιϚ ἐπὶ τὰ ιβ πολλαπλασιάσαντα τούτων λαβεῖν τὰ ια ιδ΄· ἔστι δὲ ρμϚϚ· τοσούτου ἀποφαίνεσθαι τὸ ἐμβαδὸν τῆς ἐλλείψεως.

[35] Ἔστω δὴ παραβολὴν μετρῆσαι τὴν ΑΒΓ, ἧς ἡ μὲν βάσις ἐστὶ μονάδων ιβ, ὁ δὲ ΒΔ ἄξων μονάδων ε. ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΒ ΒΓ. τῷ ἄρα ἐμβαδῷ τοῦ ΑΒΓ τριγώνου ἴσον ἐστὶ τὸ ἥμισυ τοῦ ὑπὸ ΑΓ ΒΔ, τουτέστι μονάδων λ. ἀπέδειξεν δὲ Ἀρχιμήδης ἐν τῷ ἐφοδικῷ, ὡς προείρηται, ὅτι πᾶν τμῆμα περιεχόμενον ὑπό τε εὐθείας καὶ ὀρθογωνίου κώνου τομῆς, τουτέστι παραβολῆς, ἐπίτριτόν ἐστι τριγώνου τοῦ τὴν αὐτὴν βάσιν ἔχοντος αὐτῷ καὶ ὕψος ἴσον, τουτέστι τοῦ ΑΒΓ τριγώνου. ‹τοῦ δὲ ΑΒΓ τριγώνου› τὸ ἐμβαδόν ἐστι μονάδων λ. τὸ ἄρα τῆς παραβολῆς ἐμβαδὸν ἔσται μονάδων μ.

[36] Ἔστω κυλίνδρου ἐπιφάνειαν μετρῆσαι χωρὶς τῶν βάσεων, οὗ ἡ μὲν διάμετρος τῶν βάσεών ἐστι μονάδων ιδ, τὸ δὲ ὕψος μονάδων ε. ἐὰν δὴ νοήσωμεν τετμημένην τὴν ἐπιφάνειαν κατά τινα πλευρὰν τοῦ κυλίνδρου καὶ ἀνηπλωμένην, τουτέστιν ἐκτεταμένην εἰς ἐπίπεδον, ἔσται τι παραλληλόγραμμον, οὗ τὸ μὲν μῆκος ἔσται ἡ περιφέρεια τῆς βάσεως τοῦ κυλίνδρου, τὸ δὲ πλάτος τὸ τοῦ κυλίνδρου ὕψος. ἐπεὶ οὖν ἡ διάμετρος τοῦ κύκλου ἐστὶ μονάδων ιδ, ἡ ἄρα περιφέρεια ἔσται μονάδων μδ· τὸ ἄρα τοῦ παραλληλογράμμου μῆκος ἔσται μονάδων μδ. τὸ δὲ πλάτος μονάδων ε· τὸ ἄρα ἐμβαδὸν τοῦ παραλληλογράμμου ἔσται μονάδων σκ. τοσούτου δὲ καὶ ἡ τοῦ κυλίνδρου ἐπιφάνεια, τουτέστι μονάδων σκ, ὡς καὶ ὑποτέτακται.

[37] Κώνου δὲ ἰσοσκελοῦς τὴν ἐπιφάνειαν μετρήσομεν ἀκολούθως ἐκπετάσαντες αὐτήν· ἐὰν γὰρ νοήσωμεν ὁμοίως κατὰ πλευρὰν ‹ἀν›ηπλωμένην καὶ εἰς ἐπίπεδον ἐκτεταμένην, ἔσται τις κύκλου τομεὺς ὥσπερ ὁ ΑΒΓ[Δ] ἔχων τὴν μὲν ΑΒ πλευρὰν ἴσην τῇ πλευρᾷ τοῦ κώνου, τὴν δὲ ΒΓ περιφέρειαν ἴσην τῇ περιφερείᾳ τῆς βάσεως τοῦ κώνου. ἐὰν οὖν πάλιν δοθῇ ἡ μὲν διάμετρος τῆς βάσεως τοῦ κώνου μονάδων ιδ, ἡ δὲ πλευρὰ μονάδων ι, ἔσται ἡ μὲν ΒΓ περιφέρεια μονάδων μδ, ἡ δὲ ΑΒ μονάδων ι. δέδεικται δὲ Ἀρχιμήδει ἐν τῇ τοῦ κύκλου μετρήσει, ὅτι πᾶς τομεὺς ἥμισύς ἐστι τοῦ περιεχομένου ὑπό τε τῆς τοῦ τομέως περιφερείας καὶ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ κύκλου, οὗ ἔστιν ὁ τομεύς· τὸ δὲ ὑπὸ τῶν ΑΒ ΒΓ ἐστὶ μονάδων υπ· τὸ ἄρα ἐμβαδὸν τοῦ τομέως ἔσται μονάδων σκ.

[38] Τὴν δὲ ἐπιφάνειαν τῆς σφαίρας ὁ αὐτὸς ἐμέτρησεν Ἀρχιμήδης ἐν τῷ περὶ σφαίρας καὶ κυλίνδρου ἀποδείξας τετραπλασίονα οὖσαν τοῦ μεγίστου κύκλου τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ· ὥστε ἐὰν δοθῇ ἡ διάμετρος τῆς σφαίρας μονάδων ιδ, δεῖ εὑρεῖν κύκλον τετραπλασίονα τοῦ κύκλου, οὗ ἡ διάμετρός ἐστι μονάδων ιδ. εἰ δὲ ὁ κύκλος τοῦ κύκλου ἐστὶ τετραπλάσιος, ἡ ἄρα διάμετρος τῆς διαμέτρου ἐστὶ διπλασία, ἐπείπερ οἱ κύκλοι πρὸς ἀλλήλους εἰσὶν, ὡς τὰ ἀπὸ τῶν διαμέτρων τῶν κύκλων τετράγωνα πρὸς ἄλληλα. τὰ ιδ δίς· γίγνεται κη. τὸ δὲ ἐμβαδὸν τοῦ κύκλου, οὗ ἡ διάμετρος κη, ἔστιν, ὡς ἐμάθομεν, μονάδων χιϚ. ὥστε καὶ ἡ τῆς σφαίρας ἐπιφάνεια ἔσται μονάδων χιϚ. ἢ καὶ ἄλλως· ἀπέδειξεν Ἀρχιμήδης, ὅτι ἡ ἐπιφάνεια τῆς σφαίρας ἴση ἐστὶν ἐπιφανείᾳ κυλίνδρου χωρὶς τῶν βάσεων, οὗ ἡ μὲν διάμετρος τῆς βάσεως ἴση ἐστὶ τῇ διαμέτρῳ τῆς σφαίρας, τὸ δὲ ὕψος ἴσον· ὥστε δεήσει ἐπιφάνειαν κυλίνδρου μετρῆσαι, οὗ ἡ μὲν διάμετρος τῆς βάσεώς ἐστι μονάδων ιδ, τὸ δὲ ὕψος ὁμοίως ιδ. ὡς οὖν προεδείχθη, ἡ ἐπιφάνεια αὐτοῦ ἐστι μονάδων χιϚ· τοσούτου ἄρα καὶ ἡ τῆς σφαίρας ἐπιφάνεια.

[39] Τμήματος δὲ σφαίρας τὴν ἐπιφάνειαν μετρήσομεν οὕτως, ἔστω τμῆμα σφαίρας, οὗ βάσις ὁ ΑΒΓΔ κύκλος ἔχων τὴν μὲν ΑΓ διάμετρον μονάδων κδ, τὴν δὲ ΕΖ κάθετον μονάδων ε. ἐπεὶ οὖν ἡ ΑΓ ἐστὶ μονάδων ΚΛ, ἡ ἄρα ΑΖ ἐστὶ μονάδων ιβ. ἡ δὲ ΖΕ μονάδων ε· ἡ ἄρα ΑΕ ἐστὶ μονάδων ιγ διὰ τὸ ὀρθὴν εἶναι τὴν πρὸς τῷ Ζ γωνίαν. ἀπέδειξεν δὲ ὁ αὐτὸς Ἀρχιμήδης ἐν τῷ περὶ σφαίρας καὶ κυλίνδρου ὅτι παντὸς τμήματος σφαίρας ἡ ἐπιφάνεια ἴση ἐστὶ κύκλῳ, ‹οὗ› ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἴση ἐστὶ τῇ ἐκ τοῦ πόλου τῆς βάσεως τοῦ τμήματος· ἡ δὲ ΑΕ ἐκ τοῦ πόλου ἐστὶ τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου· καὶ ἔστι μονάδων ιγ. ἡ ἄρα διάμετρος τοῦ εἰρημένου κύκλου ἐστὶ μονάδων κϚ. τὸ ἄρα ἐμβαδὸν, ὡς προείρηται, ἔσται μονάδων φλα ζ΄. τοσούτου ἄρα καὶ ἡ τοῦ τμήματος τῆς σφαίρας ἐπιφάνεια.

Ὅσα μὲν οὖν ἦν σχήματα τεταγμένων ἐπιφανειῶν, αὐτάρκως νομίζομεν μεμετρῆσθαι, ἀναγκαῖον δὲ ὡς οἶμαι πρὸς τὰς ἀτάκτους εἰπεῖν ἐπιφανείας, ὡς δέον αὐτὰς μετρεῖσθαι. εἰ μὲν οὖν ἐπιφάνεια ἐπίπεδός ἐστιν, ἡ δὲ περιέχουσα αὐτὴν γραμμὴ ἄτακτος ὑπάρχει, δεήσει ἐπ' αὐτῆς τῆς γραμμῆς λαβεῖν τινὰ συνεχῆ σημεῖα, ὥστε τὰς ἐπιζευγνυούσας αὐτὰ κατὰ τὸ ἑξῆς εὐθείας γραμμὰς μὴ κατὰ πολὺ ἀπᾴδειν τῆς περιεχούσης τὸ σχῆμα γραμμῆς, καὶ οὕτως ὡς πολύγωνον μετρεῖν εἰς τρίγωνα καταδιαιροῦντα. εἰ δὲ οὔκ ἐστιν ἐπίπεδος ἡ ἐπιφάνεια, ἀλλ' ὥσπερ ἀνδριάντος ἢ ἄλλου τινὸς τοιούτου, δεῖ λαβόντα χάρτην ὅτι λεπτότατον ἢ σινδόνα περιτείνειν κατὰ μέρος ἐπὶ τὴν ἐπιφάνειαν αὐτοῦ, ἄχρι ἂν περιειληθῇ, εἶτα ἐκτείναντα τὸν χάρτην ἢ τὴν σινδόνα εἰς ἐπίπεδον μετρεῖν περιεχομένην ὑπὸ ἀτάκτου γραμμῆς, ὡς προείρηται, καὶ ἀποφαίνεσθαι τὸ ἐμβαδὸν τῆς ἐπιφανείας. εἰ δέ τινές εἰσιν ἕτεραι ἐπιφάνειαι ἢ σχήματα ἐπιφανειῶν, μετρηθήσεται ἐκ τῶν προειρημένων· καὶ γὰρ αὐτάρκως νομίζομεν τὰς ἐκ δυεῖν διαστάσεων ἐπιφανείας μεμετρηκέναι.

Heron - Metrica I

ΗΡΩΝΟΣ ΜΕΤΡΙΚΩΝ Α

ΠΡΟΟΙΜΙΟΝ