ΔΙΟΦΑΝΤΟΥ ΑΛΕΞΑΝΔΡΕΩΣ ΠΕΡΙ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ.

[450]

   Ἕκαστος τῶν ἀπὸ τῆς τριάδος ἀριθμῶν αὐξομένων μονάδι, πολύγωνός ἐστι πρῶτον ἀπὸ τῆς μονάδος, καὶ ἔχει γωνίας τοσαύτας ὅσον ἐστὶν τὸ πλῆθος τῶν ἐν αὐτῷ μονάδων· πλευρά τε αὐτοῦ ἐστιν ὁ ἑξῆς τῆς μονάδος ἀριθμός, ὁ β. ἔσται δὲ ὁ μὲν γ τρίγωνος, ὁ δὲ δ τετράγωνος, ὁ δὲ ε πεντάγωνος, καὶ τοῦτο ἑξῆς.

   Τῶν δὴ τετραγώνων προδήλων ὄντων ὅτι καθεστήκασι τετράγωνοι διὰ τὸ γεγονέναι αὐτοὺς ἐξ ἀριθμοῦ τινος ἐφ' ἑαυτὸν πολλαπλασιασθέντος, ἐδοκιμάσθη ἕκαστον τῶν πολυγώνων, πολυπλασιαζόμενον ἐπί τινα ἀριθμὸν κατὰ τὴν ἀναλογίαν τοῦ πλήθους τῶν γωνιῶν αὐτοῦ, καὶ προσλαβόντα τετράγωνόν τινα πάλιν κατὰ τὴν ἀναλογίαν τοῦ πλήθους τῶν γωνιῶν αὐτῶν, φαίνεσθαι τετράγωνον· ὃ δὴ παραστήσομεν ὑποδείξαντες πῶς ἀπὸ δοθείσης πλευρᾶς ὁ ἐπιταχθεὶς πολύγωνος εὑρίσκεται, καὶ πῶς δοθέντι πολυγώνῳ ἡ πλευρὰ λαμβάνεται· προδείξομεν δὲ τὰ εἰς αὐτὰ λαμβανόμενα.

[452]

α.

   Ἐὰν τρεῖς ἀριθμοὶ τῷ ἴσῳ ἀλλήλων ὑπερέχωσιν, ὁ ὀκτάκις ὑπὸ τοῦ μεγίστου καὶ τοῦ μέσου, προσλαβὼν τὸν ἀπὸ τοῦ ἐλαχίστου τετράγωνον, γίνεται τετράγωνος, οὗ ἡ πλευρὰ ἴση ‹ἐστὶ› τῷ συγκειμένῳ ἔκ τε τοῦ μεγίστου καὶ δύο τῶν μέσων.

   Τρεῖς γὰρ ἀριθμοί, ὁ ΑΒ, ΒΓ, ΒΔ, τῷ ἴσῳ ἀλλήλων ὑπερεχέτωσαν· δεικτέον ὅτι ὁ ηκις ὑπὸ ΑΒ. ΒΓ, ‹προσλαβὼν τὸν ἀπὸ τοῦ ΔΒ ον, ποιεῖ ον, οὗ ἡ π^λ. ἴσ. τῷ τε ΑΒ καὶ β τοῖς ΒΓ.

   Διαιρεῖται γὰρ ὁ ηκις ὑπὸ ΑΒ. ΒΓ εἴς τε τὸν η^κις ἀπὸ ΒΓ ον καὶ εἰς τὸν η^κις ὑπὸ ΑΓ. ΒΓ.› καὶ πάλιν διαιρεῖται ἕκαστος τῶν εἰρημένων δίχα, εἴς τε τὸν δ^κις ὑπὸ ΑΒ. ΓΒ, καὶ εἰς τὸν δ^κις ἀπὸ ΒΓ ον καὶ εἰς μὴν τὸν ^δκις ὑπὸ ΑΓ. ΓΒ [τουτέστιν ὁ τετράκις ὑπὸ ΒΓ. ΓΔ· ἴσος γὰρ ὁ ΑΓ τῷ ΓΔ· μετὰ τοῦ ἀπὸ ΔΒ, γίνεται τετράγωνος ὁ ἀπὸ ΑΒ]. ὁ δὲ δεύτερος τῶν δκις, ὑπὸ ΑΓ. ΓΒ, μιγεὶς ἑνὶ τετραγώνῳ ἀπὸ τοῦ ΔΒ, ποιεῖ τὸν τετράγωνον ἀπὸ τοῦ ΒΑ. καὶ ζητεῖται πῶς ὁ ἀπὸ τοῦ ΑΒ ος, καὶ ὁ δ^κις ὑπὸ ΑΒ. ΒΓ, καὶ ὁ δ^κις ἀπὸ τοῦ ΒΓ συντεθέντες ποιοῦσι □^ον. ἐὰν δὴ θῶμεν τῷ ΒΓ ἴσον τὸν ΑΕ, μεταβησόμεθα τὸν δ^κις ὑπὸ ΑΒ. ΒΓ εἰς τὸν δ^κις ὑπὸ ΒΑ. ΑΕ, ὃς μιγεὶς τῷ δ^κις ἀπὸ ΓΒ, τουτέστι τῷ ἀπὸ ΑΕ, ποιήσει ἴσον τῷ [454] δ^κις ὑπὸ ΒΕ. ΕΑ, ὃς μιγεὶς τῷ ἀπὸ τοῦ ΑΒ ῳ, γίνεται ἴσος τῷ ἀπὸ ΒΕ. ΕΑ ὡς ἀπὸ μιᾶς ἀναγραφέντι τετραγώνῳ. οἱ δὲ ΒΕ. ΕΑ ἴσ. τῷ τε ΑΒ καὶ β τοῖς ΑΕ, τουτέστι β τοῖς ΒΓ. Ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

β.

   Ἐὰν ὦσιν ἀριθμοὶ ὁποσοιοῦν ἐν ἴσῃ ὑπεροχῇ, ‹ἡ ὑπεροχὴ› τοῦ μεγίστου καὶ τοῦ ἐλαχίστου τῆς ὑπεροχῆς αὐτῶν πολλαπλασίων ἐστὶ κατὰ τὸν μονάδι ἐλάσσονα τοῦ πλήθους τῶν ἐκκειμένων ἀριθμῶν.

   Ἔστωσαν γὰρ ὁποσοιοῦν ἀριθμοί, οἱ ΑΒ, ΒΓ, ΒΔ, ΒΕ ἐν ἴσῃ ὑπεροχῇ· δεικτέον ὅτι ἡ τῶν ΑΒ, ΒΕ ὑπεροχὴ τῆς τῶν ΑΒ, ΒΓ ὑπεροχῆς πολλαπλασίων ἐστὶ κατὰ τὸν μονάδι ἐλάσσονα ‹τοῦ πλήθους› τῶν ΑΒ, ΒΓ, ΒΔ, ΒΕ.

   Ἐπεὶ γὰρ ὑπόκεινται οἱ ΑΒ, ΒΓ, ΒΔ, ΒΕ ἐν ἴσῃ ὑπεροχῇ, οἱ ἄρα ΑΓ, ΓΔ, ΔΕ ἴσοι εἰσὶν ἀλλήλοις. ὁ ἄρα ΕΑ τοῦ ΑΓ πολλαπλάσιος κατὰ τὸ πλῆθος τῶν ΑΓ, ΓΔ, ΔΕ· τὸ δὲ πλῆθος τῶν ΑΓ, ΓΔ, ΔΕ τοῦ πλήθους τῶν ΑΒ, ΒΓ, ΒΔ, ΒΕ μονάδι ἔλασσόν ἐστιν· ὥστε τὸ ΕΑ τοῦ ΑΓ πολλαπλάσιόν ἐστι κατὰ τὸν μονάδι ἐλάσσονα τοῦ πλήθους τῶν ΑΒ, ΒΓ, ΒΔ, ΒΕ· καὶ ἔστιν ὁ μὲν ΑΕ ὑπεροχὴ τοῦ μεγίστου καὶ τοῦ ἐλαχίστου, ὁ δὲ ΑΓ ἐστὶν αὐτῶν μία ὑπεροχή.

[456]

γ.

   Ἐὰν ὦσιν ἀριθμοὶ ὁποσοιοῦν ἐν ἴσῃ ὑπεροχῇ, ὁ μέγιστος καὶ ὁ ἐλάχιστος συντεθέντες καὶ πολλαπλασιασθέντες ἐπὶ τὸ πλῆθος αὐτῶν ποιοῦσιν ἀριθμὸν διπλάσιον τοῦ συγκειμένου ἐκ τῶν ἐκτεθέντων.

   Ἔστωσαν γὰρ ἀριθμοὶ ὁποσοιοῦν, οἱ Α, Β, Γ, Δ, Ε, Ζ ἐν ἴσῃ ὑπεροχῇ· δεικτέον ὅτι συναμφότερος ὁ Α. Ζ, πολλαπλασιασθεὶς ἐπὶ τὸ πλῆθος τῶν Α, Β, Γ, Δ, Ε, Ζ, ποιεῖ τινα ἀριθμόν, ὅς ἐστι διπλασίων τοῦ συγκειμένου ἐκ τῶν Α, Β, Γ, Δ, Ε, Ζ.

   Τὸ γὰρ πλῆθος τῶν Α, Β, Γ, Δ, Ε, Ζ ἤτοι ἄρτιόν ἐστιν ἢ περισσόν.

   Ἔστω πρότερον ἄρτιον, καὶ ὅσοι εἰσὶν οἱ ἐκτεθέντες, τοσαῦται μονάδες ἔστωσαν ἐν τῷ ΗΘ ἀριθμῷ· ὥστε ἄρτιός ἐστιν ὁ ΗΘ. τετμήσθω δίχα τῷ Κ, καὶ διῃρήσθω ὁ ΗΚ εἰς τὰς ἐν αὐτῷ μονάδας κατὰ τὰ Λ, Μ.

   Καὶ ἐπεὶ ᾧ ὑπερέχει ὁ Ζ τοῦ Δ, τούτῳ ὑπερέχει καὶ ὁ Γ τοῦ Α, συναμφότερος ἄρα ὁ Ζ. Α συναμφοτέρῳ τῷ Γ. Δ ἴσος ἐστίν. ἀλλὰ συναμφότερος ὁ Ζ. Α ἴσ. τῷ ὑπὸ συναμφοτέρου τοῦ Ζ. Α καὶ τοῦ ΗΛ· ὥστε καὶ ὁ Γ. Δ ἴσ. τῷ ὑπὸ συναμφοτέρου τοῦ Ζ. Α καὶ τοῦ ΛΜ· διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ συναμφότερος ὁ Ε. Β ἴσ. τῷ ὑπὸ συναμφοτέρου τοῦ Ζ. Α καὶ τοῦ ΜΚ· ὥστε καὶ ὁ συγκείμενος ἐκ τῶν Α, Β, Γ, Δ, Ε, Ζ ἴσ. τῷ ὑπὸ συναμφοτέρου τοῦ Ζ. Α καὶ τοῦ ΗΚ· τοῦ δὲ [458] ὑπὸ συναμφοτέρου τοῦ Ζ. Α καὶ τοῦ ΗΚ διπλασίων ἐστὶν ὁ ὑπὸ συναμφοτέρου τοῦ Ζ. Α καὶ τοῦ ΗΘ· ὥστε καὶ τοῦ συγκειμένου ἐκ τῶν Α, Β, Γ, Δ, Ε, Ζ διπλασίων ἐστὶν ὁ ὑπὸ συναμφοτέρου τοῦ Ζ. Α καὶ τοῦ ΗΘ, τουτέστι τοῦ πλήθους τῶν Α, Β, Γ, Δ, Ε, Ζ. Ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

   Τῶν αὐτῶν ὑποκειμένων, ἔστω ὁ τῶν Α, Β, Γ, Δ, Ε περισσός, καὶ ἔστωσαν ἐν τῷ ΖΗ τοσαῦται μονάδες ὅσοι εἰσὶν οἱ Α, Β, Γ, Δ, Ε. περισσὸς ἄρα ἐστὶν καὶ ὁ ΖΗ· κείσθω ἐν αὐτῷ μονὰς ὁ ΖΘ, καὶ τετμήσθω ὁ ΘΗ δίχα τῷ Κ, καὶ τετμήσθω ὁ ΘΚ εἰς τὰς ἐν αὐτῷ μονάδας κατὰ τὸ Λ.

   Καὶ ἐπεὶ ᾧ ὑπερέχει ὁ Ε τοῦ Γ, τούτῳ ὑπερέχει καὶ ὁ Γ τοῦ Α, συναμφότερος ἄρα ὁ Ε. Α διπλασίων ἐστὶν τοῦ Γ, τουτέστι τοῦ ὑπὸ Γ καὶ τοῦ ΛΚ· διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ συναμφότερος ὁ Β. Δ διπλασίων ἐστὶ τοῦ ὑπὸ Γ καὶ ΛΘ· ὥστε οἱ Α, Ε, Β, Δ διπλασίονές εἰσιν τοῦ ὑπὸ Γ καὶ τοῦ ΘΚ· ἀλλὰ τοῦ ΘΚ διπλασίων ἐστὶν ὁ ΘΗ· ὥστε καὶ οἱ Α, Ε, Β, Δ ἴσοι εἰσὶν τῷ ὑπὸ τοῦ Γ καὶ τοῦ ΘΗ· ἔστιν δὲ καὶ ὁ Γ ἴσος τῷ ὑπὸ τοῦ Γ καὶ τοῦ ΘΖ· ὥστε ὁ συγκείμενος ἐκ τῶν Α, Β, Γ, Δ, Ε ἴσ. τῷ ὑπὸ ‹τοῦ› Γ καὶ τοῦ ΖΗ· τοῦ δὲ ὑπὸ τῶν Γ. ΖΗ διπλασίων ἐστὶν ὁ ὑπὸ συναμφοτέρου τοῦ Α. Ε καὶ τοῦ ΖΗ· ὥστε καὶ τοῦ συγκει[0]μένου [460] ἐκ τῶν Α, Β, Γ, Δ, Ε διπλασίων ἐστὶν ὁ ὑπὸ συναμφοτέρου τοῦ Α. Ε καὶ τοῦ ΖΗ, τουτέστιν τοῦ πλήθους τῶν ἐκτεθέντων. Ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

δ.

   Ἐὰν ὦσιν ἀπὸ μονάδος ὁποσοιοῦν ἀριθμοὶ ἐν ἴσῃ ὑπεροχῇ, ὁ σύμπας πολυπλασιασθεὶς ἐπὶ τὸν ὀκταπλασίονα τῆς ὑπεροχῆς αὐτῶν, καὶ προσλαβὼν τὸν ἀπὸ τοῦ δυάδι ἐλάσσονος τῆς ὑπεροχῆς αὐτῶν τετράγωνον, γίνεται τετράγωνος οὗ ἡ πλευρὰ λιποῦσα δυάδα πολλαπλάσιος ἔσται τῆς ὑπεροχῆς αὐτῶν κατά τινα ἀριθμόν, ὃς προσλαβὼν μονάδα διπλασίων ἐστὶ τοῦ πλήθους τῶν ἐκκειμένων πάντων σὺν τῇ μονάδι.

   Ἔστωσαν γὰρ ἀπὸ μονάδος ἀριθμοὶ ἐν ἴσῃ ὑπεροχῇ, οἱ ΑΒ, ΓΔ, ΕΖ· λέγω ὅτι γίνεται τὸ προκείμενον.

   Ὅσοι γάρ εἰσιν οἱ ἐκτεθέντες σὺν τῇ μονάδι, τοσαῦται μονάδες ἔστωσαν ἐν τῷ ΗΘ· καὶ ἐπεὶ ἡ ὑπεροχὴ ᾗ ὑπερέχει ὁ ΕΖ μονάδος, τῆς ὑπεροχῆς ᾗ ὑπερέχει ὁ ΑΒ ‹μονάδος›, πολλαπλάσιός ἐστι κατὰ τὸν μονάδι ἐλάσσονα τοῦ ΗΘ, ἐὰν ἄρα θῶμεν ἕκαστον μονάδος τὸν ΑΚ, ΕΛ, ΗΜ, ἕξομεν τὸν ΛΖ τοῦ ΚΒ πολλαπλάσιον κατὰ τὸν ΜΘ· ὥστε ὁ ΛΖ ἴσος ἐστὶ τῷ ὑπὸ ΚΒ. ΜΘ· καὶ ἐὰν θῶμεν δυάδος τὸν ΚΝ, ζητή[0]σομεν [462] εἰ ὁ σύμπας πολυπλασιασθεὶς ἐπὶ η τοὺς ΚΒ, (ὅς ἐστιν ὑπεροχὴ αὐτῶν), καὶ προσλαβὼν τὸν ἀπὸ τοῦ ΝΒ, (ὄντος δυάδι ἐλάσσονος τῆς ὑπεροχῆς αὐτῶν), γίνεται τετράγωνος, οὗ ἡ πλευρὰ λιποῦσα δυάδα ποιεῖ τινα ἀριθμόν, ὃς τῆς ὑπεροχῆς αὐτῶν, τοῦ ΚΒ, πολλαπλάσιός ἐστι κατὰ συναμφότερον τὸν ΗΘ. ΘΜ.

   Καὶ ἐπεὶ ὁ σύμπας ἥμισύς ἐστιν τοῦ ὑπὸ συναμφοτέρου τῶν ΖΕ, ΕΛ καὶ τοῦ ΘΗ, ‹διαιρεῖται δὲ ὁ ὑπὸ συναμφοτέρου τῶν ΖΕ. ΕΛ καὶ τοῦ ΘΗ› εἴς τε τὸν ὑπὸ ΛΖ. ΗΘ, καὶ εἰς τὸν δὶς ὑπὸ ΕΛ. ΗΘ, τουτέστι β τοὺς ΗΘ, πάλιν ἄρα ὁ σύμπας ‹ἥμισύς› ἐστι τοῦ ὑπὸ ΛΖ. ΗΘ καὶ β τῶν ΗΘ. ἀλλὰ ὁ ΛΖ ἴσος ἐδείχθη τῷ ὑπὸ ΚΒ. ΜΘ καὶ ὁ ὑπὸ ΛΖ. ΗΘ ἄρα ἴσ. τῷ ὑπὸ ΚΒ. ΜΘ. ΗΘ στερεῷ, καὶ ὁ σύμπας ἄρα ἐστὶν ἥμισυς τοῦ τε ὑπὸ ΚΒ. ΜΘ. ΘΗ στερεοῦ καὶ β τῶν ΗΘ.

   Ἐὰν ἄρα τέμωμεν τὸν ΜΘ δίχα κατὰ τὸ Ξ, ἕξομεν τὸν ἐκ πάντων συγκείμενον ἴσον τῷ ἐκ τῶν ΚΒ. ΗΘ. ΘΞ στερεῷ καὶ ἑνὶ τῷ ΗΘ· ζητήσομεν ἄρα εἰ ὁ ἐκ τῶν ΚΒ. ΗΘ. ΘΞ στερεὸς μετὰ τοῦ ΘΗ, πολλαπλασιασθεὶς ἐπὶ η τοὺς ΚΒ καὶ προσλαβὼν τὸν ἀπὸ τοῦ ΝΒ □^ον, γίνεται □^ος.

   Ἀλλὰ ὁ ἐκ τῶν ΚΒ. ΗΘ. ΘΞ στερεὸς πολλαπλασιασθεὶς ἐπὶ ἕνα τὸν ΚΒ, ποιεῖ τὸν ὑπὸ ΗΘ. ΘΞ ἐπὶ τὸν ἀπὸ τοῦ ΚΒ ον· ὥστε καὶ ὁ ἐκ τῶν ΚΒ. ΗΘ. ΘΞ [464] στερεὸς πολλαπλασιασθεὶς ἐπὶ η τοὺς ΚΒ, ποιεῖ τὸν ὑπὸ ΗΘ. ΘΞ ἐπὶ η τοὺς ἀπὸ ΚΒ ους, τουτέστι τὸν η^κις ὑπὸ ΗΘ. ΘΞ ἐπὶ τὸν ἀπὸ τοῦ ΚΒ □^ον, τουτέστι τὸν δ^κις ὑπὸ ΗΘ. ΘΜ ἐπὶ τὸν ἀπὸ τοῦ ΚΒ □^ον.

   ‹Εἰ› προσλαβὼν τὸν ΗΘ ἐπὶ η τοὺς ΚΒ, καὶ ἔτι τὸν ἀπὸ τοῦ ΝΒ □^ον, γίνεται □^ος; ὁ δὲ ΗΘ πολλαπλασιασθεὶς ἐπὶ η τοὺς ΚΒ ποιεῖ τὸν η^κις ὑπὸ τῶν ΗΘ. ΒΚ· οὐκοῦν πάλιν εἰ ὁ ^δκις ὑπὸ ΗΘ. ΘΜ ἐπὶ τὸν ἀπὸ τοῦ ΚΒ ον, μετὰ τοῦ η^κις ὑπὸ ΗΘ. ΚΒ, καὶ ὁ ἀπὸ τοῦ ΝΒ ος, γίνεται ος;

   Διαιρεῖται δὲ ὁ η^κις ὑπὸ ΗΘ. ΚΒ εἴς τε τὸν ^δκις ὑπὸ ΗΜ. ΚΒ καὶ εἰς τὸν δ^κις ὑπὸ συναμφοτέρου τοῦ ΗΘ. ΘΜ ‹καὶ τοῦ ΚΒ· εἰ ἄρα ὁ δ^κις ὑπὸ ΗΘ. ΘΜ› ἐπὶ τὸν ἀπὸ τοῦ ΚΒ ον, μετὰ τοῦ δ^κις ὑπὸ ΗΜ. ΚΒ, καὶ ὁ δ^κις ὑπὸ συναμφοτέρου τοῦ ΗΘ. ΘΜ καὶ τοῦ ΚΒ, καὶ ὁ ἀπὸ ΝΒ, ποιεῖ □^ον;

   Ἀλλὰ ὁ δ^κις ὑπὸ ΗΜ. ΚΒ ἴσ. τῷ δὶς ὑπὸ ΝΚ. ΚΒ, καὶ μιγεὶς τῷ ἀπὸ ΝΒ, ποιεῖ τοὺς ἀπὸ ΚΒ, ΚΝ ους· εἰ ἄρα καὶ ὁ δ^κις ὑπὸ ΘΗ. ΘΜ ἐπὶ τὸν ἀπὸ τοῦ ΚΒ □^ον, καὶ ὁ δ^κις ὑπὸ συναμφοτέρου τοῦ ΗΘ. ΘΜ καὶ τοῦ ΚΒ, μετὰ τῶν ἀπὸ ΒΚ, ΚΝ ων, γίνεται ος;

   Πάλιν δὲ ὁ ἀπὸ τοῦ ΒΚ □^ος μεταβαίνει εἰς τὸν ἀπὸ τοῦ ΗΜ □^ον ἐπὶ τὸν ἀπὸ τοῦ ΚΒ □^ον, καὶ μιγεὶς οὗτος τῷ δ^κις ὑπὸ ΗΘ. ΘΜ ἐπὶ τὸν ἀπὸ τοῦ ΚΒ □^ον, ‹ποιεῖ τὸν ἀπὸ συναμφοτέρου τοῦ ΗΘ. ΘΜ ἐπὶ τὸν ἀπὸ τοῦ ΚΒ □^ον›· εἰ ἄρα καὶ ὁ ἀπὸ συναμφοτέρου τοῦ ΗΘ. ΘΜ ἐπὶ τὸν ἀπὸ τοῦ ΚΒ ον, καὶ ὁ δ^κις ὑπὸ συναμφοτέρου τοῦ ΗΘ. ΘΜ καὶ τοῦ ΚΒ, μετὰ τοῦ ἀπὸ [τοῦ] ΚΝ, γίνεται □^ος;

[466]    Ἐὰν δὴ θῶμεν τῷ ὑπὸ συναμφοτέρου τοῦ ΗΘ. ‹ΘΜ› καὶ τοῦ ΚΒ ἴσον τὸν Νξ ἀριθμόν, ἔσται καὶ ὁ ἀπὸ συναμφοτέρου τοῦ ΗΘ. ΘΜ □^ος ἐπὶ τὸν ἀπὸ τοῦ ΚΒ □^ον ἴσος τῷ ἀπὸ τοῦ Νξ ῳ· ὅπερ ἑξῆς δειχθήσεται· εἰ ἄρα οἱ ἀπὸ τῶν ξΝ, ΝΚ οι, μετὰ τοῦ ^δκις ὑπὸ συναμφοτέρου τοῦ ΗΘ. ΘΜ καὶ τοῦ ΚΒ, γίνεται □^ος;

   Ἀλλὰ ὁ δ^κις ὑπὸ ‹συναμφοτέρου τοῦ› ΗΘ. ΘΜ καὶ τοῦ ΚΒ, ἴσ. ^δκις τῷ Νξ, ἐπείπερ καὶ ὁ ἅπαξ τῷ ὑπὸ συναμφοτέρου τοῦ ΗΘ. ΘΜ καὶ τοῦ ΚΒ ἴσος ἐτέθη ὁ Νξ· δ δὲ οἱ Νξ ἴσ. τῷ δὶς ὑπὸ Νξ, ΝΚ· (δυὰς γὰρ ἐτέθη ὁ ΝΚ)· εἰ ἄρα καὶ οἱ ἀπὸ τῶν Νξ, ΝΚ οι, μετὰ τοῦ δὶς ὑπὸ Νξ, ΝΚ, ποιοῦσι □^ον;

   Ποιοῦσι δὲ τὸν ἀπὸ τοῦ ξΚ, οὗ ἡ πλευρὰ ἡ ξΚ, λιποῦσα δυάδα τῆς ΝΚ, ποιεῖ τινα ἀριθμὸν τὸν Νξ, ὃς τῆς ὑπεροχῆς αὐτῶν, τοῦ ΚΒ, πολλαπλάσιός ἐστι κατὰ τὸν συναμφότερον τοῦ ΗΘ. ΘΜ, ὃς προσλαβὼν μονάδα, τὸν ΗΜ, ‹διπλάσιός› ἐστι τοῦ ἐκτεθέντος παντὸς συστήματος.

Τὸ ὑπερτεθὲν δεῖξαι.

   Ἔστω συναμφοτέρῳ τῷ ΗΘ. ΘΜ ἴσος ὁ Α, τῷ δὲ ΚΒ ἴσος ὁ Β, τῷ δὲ ὑπὸ συναμφοτέρου τοῦ ΗΘ. ΘΜ καὶ τοῦ ΚΒ ἴσος ὁ Γ· λέγω ὅτι καὶ ὁ ἀπὸ συναμφοτέρου τοῦ ΗΘ. ΘΜ (τουτέστιν ὁ ἀπὸ τοῦ Α), ἐπὶ τὸν ἀπὸ τοῦ ΚΒ (τουτέστιν ἐπὶ τὸν ἀπὸ τοῦ Β), ἴσ. τῷ ἀπὸ τοῦ Γ.

[468]    Κείσθω τοῖς Α, Β ἴσοι ἐπ' εὐθείας οἱ ΔΕ, ΕΖ, καὶ ἀναγεγράφθω ἀπ' αὐτῶν τετράγωνα τὰ ΔΘ, ΕΛ, καὶ συμπεπληρώσθω τὸ ΘΖ παραλληλόγραμμον.

   Ὡς ἄρα ἡ ΔΕ πρὸς ΕΖ, οὕτως τὸ ΔΘ πρὸς ΖΘ παραλληλόγραμμον· ὡς δὲ ἡ ΘΕ πρὸς ΕΚ, οὕτως τὸ ΘΖ παραλληλόγραμμον πρὸς ΕΛ· τὸ ἄρα ΘΖ παραλληλόγραμμον μέσον ἀνάλογόν ἐστι τῶν ΔΘ. ΚΖ ων· τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΔΘ. ΖΚ ων ἴσ. τῷ ἀπὸ τοῦ ΘΖ παραλληλογράμμου· καὶ ἔστι τὸ μὲν ΔΘ ἴσον τῷ ἀπὸ συναμφοτέρου τοῦ ΗΘ. ΘΜ, τὸ δὲ ΖΚ ον ἴσον τῷ ἀπὸ τοῦ ΚΒ, τὸ δὲ ΘΖ παραλληλόγραμμον ἴσον τῷ Νξ. καὶ τὸ ἄρα ἀπὸ συναμφοτέρου τοῦ ΗΘ. ΘΜ ον ἐπὶ τὸ ἀπὸ τοῦ ΚΒ ον ἴσ. τῷ ἀπὸ τοῦ Νξ τετραγώνῳ.

   Τῶν προκειμένων ὄντων, λέγομεν ὅτι, ἐὰν ὦσιν ἀριθμοὶ ἀπὸ μονάδος ὁποσοιοῦν ἐν οἱᾳοῦν ὑπεροχῇ, ὁ σύμπας πολύγωνός ἐστι· καὶ γὰρ ἔχει γωνίας τοσαύτας, ὅσος ἐστὶν ὁ δυάδι μείζων τῆς ὑπεροχῆς αὐτῶν, πλευρά τε αὐτοῦ ἐστι τὸ πλῆθος τῶν ἐκτεθέντων σὺν τῇ μονάδι.

[470]    Ἐπεὶ γὰρ ἐδείξαμεν τὸν σύμπαντα τῶν ἐκκειμένων πάντων, γενόμενον ἐπὶ η τοὺς ΚΒ, καὶ προσλαβόντα τὸν ἀπὸ τοῦ ΝΒ ον, ποιοῦντα τὸν ἀπὸ τοῦ ξΚ ον, ἀλλὰ καὶ ἐὰν ἄλλην μονάδα θῶμεν τὴν ΑΟ, ἕξομεν τὴν ΚΟ δυάδα, καὶ ἔστιν δὲ ὁμοίως καὶ ὁ ΚΝ δυάς· ἔσονται ἄρα οἱ ΟΒ, ΒΚ, ΒΝ τῷ ἴσῳ ἀλλήλων ὑπερέχοντες· ὁ ἄρα ηκις ὑπὸ τοῦ μεγίστου τοῦ ΟΒ καὶ τοῦ μέσου τοῦ ΒΚ, προσλαβὼν τὸν ἀπὸ τοῦ ἐλαχίστου τοῦ ΒΝ □^ον, ποιεῖ □^ον πλευρὰν ἔχοντα τὸν συγκείμενον ἔκ τε τοῦ μεγίστου τοῦ ΟΒ καὶ β τῶν μέσων τῶν ΒΚ· καὶ ὁ ΟΒ ἄρα πολλαπλασιασθεὶς ἐπὶ η τοὺς ΚΒ, καὶ προσλαβὼν τὸν ἀπὸ τοῦ ΝΒ □^ον, ἴσ. τῷ ἀπὸ συναμφοτέρου τοῦ τε ΟΒ καὶ β τῶν ΚΒ, καὶ ἡ πλευρὰ λιποῦσα δυάδα, τὸν ΟΚ, καταλείψει γ τοὺς ΚΒ, οἵ εἰσιν τοῦ ΚΒ πολλαπλάσιοι κατὰ τριάδα· ἡ δὲ τριάς, προσλαβοῦσα μονάδα, βπλ. ἐστὶ τῆς δυάδος.

   Ἐπεὶ οὖν ὁ σύμπας τῶν ἐκκειμένων σὺν τῇ μονάδι τὸ αὐτὸ πρόβλημα ποιεῖ τῷ ΟΒ, ὁ δὲ ΟΒ ὢν τυχὼν καὶ πολύγωνός ἐστιν αος ἀπὸ τῆς μονάδος (ἐπείπερ μονάς ἐστιν ὁ ΑΟ, ὁ δὲ β^ός ἐστιν ἀριθμὸς ὁ ΑΒ), καὶ ἔχει πλευρὰν δυάδα· ὥστε καὶ ὁ σύμπας τῶν ἐκκειμένων πολύγωνός ἐστιν ἰσογώνιος τῷ ΟΒ, ἔχων γωνίας τοσαύτας ὅσος ἐστὶν ὁ δυάδι μείζων, τῇ ΟΚ, τῆς ὑπεροχῆς αὐτῶν τοῦ ΚΒ· καὶ πλευρὰν ἔχει τὸν ΗΘ, ὅς ἐστι τὸ πλῆθος τῶν ἐκτεθέντων σὺν τῇ μονάδι.

   Καὶ ἀπεδείχθη τὸ παρὰ Ὑψικλεῖ ἐν ὅρῳ λεγόμενον, ὅτι, 'ἐὰν ὦσιν ἀριθμοὶ ἀπὸ μονάδος ἐν ἴση ὑπεροχῇ ὁποσοιοῦν, μονάδος μενούσης τῆς ὑπεροχῆς, ὁ σύμπας [472] ἐστὶν ‹τρίγωνος, δυάδος δέ›, τετράγωνος, τριάδος δέ, πεντάγωνος· λέγεται δὲ τὸ πλῆθος τῶν γωνιῶν κατὰ τὸν δυάδι μείζονα τῆς ὑπεροχῆς, πλευραὶ δὲ αὐτῶν τὸ πλῆθος τῶν ἐκτεθέντων σὺν τῇ μονάδι.'

   Ὅθεν, ἐπεὶ οἱ τρίγωνοι μονάδος οὔσης τῆς ὑπεροχῆς γίνονται, καὶ πλευραὶ αὐτῶν εἰσιν οἱ μέγιστοι τῶν ἐκτιθεμένων, καὶ ὁ ὑπὸ τοῦ μεγίστου τῶν ἐκτιθεμένων καὶ τοῦ μονάδι μείζονος αὐτοῦ, διπλασίων ἐστὶ τοῦ σημαινομένου τριγώνου· καὶ ἐπεὶ ὁ ΟΒ ὢν τοσαῦται γωνίαι ὅσαι εἰσὶν ἐν αὐτῷ μονάδες, πολλαπλασιασθεὶς ἐπὶ τὸν ηπλ. τοῦ δυάδι ἐλάσσονος (τουτέστιν τοῦ τῆς ὑπεροχῆς· ἐπὶ τὸν ηκις ἔσται τὸν ΚΒ), ‹καὶ› προσλαβὼν τὸν ἀπὸ τοῦ τετράδι ἐλάσσονος (τουτέστι τὸν ἀπὸ τοῦ ΝΒ), ποιεῖ □^ον· οὗτος ἔσται ὅρος τῶν πολυγώνων ὅτι·

   Πᾶς πολύγωνος πολλαπλασιασθεὶς ἐπὶ τὸν η^πλ. τοῦ δυάδι ἐλάσσονος τοῦ πλήθους τῶν γωνιῶν, καὶ προσλαβὼν τὸν ἀπὸ τοῦ τετράδι ἐλάσσονος τοῦ πλήθους τῶν γωνιῶν, ποιεῖ τετράγωνον.

   Συναποδειχθέντος οὖν καὶ τοῦ Ὑψικλέους ὅρου καὶ τούτου τῶν πολυγώνων, ἑξῆς ἐστι δεικνύναι πῶς δοθείσης πλευρᾶς ὁ ἐπιταχθεὶς πολύγωνος εὑρίσκεται.

   Ἔχοντες γὰρ πλευρὰν δοθεῖσαν τινὸς πολυγώνου τὸν ΗΘ, ἔχοντες δὲ καὶ τὸ πλῆθος αὐτοῦ τῶν γωνιῶν, ἔχομεν καὶ τὴν ΚΒ δοθέντων. ὥστε καὶ τὸν ὑπὸ συναμφοτέρου τοῦ ΗΘ. ΘΜ καὶ τοῦ ΚΒ ἕξομεν δοθέντα, [474] ὅς ἐστιν ἴσος τῷ Νξ· ὥστε ἕξομεν καὶ τὸν Κξ δοθέντα, ἐπείπερ δυάς ἐστιν ὁ ΝΚ· ὥστε καὶ τὸν ἀπὸ τοῦ Κξ ἕξομεν δοθέντα, καὶ ἀπὸ τούτου ἀφελόντες τὸν ἀπὸ τοῦ ΝΒ ον ὄντα δοθέντα, ἕξομεν καὶ τὸν λοιπὸν δοθέντα, ὅς ἐστιν τοῦ ζητουμένου πολυγώνου πολλαπλασίων κατὰ τὸν ὀκταπλάσιον τοῦ ΚΒ· ὥστε εὑρετός ἐστιν ὁ ζητούμενος πολύγωνος.

   Ὁμοίως δὲ καὶ πολυγώνου δοθέντος εὑρήσομεν τὴν πλευρὰν αὐτοῦ τὸν ΗΘ. ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

   Διδασκαλικώτερον δὲ ὑποδείξομεν καὶ τοῖς βουλομένοις εὐχερῶς ἀκούειν τὰ ζητούμενα διὰ μεθόδων.

   Λαβόντες γὰρ τὴν πλευρὰν τοῦ πολυγώνου, ἀεὶ διπλασιάσαντες, ἀφελοῦμεν μονάδα, καὶ τὸν λοιπὸν πολλαπλασιάσαντες ἐπὶ τὸν δυάδι ἐλάσσονα τοῦ πλήθους τῶν γωνιῶν, καὶ τῷ γενομένῳ προσθήσομεν ἀεὶ δυάδα, καὶ λαβόντες τὸν ἀπὸ τοῦ γενομένου ον, ἀφελοῦμεν ἀπ' αὐτοῦ τὸν ἀπὸ τοῦ τετράδι ἐλάσσονος τοῦ πλήθους τῶν γωνιῶν, καὶ τὸν λοιπὸν μερίσαντες εἰς τὸν η^πλ. τοῦ δυάδι ἐλάσσονος τοῦ πλήθους τῶν γωνιῶν, εὑρήσομεν τὸν ζητούμενον πολύγωνον.

   Πάλιν δὲ αὐτοῦ τοῦ πολυγώνου δοθέντος, εὑρήσομεν οὕτως τὴν πλευράν· πολλαπλασιάσαντες γὰρ αὐτὸν ἐπὶ τὸν ηπλ. τοῦ δυάδι ἐλάσσονος τοῦ πλήθους τῶν γωνιῶν, καὶ τῷ γενομένῳ προσθέντες τὸν ἀπὸ τοῦ τετράδι ἐλάσσονος τοῦ πλήθους τῶν γωνιῶν ον, εὑρήσομεν ον, ἐάνπερ ᾖ ὁ ἐπιταχθεὶς πολύγωνος· τούτου δὲ τοῦ τετραγώνου ἀπὸ τῆς πλευρᾶς ἀφελόντες ἀεὶ δυάδα, τὸν λοιπὸν μερίσομεν ἐπὶ τὸν δυάδι ἐλάσσονα [476] τοῦ πλήθους τῶν γωνιῶν, καὶ τῷ γενομένῳ προσθέντες μονάδα, καὶ τοῦ γενομένου λαβόντες τὸ ἥμισυ, ἕξομεν τὴν τοῦ ζητουμένου πολυγώνου πλευράν.

   [Δοθέντος ἀριθμοῦ εὑρεῖν ποσαχῶς δύναται εἶναι πολύγωνος.

   Ἔστω ὁ δοθεὶς ἀριθμὸς ὁ ΑΒ, πλῆθος δὲ αὐτοῦ γωνιῶν ὁ ΒΓ, καὶ κείσθω ἐν τῷ ΒΓ δυὰς μὲν ὁ ΓΔ, τετρὰς δὲ ὁ ΓΕ· καὶ ἐπεὶ ὁ ΑΒ ὢν πολύγωνος ἔχει γωνίας τοσαύτας ὅσος ἐστὶν ὁ ΒΓ, ὁ ἄρα ηκις ὑπὸ ΑΒ. ΒΔ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΒΕ ποιεῖ □^ον.

   Ἔστω αὐτοῦ πλευρὰ ὁ ΖΗ· ὥστε ὁ ἀπὸ τοῦ ΖΗ □^ος ἴσ. τῷ τε ηκις ὑπὸ ΑΒ. ΒΔ καὶ τῷ ἀπὸ ΒΕ ῳ. κείσθω ἐν τῷ ΑΒ Μο ὁ ΑΘ, καὶ διῄρηται ὁ ηκις ὑπὸ ΑΒ. ΒΔ εἴς τε τὸν ^δκις ὑπὸ ΑΘ. ΒΔ καὶ εἰς τὸν ^δκις ὑπὸ συναμφοτέρου τοῦ ΑΒ. ΒΘ ‹καὶ τοῦ ΒΔ. κείσθω ἴσος συναμφοτέρῳ τῷ ΑΒ. ΒΘ› ^δκις ὁ ΔΚ, καὶ μεταβησόμεθα τὸν μὲν ^δκις ὑπὸ συναμφοτέρου τοῦ ΑΒ. ΒΘ καὶ τοῦ ΒΔ εἰς τὸν ὑπὸ ΚΔΒ, τὸν δὲ ^δκις ὑπὸ ΑΘ. ΒΔ εἰς τὸν δὶς ὑπὸ ΒΔ. ΔΕ (δυὰς γάρ ἐστιν ὁ ΕΔ)· καὶ ὁ ἀπὸ τοῦ ΖΗ ἄρα □^ος ἴσ. τῷ τε ὑπὸ ΚΔΒ καὶ τῷ δὶς ὑπὸ ΒΔ, ΔΕ καὶ τῷ ἀπὸ ΒΕ □^ῳ.

   Ἀλλὰ τῷ δὶς ὑπὸ ΒΔΕ καὶ τῷ ἀπὸ ΒΕ ῳ ἴσ. οἱ ἀπὸ τῶν ΒΔ, ΔΕ οι· καὶ ὁ ἀπὸ τοῦ ΖΗ ἄρα □^ος ἴσ. τῷ τε ὑπὸ ΚΔΒ καὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΒΔ, ΔΕ οις. [478] τῷ δὲ ὑπὸ ΚΔΒ καὶ τῷ ‹ἀπὸ› ΒΔ ἴσ. τὸ ὑπὸ ΚΒΔ· καὶ ὁ ἀπὸ τοῦ ΖΗ ἄρα ἴσ. τῷ τε ὑπὸ ΚΒΔ καὶ τῷ ἀπὸ ΔΕ ῳ.

   Καὶ ἐπεὶ ὁ ΔΚ, ἴσος ὢν ^δκις συναμφοτέρῳ τῷ ΑΒ. ΒΘ, μείζων ἐστὶ δ^κις τοῦ ΑΘ, τουτέστι τετράδος, ὧν ὁ ΔΓ ἐστὶ δυάς, λοιπὸς ἄρα ὁ ΓΚ μείζων δυάδος τοῦ ΓΔ· ἡ ἄρα διχοτομία τοῦ ΔΚ πεσεῖται μεταξὺ τοῦ ΓΚ· ἔστω τὸ Λ. καὶ μεταβησόμεθα τὸν ὑπὸ ΚΒ. ΒΔ εἰς τὴν τῶν ἀπὸ ΒΛ, ΛΔ ὑπεροχήν, ἐπείπερ ἡ ΔΚ τέτμηται δίχα κατὰ τὸ Λ, πρόσκειται δὲ ἡ ΔΒ· καὶ ἔστιν τὸ ὑπὸ ΚΒΔ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΔΛ ἴσ. τῷ ἀπὸ ΛΒ, καὶ τὸ ἀπὸ ΛΒ ἄρα τοῦ ἀπὸ ΛΔ ὑπερέχει τῷ ὑπὸ ΚΒΔ· καὶ ὁ ἀπὸ τοῦ ΖΗ ἄρα □^ος ἴσ. τῇ τε ἀπὸ τῶν ΒΛ, ΛΔ ὑπεροχῇ καὶ τῷ ἀπὸ ΔΕ □^ῳ.

   Κοινὸς προσκείσθω ὁ ἀπὸ ΔΛ· καὶ οἱ ἀπὸ τῶν ΖΗ, ΔΛ ἄρα ἴσοι οί εἰσιν τοῖς ἀπὸ τῶν ΒΛ, ΔΕ οις· ἐὰν δὲ δύο ἀριθμοὶ ὡς εἷς καὶ δυσὶν ἀριθμοῖς ἴσοι ὦσιν, καὶ ἐναλλὰξ αἱ ὑπεροχαὶ αὐτῶν ἴσαι· ἡ ἄρα τῶν ἀπὸ τῶν ΛΔ, ΔΕ ὑπεροχὴ ἴσ. τῇ τῶν ‹ἀπὸ τῶν› ΛΒ, ΖΗ ὑπεροχῇ· καὶ ἐπεὶ ὁ ΕΔ τῷ ΔΓ ἴσ., πρόσκειται δὲ ὁ ΓΛ, τὸ ἄρα ΕΛΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΓΔ ἴσ. τῷ ἀπὸ ΔΛ· ἡ ἄρα ἀπὸ τῶν ΛΔ, ΔΓ ὑπεροχή, τουτέστιν ἡ ‹τῶν› ἀπὸ τῶν ΛΔ, ΔΕ, ἥτις ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΕΛΓ, ἴσ. τῇ ‹τῶν› ἀπὸ τῶν ΛΒ, ΖΗ ὑπεροχῇ.

   Κείσθω τῷ ΒΛ ἴσος ὁ ΖΜ· (μείζων γάρ ἐστιν ὁ ΒΛ τοῦ ΖΗ, ἐπείπερ ἐδείχθη τὰ ἀπὸ ΖΗ, ΔΛ α [480] ἴσα τοῖς ἀπὸ ΒΛ, ΕΔ οις, λοιπὸν τὸ ἀπὸ ΔΛ μεῖζόν ἐστι τοῦ ἀπὸ ΔΕ, ἐπείπερ καὶ τοῦ ἀπὸ ΔΓ μεῖζόν ἐστι, ὥστε καὶ τὸ ἀπὸ ΒΛ τοῦ ἀπὸ ΖΗ μεῖζόν ἐστι· κείσθω οὖν τῷ ΒΛ ‹ἴσος› ὁ ΖΜ.) ἔσται δὴ καὶ ἡ τῶν ἀπὸ ΖΜ, ΖΗ ὑπεροχὴ ἴση τῷ ὑπὸ ΕΛ. ΛΓ.

   Καὶ ἐπεὶ ὁ ΔΚ δπλ. ἐστὶ συναμφοτέρου τοῦ ΑΒ. ΒΘ, ὁ δὲ ΔΚ δίχα τέτμηται κατὰ τὸ Λ, καὶ ὁ ΔΛ ἄρα β^πλ. ἐστὶ συναμφοτέρου τοῦ ΑΒ. ΒΘ· ὧν ὁ ΔΓ β^πλ. ἐστὶ τοῦ ΑΘ· λοιπὸς ἄρα ὁ ΛΓ βπλ. ἐστὶ β τῶν ΒΘ· δπλ. ἄρα ἐστὶν ὁ ΓΛ τοῦ ΘΒ, ὥστε δον μέρος ἐστὶν ὁ ΘΒ τοῦ ΛΓ· ἀλλὰ καὶ ἡ ΑΘ μονὰς δόν ἐστιν τῆς ΕΓ τετράδος· ὅλος ἄρα ὁ ΑΒ δόν ἐστι μέρος τοῦ ΕΛ. ἐδείχθη δὲ καὶ ὁ ΘΒ τοῦ ΛΓ μέρος δ^ον· τὸ ἄρα ὑπὸ ΑΒ. ΒΘ ιϚόν ἐστι τοῦ ὑπὸ ΕΛ. ΛΓ· τὸ ἄρα ὑπὸ ΕΛ. ΛΓ ἴσ. τῷ ιϚκις ὑπὸ ΑΒ. ΒΘ.

   Ἐδείχθη δὲ καὶ τὸ ὑπὸ ΕΛ. ΛΓ ἴσον τῇ τῶν ἀπὸ ΜΖ. ΖΗ ὑπεροχῇ· καὶ τὸ ιϚκις ἄρα ὑπὸ ΑΒ. ΒΘ ἴσ. τῇ τῶν ἀπὸ ΜΖ. ΖΗ ὑπεροχῇ, τουτέστι τῷ τε ἀπὸ ΜΗ καὶ τῷ δὶς ὑπὸ ΖΗ. ΗΜ· ὥστε ὁ ιϚκις ὑπὸ ΑΒ. ΒΘ ἴσ. τῷ τε ἀπὸ ΗΜ καὶ τῷ δὶς ὑπὸ ΖΗ. ΗΜ· ὥστε ἄρτιός ἐστιν ὁ ΗΜ· τετμήσθω δίχα κατὰ τὸ Ν] ..............