ΔΙΟΦΑΝΤΟΥ ΑΛΕΞΑΝΔΡΕΩΣ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΩΝ Α.

[2]   Τὴν εὕρεσιν τῶν ἐν τοῖς ἀριθμοῖς προβλημάτων, τιμιώτατέ μοι Διονύσιε, γινώσκων σε σπουδαίως ἔχοντα μαθεῖν, [ὀργανῶσαι τὴν μέθοδον] ἐπειράθην, ἀρξάμενος ἀφ' ὧν συνέστηκε τὰ πράγματα θεμελίων, ὑποστῆσαι τὴν ἐν τοῖς ἀριθμοῖς φύσιν τε καὶ δύναμιν.

   Ἴσως μὲν οὖν δοκεῖ τὸ πρᾶγμα δυσχερέστερον, ἐπειδὴ μήπω γνώριμόν ἐστιν, δυσέλπιστοι γὰρ εἰς κατόρθωσίν εἰσιν αἱ τῶν ἀρχομένων ψυχαί, ὅμως δ' εὐκατάληπτόν σοι γενήσεται, διά τε τὴν σὴν προθυμίαν καὶ τὴν ἐμὴν ἀπόδειξιν· ταχεῖα γὰρ εἰς μάθησιν ἐπιθυμία προσλαβοῦσα διδαχήν.

   Ἀλλὰ καὶ πρὸς τοῖσδε γινώσκοντί σοι πάντας τοὺς ἀριθμοὺς συγκειμένους ἐκ μονάδων πλήθους τινός, φανερὸν καθέστηκεν εἰς ἄπειρον ἔχειν τὴν ὕπαρξιν τυγχανόντων δὴ οὖν ἐν τούτοις

   ὧν μὲν τετραγώνων, οἵ εἰσιν ἐξ ἀριθμοῦ τινος ἐφ' ἑαυτὸν πολυπλασιασθέντος· οὗτος δὲ ὁ ἀριθμὸς καλεῖται πλευρὰ τοῦ τετραγώνου·

   ὧν δὲ κύβων, οἵ εἰσιν ἐκ τετραγώνων ἐπὶ τὰς αὐτῶν πλευρὰς πολυπλασιασθέντων,

[4]    ὧν δὲ δυναμοδυνάμεων, οἵ εἰσιν ἐκ τετραγώνων ἐφ' ἑαυτοὺς πολυπλασιασθέντων,

   ὧν δὲ δυναμοκύβων, οἵ εἰσιν ἐκ τετραγώνων ἐπὶ τοὺς ἀπὸ τῆς αὐτῆς αὐτοῖς πλευρᾶς κύβους πολυπλασιασθέντων,

   ὧν δὲ κυβοκύβων, οἵ εἰσιν ἐκ κύβων ἐφ' ἑαυτοὺς πολυπλασιασθέντων, ἔκ τε τῆς τούτων ἤτοι συνθέσεως ἢ ὑπεροχῆς ἢ πολυπλασιασμοῦ ἢ λόγου τοῦ πρὸς ἀλλήλους ἢ καὶ ἑκάστων πρὸς τὰς ἰδίας πλευρὰς συμβαίνει πλέκεσθαι πλεῖστα προβλήματα ἀριθμητικά· λύεται δὲ βαδίζοντός σου τὴν ὑποδειχθησομένην ὁδόν.

   Ἐδοκιμάσθη οὖν ἕκαστος τούτων τῶν ἀριθμῶν συντομωτέραν ἐπωνυμίαν κτησάμενος στοιχεῖον τῆς ἀριθμητικῆς θεωρίας εἶναι· καλεῖται οὖν ὁ μὲν τετράγωνος δύναμις καὶ ἔστιν αὐτῆς σημεῖον τὸ Δ ἐπίσημον ἔχον Υ, Δ^Υ δύναμις·

   ὁ δὲ κύβος καὶ ἔστιν αὐτοῦ σημεῖον Κ ἐπίσημον ἔχον Υ, Κ^Υ κύβος·

   ὁ δὲ ἐκ τετραγώνου ἐφ' ἑαυτὸν πολυπλασιασθέντος δυναμοδύναμις καὶ ἔστιν αὐτοῦ σημεῖον δέλτα δύο ἐπίσημον ἔχοντα Υ, Δ^Υ Δ δυναμοδύναμις·

   ὁ δὲ ἐκ τετραγώνου ἐπὶ τὸν ἀπὸ τῆς αὐτῆς αὐτῷ πλευρᾶς κύβου πολυπλασιασθέντος δυναμόκυβος καὶ ἔστιν αὐτοῦ σημεῖον τὰ ΔΚ ἐπίσημον ἔχοντα Υ, ΔΚ^Υ δυναμόκυβος·

   ὁ δὲ ἐκ κύβου ἑαυτὸν πολυπλασιάσαντος κυβόκυβος [6] καὶ ἔστιν αὐτοῦ σημεῖον δύο κάππα ἐπίσημον ἔχοντα Υ, Κ^ΥΚ κυβόκυβος.

   ὁ δὲ μηδὲν τούτων τῶν ἰδιωμάτων κτησάμενος, ἔχων δὲ ἐν ἑαυτῷ πλῆθος μονάδων ἀόριστον, ἀριθμὸς καλεῖται καὶ ἔστιν αὐτοῦ σημεῖον τὸ Ϛ.

   ἔστι δὲ καὶ ἕτερον σημεῖον τὸ ἀμετάθετον τῶν ὡρισμένων ἡ μονὰς καὶ ἔστιν αὐτῆς σημεῖον τὸ μ ἐπίσημον ἔχον τὸ Ο, Μ^ο

   Ὥσπερ δὲ τῶν ἀριθμῶν τὰ ὁμώνυμα μόρια παρομοίως καλεῖται τοῖς ἀριθμοῖς, τοῦ μὲν τρία τὸ τρίτον, τοῦ δὲ τέσσαρα τὸ τέταρτον, οὕτως καὶ τῶν νῦν ἐπονομασθέντων ἀριθμῶν τὰ ὁμώνυμα μόρια κληθήσεται παρομοίως τοῖς ἀριθμοῖς·

   τοῦ μὲν ἀριθμοῦ, τὸ ἀριθμοστόν,

   τῆς δὲ δυνάμεως, τὸ δυναμοστόν,

   τοῦ δὲ κύβου, τὸ κυβοστόν,

   τῆς δὲ δυναμοδυνάμεως, τὸ δυναμοδυναμοστόν,

   τοῦ δὲ δυναμοκύβου, τὸ δυναμοκυβοστόν,

   τοῦ δὲ κυβοκύβου, τὸ κυβοκυβοστόν·

ἕξει δὲ ἕκαστον αὐτῶν ἐπὶ τὸ τοῦ ὁμωνύμου ἀριθμοῦ σημεῖον ^x γραμμὴν διαστέλλουσαν τὸ εἶδος.

   Ἐκθέμενος οὖν σοι τὴν ἑκάστου τῶν ἀριθμῶν ἐπωνυμίαν, ἐπὶ τοὺς πολυπλασιασμοὺς αὐτῶν μεταβήσομαι· ἔσονται δέ σοι καταφανεῖς διὰ τὸ προδεδηλῶσθαι σχεδὸν διὰ τῆς ὀνομασίας.

[8]    Ἀριθμὸς μὲν ἐπὶ ἀριθμὸν πολυπλασιασθεὶς ποιεῖ δύναμιν,

   ἐπὶ δὲ δύναμιν, κύβον,

   ἐπὶ δὲ κύβον, δυναμοδύναμιν,

   ἐπὶ δὲ δυναμοδύναμιν, δυναμόκυβον,

   ἐπὶ δὲ δυναμόκυβον, κυβόκυβον.

Δύναμις δὲ ἐπὶ μὲν δύναμιν, δυναμοδύναμιν,

   ἐπὶ δὲ κύβον, δυναμόκυβον,

   ἐπὶ δὲ δυναμοδύναμιν, κυβόκυβον. Κύβος δὲ ἐπὶ κύβον, κυβόκυβον.

   Πᾶς δ' ἀριθμὸς ἐπὶ τὸ ὁμώνυμον αὐτοῦ μόριον πολυπλασιασθεὶς μονάδα ποιεῖ.

   Τῆς οὖν μονάδος ἀμεταθέτου οὔσης καὶ ἑστώσης ἀεί, τὸ πολυπλασιαζόμενον εἶδος ἐπ' αὐτὴν αὐτὸ τὸ εἶδος ἔσται.

   Τὰ δ' ὁμώνυμα μόρια ἐφ' ἑαυτὰ πολυπλασιαζόμενα ποιήσει ὁμώνυμα μόρια τοῖς ἀριθμοῖς·

   οἷον τὸ μὲν ἀριθμοστὸν

   ἐπὶ τὸ ἀριθμοστόν, δυναμοστὸν ποιεῖ,

   ἐπὶ δὲ δυναμοστόν, κυβοστόν,

   [ἐπὶ δὲ κυβοστόν, δυναμοδυναμοστόν,

   ἐπὶ δὲ δυναμοδυναμοστόν, δυναμοκυβοστόν,

   ἐπὶ δὲ τὸ δυναμοκυβοστόν, κυβοκυβοστόν,] καὶ τοῦτο ὁμωνύμως συμβήσεται.

[10] Ἀριθμοστὸν δὲ

   ἐπὶ μὲν δύναμιν, ἀριθμόν,

   ἐπὶ δὲ κύβον, δύναμιν,

   ἐπὶ δὲ δυναμοδύναμιν, κύβον,

   ἐπὶ δὲ δυναμόκυβον, δυναμοδύναμιν,

   ἐπὶ δὲ κυβόκυβον, δυναμόκυβον.

Δυναμοστὸν δὲ

   ἐπὶ μὲν ἀριθμόν, ἀριθμοστόν,

   ἐπὶ δὲ κύβον, ἀριθμόν,

   ἐπὶ δὲ δυναμοδύναμιν, δύναμιν,

   ἐπὶ δὲ δυναμόκυβον, κύβον,

   ἐπὶ δὲ κυβόκυβον, δυναμοδύναμιν.

Κυβοστὸν δὲ

   ἐπὶ μὲν ἀριθμόν, δυναμοστόν,

   ἐπὶ δὲ δύναμιν, ἀριθμοστόν,

   ἐπὶ δὲ δυναμοδύναμιν, ἀριθμόν,

   ἐπὶ δὲ δυναμόκυβον, δύναμιν,

   ἐπὶ δὲ κυβόκυβον. κύβον.

[12] Δυναμοδυναμοστὸν δὲ

   ἐπὶ μὲν ἀριθμόν, κυβοστόν,

   ἐπὶ δὲ δύναμιν, δυναμοστόν,

   ἐπὶ δὲ κύβον, ἀριθμοστόν,

   ἐπὶ δὲ δυναμόκυβον, ἀριθμόν,

   ἐπὶ δὲ κυβόκυβον, δύναμιν.

Δυναμοκυβοστὸν δὲ

   ἐπὶ μὲν ἀριθμόν, δυναμοδυναμοστόν,

   ἐπὶ δὲ δύναμιν, κυβοστόν,

   ἐπὶ δὲ κύβον, δυναμοστόν,

   ἐπὶ δὲ δυναμοδύναμιν, ἀριθμοστόν,

   ἐπὶ δὲ κυβόκυβον, ἀριθμόν.

Τὸ δὲ κυβοκυβοστὸν

   ἐπὶ μὲν ἀριθμόν, δυναμοκυβοστόν,

   ἐπὶ δὲ δύναμιν, δυναμοδυναμοστόν,

   ἐπὶ δὲ κύβον, κυβοστόν,

   ἐπὶ δὲ δυναμοδύναμιν, δυναμοστόν,

   ἐπὶ δὲ δυναμόκυβον, ἀριθμοστόν.

   Λεῖψις ἐπὶ λεῖψιν πολλαπλασιασθεῖσα ποιεῖ ὕπαρξιν, λεῖψις δὲ ἐπὶ ὕπαρξιν ποιεῖ λεῖψιν, καὶ τῆς λείψεως σημεῖον Ψ ἐλλιπὲς κάτω νεῦον, ⩚.

[14]    Καὶ τῶν πολλαπλασιασμῶν σοι σαφηνισθέντων, φανεροί εἰσιν οἱ μερισμοὶ τῶν προκειμένων εἰδῶν. καλῶς οὖν ἔχει ἐναρχόμενον τῆς πραγματείας συνθέσει καὶ ἀφαιρέσει καὶ πολλαπλασιασμοῖς τοῖς περὶ τὰ εἴδη γεγυμνάσθαι, καὶ πῶς εἴδη ὑπάρχοντα καὶ λείποντα μὴ ὁμοπληθῆ προσθῇς ἑτέροις εἴδεσιν, ἤτοι καὶ αὐτοῖς ὑπάρχουσιν, ἢ καὶ ὁμοίως ὑπάρχουσι καὶ λείπουσι, καὶ πῶς ἀπὸ ὑπαρχόντων εἰδῶν καὶ ἑτέρων λειπόντων ὑφέλῃς ἕτερα ἤτοι ὑπάρχοντα, ἢ καὶ ὁμοίως ὑπάρχοντα καὶ λείποντα.

   Μετὰ δὲ ταῦτα ἐὰν ἀπὸ προβλήματός τινος γένηται εἴδη τινὰ ἴσα εἴδεσι τοῖς αὐτοῖς, μὴ ὁμοπληθῆ δέ, ἀπὸ ἑκατέρων τῶν μερῶν δεήσει ἀφαιρεῖν τὰ ὅμοια ἀπὸ τῶν ὁμοίων, ἕως ἂν ἓν εἶδος ἑνὶ εἴδει ἴσον γένηται. ἐὰν δέ πως ἐν ὁποτέρῳ ἐνυπάρχῃ ἢ ἐν ἀμφοτέροις ἐν ἐλλείψεσί τινα εἴδη, δεήσει προσθεῖναι τὰ λείποντα εἴδη ἐν ἀμφοτέροις τοῖς μέρεσιν, ἕως ἂν ἑκατέρων τῶν μερῶν τὰ εἴδη ἐνυπάρχοντα γένηται, καὶ πάλιν ἀφελεῖν τὰ ὅμοια ἀπὸ τῶν ὁμοίων, ἕως ἂν ἑκατέρῳ τῶν μερῶν ἓν εἶδος καταλειφθῇ.

   Φιλοτεχνείσθω δὲ τοῦτο ἐν ταῖς ὑποστάσεσι τῶν προτάσεων, ἐὰν ἐνδέχηται, ἕως ἂν ἓν εἶδος ἑνὶ εἴδει ἴσον καταλειφθῇ· ὕστερον δέ σοι δείξομεν καὶ πῶς δύο εἰδῶν ἴσων ἑνὶ καταλειφθέντων τὸ τοιοῦτον λύεται.

   Νῦν δ' ἐπὶ τὰς προτάσεις χωρήσωμεν ὁδόν, πλείστην ἔχοντες τὴν ἐπ' αὐτοῖς τοῖς εἴδεσι συνηθροισμένην ὕλην. πλείστων δ' ὄντων τῷ ἀριθμῷ καὶ μεγίστων τῷ ὄγκῳ, καὶ διὰ τοῦτο βραδέως βεβαιουμένων ὑπὸ [16] τῶν παραλαμβανόντων αὐτὰ καὶ ὄντων ἐν αὐτοῖς δυσμνημονευτῶν, ἐδοκίμασα τὰ ἐν αὐτοῖς ἐπιδεχόμενα διαιρεῖν, καὶ μάλιστα τὰ ἐν ἀρχῇ ἔχοντα στοιχειώδως ἀπὸ ἁπλουστέρων ἐπὶ σκολιώτερα διελεῖν ὡς προσῆκεν. οὕτως γὰρ εὐόδευτα γενήσεται τοῖς ἀρχομένοις, καὶ ἡ ἀγωγὴ αὐτῶν μνημονευθήσεται, τῆς πραγματείας αὐτῶν ἐν τρισκαίδεκα βιβλίοις γεγενημένης.

   α.

   Τὸν ἐπιταχθέντα ἀριθμὸν διελεῖν εἰς δύο ἀριθμοὺς ἐν ὑπεροχῇ τῇ δοθείσῃ.

   Ἔστω δὴ ὁ δοθεὶς ἀριθμὸς ὁ ρ, ἡ δὲ ὑπεροχὴ Μ^ο μ. εὑρεῖν τοὺς ἀριθμούς.

   Τετάχθω ὁ ἐλάσσων Ϛ α· ὁ ἄρα μείζων ἔσται Ϛ α Μ^ο μ· συναμφότεροι ἄρα γίνονται Ϛ α Μ^ο μ· δέδονται δὲ Μ^ο ρ.

   Μ ἄρα ρ ἴσαι εἰσὶν Ϛ β Μ^ο μ. καὶ ἀπὸ ὁμοίων ὅμοια. ἀφαιρῶ ἀπὸ τῶν ρ, Μ^ο μ, [καὶ ‹ἀπὸ› τῶν β ἀριθμῶν καὶ τῶν μ μονάδων ὁμοίως μονάδας μ·] λοιποὶ Ϛ β ἴσοι Μ^ο ξ. ἕκαστος ἄρα γίνεται Ϛ, Μ^ο λ.

   ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις. ἔσται ὁ μὲν ἐλάσσων Μ^ο λ, ὁ δὲ μείζων Μ^ο ο, καὶ ἡ ἀπόδειξις φανερά.

   β.

   Τὸν ἐπιταχθέντα ἀριθμὸν δεῖ διελεῖν εἰς δύο ἀριθμοὺς ἐν λόγῳ τῷ δοθέντι.

   Ἐπιτετάχθω δὴ τὸν ξ διελεῖν εἰς δύο ἀριθμοὺς ἐν λόγω γ^πλ.

[18]    Τετάχθω ὁ ἐλάσσων Ϛ α. ὁ ἄρα μείζων ἔσται Ϛ γ, καὶ ἔστιν ὁ μείζων τοῦ ἐλάσσονος τριπλασίων. δεῖ λοιπὸν τοὺς δύο ἴσους εἶναι Μ^ο ξ· ἀλλ' οἱ δύο συντεθέντες Ϛ εἰσι δ.

   Ϛ ἄρα δ ἴσοι Μ^ο ξ. ὁ Ϛ ἄρα Μ^ο ιε.

   ὁ ἄρα ἐλάσσων ἔσται Μ^ο ιε, ὁ δὲ μείζων Μ^ο με.

   γ.

   Τὸν ἐπιταχθέντα ἀριθμὸν διελεῖν εἰς δύο ἀριθμοὺς ἐν λόγῳ καὶ ὑπεροχῇ τῇ δοθείσῃ.

   Ἐπιτετάχθω δὴ τὸν π διελεῖν εἰς δύο ἀριθμοὺς ἵνα ὁ μείζων τοῦ ἐλάσσονος γ^πλ. ᾖ καὶ ἔτι Μ^ο δ ὑπερέχῃ.

   Τετάχθω ὁ ἐλάσσων Ϛ α, ὁ μείζων ἄρα Ϛ γ καὶ Μ^ο δ· καὶ ὁ μείζων τοῦ ἐλάσσονος ὢν γ^πλ. ἔτι καὶ Μ^ο δ ὑπερέχει. λοιπὸν τοὺς δύο θέλω ἴσους εἶναι Μ^ο π· ἀλλ' οἱ δύο συντεθέντες Ϛ εἰσι δ καὶ Μ^ο δ.

   Ϛ ἄρα δ καὶ Μ^ο δ ἴσοι Μ^ο π.

   καὶ ἀφαιρῶ ἀπὸ ὁμοίων ὅμοια· λοιπαὶ ἄρα Μ^ο οϚ ἴσαι Ϛ δ· καὶ γίνεται ὁ Ϛ Μ^ο ιθ.

   ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις. ἔσται ἄρα ὁ ἐλάσσων ἀριθμὸς Μ^ο ιθ, ὁ δὲ μείζων Μ^ο ξα, [προστιθεμένων τῶν δ Μ^ο ὧν ἀφεῖλον ἀπὸ τῶν π Μ^ο. ἀφεῖλον γὰρ ὥστε εὑρεῖν πόσων Μ^ο ἔσται ἕκαστος ἀριθμός, ὕστερον δὲ τῷ μείζονι ἀριθμῷ προστίθημι τὰς δ Μ^ο, μετὰ τὸ γνῶναι πόσων ἕκαστος].

   δ.

   Εὑρεῖν δύο ἀριθμοὺς ἐν λόγῳ δοθέντι ὅπως καὶ ἡ ὑπεροχὴ αὐτῶν δοθῇ.

[20]    Ἐπιτετάχθω δὴ τὸν μείζονα τοῦ ἐλάσσονος εἶναι ε^πλ., τὴν δὲ ὑπεροχὴν αὐτῶν ποιεῖν Μ^ο κ.

   Τετάχθω ὁ ἐλάσσων Ϛ α, ὁ ἄρα μείζων ἔσται Ϛ ε. λοιπὸν θέλω Ϛ ε ὑπερέχειν Ϛ α, Μ^ο κ· ἀλλ' ἡ ὑπεροχὴ αὐτῶν ἐστιν Ϛ δ· οὗτοι ἴσοι Μ^ο κ.

   ἔσται ὁ ἐλάσσων ἀριθμὸς Μ^ο ε, ὁ δὲ μείζων Μ^ο κε. καὶ μένει ὁ μείζων τοῦ ἐλάσσονος ὢν ε^πλ., ἡ δὲ ὑπεροχὴ γίνεται Μ^ο κ.

   ε.

   Τὸν ἐπιταχθέντα ἀριθμὸν διελεῖν εἰς δύο ἀριθμοὺς ὅπως ἑκατέρου τῶν διῃρημένων τὰ δοθέντα μὴ τὰ αὐτὰ μέρη συντεθέντα ποιῇ τὸν δοθέντα ἀριθμόν.

   Δεῖ δὴ τὸν διδόμενον ἀριθμὸν δίδοσθαι ὥστε εἶναι ἐν τῷ μεταξὺ τόπῳ τῶν γινομένων δύο ἀριθμῶν ἐὰν τοῦ ἐξ ἀρχῆς ἐπιταχθέντος ληφθῇ τὰ δοθέντα μὴ τὰ αὐτὰ μέρη.

   Ἐπιτετάχθω δὴ τὸν ρ διελεῖν εἰς δύο ἀριθμοὺς ὅπως τὸ τοῦ α^ου ἀριθμοῦ γ^ον καὶ τὸ τοῦ β^ου εον ἐπὶ τὸ αὐτὸ συντεθέντα ποιῇ Μ^ο λ.

   Ἔταξα τὸ τοῦ β^ου εον, Ϛ α· αὐτὸς ἄρα ἔσται Ϛ ε· τὸ ἄρα τοῦ α^ου γ^ον ἔσται Μ^ο λ ⩚ Ϛ α· αὐτὸς ἄρα ἔσται Μ^ο Ϟ Ϛ γ. λοιπὸν θέλω τοὺς δύο συντεθέντας ποιεῖν Μ^ο ρ· ἀλλ' οἱ δύο συντεθέντες ποιοῦσιν Ϛ β καὶ Μ^ο ⩚ Ϟ· ταῦτα ἴσα Μ^ο ρ.

   καὶ ἀπὸ ὁμοίων ὅμοια. λοιπαὶ ἄρα Μ^ο ι ἴσαι Ϛ β. [ὁ Ϛ ἄρα ἔσται Μ^ο ε.]

   ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις. ἔταξα τὸ τοῦ β^ου εον Ϛ α, ἔσται Μ^ο ε, αὐτὸς ἄρα Μ^ο κε· τὸ δὲ τοῦ α^ου γ^ον, Μ^ο λ ⩚ Ϛ α, [22] ἔσται Μ^ο κε, αὐτὸς ἄρα ἔσται Μ^ο οε. καὶ μένει τὸ τοῦ α^ου γ^ον καὶ τὸ τοῦ β^ου ε^ον Μ^ο λ, [ἅπερ κοινῇ συντεθέντα ποιοῦσι τὸν ἐπιταχθέντα ἀριθμόν].

   Ϛ.

   Τὸν ἐπιταχθέντα ἀριθμὸν διελεῖν εἰς δύο ἀριθμοὺς ὅπως τὸ τοῦ πρώτου μέρος δοθὲν τοῦ τοῦ ἑτέρου μέρους δοθέντος ὑπερέχῃ δοθέντι ἀριθμῷ.

   Δεῖ δὴ τὸν δοθέντα ἀριθμὸν ἐλάσσονα εἶναι τοῦ γινομένου ἀριθμοῦ ἐὰν τοῦ ἐξ ἀρχῆς ἐπιταχθέντος ληφθῇ τὸ δοθὲν μέρος ἐν ᾧ ἐστιν ἡ ὑπεροχή.

   Ἐπιτετάχθω δὴ τὸν ρ διελεῖν εἰς δύο ἀριθμοὺς ὅπως τὸ τοῦ α^ου δ^ον τοῦ τοῦ β^ου Ϛ^ου ὑπερέχῃ Μ^ο κ.

   Ἔταξα τὸ τοῦ β^ου Ϛ^ον, Ϛ α. αὐτὸς ἄρα ἔσται Ϛ Ϛ· τὸ ἄρα τοῦ α^ου δ^ον ἔσται Ϛ α καὶ Μ^ο κ, αὐτὸς ἄρα ἔσται Ϛ δ καὶ Μ^ο π. λοιπὸν θέλω τοὺς δύο συντεθέντας ποιεῖν Μ^ο ρ· ἀλλ' οἱ δύο συντεθέντες ποιοῦσιν Ϛ ι καὶ Μ^ο π· ταῦτα ἴσα Μ^ο ρ.

   ἀπὸ ὁμοίων ὅμοια. λοιπὸν Ϛ ι ἴσοι Μ^ο κ, καὶ γίνεται ὁ Ϛ Μ^ο β.

   ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις. ἔταξα τὸ τοῦ β^ου Ϛ^ον, Ϛ α· ἔσται Μ^ο β, αὐτὸς ἄρα ἔσται Μ^ο ιβ· τὸ δὲ τοῦ α^ου δ^ον, Ϛ α καὶ Μ^ο κ· ἔσται Μ^ο κβ, αὐτὸς ἄρα ἔσται Μ^ο πη. καὶ μένει τὸ τοῦ α^ου δ^ον τοῦ τοῦ β^ου Ϛου ὑπέρεχον Μ^ο κ, [οἵτινες κοινῇ συντεθέντες ποιοῦσι τὸν ἐπιταχθέντα ἀριθμόν].

[24]    ζ.

   Ἀπὸ τοῦ αὐτοῦ ἀριθμοῦ ἀφελεῖν δύο δοθέντας ἀριθμοὺς καὶ ποιεῖν τοὺς λοιποὺς πρὸς ἀλλήλους λόγον ἔχειν δεδομένον.

   Ἐπιτετάχθω δὴ ἀπὸ τοῦ αὐτοῦ ἀριθμοῦ ἀφελεῖν τὸν ρ καὶ τὸν κ, καὶ ποιεῖν τὰ μείζονα τῶν ἐλασσόνων γ^πλ.

   Τετάχθω ὁ ζητούμενος Ϛ α· κᾂν μὲν ἀπὸ τούτου ἀφέλω τὸν ρ, λοιπὸς Ϛ α Μ^ο ρ· ἐὰν δὲ τὸν κ, λοιπὸς Ϛ ⩚ α Μ^ο κ. καὶ δεήσει τὰ μείζονα τῶν ἐλασσόνων εἶναι γ^πλ.· τρὶς ἄρα τὰ ἐλάσσονα ἴσα ἐστὶ τοῖς μείζοσι, τρὶς δὲ τὰ ἐλάσσονα γίνεται Ϛ γ ⩚ Μ^ο τ. ταῦτα ἴσα Ϛ α ⩚ Μ^ο κ.

   κοινὴ προσκείσθω ἡ λεῖψις· γίνεται Ϛ γ ἴσοι Ϛ α καὶ Μ^ο σπ. καὶ ἀφῃρήσθω ἀπὸ ὁμοίων ὅμοια. λοιπὸν Ϛ β ἴσοι Μ^ο σπ, καὶ γίνεται ὁ Ϛ Μ^ο ρμ.

   ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις. ἔταξα τὸν ζητούμενον ἀριθμὸν Ϛ α, ἔσται ἄρα Μ^ο ρμ. κᾂν μὲν ἀπὸ τούτου ἀφέλω τὸν ρ, λοιπαὶ Μ^ο μ· ἐὰν δὲ τὸν κ, λοιπαὶ Μ^ο ρκ. καὶ μένει τὰ μείζονα τῶν ἐλασσόνων τριπλάσια.

   η.

   Δυσὶ δοθεῖσιν ἀριθμοῖς προσθεῖναι τὸν αὐτὸν ἀριθμὸν καὶ ποιεῖν τοὺς γενομένους πρὸς ἀλλήλους λόγον ἔχειν δεδομένον.

   Δεῖ δὴ τὸν διδόμενον λόγον ἐλάσσονα εἶναι τοῦ λόγου οὗ ἔχει ὁ μείζων τῶν δοθέντων πρὸς τὸν ἐλάσσονα.

   Ἐπιτετάχθω δὴ τῷ ρ καὶ τῷ κ προσθεῖναι τὸν αὐτὸν ἀριθμὸν καὶ ποιεῖν τὰ μείζονα τῶν ἐλασσόνων γ^πλ.

[26]    Τετάχθω ὁ προστιθέμενος ἑκατέρῳ ἀριθμῷ Ϛ α. κᾂν μὲν τῷ ρ προστεθῇ, ἔσται Ϛ α Μ^ο ρ ἐὰν δὲ τῷ κ, γίνεται Ϛ α ⩚ Μ^ο κ. καὶ δεήσει τὰ μείζονα τῶν ἐλασσόνων εἶναι γ^πλ.· τρὶς ἄρα τὰ ἐλάσσονα ἴσα ἔσται τοῖς μείζοσι. τρὶς δὲ τὰ ἐλάσσονα γίνεται Ϛ γ Μ^ο ξ· ταῦτα ἴσα Ϛ α Μ^ο ρ.

   ἀπὸ ὁμοίων ὅμοια. λοιποὶ Ϛ β ἴσοι Μ^ο μ, καὶ γίνεται ὁ Ϛ Μ^ο κ.

   ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις. ἔταξα τὸν προστιθέμενον ἑκατέρῳ ἀριθμῷ Ϛ α, ἔσται Μ^ο κ. κἂν μὲν τῷ ρ προστεθῇ, γίνονται Μ^ο ρκ· ἐὰν δὲ τῷ κ, γίνονται Μ^ο μ. καὶ μένει τὰ μείζονα τῶν ἐλασσόνων τριπλάσια.

   θ.

   Ἀπὸ δοθέντων δύο ἀριθμῶν ἀφελεῖν τὸν αὐτὸν ἀριθμὸν καὶ ποιεῖν τοὺς λοιποὺς πρὸς ἀλλήλους λόγον ἔχειν δεδομένον.

   Δεῖ δὴ τὸν διδόμενον λόγον μείζονα εἶναι τοῦ λόγου οὗ ἔχει ὁ μείζων τῶν δοθέντων πρὸς τὸν ἐλάσσονα.

   Ἐπιτετάχθω δὴ ἀπὸ τοῦ κ καὶ τοῦ ρ ἀφελεῖν τὸν αὐτὸν ἀριθμὸν καὶ ποιεῖν τὰ μείζονα τῶν ἐλασσόνων Ϛ^πλ.

   Τετάχθω ὁ ἀφαιρούμενος ἀφ' ἑκατέρου ἀριθμοῦ, Ϛ α. κᾂν μὲν ἀπὸ τοῦ ρ ἀφαιρεθῇ, λοιπαὶ Μ^ο ρ ⩚ Ϛ α· ἐὰν δὲ ἀπὸ τοῦ κ, λοιπαὶ Μ^ο κ Ϛ α. καὶ δεήσει τὰ μείζονα τῶν ἐλασσόνων εἶναι Ϛ^πλ.· Ϛ^κις ἄρα τὰ ἐλάσσονα ἴσα ἐστὶ τοῖς μείζοσιν, Ϛ^κις δὲ τὰ ἐλάσσονα ποιεῖ Μ^ο ρκ Ϛ Ϛ· ταῦτα ἴσα Μ^ο ρ Ϛ α.

   κοινὴ προσκείσθω ἡ λεῖψις, καὶ ἀφῃρήσθω ἀπὸ ὁμοίων ὅμοια. λοιποὶ Ϛ ε ἴσοι Μ^ο κ, καὶ γίνεται ὁ Ϛ Μ^ο δ.

[28]    ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις. ἔταξα τὸν ἀφαιρούμενον ἀφ' ἑκατέρου ἀριθμοῦ Ϛ α, ἔσται Μ^ο δ. κἂν μὲν ἀπὸ τοῦ ρ ἀφαιρεθῇ, λοιπαὶ Μ^ο ϞϚ· ἐὰν δὲ ἀπὸ τοῦ κ, λοιπαὶ Μ^ο ιϚ. καὶ μένει τὰ μείζονα τῶν ἐλασσόνων ὄντα ἑξαπλάσια.

   ι.

   Δυσὶ δοθεῖσιν ἀριθμοῖς, τῷ μὲν ἐλάσσονι αὐτῶν προσθεῖναι, ἀπὸ δὲ τοῦ μείζονος ἀφελεῖν τὸν αὐτὸν ἀριθμὸν καὶ ποιεῖν τὸν γενόμενον πρὸς τὸν λοιπὸν λόγον ἔχειν δεδομένον.

   Ἐπιτετάχθω τῷ μὲν κ προσθεῖναι, ἀπὸ δὲ τοῦ ρ ἀφελεῖν τὸν αὐτὸν ἀριθμὸν καὶ ποιεῖν τὰ μείζονα τῶν ἐλασσόνων δ^πλ.

   Τετάχθω ὁ προστιθέμενος καὶ ἀφαιρούμενος ἑκατέρῳ ἀριθμῷ Ϛ α. κᾂν μὲν τῷ κ προστεθῇ, γίνεται Ϛ α Μ^ο κ· ἐὰν δὲ τοῦ ρ ἀφαιρεθῇ, γίνεται Μ^ο ρ ⩚ Ϛ α. καὶ δεήσει τὰ μείζονα τῶν ἐλασσόνων εἶναι δ^πλ.· δκις ἄρα τὰ ἐλάσσονα ἴσα ἐστὶ τοῖς μείζοσι, δ^κις δὲ τὰ ἐλάσσονα γίνεται Μ^ο υ Ϛ δ· ταῦτα ἴσα Ϛ α Μ^ο κ.

   κοινὴ προσκείσθω ἡ λεῖψις, καὶ ἀφῃρήσθω ἀπὸ ὁμοίων α. λοιποὶ Ϛ ε ἴσοι Μ^ο τπ, καὶ γίνεται ὁ Ϛ Μ^ο οϚ.

   ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις. ἔταξα τὸν προστιθέμενον καὶ ἀφαιρούμενον ἀφ' ἑκατέρου ἀριθμοῦ Ϛ α, ἔσται Μ^ο οϚ. κᾂν μὲν τῷ κ Μ^ο οϚ προστεθῶσι, γίνονται Μ^ο ϞϚ· ἐὰν δὲ τοῦ ρ ἀφαιρεθῶσι, λοιπαὶ Μ^ο κδ. καὶ μένει τὰ μείζονα τῶν ἐλασσόνων ὄντα τετραπλάσια.

[30]    ια.

   Δύο δοθέντας ἀριθμοὺς ὃν μὲν προσθεῖναι, τὸν δὲ ἕτερον ἀφελεῖν ἀπὸ τοῦ αὐτοῦ ἀριθμοῦ, καὶ ποιεῖν τοὺς γενομένους πρὸς ἀλλήλους λόγον ἔχειν δεδομένον.

   Ἐπιτετάχθω τὸν μὲν κ προσθεῖναι, τὸν δὲ ρ ἀφελεῖν ἀπὸ τοῦ αὐτοῦ ἀριθμοῦ καὶ ποιεῖν τὰ μείζονα τῶν ἐλασσόνων γ^πλ..

   Ἔστω ὁ ζητούμενος Ϛ α. κᾂν μὲν τούτῳ προσθῶμεν Μ^ο κ, γίνεται Ϛ α Μ^ο κ· ἐὰν δὲ ἀπὸ τούτου ἀφαιρεθῶσι Μ^ο ρ, λοιπὸς Ϛ α Μ^ο ρ. καὶ δεήσει τὰ μείζονα τῶν ἐλασσόνων εἶναι γ^πλ.· τρὶς ἄρα τὰ ἐλάσσονα ἴσα ἐστὶ τοῖς μείζοσι. ἀλλὰ τρὶς τὰ ἐλάσσονα γίνεται Ϛ γ Μ^ο τ.

   Ϛ ἄρα γ Μ^ο τ ἴσα ἐστὶ Ϛ α Μ^ο κ. κοινὴ προσκείσθω ἡ λεῖψις, καὶ ἀφῃρήσθω ἀπὸ ὁμοίων ὅμοια.

   Μ^ο τκ ἄρα ἴσα εἰσὶν Ϛ β, καὶ γίνεται ὁ Ϛ Μ^ο ρξ.

   ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις. ἔσται ἄρα ὁ μὲν μείζων Μ^ο ρπ, ὁ δὲ ἐλάσσων Μ^ο ξ. καὶ μένει τὰ μείζονα τῶν ἐλασσόνων τριπλάσια.

   ιβ.

   Τὸν ἐπιταχθέντα ἀριθμὸν διελεῖν εἰς δύο ἀριθμοὺς δίς, ὅπως ὁ εἷς τῶν ἐκ τῆς πρώτης διαιρέσεως πρὸς ἕνα τῶν ἐκ τῆς δευτέρας διαιρέσεως λόγον ἔχῃ δεδομένον, ὁ δὲ λοιπὸς τῶν ἐκ τῆς δευτέρας διαιρέσεως πρὸς τὸν λοιπὸν τὸν ἐκ τῆς πρώτης διαιρέσεως λόγον ἔχῃ δεδομένον.

   Ἐπιτετάχθω δὴ τὸν ρ διελεῖν εἰς δύο ἀριθμοὺς [32] δίς, ὅπως ὁ μείζων τῶν ἐκ τῆς ^αης διαιρέσεως τοῦ ἐλάσσονος τῶν ἐκ τῆς β^ας διαιρέσεως ᾖ β^πλ., ὁ δὲ μείζων τῶν ἐκ τῆς β^ας διαιρέσεως τοῦ ἐλάσσονος τῶν ἐκ τῆς ^αης διαιρέσεως ᾖ γ^πλ..

   Τετάχθω ὁ ἐλάσσων ὁ ἐκ τῆς β^ας διαιρέσεως Ϛ α, ὁ ἄρα μείζων τῶν ἐκ τῆς α^ης διαιρέσεως ἔσται Ϛ β· ὁ ἐλάσσων ἄρα τῶν ἐκ τῆς ^αης διαιρέσεως ἔσται Μ^ο ρ Ϛ β· καὶ ἐπεί ἐστιν αὐτοῦ τριπλασίων ὁ μείζων τῶν ἐκ τῆς β^ας διαιρέσεως, ἔσται Μ^ο τ Ϛ Ϛ. λοιπόν ἐστι καὶ τοὺς τῆς β^ας διαιρέσεως συντεθέντας ποιεῖν Μ^ο ρ· ἀλλὰ συντεθέντες ποιοῦσι Μ^ο τ Ϛ ε· ταῦτα ἴσα Μ^ο ρ, καὶ γίνεται ὁ Ϛ Μ^ο μ.

   ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις. ἔταξα τὸν μείζονα τῶν ἐκ τῆς ^αης διαιρέσεως Ϛ β, ἔσται Μ^ο π· τὸν δὲ ἐλάσσονα ‹τῶν ἐκ› τῆς αὐτῆς διαιρέσεως Μ^ο ρ Ϛ β, ἔσται Μ^ο κ· τὸν δὲ μείζονα τὸν ἐκ τῆς β^ας διαιρέσεως Μ^ο τ Ϛ Ϛ, ἔσται Μ^ο ξ· τὸν δὲ ἐλάσσονα τὸν ἐκ τῆς β^ας διαιρέσεως Ϛ α, ἔσται Μ^ο μ. καὶ φανερὰ ἡ ἀπόδειξις.

   ιγ.

   Τὸν ἐπιταχθέντα ἀριθμὸν διελεῖν εἰς δύο ἀριθμοὺς τρίς, ὅπως ὁ εἷς τῶν ἐκ τῆς πρώτης διαιρέσεως πρὸς ἕνα τῶν ἐκ τῆς δευτέρας διαιρέσεως λόγον ἔχῃ δεδομένον, ὁ δὲ λοιπὸς τῶν ἐκ τῆς δευτέρας διαιρέσεως πρὸς ἕνα τῶν ἐκ τῆς τρίτης διαιρέσεως λόγον ἔχῃ δεδομένον, καὶ ἔτι ὁ λοιπὸς τῶν ἐκ τῆς τρίτης διαιρέσεως πρὸς τὸν λοιπὸν τὸν ἐκ τῆς πρώτης διαιρέσεως λόγον ἔχῃ δεδομένον. [34] Ἐπιτετάχθω δὴ τὸν ρ διελεῖν εἰς δύο ἀριθμοὺς τρίς, ὅπως ὁ μείζων τῶν ἐκ τῆς ^αης διαιρέσεως τοῦ ἐλάσσονος τῶν ἐκ τῆς β^ας ᾖ γ^πλ., ὁ δὲ μείζων τῶν ἐκ τῆς β^ας διαιρέσεως τοῦ ἐλάσσονος τῶν ἐκ τῆς γ^ης ᾖ β^πλ., καὶ ἔτι ὁ μείζων τῶν ἐκ τῆς γ^ης διαιρέσεως τοῦ ἐλάσσονος τῶν ἐκ τῆς α^ης ᾖ δ^πλ..

   Τετάχθω ὁ ἐλάσσων τῶν ἐκ τῆς γ^ης διαιρέσεως Ϛ β· καὶ ὁ ἄρα μείζων τῶν ἐκ τῆς β^ας διαιρέσεως ἔσται Ϛ β. καὶ ἐπεὶ ὅλη ἡ διαίρεσίς ἐστι Μ^ο ρ, ὁ ἄρα ἐλάσσων τῶν ἐκ τῆς β^ας διαιρέσεως ἔσται Μ^ο ρ Ϛ β. καὶ ἐπεί ἐστιν αὐτοῦ γ^πλ. ὁ μείζων τῶν ἐκ τῆς α^ης διαιρέσεως, ἔσται Μ^ο τ Ϛ Ϛ· ὁ ἄρα ἐλάσσων τῶν ἐκ τῆς α^ης διαιρέσεως ἔσται Ϛ Ϛ Μ^ο σ. καὶ ἐπεί ἐστιν αὐτοῦ δ^πλ. ὁ μείζων τῶν ἐκ τῆς γ^ης διαιρέσεως, ἔσται Ϛ κδ Μ^ο ω. λοιπόν ἐστι καὶ τὴν γ^ην διαίρεσιν συντεθεῖσαν ποιεῖν Μ^ο ρ· ἀλλὰ συντεθεῖσα ποιεῖ Ϛ κε Μ^ο ω. ταῦτα ἴσα Μ^ο ρ, καὶ γίνεται ὁ Ϛ Μ^ο λϚ.

   ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις. ἔσται ὁ μὲν ἐλάσσων τῶν ἐκ τῆς γ^ης διαιρέσεως Μ^ο λϚ, ὁ δὲ μείζων ξδ.

   ὁ δὲ ἐλάσσων τῶν ἐκ τῆς α^ης διαιρέσεως Μ^ο ιϚ, ὁ δὲ μείζων πδ.

   ὁ δὲ ἐλάσσων τῶν ἐκ τῆς β^ας διαιρέσεως ‹Μ^ο› κη, ὁ δὲ μείζων οβ. καὶ δῆλον ὡς ποιοῦσι τὸ πρόβλημα.

   ιδ.

   Εὑρεῖν δύο ἀριθμοὺς ὅπως ὁ ἐκ τοῦ πολλαπλασιασμοῦ πρὸς τὸν ἐκ τῆς συνθέσεως λόγον ἔχῃ δεδομένον.

   Δεῖ δὴ τὸ ὑποτιθέμενον πλῆθος τῶν μονάδων ἑνὸς [36] τῶν ἀριθμῶν μεῖζον εἶναι τοῦ ὁμωνύμου τοῦ διδομένου λόγου.

   Ἐπιτετάχθω δὴ τὸν ἐκ τοῦ πολλαπλασιασμοῦ πρὸς τὸν ἐκ τῆς συνθέσεως λόγον ἔχειν γ^πλ.·

   Τετάχθω ὁ μὲν εἷς αὐτῶν Ϛ α, ὁ δὲ ἕτερος, κατὰ τὸν προσδιορισμόν, πλείων Μ^ο γ· ἔστω Μ^ο ιβ. καὶ ἔστι τὸ μὲν ὑπ' αὐτῶν Ϛ ιβ, ἡ δὲ σύνθεσις αὐτῶν Ϛ α Μ^ο ιβ. λοιπόν ἐστιν Ϛ ιβ γ^πλ. εἶναι Ϛ α Μ^ο ιβ· τρὶς ἄρα τὰ ἐλάσσονα ἴσα [ἐστὶ] τοῖς μείζοσι· καὶ γίνεται ὁ Ϛ Μ^ο δ.

   ἔσται ὁ μὲν αὐτῶν Μ^ο δ, ὁ δὲ Μ^ο ιβ. καὶ ποιοῦσι τὸ πρόβλημα.

   ιε.    Εὑρεῖν δύο ἀριθμοὺς ὅπως ἑκάτερος παρὰ θατέρου λαβὼν τὸν ἐπιταχθέντα ἀριθμόν, λόγον ἔχῃ πρὸς τὸν ὑπολειφθέντα τὸν ἐπιταχθέντα.

   Ἐπιτετάχθω δῂ τὸν μὲν α^ον παρὰ τοῦ β^ου λαβόντα Μ^ο λ, γίνεσθαι αὐτοῦ β^πλ., τὸν δὲ β^ον παρὰ τοῦ α^ου λαβόντα Μ^ο ν, γίνεσθαι αὐτοῦ γ^πλ..

   Τετάχθω ὁ β^ος Ϛ α καὶ ὧν δίδωσι Μ^ο λ· ὁ ἄρα α^ος ἔσται Ϛ β Μ^ο λ, ἵνα λαβὼν παρὰ τοῦ β^ου τὰς Μ^ο λ, γίνηται β^πλ. αὐτοῦ. λοιπόν ἐστιν καὶ τὸν β^ον παρὰ τοῦ α^ου λαβόντα Μ^ο ν, γίνεσθαι αὐτοῦ γ^πλ.· ἀλλὰ δοὺς μὲν ὁ α^ος Μ^ο ν, λοιπὸν ἔχει Ϛ β Μ^ο π· λαβὼν δὲ αὖ ὁ β^ος τὰς Μ^ο ν, γίνεται Ϛ α Μ^ο π. λοιπόν ἐστιν Ϛ α Μ^ο π γ^πλ. εἶναι Ϛ β Μ^ο π· τρὶς ἄρα τὰ ἐλάσσονα ἴσα ἐστὶ τοῖς μείζοσι, καὶ γίνεται ὁ Ϛ Μ^ο ξδ.

   καὶ ἔσται ὁ μὲν α^ος Μ^ο Ϟη, ὁ δὲ β^ος Μ^ο Ϟδ. καὶ ποιοῦσι τὸ πρόβλημα.

[38]    ιϚ.

   Εὑρεῖν τρεῖς ἀριθμοὺς ὅπως σὺν δύο λαμβανόμενοι ποιῶσι τοὺς ἐπιταχθέντας ἀριθμούς.

   Δεῖ δὴ τῶν ἐπιταττομένων τριῶν τὸ ἥμισυ μεῖζον εἶναι ἑκάστου αὐτῶν.

   Ἐπιτετάχθω δὴ τὸν μὲν α^ον μετὰ τοῦ β^ου συντεθέντας ποιεῖν Μ^ο κ, τὸν δὲ β^ον μετὰ τοῦ γ^ου ποιεῖν Μ^ο λ, τὸν δὲ γ^ον μετὰ τοῦ α^ου ποιεῖν Μ^ο μ.

   Τετάχθωσαν οἱ τρεῖς Ϛ α. καὶ ἐπεὶ ὁ α^ος καὶ ὁ β^ος ποιοῦσι Μ^ο κ, ἐὰν ἄρα ἀπὸ Ϛ α ἀφέλω Μ^ο κ, ἕξω τὸν γ^ον Ϛ α Μ^ο κ· διὰ τὰ αὐτὰ καὶ ὁ μὲν α^ος ἔσται Ϛ α Μ^ο λ, ὁ δὲ β^ος Ϛ α Μ^ο μ· λοιπόν ἐστι τοὺς τρεῖς συντεθέντας ἀριθμοὺς γίνεσθαι ἴσους Ϛ α· ἀλλ' οἱ τρεῖς συντεθέντες ποιοῦσιν Ϛ γ Μ^ο Ϟ· ταῦτα ἴσα Ϛ α· καὶ γίνεται ὁ Ϛ Μ^ο με.

   ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις. ἔσται ὁ μὲν α^ος Μ^ο ιε, ὁ δὲ β^ος Μ^ο ε, ὁ δὲ γ^ος Μ^ο κε. καὶ φανερὰ ἡ ἀπόδειξις.

   ιζ.

   Εὑρεῖν τέσσαρας ἀριθμοὺς ὅπως σὺν τρεῖς συντιθέμενοι ποιῶσι τοὺς ἐπιταχθέντας ἀριθμούς.

   Δεῖ δὴ τῶν τεσσάρων τὸ τρίτον μεῖζον εἶναι ἑκάστου αὐτῶν.

   Ἐπιτετάχθω δὴ τοὺς μὲν ἀπὸ τοῦ α^ου τρεῖς κατὰ τὸ ἑξῆς συντεθέντας ποιεῖν Μ^ο κ, τοὺς δὲ ἀπὸ τοῦ β^ου τρεῖς ποιεῖν Μ^ο κβ, τοὺς δὲ ἀπὸ τοῦ γ^ου τρεῖς ποιεῖν Μ^ο κδ, τοὺς δὲ ἀπὸ τοῦ δ^ου τρεῖς ποιεῖν Μ^ο κζ.

   Τετάχθωσαν οἱ τέσσαρες Ϛ α. καὶ ἐὰν ἄρα ἀπὸ Ϛ α ἀφέλω τοὺς α^ου ς τρεῖς. τουτέστι Μ^ο κ, λοιπὸν ἕξω τὸν [40] δ^ον Ϛ α Μ^ο κ· διὰ τὰ αὐτὰ καὶ ὁ μὲν α^ος [ἔσται] Ϛ α Μ^ο κβ, ὁ δὲ β^ος Ϛ α Μ^ο κδ, ὁ δὲ γ^ος Ϛ α Μ^ο κζ. λοιπόν ἐστι τοὺς δ συντεθέντας ἀριθμοὺς ἴσους γίνεσθαι Ϛ α. ἀλλ' οἱ δ συντεθέντες ποιοῦσιν Ϛ δ Μ^ο Ϟγ· ταῦτα ἴσα Ϛ α. καὶ γίνεται ὁ Ϛ Μ^ο λα.

   ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις. ἔσται ὁ μὲν α^ος Μ^ο θ, ὁ δὲ β^ος Μ^ο ζ, ὁ δὲ γ^ος Μ^ο δ, ὁ δὲ δ^ος Μ^ο ια. καὶ ποιοῦσι τὸ πρόβλημα.

   ιη.

   Εὑρεῖν τρεῖς ἀριθμοὺς ὅπως σὺν δύο λαμβανόμενοι τοῦ λοιποῦ ὑπερέχωσι τῷ ἐπιταχθέντι ἀριθμῷ.

   Ἐπιτετάχθω δὴ τὸν μὲν α^ον καὶ τὸν β^ον τοῦ γ^ου ὑπερέχειν Μ^ο κ, τὸν δὲ β^ον καὶ τὸν γ^ον τοῦ α^ου ὑπερέχειν Μ^ο λ, τὸν δὲ γ^ον καὶ τὸν αον τοῦ β^ου ὑπερέχειν Μ^ο μ.

   Τετάχθωσαν οἱ τρεῖς Ϛ β. καὶ ἐπεὶ ὁ α^ος καὶ ὁ β^ος τοῦ γ^ου ὑπερέχουσιν Μ^ο κ, κοινοῦ προστεθέντος τοῦ γου, οἱ τρεῖς, δίς ἐστιν ὁ γ^ος καὶ ἡ ὑπεροχὴ Μ^ο κ. ἐὰν ἄρα ἀπὸ τῶν τριῶν, τουτέστιν Ϛ β, ἀφέλω Μ^ο κ, ἕξω δὶς τὸν γ^ον Ϛ β Μ^ο κ· ἅπαξ ἄρα ὁ γ^ος ἔσται Ϛ α Μ^ο ι.

   διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὁ μὲν α^ος ἔσται Ϛ α Μ^ο ιε, ὁ δὲ β^ος Ϛ α Μ^ο κ. λοιπόν ἐστιν τοὺς τρεῖς ἴσους εἶναι Ϛ β· ἀλλ' οἱ τρεῖς συντεθέντες ποιοῦσιν Ϛ γ Μ^ο με· ταῦτα ἴσα Ϛ β. καὶ γίνεται ὁ Ϛ Μ^ο με.

   ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις. ἔσται ὁ μὲν α^ος Μ^ο λ, ὁ δὲ β^ος Μ^ο κε, ὁ δὲ γ^ος λε. καὶ ποιοῦσι τὰ τῆς προτάσεως.

[42]    [Ἄλλως.]

   Ἐπεὶ ὁ α^ος καὶ ὁ β^ος τοῦ γ^ου ὑπερέχουσι Μ^ο κ, ἔστω ὁ γ^ος Ϛ α· συναμφότερος ἄρα ὅ τε α^ος καὶ ὁ β^ος ἔσται Ϛ α Μ^ο κ. πάλιν ἐπεὶ ὁ β^ος καὶ ὁ γ^ος τοῦ α^ου ὑπερέχουσι Μ^ο λ, τάσσω τὸν β^ον τοσούτων Μ^ο ὅσων ἐστὶν ὁ ἥμισυς τοῦ τε κ καὶ λ, τουτέστι Μ^ο κε· καὶ ἐπεὶ ὁ α^ος καὶ ὁ β^ος ἐστιν Ϛ α Μ^ο κ, ὧν ὁ β^ος ἐστιν Μ^ο κε, λοιπὸς ἄρα ὁ α^ος ἔσται Ϛ α Μ^ο ε. λοιπὸν δεῖ καὶ τὸν γ^ον μετὰ τοῦ α^ου , τοῦ β^ου ὑπερέχειν Μ^ο μ· ἀλλὰ ὁ α^ος μετὰ τοῦ γ^ου ἐστὶν Ϛ β Μ^ο ε· ἴσοι ἄρα εἰσὶ Μ^ο ξε.

   κοινὴ προσκείσθω ἡ λεῖψις. Ϛ ἄρα β ἴσοι Μ^ο ο. καὶ γίνεται ὁ Ϛ Μ^ο λε.

   ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις. ἔταξα τὸν α^ον, Ϛ α Μ^ο ε· ἔσται Μ^ο λ· τὸν δὲ β^ον Μ^ο κε· τὸν δὲ γ^ον Ϛ α· ἔσται Μ^ο λε. ιθ.

   Εὑρεῖν τέσσαρας ἀριθμοὺς ὅπως οἱ τρεῖς λαμβανόμενοι τοῦ λοιποῦ ὑπερέχωσιν ἐπιταχθέντι ἀριθμῷ.

   Δεῖ δὴ τῶν ἐκ τῆς ὑπεροχῆς τεσσάρων τὸ ἥμισυ μεῖζον εἶναι ἑκάστου αὐτῶν.

   Ἐπιτετάχθω δὴ τοὺς μὲν ἀπὸ τοῦ α^ου τρεῖς κατὰ τὸ ἑξῆς συντεθέντας τοῦ δ^ου ὑπερέχειν Μ^ο κ, τοὺς δὲ ἀπὸ τοῦ β^ου τρεῖς τοῦ α^ου ὑπερέχειν Μ^ο λ, τοὺς δὲ ἀπὸ τοῦ γ^ου τρεῖς ὁμοίως τοῦ β^ου ὑπερέχειν Μ^ο μ, καὶ ἔτι τοὺς ἀπὸ τοῦ δ^ου τρεῖς κατὰ τὸ ἑξῆς συντεθέντας τοῦ γ^ου ὑπερέχειν Μ^ο ν.

   Τετάχθωσαν οἱ τέσσαρες Ϛ β. καὶ ἐπεὶ οἱ ἀπὸ τοῦ α^ου τρεῖς τοῦ δ^ου ὑπερέχουσι Μ^ο κ, ᾧ δὲ ὑπερέχουσιν [44] οἱα^ου τρεῖς τοῦ δου, τούτῳ ὑπερέχουσι καὶ οἱ τέσσαρες, δὶς τοῦ δου, καί εἰσιν οἱ τέσσαρες, Ϛ β, Ϛ ἄρα β, δὶς τοῦ δ^ου ὑπερέχουσι Μ^ο κ· ὁ ἄρα β^πλ. τοῦ δ^ου ἔσται Ϛ β Μ^ο κ, αὐτὸς ἄρα ἔσται Ϛ α Μ^ο ι.

   διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὁ μὲν α^ος ἔσται Ϛ α Μ^ο ιε, ὁ δὲ β^ος Ϛ α Μ^ο κ, καὶ ἔτι ὁ γ^ος Ϛ α Μ^ο κε. λοιπόν ἐστι τοὺς τέσσαρας ἴσους εἶναι Ϛ β· ἀλλ' οἱ τέσσαρές εἰσιν Ϛ δ Μ^ο ο· ταῦτα ἴσα Ϛ β· καὶ γίνεται ὁ Ϛ Μ^ο λε.

   ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις. ἔσται ὁ μὲν α^ος Μ^ο κ, ὁ δὲ β^ος Μ^ο ιε, ὁ δὲ γ^ος Μ^ο ι, ὁ δὲ δ^ος Μ^ο κε. καὶ ποιοῦσι τὸ πρόβλημα.

   [Ἄλλως.]

   Ἐπεὶ οἱ ἀπὸ τοῦ α^ου τρεῖς τοῦ δ^ου ὑπερέχουσι Μ^ο κ, τετάχθω ὁ δ^ος Ϛ α· οἱ τρεῖς ἄρα ἔσονται Ϛ α Μ^ο κ. πάλιν ἐπεὶ οἱ ἀπὸ τοῦ β^ου τρεῖς τοῦ α^ου ὑπερέχουσι Μ^ο λ, τετάχθω συναμφότερος ὅ τε β^ος καὶ ὁ γ^ος Μ^ο τοσούτων ὅσων ἐστὶν ὁ ἥμισυς τῶν δύο ὑπεροχῶν, (λέγω δὴ τοῦ κ καὶ τοῦ λ) τουτέστι Μ^ο κε. καὶ ἐπεὶ οἱ ἀπὸ τοῦ α^ου τρεῖς εἰσιν Ϛ α Μ^ο κ, ὧν ὁ β^ος καὶ ὁ γ^ος Μ^ο κε, λοιπὸς ἄρα ὁ α^ος ἔσται Ϛ α Μ^ο ε.

   καὶ ἐπεὶ οἱ ἀπὸ τοῦ β^ου τρεῖς ὑπερέχουσι τοῦ α^ου Μ^ο λ, οἱ δὲ ἀπὸ τοῦ γ^ου τρεῖς ὑπερέχουσι τοῦ β^ου Μ^ο μ, συναμφότερος ἄρα ὁ γ^ος καὶ ὁ δ^ος ἔσται Μ^ο λε· λοιπὸς ἄρα ὁ γ^ος ἔσται Μ^ο λε Ϛ α.

   ἔστι δὲ καὶ ὁ β^ος καὶ ὁ γ^ος Μ^ο κε, ὧν ὁ γ^ος Μ^ο λε Ϛ α· λοιπὸς ἄρα ὁ β^ος ἔσται Ϛ α Μ^ο ι.

   λοιπόν ἐστι τοὺς ἀπὸ τοῦ δ^ου τρεῖς τοῦ γ^ου ὑπερ[-128]έχειν [46] Μ^ο ν· ἀλλ' οἱ τρεῖς συντεθέντες ποιοῦσιν Ϛ γ Μ^ο ιε, ὁ δὲ γ^ος ἐστὶ Μ^ο λε Ϛ α. δεῖ δὴ καὶ Ϛ γ Μ^ο ιε ὑπερέχειν Μ^ο λε Ϛ α, Μ^ο ν, ὥστε Μ πε Ϛ α ἴσαι εἰσὶν Ϛ γ Μ^ο ιε, καὶ γίνεται ὁ Ϛ Μ^ο κε.

   ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις. ἔταξα τὸν αον Ϛ α Μ^ο ε· ἔσται Μ^ο κ· ὁ δὲ β^ος ὁμοίως Μ^ο ιε, ὁ δὲ γ^ος Μ^ο ι, ὁ δὲ δ^ος Μ^ο κε.

   κ.

   Τὸν ἐπιταχθέντα ἀριθμὸν διελεῖν εἰς τρεῖς ἀριθμοὺς ὅπως ἑκάτερος τῶν ἄκρων προσλαβὼν τὸν μέσον πρὸς τὸν λοιπὸν τῶν ἄκρων λόγον ἔχῃ δεδομένον.

   Ἐπιτετάχθω δὴ τὸν ρ διελεῖν εἰς τρεῖς ἀριθμοὺς ὅπως ὁ α^ος καὶ ὁ β^ος τοῦ γ^ου ᾖ γ^πλ., ὁ δὲ β^ος καὶ ὁ γ^ος τοῦ α^ου ᾖ δ^πλ..

   Τετάχθω ὁ γ^ος Ϛ α· καὶ ἐπεὶ ὁ α^ος καὶ ὁ β^ος τοῦ γ^ου ἐστὶ γ^πλ., τετάχθωσαν οἱ δύο Ϛ γ. οἱ τρεῖς ἄρα εἰσὶν Ϛ δ· οὗτοι ἴσοι Μ^ο ρ· καὶ γίνεται ὁ Ϛ Μ^ο κε.

   ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις. ἔταξα τὸν γ^ον Ϛ α· ἔσται Μ^ο κε· τὸν δὲ αον καὶ τὸν β^ον Ϛ γ· ἔσονται Μ^ο οε. πάλιν ἐπεὶ ὁ β^ος καὶ ὁ γ^ος τοῦ α^ου εἰσὶ δ^πλ., τετάχθω ὁ α^ος Ϛ α. ἔσται ἄρα ὁ β^ος καὶ ὁ γ^ος Ϛ δ· οἱ τρεῖς ἄρα εἰσὶν Ϛ ε, ἀλλὰ καὶ Μ^ο ρ· καὶ γίνεται ὁ Ϛ, Μ^ο κ.

   ἔσται ἄρα ὁ α^ος Μ^ο κ· ὁ δὲ β^ος καὶ ὁ γ^ος Μ^ο π, ὧν ὁ γ^ος Μ^ο κε, λοιπὸς ἄρα ὁ β^ος ἔσται Μ^ο νε. καὶ ποιοῦσι τὰ τῆς προτάσεως.

   κα.

   Εὑρεῖν τρεῖς ἀριθμοὺς ὅπως ὁ μέγιστος τοῦ μέσου ὑπερέχῃ τῷ τοῦ ἐλαχίστου δοθέντι μέρει, ὁ δὲ μέσος [48] τοῦ ἐλαχίστου ὑπερέχῃ τῷ τοῦ μεγίστου δοθέντι μέρει, ὁ δὲ ἐλάχιστος δοθέντι ἀριθμῷ τοῦ τοῦ μέσου δοθέντος μέρους.

   Δεῖ δὴ τὸν μέσον τοῦ ἐλαχίστου τοσούτῳ μέρει τοῦ μεγίστου ὑπερέχειν, ὥστε τὸν ὁμώνυμον τοῦ τοιούτου μέρους ἐπὶ τὴν ὑπεροχὴν τοῦ μέσου πρὸς τὸν ἐλάχιστον πολλαπλασιαζόμενον ποιεῖν ἐν αὐτῷ πλῆθος ἀριθμῶν πλεῖον ἢ ἐν τῷ μέσῳ.

   Ἐπιτετάχθω δὴ τὸν μέγιστον τοῦ μέσου ὑπερέχειν τῷ τοῦ ἐλαχίστου γῳ μέρει, τὸν δὲ μέσον τοῦ ἐλαχίστου τῷ τοῦ μεγίστου γῳ μέρει, τὸν δὲ ἐλάχιστον ὑπερέχειν Μ^ο ι τοῦ τοῦ μέσου γ^ον μέρους.

   Τετάχθω δὴ ὁ ἐλάσσων Ϛ α καὶ ὧν ὑπερέχει τοῦ τοῦ μέσου γ^ον, Μ^ο ι· ὁ ἄρα μέσος ἔσται Ϛ γ, ἵνα ἔχῃ ὁ ἐλάχιστος τὸ γ^ον τοῦ μέσου καὶ Μ^ο ι.

   ἢ καὶ οὕτως· τετάχθω ὁ μέσος Ϛ γ· καὶ ἐπεὶ θέλω τὸν ἐλάχιστον ὑπερέχειν τοῦ γ^ου μέρους αὐτοῦ τοῦ μέσου, Μ^ο ι, ἔσται Ϛ α καὶ Μ^ο ι.

   λοιπόν ἐστι καὶ τὸν μέσον τοῦ ἐλαχίστου ὑπερέχειν τῷ τοῦ α^ου γῳ μέρει· ἀλλ' ὁ μέσος τοῦ ἐλαχίστου ὑπερέχει Ϛ β Μ^ο ι· ταῦτα ἄρα γ^ον μέρος ἐστὶ τοῦ μεγίστου· αὐτὸς ἄρα ὁ μέγιστος ἔσται Ϛ Ϛ Μ^ο λ. δεήσει ἄρα καὶ τὸν μέγιστον τοῦ μέσου ὑπερέχειν τῷ τοῦ ἐλαχίστου γῳ μέρει· ἀλλὰ ὁ μέγιστος τοῦ μέσου ὑπερέχει Ϛ γ Μ^ο λ. ταῦτα ἄρα γ^ον ἐστὶ μέρος τοῦ ἐλαχίστου· ὁ ἄρα ἐλάχιστος ἔσται Ϛ θ Μ^ο Ϟ· ἀλλὰ καὶ Ϛ α Μ^ο ι ηὑρέθη· καὶ γίνεται ὁ Ϛ Μ^ο ιβ Ϛ΄.

   ἔσται ἄρα ὁ μὲν γ^ος Μ^ο κβ Ϛ΄, ὁ δὲ μέσος Μ^ο λζ Ϛ΄, ὁ δὲ μέγιστος Μ^ο με, καὶ ποιοῦσι τὰ τῆς προτάσεως.

[50]    [Ἄλλως.]

   Εὑρεῖν κ. τ. ἑ.

   Δεῖ δὴ τὸ διδόμενον τοῦ μεγίστου μέρος τηλικοῦτον δίδοσθαι, ὥστε προστιθέμενον τῷ ἐλαχίστῳ, ποιεῖν τοὺς ἐν αὐτῷ ἀριθμοὺς ἐλάσσονας τῶν ἐξ ἀρχῆς λαμβανομένων τοῦ μέσου.

   Τετάχθω πάλιν ὁ ἐλάσσων Ϛ α καὶ ὧν ὑπερέχει τοῦ τοῦ μέσου γ^ου μέρους, Μ^ο ι· ἔσται ἄρα ὁ μέσος Ϛ γ, ἵνα ὑπερέχῃ ὁ ἐλάχιστος Μ^ο ι τοῦ τοῦ μέσου γ^ου μέρους. πάλιν ἐπεὶ θέλω τὸν μέγιστον τοῦ μέσου ὑπερέχειν τῷ τοῦ ἐλαχίστου γῳ μέρει, ἐὰν προσθῶ τῷ μέσῳ τὸ τοῦ ἐλαχίστου γ^ου μέρος, ἕξω τὸν μέγιστον Ϛ γ γ Μ^ο γ γ. λοιπὸν δεῖ [καὶ] τὸν μέσον ἴσον εἶναι τῷ ἐλαχίστῳ καὶ τῷ τοῦ μεγίστου γ^ῳ μέρει· ἀλλ' ὁ ἐλάχιστος μετὰ τοῦ γ^ου μέρους τοῦ μεγίστου, Ϛ εἰσιν β θ καὶ Μ^ο ια θ. ταῦτα ἴσα τοῖς τοῦ μέσου Ϛ γ.

   ἀπὸ ὁμοίων ὅμοια. Ϛ ἄρα α θ ἴσος ἐστὶ Μ^ο ια θ. πάντα θκις. Ϛ ἄρα η ἴσοι Μ^ο ρ. καὶ γίνεται ὁ Ϛ Μ^ο ιβ Ϛ΄. καὶ ἡ αὐτὴ ἀπόδειξις τῇ ἐπάνω.

   κβ.   Εὑρεῖν τρεῖς ἀριθμοὺς ὅπως ἕκαστος τῷ ἑξῆς ἑαυτοῦ διδῷ μέρος τὸ ἐπιταχθέν, ἵνα δόντες καὶ λαβόντες γένωνται ἴσοι.

[52]    Ἐπιτετάχθω δὴ τὸν μὲν αον τῷ βῳ διδόναι ἑαυτοῦ τὸ γ^ον, τὸν δὲ β^ον τῷ γῳ τὸ δον, καὶ ἔτι τὸν γ^ον τῷ α^ῳ τὸ ε^ον, καὶ γίνεσθαι ἴσους μετὰ τὴν ἀντίδοσιν.

   Τετάχθω ὁ αος, Ϛ τινων γ^ον ἐχόντων μέρος, ἐπεὶ γ^ον δίδωσιν· ἔστω δὴ καὶ Ϛ γ. ὁ δὲ β^ος, Μ^ο τινῶν δ^ον μέρος ἐχουσῶν, ἐπεὶ δ^ον δίδωσιν· ἔστω δὴ Μ^ο δ, καὶ μὴν δὴ ὁ β^ος δοὺς καὶ λαβὼν γίνεται Ϛ α Μ^ο γ.

   λοιπόν ἐστι καὶ τὸν αον δόντα καὶ λαβόντα γίνεσθαι Ϛ α Μ^ο γ· ἀλλὰ δοὺς μὲν ἑαυτοῦ τὸ γ^ον, Ϛ α, λαβὼν δὲ Μ^ο γ Ϛ α, γίνεται Ϛ α Μ^ο γ. Μ^ο ἄρα γ Ϛ α, εον μέρος εἰσὶ τοῦ γου· αὐτὸς ἄρα ἐστὶ Μ^ο ιε Ϛ ε.

   δεήσει ἄρα καὶ τὸν γ^ον, δόντα μὲν ἑαυτοῦ τὸ εον, λαβόντα δὲ παρὰ τοῦ β^ου τὸ δ^ον, Μ^ο α, γίνεσθαι Ϛ α Μ^ο γ· ἀλλὰ δοὺς μὲν ἑαυτοῦ τὸ ε^ον, Μ^ο γ Ϛ α, λοιπός ἐστι Μ^ο ιβ Ϛ δ· λαβὼν δὲ παρὰ τοῦ β^ου τὸ δον, Μ^ο α, γίνεται Μ^ο ιγ Ϛ δ. ταῦτα ἴσα Ϛ α Μ^ο γ· καὶ γίνεται ὁ Ϛ Μ^ο β.

   ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις. ἔσται ὁ μὲν α^ος Μ^ο Ϛ, ὁ δὲ β^ος Μ^ο δ, ὁ δὲ γ^ος Μ^ο ε. καὶ φανερὰ τὰ τῆς προτάσεως.

[54]    κγ.

   Εὑρεῖν τέσσαρας ἀριθμοὺς ὅπως ἕκαστος τῷ ἑξῆς ἑαυτοῦ δῷ μέρος τὸ ἐπιταχθέν, ἵνα δόντες καὶ λαβόντες γένωνται ἴσοι.

   Ἐπιτετάχθω τὸν μὲν α^ον τῷ β^ῳ διδόναι τὸ γ^ον, τὸν δὲ β^ον τῷ γ^ῳ τὸ δ^ον, τὸν δὲ γ^ον τῷ δῳ τὸ ε^ον, καὶ ἔτι τὸν δ^ον τῷ α^ῳ τὸ Ϛον, καὶ γίνεσθαι ἴσους μετὰ τὴν ἀντίδοσιν.

   Τετάχθω ὁ μὲν αος, Ϛ τινων γ^ον μέρος ἐχόντων, ἐπεὶ γ^ον δίδωσιν· ἔστω Ϛ γ· ὁ δὲ β^ος, Μ^ο τινῶν δ^ον μέρος ἐχουσῶν, ἐπεὶ δ^ον δίδωσιν· ἔστω Μ^ο δ. ὁ ἄρα βος, δοὺς μὲν ἑαυτοῦ τὸ δον, Μ^ο α, λαβὼν δὲ παρὰ τοῦ α^ου τὸ γ^ον, Ϛ α, γίνεται Ϛ α Μ^ο γ.

   δεήσει ἄρα καὶ τὸν α^ον, δόντα μὲν ἑαυτοῦ τὸ γ^ον, Ϛ α, λαβόντα δὲ παρὰ τοῦ δ^ου τὸ Ϛ^ον, γίνεσθαι Ϛ α Μ^ο γ· ἀλλὰ δοὺς μὲν Ϛ α, λοιποὺς ἔχει Ϛ β. δεήσει ἄρα λαβόντα αὐτὸν τοῦ δ^ου τὸ Ϛον, γίνεσθαι Ϛ α Μ^ο γ· Μ^ο ἄρα γ Ϛ α, Ϛον μέρος εἰσὶ τοῦ δ^ου· αὐτὸς ἄρα ὁ δ^ος ἔσται Μ^ο ιη Ϛ Ϛ.

   λοιπόν ἐστι καὶ τὸν δ^ον, δόντα μὲν ἑαυτοῦ τὸ Ϛον, λαβόντα δὲ παρὰ τοῦ γ^ου τὸ εον, γίνεσθαι Ϛ α Μ^ο γ· ἀλλὰ δοὺς μὲν ἑαυτοῦ τὸ Ϛ^ον, Μ^ο γ Ϛ α, λοιπός ἐστι Μ^ο ιε Ϛ ε. δεήσει ἄρα αὐτὸν καὶ λαβόντα τὸ τοῦ γ^ου ε^ον γίνεσθαι Ϛ α Μ^ο γ· ἀλλὰ ἐὰν λάβῃ Ϛ Ϛ Μ^ο ιβ, γίνεται Ϛ α Μ^ο γ, ὥστε Ϛ Ϛ Μ^ο ιβ, εον μέρος εἰσὶ τοῦ γου· αὐτὸς ἄρα ἔσται Ϛ λ Μ^ο ξ.

[56]    δεήσει ἄρα καὶ τὸν γ^ον, δόντα μὲν ἑαυτοῦ τὸ ε^ον, λαβόντα δὲ παρὰ τοῦ β^ου τὸ δ^ον, γίνεσθαι Ϛ α Μ^ο γ· ἀλλὰ δοὺς μὲν ἑαυτοῦ τὸ εον, Ϛ Ϛ Μ^ο ιβ, λοιποὺς ἔχει Ϛ κδ Μ^ο μη· λαβὼν δὲ παρὰ τοῦ β^ου τὸ δον, γίνεται Ϛ κδ Μ^ο μζ. ταῦτα ἴσα Ϛ α Μ^ο γ· καὶ γίνεται ὁ Ϛ ν κγων.

   ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις. ἔσται ὁ μὲν α^ος ρν, ὁ δὲ β^ος Ϟβ, ὁ δὲ γ^ος ρκ, ὁ δὲ δ^ος ριδ· περιῃρήσθω τὸ μόριον· ἔσται δηλαδὴ ὁ μὲν α^ος Μ^ο ρν, ὁ δὲ β^ος Ϟβ, ὁ δὲ γ^ος ρκ, ὁ δὲ δ^ος ριδ. καὶ ποιοῦσι τὰ τῆς προτάσεως.

   κδ.

   Εὑρεῖν τρεῖς ἀριθμοὺς ὅπως ἕκαστος παρὰ τῶν λοιπῶν δύο ὡς ἑνὸς λάβῃ μέρος τὸ ἐπιταχθέν, καὶ γένωνται ἴσοι.

   Ἐπιτετάχθω δὴ τὸν μὲν α^ον παρὰ τῶν λοιπῶν δύο ὡς ἑνὸς λαμβάνειν τὸ γ^ον, τὸν δὲ β^ον παρὰ τῶν λοιπῶν δύο ὡς ἑνὸς λαμβάνειν τὸ δ^ον, τὸν δὲ γ^ον παρὰ τῶν λοιπῶν δύο ὡς ἑνὸς λαμβάνειν τὸ εον, καὶ γίνεσθαι ἴσους.

   Τετάχθω ὁ α^ος Ϛ α· οἱ δὲ λοιποὶ δύο, Μ^ο τινῶν τοῦ προχείρου ἕνεκεν γ^ον μέρος ἐχουσῶν, ἐπεὶ γ^ον διδόασιν· ἔστω Μ^ο γ. οἱ ἄρα τρεῖς ἔσονται Ϛ α Μ^ο γ, καὶ μένει ὁ α^ος λαβὼν παρὰ τῶν λοιπῶν δύο τὸ γ^ον, Ϛ α Μ^ο α.

   δεήσει ἄρα καὶ τὸν β^ον παρὰ τῶν ‹λοιπῶν› δύο ὡς ἑνὸς λαβόντα τὸ δον, γίνεσθαι Ϛ α Μ^ο α· πάντα δκις· [58] δκις ἄρα ὁ β^ος προσλαβὼν τοὺς δύο, τρίς ἐστιν ὁ β^ος προσλαβὼν τοὺς τρεῖς· τρὶς ἄρα ὁ β^ος προσλαβὼν τοὺς τρεῖς γίνεται Ϛ δ Μ^ο δ· ἐὰν ἄρα ἀπὸ τούτων ἀφέλω τοὺς τρεῖς, λοιποὶ Ϛ γ Μ^ο α τρίς ἐστιν ὁ β^ος· αὐτὸς ἄρα ὁ β^ος ἔσται· Ϛ α Μ^ο γ.

   δεήσει ἄρα καὶ τὸν γ^ον παρὰ τῶν λοιπῶν δύο ὡς ἑνὸς λαβόντα τὸ εον, γίνεσθαι Ϛ α Μ^ο α· πάντα ὁμοίως εκις. καὶ συνάγεται διὰ τῶν ὁμοίων ὁ γ^ος Ϛ α Μ^ο Ϛ΄.

   λοιπόν ἐστι τοὺς τρεῖς συντεθέντας ἴσους γενέσθαι Ϛ α Μ^ο γ· καὶ γίνεται ὁ Ϛ ιγ ιβων· καὶ ἀφαιρουμένου τοῦ μορίου, ἔσται ὁ μὲν α^ος Μ^ο ιγ, ὁ δὲ β^ος Μ^ο ιζ, ὁ δὲ γ^ος Μ^ο ιθ. καὶ ποιοῦσι τὰ τῆς προτάσεως.

   κε.

   Εὑρεῖν τέσσαρας ἀριθμοὺς ὅπως ἕκαστος παρὰ τῶν λοιπῶν τριῶν ὡς ἑνὸς λαμβάνῃ μέρος τὸ ἐπιταχθέν, καὶ γένωνται ἴσοι.

   Ἐπιτετάχθω δὴ τὸν μὲν αον παρὰ τῶν λοιπῶν τριῶν ὡς ἑνὸς λαμβάνειν τὸ γ^ον, τὸν δὲ β^ον παρὰ τῶν λοιπῶν τριῶν ὡς ἑνὸς τὸ δον, τὸν δὲ γ^ον ὁμοίως τὸ εον, τὸν δὲ δ^ον τὸ Ϛον, καὶ γίνεσθαι ἴσους.

   Τετάχθω ὁ α^ος Ϛ α· οἱ δὲ λοιποὶ τρεῖς Μ^ο τινῶν γ^ον μέρος ἐχουσῶν, ἐπεὶ γ^ον διδόασιν· ἔστωσαν Μ^ο γ. ὁ ἄρα α^ος παρὰ τῶν λοιπῶν τριῶν ὡς ἑνὸς λαμβάνων τὸ γ^ον, γίνεται Ϛ α Μ^ο α.

[60]    δεήσει ἄρα καὶ τὸν β^ον παρὰ τῶν λοιπῶν τριῶν ὡς ἑνὸς λαβόντα τὸ δ^ον, γίνεσθαι Ϛ α Μ^ο α. πάντα πάλιν ὁμοίως δκις· καὶ συνάγεται διὰ τῶν αὐτῶν, ὁ μὲν β^ος Ϛ α Μ^ο γ΄, ὁ δὶ γ^ος Ϛ α Μ^ο Ϛ΄, ὁ δὲ δ^ος Ϛ α Μ^ο γ εων.

   λοιπόν ἐστι τοὺς τέσσαρας συντεθέντας ἴσους γίνεσθαι Ϛ α Μ^ο γ· καὶ συνάγεται ὁ Ϛ Μ^ο μζ, ἐν μορίῳ μονάδος Ϟῳ.

   ἔσται ὁ μὲν α^ος Μ^ο μζ, ὁ δὲ β^ος Μ οζ, ὁ δὲ γ^ος Μ^ο Ϟβ, ὁ δὲ δ^ος Μ^ο ρα. καὶ ποιοῦσι τὰ τῆς προτάσεως.

   κϚ.

   Δυσὶ δοθεῖσιν ἀριθμοῖς προσευρεῖν τινα ἀριθμόν, ὃς ἑκάτερον πολλαπλασιάσας ποιῇ ὃν μὲν τετράγωνον, ὃν δὲ πλευρὰν τοῦ τετραγώνου.

   Ἔστωσαν οἱ δοθέντες δύο ἀριθμοὶ ὅ τε σ καὶ ὁ ε· καὶ ἔστω ὁ ζητούμενος Ϛ α.

   κᾂν μὲν ἐπὶ τὰς σ Μ^ο πολλαπλασιασθῇ, ποιεῖ Ϛ σ, κᾂν δὲ ἐπὶ τὰς Μ^ο ε, ποιεῖ Ϛ ε. δεῖ δὴ τούτων τὸν μὲν εἶναι τετράγωνον, τὸν δὲ πλευρὰν αὐτοῦ. ἐὰν τοίνυν τοὺς Ϛ ε τετραγωνίσω, γίνονται Δ^Υ κε ἴσαι Ϛ σ.

   πάντα παρὰ Ϛ· Ϛ ἄρα κε ἴσοι Μ^ο σ. καὶ γίνεται ὁ Ϛ, Μ^ο η, καὶ ποιεῖ τὰ τῆς προτάσεως.

   κζ.

   Εὑρεῖν δύο ἀριθμοὺς ὅπως ἡ σύνθεσις αὐτῶν καὶ ὁ πολλαπλασιασμὸς ποιῇ δοθέντας ἀριθμούς.

   Δεῖ δὴ τῶν εὑρισκομένων τὸν ἀπὸ τοῦ ἡμίσεος τοῦ [62] συναμφοτέρου τετράγωνον τοῦ ὑπ' αὐτῶν ὑπερέχειν τετραγώνῳ. ἔστι δὲ τοῦτο πλασματικόν.

   Ἐπιτετάχθω δὴ τὴν μὲν σύνθεσιν αὐτῶν ποιεῖν Μ^ο κ, τὸν δὲ πολλαπλασιασμὸν ποιεῖν Μ^ο ϞϚ.

   Τετάχθω ἡ ὑπεροχὴ αὐτῶν Ϛ β. καὶ ἐπεὶ τὸ σύνθεμα αὐτῶν ἐστι Μ^ο κ, ἐὰν τοῦτο τέμω δίχα, ἔσται ἑκάτερος τῶν ἐκ τῆς διαιρέσεως, τοῦ Ϛ΄ τοῦ συνθέματος, Μ^ο ι. κᾂν τὸ ἥμισυ τῆς ὑπεροχῆς, τουτέστιν Ϛ α, ἑνὶ μὲν τῶν ἐκ τῆς διαιρέσεως προσθῶ, τοῦ δὲ λοιποῦ ἀφέλω, μένει πάλιν τὸ σύνθεμα Μ^ο κ, ἡ δὲ ὑπεροχὴ Ϛ β. τετάχθω οὖν ὁ μείζων Ϛ α καὶ Μ^ο ι τῶν ἡμίσεων τοῦ συνθέματος· ὁ ἄρα ἐλάσσων ἔσται Μ^ο ι Ϛ α. καὶ μένει τὸ μὲν σύνθεμα Μ^ο κ, ἡ δὲ ὑπεροχὴ Ϛ β.

   λοιπόν ἐστι καὶ τὸν ὑπ' αὐτῶν ποιεῖν Μ^ο ϞϚ· ἀλλ' ὁ ὑπ' αὐτῶν ἐστι Μ^ο ρ Δ^Υ α· ταῦτα ἴσα Μ^ο ϞϚ· καὶ γίνεται ὁ Ϛ Μ^ο β.

   ἔσται ἄρα ὁ μὲν μείζων Μ^ο ιβ, ὁ δὲ ἐλάσσων Μ^ο η. καὶ ποιοῦσι τὰ τῆς προτάσεως.

   κη.

   Εὑρεῖν δύο ἀριθμοὺς ὅπως καὶ ἡ σύνθεσις αὐτῶν καὶ ἡ σύνθεσις τῶν ἀπ' αὐτῶν τετραγώνων ποιῇ δοθέντας ἀριθμούς.

   Δεῖ δὴ τοὺς δὶς ἀπ' αὐτῶν τετραγώνους τοῦ ἀπὸ συναμφοτέρου αὐτῶν τετραγώνου ὑπερέχειν τετραγώνῳ. ἔστι δὲ καὶ τοῦτο πλασματικόν.

   Ἐπιτετάχθω δὴ τὴν μὲν σύνθεσιν αὐτῶν ποιεῖν Μ^ο κ, τὴν δὲ σύνθεσιν τῶν ἀπ' αὐτῶν τετραγώνων ποιεῖν Μ^ο ση.

[64]    Τετάχθω δὴ ἡ ὑπεροχὴ αὐτῶν Ϛ β. καὶ ἔστω ὁ μείζων Ϛ α καὶ Μ^ο ι, τῶν ἡμίσεων πάλιν τοῦ συνθέματος, ὁ δὲ ἐλάσσων Μ^ο ι Ϛ α. καὶ μένει πάλιν τὸ μὲν σύνθεμα αὐτῶν Μ^ο κ, ἡ δὲ ὑπεροχὴ Ϛ β.

   λοιπόν ἐστι καὶ τὸ σύνθεμα τῶν ἀπ' αὐτῶν τετραγώνων ποιεῖν Μ^ο ση· ἀλλὰ τὸ σύνθεμα τῶν ἀπ' αὐτῶν τετραγώνων ποιεῖ Δ^Υ β Μ^ο σ. ταῦτα ἴσα Μ^ο ση, καὶ γίνεται ὁ Ϛ Μ^ο β.

   ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις. ἔσται ὁ μὲν μείζων Μ^ο ιβ, ὁ δὲ ἐλάσσων Μ^ο η. καὶ ποιοῦσι τὰ τῆς προτάσεως.

   κθ.

   Εὑρεῖν δύο ἀριθμοὺς ὅπως καὶ ἡ σύνθεσις αὐτῶν καὶ ἡ ὑπεροχὴ τῶν ἀπ' αὐτῶν τετραγώνων ποιῇ δοθέντας ἀριθμούς.

   Ἐπιτετάχθω δὴ τὴν μὲν σύνθεσιν αὐτῶν ποιεῖν Μ^ο κ, τὴν δὲ ὑπεροχὴν τῶν ἀπ' αὐτῶν τετραγώνων ποιεῖν Μ^ο π.

   Τετάχθω ἡ ὑπεροχὴ αὐτῶν Ϛ β. ἔσται ὁμοίως ὁ μὲν μείζων Ϛ α Μ^ο ι, ὁ δὲ ἐλάσσων Μ^ο ι Ϛ α, καὶ μένει πάλιν τὸ μὲν σύνθεμα αὐτῶν Μ^ο κ, ἡ δὲ ὑπεροχὴ Ϛ β.

   λοιπόν ἐστι καὶ τὴν ὑπεροχὴν τῶν ἀπ' αὐτῶν τετραγώνων ποιεῖν Μ^ο π· ἀλλ' ἡ ὑπεροχὴ τῶν ἀπ' αὐτῶν τετραγώνων ἐστὶν Ϛ μ· ταῦτα ἴσα Μ^ο π.

   καὶ συνάγεται πάλιν ὁ μὲν μείζων Μ^ο ιβ, ὁ δὲ ἐλάσσων Μ^ο η. καὶ πάλιν ποιοῦσι τὸ πρόβλημα.

[66]    λ.

   Εὑρεῖν δύο ἀριθμοὺς ὅπως ἡ ὑπεροχὴ αὐτῶν καὶ ὁ πολλαπλασιασμὸς ποιῇ δοθέντας ἀριθμούς.

   Δεῖ δὴ τὸν τετράκις ὑπ' αὐτῶν μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ὑπεροχῆς αὐτῶν ποιεῖν τετράγωνον. ἔστι δὲ καὶ τοῦτο πλασματικόν.

   Ἐπιτετάχθω δὴ τὴν μὲν ὑπεροχὴν αὐτῶν εἶναι Μ^ο δ, τὸν δὲ πολλαπλασιασμὸν Μ^ο ϞϚ.

   Τετάχθω τὸ σύνθεμα αὐτῶν Ϛ β· ἔχομεν δὲ καὶ τὴν ὑπεροχὴν Μ^ο δ. ἔσται ὁμοίως ὁ μείζων Ϛ α Μ^ο β, ὁ δὲ ἐλάσσων Ϛ α Μ^ο β, καὶ μένει τὸ μὲν σύνθεμα αὐτῶν Ϛ β, ἡ δὲ ὑπεροχὴ Μ^ο δ.

   λοιπόν ἐστι καὶ τὸν πολλαπλασιασμὸν αὐτῶν ποιεῖν Μ^ο ϞϚ· ἀλλ' ὁ πολλαπλασιασμὸς αὐτῶν ἐστι Δ^Υ α Μ^ο δ· ταῦτα ἴσα Μ^ο ϞϚ.

   καὶ γίνεται πάλιν ὁ μὲν μείζων Μ^ο ιβ, ὁ δὲ ἐλάσσων Μ^ο η. καὶ ποιοῦσι τὸ πρόβλημα.

   λα.

   Εὑρεῖν δύο ἀριθμοὺς πρὸς ἀλλήλους λόγον ἔχοντας δεδομένον, ὅπως καὶ ἡ σύνθεσις τῶν ἀπ' αὐτῶν τετραγώνων πρὸς συναμφότερον λόγον ἔχῃ δεδομένον.

   Ἐπιτετάχθω δὴ τὸν μείζονα τοῦ ἐλάσσονος εἶναι γ^πλ., τὴν δὲ σύνθεσιν τῶν ἀπ' αὐτῶν τετραγώνων συναμφοτέρου εἶναι ε^πλ..

   Τετάχθω ὁ ἐλάσσων Ϛ α, ὁ ἄρα μείζων ἔσται Ϛ γ. λοιπόν ἐστι τὸ σύνθεμα τῶν ἀπ' αὐτῶν τετραγώνων ‹συναμφοτέρου εἶναι ε^πλ.· ἀλλὰ τὸ σύνθεμα τῶν ἀπ' αὐτῶν τετραγώνων› ποιεῖ Δ^Υ ι, τὸ δὲ αὐτῶν σύνθεμα Ϛ δ· ὥστε Δ^Υ ι ε^πλ. εἰσιν Ϛ δ.

[68]    Ϛ ἄρα κ ἴσοι εἰσὶ Δ^Υ ι, καὶ γίνεται ὁ Ϛ Μ^ο β.

   ἔσται ὁ μὲν ἐλάσσων Μ^ο β, ὁ δὲ μείζων Μ^ο Ϛ. καὶ ποιοῦσι τὰ τῆς προτάσεως.

   λβ.

   Εὑρεῖν δύο ἀριθμοὺς ἐν λόγῳ τῷ δοθέντι ὅπως ἡ σύνθεσις τῶν ἀπ' αὐτῶν τετραγώνων πρὸς τὴν ὑπεροχὴν αὐτῶν λόγον ἔχῃ δεδομένον.

   Ἐπιτετάχθω δὴ τὸν μείζονα τοῦ ἐλάσσονος εἶναι γ^πλ., τὸ δὲ σύνθεμα τῶν ἀπ' αὐτῶν τετραγώνων τῆς ὑπεροχῆς αὐτῶν εἶναι ιπλ..

   Τετάχθω ὁ ἐλάσσων Ϛ α, ὁ ἄρα μείζων ἔσται Ϛ γ. λοιπὸν θέλω τὸ σύνθεμα τῶν ἀπ' αὐτῶν τετραγώνων τῆς ὑπεροχῆς αὐτῶν εἶναι ιπλ.· ἀλλὰ τὸ σύνθεμα τῶν ἀπ' αὐτῶν τετραγώνων ποιεῖ Δ^Υ ι, ἡ δὲ ὑπεροχὴ αὐτῶν Ϛ β. Δ^Υ ἄρα ι ιπλ. εἰσιν Ϛ β.

   καὶ πάντα παρὰ Ϛ. Ϛ ἄρα ι ἴσοι εἰσὶ Μ^ο κ, καὶ γίνεται ὁ Ϛ Μ^ο β.

   καὶ ἔσται πάλιν ὁ μὲν ἐλάσσων Μ^ο β, ὁ δὲ μείζων Μ^ο Ϛ. καὶ ποιοῦσι τὰ τῆς προτάσεως.

   λγ.

   Εὑρεῖν δύο ἀριθμοὺς ἐν λόγῳ τῷ δοθέντι ὅπως καὶ ἡ ὑπεροχὴ τῶν ἀπ' αὐτῶν τετραγώνων πρὸς συναμφότερον λόγον ἔχῃ δεδομένον.

   Ἐπιτετάχθω δὴ τὸν μὲν μείζονα τοῦ ἐλάσσονος [70] εἶναι γ^πλ., τὴν δὲ ὑπεροχὴν τῶν ἀπ' αὐτῶν τετραγώνων συναμφοτέρου εἶναι Ϛπλ..

   Τετάχθω ὁ ἐλάσσων Ϛ α, ὁ ἄρα μείζων ἔσται Ϛ γ. λοιπόν ἐστι καὶ τὴν ὑπεροχὴν τῶν ἀπ' αὐτῶν τετραγώνων συναμφοτέρου εἶναι Ϛπλ.· ἀλλὰ ἡ μὲν ὑπεροχὴ τῶν ἀπ' αὐτῶν τετραγώνων εἰσὶ Δ^Υ η, συναμφότερος δὲ Ϛ δ. Δ^Υ ἄρα η Ϛπλ. εἰσιν Ϛ δ· Ϛ ἄρα κδ ἴσοι εἰσὶ Δ^Υ η· καὶ γίνεται ὁ Ϛ Μ^ο γ.

   ‹καὶ ἔσται ὁ μὲν ἐλάσσων Μ^ο γ, ὁ δὲ μείζων Μ^ο θ.› καὶ ποιοῦσι τὸ πρόβλημα.

   λδ.

   Εὑρεῖν δύο ἀριθμοὺς ἐν λόγῳ τῷ δοθέντι ὅπως καὶ ἡ ὑπεροχὴ τῶν ἀπ' αὐτῶν τετραγώνων πρὸς τὴν ὑπεροχὴν αὐτῶν λόγον ἔχῃ δεδομένον.

   Ἐπιτετάχθω δὴ τὸν μὲν μείζονα τοῦ ἐλάσσονος εἶναι γ^πλ., τὴν δὲ ὑπεροχὴν τῶν ἀπ' αὐτῶν τετραγώνων τῆς ὑπεροχῆς αὐτῶν εἶναι ιβ^πλ..

   Τετάχθω πάλιν ὁ ἐλάσσων Ϛ α, ὁ ἄρα μείζων ἔσται Ϛ γ. λοιπόν ἐστι καὶ τὴν ὑπεροχὴν τῶν ἀπ' αὐτῶν τετραγώνων τῆς ὑπεροχῆς αὐτῶν εἶναι ιβπλ.· ἀλλὰ ἡ ὑπεροχὴ τῶν ἀπ' αὐτῶν τετραγώνων ἐστὶ Δ^Υ η· αὐταὶ ἄρα ιβπλ. εἰσιν Ϛ β.

   Ϛ ἄρα κδ ἴσοι εἰσὶ Δ^Υ η· καὶ γίνεται πάλιν ὁ Ϛ Μ^ο γ. καὶ φανερὰ ἡ ἀπόδειξις.

   [Πόρισμα.] Ὁμοίως δὲ διὰ τῶν αὐτῶν εὑρεθήσονται

   καὶ ἀριθμοὶ δύο πρὸς ἀλλήλους λόγον ἔχοντες δεδομένον, [72] ὥστε τὸν ὑπ' αὐτῶν πρὸς συναμφότερον λόγον ἔχειν δεδομένον,

   καὶ πάλιν δύο ἀριθμοὶ πρὸς ἀλλήλους λόγον ἔχοντες δεδομένον, ὥστε τὸν ὑπ' αὐτῶν πρὸς τὴν ὑπεροχὴν αὐτῶν λόγον ἔχειν δεδομένον.

   λε.

   Εὑρεῖν δύο ἀριθμοὺς ἐν λόγῳ τῷ δοθέντι ὅπως ὁ ἀπὸ τοῦ ἐλάσσονος πρὸς τὸν μείζονα λόγον ἔχῃ δεδομένον.

   Ἐπιτετάχθω δὴ τὸν μὲν μείζονα τοῦ ἐλάσσονος εἶναι γ^πλ., τὸν δὲ ἀπὸ τοῦ ἐλάσσονος τοῦ μείζονος εἶναι Ϛπλ..

   Τετάχθω πάλιν ὁ ἐλάσσων Ϛ α, ὁ ἄρα μείζων ἔσται Ϛ γ. λοιπόν ἐστι καὶ τὸν ἀπὸ τοῦ ἐλάσσονος τοῦ μείζονος εἶναι Ϛπλ.· ἀλλ' ὁ ἀπὸ τοῦ ἐλάσσονός ἐστι Δ^Υ α· Δ^Υ ἄρα α Ϛπλ. ἐστὶν Ϛ γ.

   Ϛ ἄρα ιη ἴσοι εἰσὶ Δ^Υ α· καὶ γίνεται ὁ Ϛ Μ^ο ιη.

   ἔσται ὁ μὲν ἐλάσσων Μ^ο ιη, ὁ δὲ μείζων Μ^ο νδ. καὶ ποιοῦσι τὸ πρόβλημα.

   λϚ.

   Εὑρεῖν δύο ἀριθμοὺς ἐν λόγῳ τῷ δοθέντι ὅπως καὶ ὁ ἀπὸ τοῦ ἐλάσσονος τετράγωνος πρὸς αὐτὸν τὸν ἐλάσσονα λόγον ἔχῃ δεδομένον.

   Ἐπιτετάχθω δὴ τὸν μὲν μείζονα τοῦ ἐλάσσονος εἶναι γ^πλ., τὸν δὲ ἀπὸ τοῦ ἐλάσσονος τετράγωνον αὐτοῦ τοῦ ἐλάσσονος Ϛπλ..

[74]    Ἔσται ὁμοίως ὁ μὲν μείζων Ϛ γ, ὁ δὲ ἐλάσσων Ϛ α, καὶ μένει ὁ μείζων τοῦ ἐλάσσονος γ^πλ.. λοιπόν ἐστι καὶ τὸν ἀπὸ τοῦ ἐλάσσονος τετράγωνον αὐτοῦ τοῦ ἐλάσσονος εἶναι Ϛπλ.· Δ^Υ ἄρα α Ϛπλ. ἐστὶν Ϛ α.

   Ϛ ἄρα Ϛ ἴσοι Δ^Υ α· καὶ γίνεται ὁ Ϛ Μ^ο Ϛ.

   ἔσται ὁ μὲν ἐλάσσων Μ^ο Ϛ, ὁ δὲ μείζων Μ^ο ιη. καὶ ποιοῦσι τὸ πρόβλημα.

   λζ.

   Εὑρεῖν δύο ἀριθμοὺς ἐν λόγῳ τῷ δοθέντι ὅπως καὶ ὁ ἀπὸ τοῦ ἐλάσσονος τετράγωνος πρὸς συναμφότερον λόγον ἔχῃ δεδομένον.

   Ἐπιτετάχθω τὸν μείζονα τοῦ ἐλάσσονος εἶναι γ^πλ., τὸν δὲ ἀπὸ τοῦ ἐλάσσονος τετράγωνον συναμφοτέρου εἶναι β^πλ..

   Ἔσται πάλιν ὁμοίως ὁ μὲν μείζων Ϛ γ, ὁ δὲ ἐλάσσων Ϛ α. λοιπόν ἐστι καὶ τὸν ἀπὸ τοῦ ἐλάσσονος τετράγωνον συναμφοτέρου εἶναι β^πλ.· ἀλλ' ὁ ἀπὸ τοῦ ἐλάσσονος τετράγωνός ἐστι Δ^Υ α, συναμφότερος δὲ Ϛ δ. Δ^Υ ἄρα α β^πλ. ἐστὶν Ϛ δ.

   Ϛ ἄρα η ἴσοι εἰσὶ Δ^Υ α· ‹καὶ› γίνεται ὁ Ϛ Μ^ο η.

   καὶ ἔσται ὁ μὲν ἐλάσσων Μ^ο η, ὁ δὲ μείζων Μ^ο κδ. καὶ ποιοῦσι τὰ τῆς προτάσεως.

   λη.

   Εὑρεῖν δύο ἀριθμοὺς ἐν λόγῳ τῷ δοθέντι ὅπως καὶ ὁ ἀπὸ τοῦ ἐλάσσονος τετράγωνος πρὸς τὴν ὑπεροχὴν αὐτῶν λόγον ἔχῃ δεδομένον.

[76]    Ἐπιτετάχθω δὴ τὸν μείζονα τοῦ ἐλάσσονος εἶναι γ^πλ., τὸν δὲ ἀπὸ τοῦ ἐλάσσονος τετράγωνον τῆς ὑπεροχῆς αὐτῶν Ϛπλ..

   Ἔσται πάλιν ὁμοίως ὁ μὲν μείζων Ϛ γ, ὁ δὲ ἐλάσσων Ϛ α. λοιπόν ἐστι καὶ τὸν ἀπὸ τοῦ ἐλάσσονος τετράγωνον τῆς ὑπεροχῆς αὐτῶν εἶναι Ϛπλ.· Δ^Υ ἄρα α Ϛπλ. ἐστὶν Ϛ β.

   Ϛ ἄρα ιβ ἴσοι εἰσὶ Δ^Υ α· ὁ ἄρα Ϛ ἔσται Μ^ο ιβ

   ἔσται ἄρα ὁ μὲν ἐλάσσων Μ^ο ιβ, ὁ δὲ μείζων Μ^ο λϚ. καὶ ποιοῦσι τὰ τῆς προτάσεως.

   [Πόρισμα.] Ὁμοίως δὲ διὰ τῶν αὐτῶν εὑρεθήσονται

   ἀριθμοὶ δύο ἐν λόγῳ τῷ δοθέντι ὅπως ὁ ἀπὸ τοῦ μείζονος τετράγωνος πρὸς τὸν ἐλάσσονα λόγον ἔχῃ δεδομένον,

   καὶ πάλιν δύο ἀριθμοὶ ἐν λόγῳ τῷ δοθέντι ὅπως ὁ ἀπὸ τοῦ μείζονος πρὸς αὐτὸν τὸν μείζονα λόγον ἔχῃ δεδομένον,

   καὶ ὁμοίως δύο ἀριθμοὶ ἐν λόγῳ τῷ δοθέντι ὅπως καὶ ὁ ἀπὸ τοῦ μείζονος πρὸς συναμφότερον λόγον ἔχῃ δεδομένον,

   καὶ ἔτι δύο ἀριθμοὶ ἐν λόγῳ τῷ δοθέντι ὅπως καὶ ὁ ἀπὸ τοῦ μείζονος τετράγωνος πρὸς τὴν ὑπεροχὴν αὐτῶν λόγον ἔχῃ δεδομένον.

   λθ.

   Δυσὶ δοθεῖσιν ἀριθμοῖς προσευρεῖν ἕτερον ἀριθμὸν ὅπως τῶν τριῶν ἐκκειμένων σὺν δύο συντεθέντες καὶ [78] ἐπὶ τὸν λοιπὸν πολλαπλασιασθέντες ποιῶσι τρεῖς ἀριθμοὺς ἐν ἴσῃ ὑπεροχῇ.

   Ἔστωσαν οἱ δοθέντες δύο ἀριθμοὶ ὅ τε γ καὶ ὁ ε, καὶ δέον ἔστω προσευρεῖν ἕτερον ἀριθμὸν ὅπως σὺν δύο συντεθέντες καὶ ἐπὶ τὸν λοιπὸν πολλαπλασιασθέντες, ποιῶσι τρεῖς ἀριθμοὺς ἐν ἴσῃ ὑπεροχῇ.

   Ἔστω ὁ ζητούμενος Ϛ α. καὶ ἐὰν μὲν συντεθῇ μετὰ Μ^ο ε, γίνεται Ϛ α Μ^ο ε· ἐὰν δὲ πολλαπλασιασθῇ ἐπὶ τὸν λοιπόν, τουτέστι τὸν γ, γίνονται Ϛ γ Μ^ο ιε. πάλιν ἐὰν Ϛ α συντεθῇ μετὰ Μ^ο γ, γίνεται Ϛ α Μ^ο γ· ἐὰν δὲ πολλαπλασιασθῇ ἐπὶ Μ^ο ε, γίνεται Ϛ ε Μ^ο ιε. καὶ ἔτι ἐὰν Μ^ο ε συντεθῶσι μετὰ Μ^ο γ, καὶ αἱ γινόμεναι Μ^ο η πολλαπλασιασθῶσιν ἐπὶ Ϛ α, γίνονται Ϛ η.

   Ὅτι μὲν οὖν οὐδέποτε ἔσται μέγιστος ὁ τῶν Ϛ γ Μ^ο ιε, φανερόν· μείζων γὰρ αὐτοῦ ἐστιν ὁ τῶν Ϛ ε Μ^ο ιε· ὁ ἄρα Ϛ γ Μ^ο ιε ἤτοι μέσος ἐστὶν ἢ ἐλάσσων· ὁ δὲ τῶν Ϛ ε Μ^ο ιε ἤτοι μέγιστός ἐστιν ἢ μέσος· ὁ δὲ τῶν Ϛ η καὶ μέγιστος καὶ μέσος καὶ ἐλάχιστος δύναται τυγχάνειν, τῷ ἄδηλον εἶναι τὴν τοῦ Ϛ ὑπόστασιν.

   Τετάχθω οὖν πρῶτον μέγιστος μὲν ὁ τῶν Ϛ ε καὶ Μ^ο ιε, ἐλάχιστος δὲ ὁ τῶν Ϛ γ Μ^ο ιε, μέσος δὲ δηλονότι ὁ τῶν Ϛ η.

   Ἐὰν δὲ ὦσιν ἀριθμοὶ τρεῖς ἐν ἴσῃ ὑπεροχῇ, ὁ μέγιστος καὶ ὁ ἐλάχιστος συντεθέντες διπλάσιοί εἰσι τοῦ μέσου· καὶ ἔστιν ὁ μέγιστος καὶ ὁ ἐλάχιστος Ϛ η Μ^ο λ· ταῦτα ἴσα Ϛ ιϚ· καὶ γίνεται ὁ Ϛ ιεδ.

   τοσούτου ἔσται ὁ ζητούμενος καὶ ποιῶν τὰ τῆς προτάσεως.

[80]    Ἀλλὰ δὴ ἔστω μέγιστος μὲν ὁ τῶν Ϛ ε Μ^ο ιε, μέσος δὲ ὁ τῶν Ϛ γ Μ^ο ιε, ἐλάχιστος δὲ ὁ τῶν Ϛ η.

   Ἐὰν δὲ ὦσι τρεῖς ἀριθμοὶ ἐν ἴσῃ ὑπεροχῇ, ᾧ ὑπερέχει ὁ μέγιστος τὸν μέσον, τούτῳ ὑπερέχει ὁ μέσος τὸν ἐλάχιστον· ὑπερέχει δὲ ὁ μὲν μέγιστος τὸν μέσον, Ϛ β· ὁ δὲ μέσος τὸν ἐλάχιστον, Μ^ο ιε Ϛ ε.

   Μ^ο ἄρα ιε Ϛ ε ἴσαι εἰσὶν Ϛ β, καὶ γίνεται ὁ Ϛ ιεζ.

   τοσούτου ἔσται ὁ ζητούμενος καὶ ποιῶν τὸ πρόβλημα.

   Ἀλλὰ δὴ ἔστω μέγιστος μὲν ὁ τῶν Ϛ η, μέσος δὲ ὁ τῶν Ϛ ε Μ^ο ιε, ἐλάχιστος δὲ ὁ τῶν Ϛ γ Μ^ο ιε.

   Ἐπεὶ οὖν πάλιν ὁ μέγιστος καὶ ὁ ἐλάχιστος διπλάσιοί εἰσι τοῦ μέσου, ἀλλὰ ὁ μέγιστος καὶ ὁ ἐλάχιστός εἰσιν Ϛ ια Μ^ο ιε, ταῦτα διπλάσιά εἰσι τῶν τοῦ μέσου· ὁ δὲ μέσος ἐστὶν Ϛ ε Μ^ο ιε.

   Ϛ ἄρα ι Μ^ο λ ἴσοι εἰσὶν Ϛ ια Μ^ο ιε· ἔσται ἄρα ὁ ζητούμενος Μ^ο ιε, καὶ ποιεῖ τὰ τῆς προτάσεως.

ΔΙΟΦΑΝΤΟΥ ΑΛΕΞΑΝΔΡΕΩΣ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΩΝ Β.

[82]   α. Εὑρεῖν δύο ἀριθμοὺς ὅπως ἡ σύνθεσις αὐτῶν πρὸς τὴν τῶν ἀπ' αὐτῶν σύνθεσιν λόγον ἔχῃ δεδομένον.

   Ἐπιτετάχθω δὴ τὴν σύνθεσιν αὐτῶν τῆς τῶν ἀπ' αὐτῶν συνθέσεως εἶναι μέρος ιον.

   Τετάχθω ὁ μὲν ἐλάσσων Ϛ α, ὁ δὲ μείζων Ϛ β· γίνεται ἡ μὲν σύνθεσις αὐτῶν Ϛ γ, ἡ δὲ σύνθεσις τῶν ἀπ' αὐτῶν τετραγώνων Δ^Υ ε· δεήσει ἄρα Ϛ γ μέρος ιον εἶναι Δ^Υ ε.

   Ϛ ἄρα λ ἴσοι εἰσὶ Δ^Υ ε, καὶ γίνεται ὁ Ϛ Μ^ο Ϛ.

   ἔσται ἄρα ὁ μὲν ἐλάσσων Μ^ο Ϛ, ὁ δὲ μείζων Μ^ο ιβ, καὶ ποιοῦσι τὸ πρόβλημα.

   β.

   Εὑρεῖν δύο ἀριθμοὺς ὅπως ἡ ὑπεροχὴ αὐτῶν πρὸς τὴν τῶν ἀπ' αὐτῶν τετραγώνων ὑπεροχὴν λόγον ἔχῃ δεδομένον.

[84]    Ἐπιτετάχθω δὴ τὴν ὑπεροχὴν αὐτῶν τῆς τῶν ἀπ' αὐτῶν τετραγώνων ὑπεροχῆς εἶναι μέρος Ϛον.

   Τετάχθω ὁ ἐλάσσων Ϛ α, ὁ δὲ μείζων Ϛ β· καὶ γίνεται ἡ μὲν ὑπεροχὴ αὐτῶν Ϛ α, ἡ δὲ τῶν ἀπ' αὐτῶν τετραγώνων ὑπεροχὴ Δ^Υ γ. δεήσει ἄρα Ϛ α, Ϛον μέρος εἶναι Δ^Υ γ.

   Ϛ ἄρα Ϛ ἴσοι Δ^Υ γ, καὶ γίνεται ὁ Ϛ Μ^ο β.

   ἔσται ὁ μὲν ἐλάσσων Μ^ο β, ὁ δὲ μείζων Μ^ο δ, καὶ ποιοῦσι τὸ πρόβλημα.

   γ.

   Εὑρεῖν δύο ἀριθμοὺς ἵνα ὁ ἐκ τοῦ πολλαπλασιασμοῦ πρὸς συναμφότερον ἢ πρὸς τὴν ὑπεροχὴν λόγον ἔχῃ δεδομένον.

   Ἐπιτετάχθω δὴ πρότερον τὸν ἐκ τοῦ πολλαπλασιασμοῦ τοῦ συναμφοτέρου εἶναι Ϛπλ..

   Τετάχθωσαν οἱ ζητούμενοι Ϛ α καὶ Ϛ β· δύνανται δὲ οὗτοι προβάλλεσθαι καὶ ἐν λόγῳ δοθέντι.

   Ἔσται ἄρα ὁ μὲν ἐκ τοῦ πολλαπλασιασμοῦ αὐτῶν Δ^Υ β, ὁ δὲ συναμφότερος Ϛ γ· δεήσει ἄρα Δ^Υ β Ϛπλ. εἶναι Ϛ γ.

   Ϛ ἄρα ιη ἴσοι εἰσὶν Δ^Υ β· πάντα παρὰ Ϛ.

   Μ^ο ἄρα ιη ἴσαι εἰσὶν Ϛ β, καὶ γίνεται ὁ Ϛ Μ^ο θ.

   ἔσται ὁ μὲν α^ος Μ^ο θ, ὁ δὲ β^ος Μ^ο ιη· καὶ ποιοῦσι τὸ πρόβλημα.

   Ἐὰν δὲ ἐπιταχθῇ τὸν ἐκ τοῦ πολλαπλασιασμοῦ τῆς ὑπεροχῆς εἶναι Ϛπλ., ἔσται πάλιν ὁ μὲν ἐκ τοῦ πολλαπλασιασμοῦ Δ^Υ β, ἡ δὲ ὑπεροχὴ Ϛ α.

   Ϛ πάλιν Ϛ ἴσοι Δ^Υ β, καὶ γίνεται ὁ Ϛ Μ^ο γ.

[86]    ἔσται ὁ μὲν α^ος Μ^ο γ, ὁ δὲ β^ος Μ^ο Ϛ, καὶ ποιοῦσι πάλιν τὸ πρόβλημα.

   δ.

   Εὑρεῖν δύο ἀριθμοὺς ὅπως ὁ συγκείμενος ἐκ τῶν ἀπ' αὐτῶν τετραγώνων πρὸς τὴν ὑπεροχὴν αὐτῶν λόγον ἔχῃ δεδομένον.

   Ἐπιτετάχθω δὴ τὸν συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπ' αὐτῶν τετραγώνων τῆς ὑπεροχῆς αὐτῶν εἶναι ιπλ..

   Τετάχθω πάλιν ὃς μὲν Ϛ α, ὃς δὲ Ϛ β.

   Ἔσται ἄρα ὁ μὲν συγκείμενος ἐκ τῶν ἀπ' αὐτῶν τετραγώνων, Δ^Υ ε, ἡ δὲ ὑπεροχὴ αὐτῶν Ϛ α· δεήσει ἄρα Δ^Υ ε ιπλ. εἶναι Ϛ α.

   Δ^Υ ἄρα ε ἴσαι εἰσὶν Ϛ ι, καὶ γίνεται ὁ Ϛ Μ^ο β.

   ἔσται ὁ μὲν α^ος Μ^ο β, ὁ δὲ β^ος Μ^ο δ, καὶ ποιοῦσι τὸ πρόβλημα.

   ε.

   Εὑρεῖν δύο ἀριθμοὺς ὅπως ἡ ὑπεροχὴ τῶν ἀπ' αὐτῶν τετραγώνων πρὸς συναμφότερον λόγον ἔχῃ δεδομένον.

   Ἐπιτετάχθω δὴ τὴν ὑπεροχὴν τῶν ἀπ' αὐτῶν τετραγώνων συναμφοτέρου εἶναι Ϛπλ.. Καὶ πάλιν τετάχθωσαν οἱ ζητούμενοι, ὃς μὲν Ϛ α, ὃς δὲ Ϛ β, καὶ γίνεται ἡ μὲν ὑπεροχὴ τῶν ἀπ' αὐτῶν τετραγώνων, Δ^Υ γ, συναμφότερος δὲ Ϛ γ· [δεήσει ἄρα Δ^Υ γ Ϛπλ. εἶναι Ϛ γ].

   Δ^Υ ἄρα γ ἴσαι εἰσὶν Ϛ ιη, καὶ γίνεται ὁ Ϛ Μ^ο Ϛ.

   καὶ φανερὰ ἡ ἀπόδειξις.

[88]    Ϛ.

   Εὑρεῖν δύο ἀριθμοὺς ἐν ὑπεροχῇ δοθείσῃ, ὅπως ἡ ὑπεροχὴ τῶν ἀπ' αὐτῶν τετραγώνων τῆς ὑπεροχῆς αὐτῶν ὑπερέχῃ δοθέντι ἀριθμῷ.

   Δεῖ δὴ τὸν ἀπὸ τῆς ὑπεροχῆς αὐτῶν τετράγωνον ἐλάσσονα εἶναι συναμφοτέρου αὐτοῦ τε τοῦ τῆς ὑπεροχῆς καὶ τοῦ διδομένου τῶν ἀπ' αὐτῶν πρὸς τὴν αὐτῶν ὑπεροχήν.

   Ἐπιτετάχθω δὴ τὴν ὑπεροχὴν αὐτῶν εἶναι Μ^ο β, τὴν δὲ ὑπεροχὴν τῶν ἀπ' αὐτῶν τετραγώνων τῆς ὑπεροχῆς αὐτῶν ὑπερέχειν Μ^ο κ.

   Τετάχθω δὴ ὁ ἐλάσσων Ϛ α· ὁ ἄρα μείζων ἔσται Ϛ α Μ^ο β· καὶ μένει ἡ μὲν ὑπεροχὴ αὐτῶν Μ^ο β, ἡ δὲ τῶν ἀπ' αὐτῶν τετραγώνων ὑπεροχὴ Ϛ δ Μ^ο δ· δεήσει ἄρα Ϛ δ Μ^ο δ ὑπερέχειν Μ^ο β, Μ^ο κ. ὥστε Ϛ δ Μ^ο δ ἴσοι εἰσὶ Μ^ο κβ· καὶ γίνεται ὁ Ϛ Μ^ο δ Ϛ΄.

   ἔσται ὁ μὲν ἐλάσσων Μ^ο δ Ϛ΄, ὁ δὲ μείζων Μ^ο Ϛ Ϛ΄, καὶ ποιοῦσι τὰ τῆς προτάσεως.

   ζ.

   Εὑρεῖν δύο ἀριθμοὺς ὅπως ἡ ὑπεροχὴ τῶν ἀπ' αὐτῶν τετραγώνων τῆς ὑπεροχῆς αὐτῶν δοθέντι ἀριθμῷ μείζων ᾖ ἢ ἐν λόγῳ.

   Ἐπιτετάχθω τὴν ὑπεροχὴν τῶν ἀπ' αὐτῶν τετραγώνων τῆς ὑπεροχῆς αὐτῶν εἶναι γ^πλ., καὶ ἔτι ὑπερέχειν Μ^ο ι.

   Δεῖ δὴ τὸν ἀπὸ τῆς ὑπεροχῆς αὐτῶν τετράγωνον ἐλάσσονα εἶναι συναμφοτέρου τοῦ τε γ^πλ. τῆς ὑπεροχῆς καὶ τῶν δοθεισῶν Μ^ο ι.

[90]    Τετάχθω ἡ μὲν ὑπεροχὴ αὐτῶν Μ^ο β, ὁ δὲ ἐλάσσων Ϛ α· ὁ ἄρα μείζων ἔσται Ϛ α Μ^ο β· δεήσει ἄρα Ϛ δ Μ^ο δ γ^πλ. εἶναι Μ^ο β καὶ ἔτι ὑπερέχειν Μ^ο ι. τρὶς ἄρα Μ^ο β μετὰ Μ^ο ι ἴσαι εἰσὶν Ϛ δ Μ^ο δ· ἀλλὰ τρὶς Μ^ο β μετὰ Μ^ο ι γίνονται Μ^ο ιϚ· ταῦτα ἴσα Ϛ δ Μ^ο δ, καὶ γίνεται ὁ Ϛ Μ^ο γ.

   ἔσται ὁ μὲν ἐλάσσων ἀριθμὸς Μ^ο γ, ὁ δὲ μείζων Μ ε, καὶ ποιοῦσι τὸ πρόβλημα.

   η.

   Τὸν ἐπιταχθέντα τετράγωνον διελεῖν εἰς δύο τετραγώνους.

   Ἐπιτετάχθω δὴ τὸν ιϚ διελεῖν εἰς δύο τετραγώνους.

   Καὶ τετάχθω ὁ α^ος Δ^Υ α, ὁ ἄρα ἕτερος ἔσται Μ^ο ιϚ Δ^Υ α· δεήσει ἄρα Μ^ο ιϚ Δ^Υ α ἴσας εἶναι ῳ.

   πλάσσω τὸν ον ἀπὸ Ϛῶν ὅσων δήποτε τοσούτων Μ ὅσων ἐστὶν ἡ τῶν ιϚ Μ^ο πλευρά· ἔστω Ϛ β Μ^ο δ. αὐτὸς ἄρα ὁ ος ἔσται Δ^Υ δ Μ^ο ιϚ Ϛ ιϚ· ταῦτα ἴσα Μ^ο ιϚ Δ^Υ α. κοινὴ προσκείσθω ἡ λεῖψις καὶ ἀπὸ ὁμοίων ὅμοια.

   Δ^Υ ἄρα ε ἴσαι Ϛ ιϚ, καὶ γίνεται ὁ Ϛ ιϚ πέμπτων.

   ἔσται ὁ μὲν κεσνϚ, ὁ δὲ κερμδ, καὶ οἱ δύο συντεθέντες ποιοῦσι κευ, ἤτοι Μ^ο ιϚ, καὶ ἔστιν ἑκάτερος τετράγωνος.

[92]    Ἄλλως.

   Ἔστω δὴ πάλιν τὸν ιϚ τετράγωνον διελεῖν εἰς δύο τετραγώνους.

   Τετάχθω πάλιν ἡ τοῦ α^ου πλευρὰ Ϛ α, ἡ δὲ τοῦ ἑτέρου Ϛῶν ὅσων δήποτε Μ^ο ὅσων ἐστὶν ἡ τοῦ διαιρουμένου πλευρά· ἔστω δὴ Ϛ β Μ^ο δ.

   ἔσονται ἄρα οἱ οι, ὃς μὲν Δ^Υ α, ὃς δὲ Δ^Υ δ Μ^ο ιϚ Ϛ ιϚ. βούλομαι τοὺς δύο λοιπὸν συντεθέντας ἴσους εἶναι Μ^ο ιϚ.

   Δ^Υ ἄρα ε Μ^ο ιϚ Ϛ ιϚ ἴσαι εἰσὶ Μ^ο ιϚ· καὶ γίνεται ὁ Ϛ ειϚ.

   ἔσται ἡ μὲν τοῦ α^ου πλ. ειϚ· αὐτὸς ἄρα ἔσται κεσνϚ·

   ἡ δὲ τοῦ β^ου πλ. ειβ· αὐτὸς ἄρα ἔσται κερμδ· καὶ ἡ ἀπόδειξις φανερά.

   θ.

   Τὸν δοθέντα ἀριθμόν, ὃς σύγκειται ἐκ δύο τετραγώνων, μεταδιελεῖν εἰς δύο ἑτέρους τετραγώνους.

   Ἔστω τὸν ιγ, συγκείμενον ἔκ τε τοῦ δ καὶ θ τετραγώνων, μεταδιελεῖν εἰς ἑτέρους δύο τετραγώνους.

   Εἰλήφθωσαν τῶν προειρημένων τετραγώνων αἱ πλ., Μ^ο β, Μ^ο γ, καὶ τετάχθωσαν αἱ τῶν ἐπιζητουμένων τετραγώνων πλ., ἣ μὲν Ϛ α Μ^ο β, ἣ δὲ Ϛ ὅσων δήποτε Μ^ο ὅσων ἐστὶν ἡ τοῦ λοιποῦ πλευρά. ἔστω Ϛ β Μ^ο γ· καὶ γίνονται οἱ τετράγωνοι, ὃς μὲν Δ^Υ α Ϛ δ Μ^ο δ, ὃς δὲ Δ^Υ δ Μ^ο θ Ϛ ιβ.

[94]    λοιπόν ἐστι τοὺς δύο συντεθέντας ποιεῖν Μ ιγ. ἀλλ' οἱ δύο συντεθέντες ποιοῦσιν Δ^Υ ε Μ^ο ιγ Ϛ η· ταῦτα ἴσα Μ^ο ιγ· καὶ γίνεται ὁ Ϛ εη.

   ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις· ἔταξα τὴν τοῦ α^ου πλ., Ϛ α Μ^ο β· ἔσται ειη·

   τὴν δὲ τοῦ β^ου πλ. Ϛ β Μ^ο γ· ἔσται ἑνός. αὐτοὶ δὲ οἱ οι ἔσονται, ὃς μὲν κετκδ, ὃς δὲ ἑνός. καὶ οἱ δύο συντεθέντες ποιοῦσι κετκε, ἃ συνάγει τὰς ἐπιταχθείσας Μ^ο ιγ.

   ι.

   Εὑρεῖν δύο ἀριθμοὺς τετραγώνους ἐν ὑπεροχῇ τῇ δοθείσῃ.

   Ἐπιτετάχθω δὴ τὴν ὑπεροχὴν αὐτῶν εἶναι Μ^ο ξ.

   Τετάχθω οὗ μὲν ἡ πλευρὰ Ϛ α, οὗ δὲ Ϛ α καὶ Μ^ο ὅσων δήποτε θέλεις, μόνον ἵνα μὴ ὁ ἀπὸ τῶν Μ^ο ος ὑπεράρῃ τὴν ὑπεροχὴν τὴν δοθεῖσαν, [μήτε μὴν ἴσος ᾖ]· οὕτω γὰρ ἑνὸς εἴδους ἑνὶ [εἴδει] ἴσου καταλειπομένου, συσταθήσεται τὸ πρόβλημα.

   ἔστω Ϛ α Μ^ο γ· αὐτοὶ ἄρα οἱ τετράγωνοι ἔσονται, Δυ α καὶ Δυ α Ϛ Ϛ Μ^ο θ· ἡ δὲ ὑπεροχὴ αὐτῶν, Ϛ Ϛ Μ^ο θ· ταῦτα ἴσα Μ^ο ξ, καὶ γίνεται ὁ Ϛ Μ^ο η Ϛ΄.

[96]    ἔσται ἡ μὲν τοῦ α^ου πλευρὰ Μ^ο η Ϛ΄, ἡ δὲ τοῦ β^ου Μ^ο ια Ϛ΄· αὐτοὶ δὲ οἱ οι ἔσονται ὃς μὲν Μ^ο οβ δ, ὃς δὲ Μ^ο ρλβ δ, καὶ φανερὰ τὰ τῆς προτάσεως.

   ια.

   Δυσὶ δοθεῖσιν ἀριθμοῖς προσθεῖναι τὸν αὐτὸν ἀριθμόν, καὶ ποιεῖν ἑκάτερον τετράγωνον.

   Ἔστω δὴ τῷ β καὶ τῷ γ καὶ ἔστω ὁ προστιθέμενος Ϛ α. ἔσται ἄρα ὁ μὲν Ϛ α Μ^ο β, ὁ δὲ Ϛ α Μ^ο γ, ἴσ. · καὶ τοῦτο τὸ εἶδος καλεῖται διπλοισότης· ἰσοῦται δὲ τὸν τρόπον τοῦτον. ἰδὼν τὴν ὑπεροχήν, ζήτει δύο ἀριθμοὺς ἵνα τὸ ὑπ' αὐτῶν ποιῇ τὴν ὑπεροχήν· εἰσὶ δὲ Μ^ο δ καὶ Μ^οος δ. τούτων ἤτοι τῆς ὑπεροχῆς τὸ Ϛ΄. ἐφ' ἑαυτὸ ἴσον ἐστὶ τῷ ἐλάσσονι, ἢ τῆς συνθέσεως τὸ Ϛ΄ ἐφ' ἑαυτὸ ἴσον τῷ μείζονι.

   ἀλλὰ τῆς ὑπεροχῆς τὸ Ϛ΄ ἐφ' ἑαυτό ἐστι ξδσκε· ταῦτα ἴσα Ϛ α Μ^ο β, καὶ γίνεται ὁ Ϛ ξδϞζ.

   τῆς δὲ συνθέσεως τὸ Ϛ΄ ἐφ' ἑαυτό ἐστι ξδσπθ· ταῦτα ἴσα τῷ μείζονι, τουτέστιν Ϛ α Μ^ο γ, καὶ γίνεται ὁ Ϛ πάλιν ξδϞζ.

   ἔσται ἄρα ὁ προστιθέμενος ξδϞζ, καὶ φανερὰ τὰ τῆς προτάσεως.

[98]    Ἵνα δὲ μὴ εἰς διπλὴν ἰσότητα ἐμπέσῃ, δεικτέον οὕτως·

   Τῷ β καὶ τῷ γ προσευρεῖν τινα ἀριθμόν, ὃς ἑκατέρῳ προστεθεὶς ποιεῖ ον· ζητῶ πρότερόν τινα ἀριθμόν, ὃς προσλαβὼν Μ^ο β ποιεῖ ον, ἢ καὶ τίς ἀριθμὸς προσλαβὼν Μ^ο γ ποιεῖ ον. ἀφ' οἵου δ' ἂν ου ἀφέλω τὰς Μ^ο, οὗτος ἔσται ὁ ζητούμενος· ἔστω δὴ ἐπὶ τῶν Μ^ο β, καὶ ἀφῃρήσθωσαν ἀπὸ Δ^Υ α· λοιπὸν ἔσται Δ^Υ α Μ^ο β, καὶ δῆλον ὡς, ἐὰν προσλάβῃ Μ^ο β, ποιεῖ ον· λοιπόν ἐστι καὶ γ Μ^ο αὐτὸν προσλαβόντα ποιεῖν ον· ἀλλ' ἐὰν προσλάβῃ Μ^ο γ, γίνεται Δ^Υ α Μ^ο α· ταῦτα ἴσα ῳ.

   πλάσσω τὸν ον ἀπὸ Ϛ α Μ^ο τοσούτων ὥστε τὴν τῆς Δ^Υ ὑπόστασιν ὑπερβάλλειν αὐτὰς τὰς προεκτεθειμένας τῆς λείψεως Μ^οας, οἷον ὡς ἐπὶ τοῦ παρόντος τὰς Μ^ο β· οὕτως γὰρ ἂν πάλιν ἐν ἑκατέρῳ τῶν μερῶν ἓν εἶδος ἑνὶ ἴσον καταλειφθήσεται. ἔστω δὴ ἀπὸ Ϛ α Μ^ο δ· αὐτὸς ἄρα ἔσται ὁ ος, Δ^Υ α Μ^ο ιϚ Ϛ η. ταῦτα ἴσα Δ^Υ α Μ^ο α.

   κοινὴ προσκείσθω ἡ λεῖψις, καὶ ἀφῃρήσθω ἀπὸ ὁμοίων ὅμοια· λοιποὶ Ϛ η ἴσοι Μ^ο ιε, καὶ γίνεται ὁ Ϛ ηιε.

   ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις. ἔσται ὁ προστιθέμενος ξδϞζ.

   ιβ.

   Ἀπὸ δύο δοθέντων ἀριθμῶν ἀφελεῖν τὸν αὐτὸν ἀριθμὸν καὶ ποιεῖν ἑκάτερον τῶν λοιπῶν τετράγωνον.

[100]    Ἐπιτετάχθω δὴ ἀπὸ τοῦ θ καὶ τοῦ κα ἀφελεῖν τὸν αὐτὸν ἀριθμὸν καὶ ποιεῖν ἑκάτερον τῶν λοιπῶν τετράγωνον.

   Οἷον δ' ἂν τετράγωνον ἀφέλω ἀπὸ ἑκατέρου αὐτῶν, τάσσω τὸν λοιπόν· οὗτος γὰρ ἀφαιρούμενος καταλείπει τὸν τετράγωνον· ἔστω οὖν ὁ ἀπὸ τῶν Μ^ο θ ἀφαιρούμενος τετράγωνος, Δ^Υ α· λοιπὸν Μ^ο θ Δ^Υ α.

   δεήσει ἄρα καὶ ἀπὸ Μ^ο κα ἀφελεῖν Μ^ο θ Δ^Υ α καὶ ποιεῖν ον. ἀλλ' ἐὰν ἀπὸ Μ^ο κα ἀφέλω Μ^ο θ ΟΥ α, λοιπὸν Δ^Υ α Μ^ο ιβ· ταῦτα ἴσα ῳ.

   πλάσσω τὸν ον ἀπὸ Ϛ α Μ^ο τοσούτων ὥστε τὸν ἀπ' αὐτῶν τετράγωνον πλείονας ποιεῖν τῶν Μ^ο ιβ· οὕτω γὰρ πάλιν ἐν ἑκατέρῳ τῶν μερῶν ἓν εἶδος ἑνὶ ἴσον καταλειφθήσεται· ἔστω δὴ Μ^ο δ· αὐτὸς ἄρα ὁ ος ἔσται Δ^Υ α Μ^ο ιϚ Ϛ η· ταῦτα ἴσα Δ^Υ α Μ^ο ιβ.

   ἀπὸ ὁμοίων ὅμοια· λοιποὶ Ϛ η ἴσοι Μ^ο δ· καὶ γίνεται ὁ Ϛ ηδ.

   αἱ μὲν θ Μ^ο συνάγουσιν οβ ηα, τουτέστι ξδφοϚ· ἡ δὲ λεῖψις τῆς Δ^Υ α ἀφαιρεῖ ἀπ' αὐτῶν ξδιϚ, καὶ ποιεῖ τὰ τῆς προτάσεως.

   ιγ.

   Ἀπὸ τοῦ αὐτοῦ ἀριθμοῦ ἀφελεῖν δύο δοθέντας ἀριθμοὺς καὶ ποιεῖν ἑκάτερον τῶν λοιπῶν τετράγωνον.

   ‹Ἐπιτετάχθω δὴ ἀπὸ τοῦ αὐτοῦ ἀριθμοῦ ἀφελεῖν τὸν Ϛ καὶ τὸν ζ, καὶ ποιεῖν ἑκάτερον τῶν λοιπῶν τετράγωνον.›

[102]    Τετάχθω ὁ ζητούμενος Ϛ α· καὶ ἐὰν μὲν ἀπὸ τούτου ἀφέλω Μ^ο Ϛ, λοιπὸς Ϛ α Μ^ο Ϛ ἴσος , ἐὰν δὲ Μ^ο ζ, λοιπὸς Ϛ α Μ^ο ζ ἴσος · καὶ πάλιν ἐπὶ τούτου ὁμοίως ἐστὶν ἡ διπλοισότης.

   Ἐπειδήπερ ἡ ὑπεροχή, Μ^ο οὔσα α, περιέχεται ὑπὸ Μ^ο β καὶ Μ^ο Ϛ΄, καὶ συνάγεται ὁ Ϛ ιϚρκα, καὶ ποιεῖ τὸ πρόβλημα.

   Ἵνα δὲ μὴ εἰς διπλὴν ἴσωσιν ἐξέρχηται, ζητητέον οὕτως· ζητῶ πρότερον ἀπὸ τίνος ἀριθμοῦ, ἐὰν ἀφέλω Μ^ο Ϛ, ποιεῖ ον. ᾧ δ' ἂν ῳ δηλονότι προσθῶ τὰς Μ^ο Ϛ, ἐκεῖνος ἔσται ὁ ζητούμενος. ἔστω δὴ Δ^Υ α· ἔσται ἄρα ὁ ζητούμενος Δ^Υ α Μ^ο Ϛ· καὶ δῆλον ὡς ἐὰν ἀπὸ τούτου ἀφέλω Μ^ο Ϛ, ὁ λοιπὸς ἔσται ος. δεήσει ἄρα καὶ Μ^ο ζ ἀφελεῖν ἀπὸ τῆς Δ^Υ α Μ^ο Ϛ καὶ ποιεῖν ον.

   Δ^Υ ἄρα α Μ^ο α ἴσ. ῳ.

   πλάσσω τὸν ον ἀπὸ Ϛ α Μ^ο β. αὐτὸς ἄρα ὁ ος ἔσται Δ^Υ α Μ^ο δ Ϛ δ· ταῦτα ἴσα Δ^Υ α Μ^ο α. καὶ γίνεται ὁ Ϛ δε.

   ἔσται ὁ ζητούμενος ιϚρκα, καὶ ποιεῖ τὸ πρόβλημα.

   ιδ.

   Τὸν δοθέντα ἀριθμὸν διελεῖν εἰς δύο ἀριθμοὺς καὶ προσευρεῖν αὐτοῖς τετράγωνον, ὃς προσλαβὼν ἑκάτερον τῶν διῃρημένων, ποιεῖ τετράγωνον.

[104]    Ἔστω τὸν κ διελεῖν εἰς δύο ἀριθμούς.

   Ἔκθου δύο ἀριθμοὺς ὥστε τοὺς ἀπ' αὐτῶν ους ἐλάσσονας εἶναι Μ^ο κ· ἔστω δὴ ὁ β καὶ ὁ γ· καὶ προστεθέντος ἑκατέρῳ Ϛ α, ἔσονται οἱ ἀπὸ τούτων οι, ὃς μὲν Δ^Υ α Ϛ δ Μ^ο δ, ὃς δὲ Δ^Υ α Ϛ Ϛ Μ^ο θ.

   ἐὰν ἄρα ἀπὸ ἑκατέρου ἀφέλω τὴν Δ^Υ, τουτέστι τὸν ον, ἕξομεν τοὺς ἐπιζητουμένους, οἳ προσλαμβάνοντες δηλονότι ον, ποιοῦσι ον. ἀλλ' ἐὰν ἀφέλω Δ^Υ α, λοιποὶ ἔσονται, ὁ μὲν Ϛ δ Μ^ο δ, ὁ δὲ Ϛ Ϛ Μ^ο θ. δεήσει ἄρα τὴν σύνθεσιν αὐτῶν, τουτέστιν Ϛ ι Μ^ο ιγ, ἴσους εἶναι Μ^ο κ· καὶ γίνεται ὁ Ϛ ιζ· ἔσται ὁ μὲν ιξη, ὁ δὲ ιρλβ, καὶ ποιοῦσι τὰ τῆς προτάσεως.

   ιε.

   Τὸν δοθέντα ἀριθμὸν διελεῖν εἰς δύο ἀριθμοὺς καὶ προσευρεῖν αὐτοῖς τετράγωνον, ὃς λιπὼν ἑκάτερον ποιεῖ τετράγωνον.

   Ἐπιτετάχθω πάλιν τὸν κ διελεῖν εἰς δύο ἀριθμούς.

   καὶ τετάχθω ὁ ζητούμενος ος ἀπὸ πλ. Ϛ α καὶ Μ^ο τοσούτων ὥστε τὸν ἀπ' αὐτῶν μὴ ὑπερβάλλειν τὸν κ. ἔστω δὴ Ϛ α Μ^ο β. ὁ ἄρα ος ἔσται Δ^Υ α Ϛ δ Μ^ο δ· καὶ δῆλον ὡς λιπὼν Ϛ δ Μ^ο δ, καταλείπει ον· καὶ ὁμοίως λιπὼν Ϛ β Μ γ, καταλείπει ον, Δ^Υ α Ϛ β Μ^ο α.

   τάσσω οὖν διὰ ταῦτα τὸν μὲν αον Ϛ δ Μ^ο δ, τὸν δὲ β^ον Ϛ β Μ^ο γ, τὸν δὲ ζητούμενον Δ^Υ α Ϛ δ Μ^ο δ, καὶ [106] λιπὼν ἑκάτερον, ποιεῖ ον. λοιπὸν δεῖ τοὺς δύο ἴσους εἶναι τῷ διαιρουμένῳ· ἀλλ' οἱ δύο ποιοῦσιν Ϛ Ϛ Μ^ο ζ· ταῦτα ἴσα Μ^ο κ.

   ἀπὸ ὁμοίων ὅμοια· καὶ γίνεται ὁ Ϛ Ϛιγ.

   ἔσται ὁ μὲν α^ος ϚοϚ, ὁ δὲ β^ος Ϛμδ, ὁ δὲ ος λϚχκε. καὶ ποιοῦσι τὰ τῆς προτάσεως.

   ιϚ.

   Εὑρεῖν δύο ἀριθμοὺς ἐν λόγῳ τῷ δοθέντι ὅπως ἑκάτερος αὐτῶν μετὰ τοῦ ἐπιταχθέντος τετραγώνου ποιῇ τετράγωνον.

   Ἐπιτετάχθω δὴ τὸν μείζονα τοῦ ἐλάσσονος εἶναι γ^πλ., ἑκάτερον δ' αὐτῶν μετὰ Μ^ο θ ποιεῖν τετράγωνον.

   Ἀφ' οὗ δ' ἂν ου ἀπὸ πλήθους Ϛῶν καὶ Μ^ο ‹γ› ἀφέλω Μ^ο θ, οὗτος ἔσται εἷς τῶν ζητουμένων. ἔστω οὖν ὁ ἐλάσσων Δ^Υ α Ϛ Ϛ, ὁ ἄρα μείζων ἔσται Δ^Υ γ Ϛ ιη.

   δεήσει ἄρα καὶ τοῦτον, προσλαβόντα Μ^ο θ, ποιεῖν ον. ἀλλὰ προσλαβόντα Μ^ο θ, γίνονται Δ^Υ γ Ϛ ιη Μ^ο θ. ταῦτα ἴσα ῳ.

   πλάσσω τὸν ον ἀπὸ Ϛ β Μ^ο γ, καὶ γίνεται ὁ Ϛ Μ^ο λ.

   ἔσται ὁ μὲν ἐλάσσων Μ^ο Ϛαπ, ὁ δὲ μείζων Ϛγσμ, καὶ ποιοῦσι μετὰ Μ^ο θ τὰ τῆς προτάσεως.

[108]    ιζ.

   [Εὑρεῖν τρεῖς ἀριθμοὺς ὅπως ἕκαστος τῷ ἑξῆς ἑαυτοῦ δῷ μέρος τὸ ἐπιταχθὲν καὶ ἔτι δοθέντα ἀριθμόν, ἵνα δόντες καὶ λαβόντες γένωνται ἴσοι.

   Ἐπιτετάχθω δὴ τὸν αον τῷ βῳ διδόναι τὸ εον καὶ ἔτι Μ^ο Ϛ· τὸν δὲ β^ον τῷ γῳ τὸ Ϛον καὶ Μ^ο ζ, τὸν δὲ γ^ον τῷ αῳ τὸ ζον καὶ Μ^ο η.

   Τετάχθω ὁ μὲν α^ος Ϛ ε, ὁ δὲ β^ος ὁμοίως Ϛ Ϛ. καὶ μένει ὁ β^ος λαβὼν μὲν παρὰ τοῦ α^ου Ϛ α Μ^ο Ϛ, Ϛ ζ Μ^ο Ϛ. δοὺς δὲ τῷ γῳ τὸ Ϛον, Ϛ α, καὶ Μ^ο ζ, γί. Ϛ Ϛ Μ^ο α.

   ἀλλὰ δοὺς μὲν ὁ α^ος τὸ ἑαυτοῦ εον καὶ ἔτι Μ^ο Ϛ, γί. Ϛ δ Μ^ο Ϛ. δεήσει ἄρα καὶ λαβόντα αὐτὸν παρὰ τοῦ γ^ου τὸ ζον καὶ Μ^ο η, γίνεσθαι Ϛ Ϛ Μ^ο α· ἀλλ' ἐὰν Ϛ δ Μ^ο Ϛ προσλάβωσιν Ϛ β Μ^ο ε, γίνονται Ϛ Ϛ Μ^ο α· Ϛ ἄρα β καὶ Μ^ο ε μέρος ζον εἰσι τοῦ γ^ου καὶ ἔτι Μ^ο η. ἐὰν ἄρα ἀπὸ Ϛ β Μ^ο ε, ἀφέλω Μ^ο η, λοιπὸν Ϛ β Μ^ο γ ζον μέρος εἰσὶ τοῦ γου· αὐτὸς ἄρα ἔσται Ϛ ιδ Μ^ο κα.

   λοιπὸν ἄρα δεήσει καὶ τοῦτον λαβόντα μὲν παρὰ τοῦ μέσου τὸ Ϛον καὶ Μ^ο ζ, δόντα δὲ τὸ ζον καὶ Μ^ο η, γίνεσθαι Ϛ Ϛ Μ^ο α· ἀλλὰ δοὺς μὲν τὸ ζον καὶ Μ^ο η, [110] λοιπός ἐστιν Ϛ ιβ Μ^ο κϚ, λαβὼν δὲ παρὰ τοῦ μέσου τὸ ζον καὶ Μ^ο ζ, γί. Ϛ ιγ Μ^ο ιθ· ταῦτα ἴσα Ϛ Ϛ Μ^ο α, καὶ γίνεται ὁ Ϛ ζιη.

   ἔσται ὁ μὲν α^ος ζϞ, ὁ δὲ β^ος ζδη, ὁ δὲ γ^ος ζρε, καὶ οὗτοι ποιοῦσι τὰ τῆς προτάσεως.]

   ιη.

   [Τὸν δοθέντα ἀριθμὸν διελεῖν εἰς ἀριθμοὺς τρεῖς, ὅπως ἕκαστος τῶν ἐκ τῆς διαιρέσεως τῷ ἑξῆς ἑαυτοῦ δῷ μέρος τὸ ἐπιταχθὲν καὶ ἔτι δοθέντα ἀριθμόν, ἵνα δόντες καὶ λαβόντες γένωνται ἴσοι.

   Ἐπιτετάχθω δὴ τὸν π διελεῖν εἰς τρεῖς ἀριθμοὺς ὅπως ὁ α^ος τῷ βῳ διδῷ τὸ εον καὶ ἔτι Μ^ο Ϛ, ὁ δὲ β^ος τῷ γῳ τὸ Ϛον καὶ Μ^ο ζ, ὁ δὲ γ^ος τῷ αῳ τὸ ζ^ον καὶ Μ^ο η, ἵνα μετὰ τὴν ἀντίδοσιν γένωνται ἴσοι ..............]

   ‹Ἄλλως τὸ ιζον.›

   [Τετάχθω ὁ α^ος Ϛ ε καὶ ὁ β^ος Μ^ο ιβ, καὶ μένει ὁ β^ος λαβὼν μὲν παρὰ τοῦ α^ου τὸ εον, Ϛ α, καὶ Μ^ο Ϛ, γινόμενος Ϛ α Μ^ο ιη· δοὺς δὲ τῷ γῳ τὸ Ϛον καὶ ἔτι Μ^ο ζ, γίνεται Ϛ α Μ^ο θ· λοιπόν ἐστι καὶ τοὺς λοιποὺς δόντας καὶ λαβόντας γίνεσθαι Ϛ α Μ^ο θ.

[112]    ἀλλὰ δοὺς μὲν ὁ α^ος ἑαυτοῦ τὸ εον καὶ Μ^ο Ϛ λοιπός ἐστιν Ϛ δ Μ^ο Ϛ. δεήσει ἄρα αὐτὸν καὶ λαβόντα τὸ ζον τοῦ γ^ου καὶ Μ^ο η, γίνεσθαι Ϛ α Μ^ο θ· ἀλλ' ἐὰν λάβῃ Μ^ο ιε Ϛ γ, γίνεται Ϛ α Μ^ο θ. Μ^ο ἄρα ιε Ϛ γ, ζον μέρος εἰσὶ τοῦ γ^ου καὶ ἔτι Μ^ο η. ἐὰν ἄρα ἀπὸ Μ^ο ιε Ϛ γ ἀφέλωμεν Μ^ο η, ἕξομεν τὸ τοῦ γ^ου ζον, Μ^ο ζ Ϛ γ· αὐτὸς ἄρα ἔσται Μ^ο μθ Ϛ κα.

   λοιπόν ἐστι καὶ τοῦτον λαβόντα μὲν παρὰ τοῦ μέσου τὸ Ϛον καὶ Μ^ο ζ, δόντα δὲ τῷ αῳ τὸ ζου καὶ Μ^ο η, γίνεσθαι Ϛ α καὶ Μ^ο θ. ἀλλὰ δοὺς καὶ λαβὼν γί. Μ^ο μγ Ϛ ιη· ταῦτα ἴσα Ϛ α Μ^ο θ. καὶ γίνεται ὁ Ϛ ιθλδ.

   ἔσται ὁ μὲν α^ος ιθρο, ὁ δὲ β^ος ιθσκη, ὁ δὲ γ^ος ιθσιζ.]

   ιθ.    Εὑρεῖν τρεῖς τετραγώνους ὅπως ἡ ὑπεροχὴ τοῦ μεγίστου καὶ τοῦ μέσου πρὸς τὴν ὑπεροχὴν τοῦ μέσου καὶ τοῦ ἐλαχίστου λόγον ἔχῃ δεδομένον.

   Ἐπιτετάχθω δὴ τὴν ὑπεροχὴν τῆς ὑπεροχῆς εἶναι γ^πλ..

   Τετάχθω ὁ μὲν ἐλάσσων Δ^Υ α, ὁ δὲ μέσος Δ^Υ α Ϛ β Μ^ο α, ἀπὸ πλ. δηλονότι Ϛ α Μ^ο α· ὁ ἄρα μέγιστος ἔσται Δ^Υ α Ϛ η Μ^ο δ.

   δεήσει ἄρα καὶ Δ^Υ α Ϛ η Μ^ο δ ἴσ. εἶναι ῳ.

   πλάσσω τὸν ον ἀπὸ Ϛ ‹α›, ἵνα ἔχω τὴν Δ^Υ, καὶ [114] ἔτι Μ^ο τοσούτων ὥστε τὰ λοιπὰ ἐν τῷ ῳ γινόμενα εἴδη τῶν Ϛ καὶ τῶν Μ^ο μὴ ὑπερβάλλειν κατὰ τὸ πλῆθος τοὺς Ϛ η καὶ Μ^ο δ ἑκάτερα, ἀλλὰ τὸ μὲν ἐλλείπειν, τὸ δὲ πλεονάζειν. ἔστω δὴ Μ^ο γ· αὐτὸς ἄρα ὁ ος ἔσται Δ^Υ α Ϛ Ϛ Μ^ο θ· ταῦτα ἴσα Δ^Υ α Ϛ η Μ^ο δ· καὶ γίνεται ὁ Ϛ Μ^ο β Ϛ΄.

   ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις. ἔσται ὁ μέγιστος Μ^ο λ δ, ὁ δὲ ἐλάχιστος Μ^ο Ϛ δ, ὁ δὲ μέσος Μ^ο ιβ δ, καὶ ποιοῦσι τὸ πρόβλημα.

   κ.

   Εὑρεῖν δύο ἀριθμοὺς ὅπως ὁ ἀπὸ τοῦ ἑκατέρου αὐτῶν τετράγωνος, προσλαβὼν τὸν λοιπόν, ποιῇ τετράγωνον.

   Τετάχθω ὁ α^ος Ϛ α, ὁ δὲ β^ος Μ^ο α Ϛ β, ἵνα ὁ ἀπὸ τοῦ α^ου ος, προσλαβὼν τὸν β^ον, ποιῇ ον. λοιπόν ἐστι καὶ τὸν ἀπὸ τοῦ β^ου ον, προσλαβόντα τὸν α^ον, ποιεῖν ον· ἀλλ' ὁ ἀπὸ τοῦ β^ου ος, προσλαβὼν τὸν α^ον, ποιεῖ Δ^Υ δ Ϛ ε Μ^ο α· ταῦτα ἴσα ῳ.

   πλάσσω τὸν ον ἀπὸ Ϛ β Μ^ο β· αὐτὸς ἄρα ἔσται Δ^Υ δ Μ^ο δ Ϛ η· καὶ γίνεται ὁ Ϛ ιγγ.

   ἔσται ὁ μὲν α^ος ιγγ, ὁ δὲ β^ος ιγιθ, καὶ ποιοῦσι τὸ πρόβλημα.

   κα.

   Εὑρεῖν δύο ἀριθμοὺς ὅπως ὁ ἀπὸ ἑκατέρου αὐτῶν τετράγωνος, λείψει τοῦ λοιποῦ, ποιῇ τετράγωνον.

[116]    Τετάχθω ὁ ἐλάσσων Ϛ α καὶ Μ^ο ὅσων δήποτε· ἔστω δὴ Μ α· ὁ δὲ μείζων τοῦ ἀπὸ τοῦ ἐλάσσονος ου παρὰ Δ^Υ α, ἵνα ὁ ἀπὸ τοῦ ἐλάσσονος ος τοῦ μείζονος ποιῇ ον.

   καὶ ἐπεὶ ὁ ἀπὸ τοῦ ἐλάσσονος ος ἐστιν Δ^Υ α Ϛ β Μ^ο α, ὁ ἄρα μείζων ἔσται τῶν μετὰ τὴν Δ^Υ, Ϛ β Μ^ο α. καὶ μένει ὁ ἀπὸ τοῦ ἐλάσσονος ος, τοῦ μείζονος, ποιῶν ον. δεῖ δὲ καὶ τὸν ἀπὸ τοῦ μείζονος, Δ^Υ δ Ϛ δ Μ^ο α, τοῦ ἐλάσσονος, ποιεῖν ον· ἀλλ' ὁ ἀπὸ τοῦ μείζονος ος, τοῦ ἐλάσσονος, ποιεῖ Δ^Υ δ Ϛ γ· ταῦτα ἴσα ῳ.

   πλάσσω τὸν ον ἀπὸ Ϛ γ· καὶ γίνεται ὁ Ϛ εγ.

   ἔσται ὁ μὲν ἐλάσσων εη, ὁ δὲ μείζων εια, καὶ ποιοῦσι τὰ τῆς προτάσεως.

   κβ.

   Εὑρεῖν δύο ἀριθμοὺς ὅπως ὁ ἀπὸ ἑκατέρου αὐτῶν τετράγωνος, προσλαβὼν συναμφότερον, ποιῇ τετράγωνον.

   Τετάχθω ὁ μὲν ἐλάσσων Ϛ α, ὁ δὲ μείζων Ϛ α Μ^ο α, ἵνα ὁ ἀπὸ τοῦ ἐλάσσονος ος, τουτέστι Δ^Υ α, προσλαβοῦσα συναμφότερον, τουτέστιν Ϛ β Μ^ο α, ποιῇ ον.

   λοιπόν ἐστι καὶ τὸν ἀπὸ τοῦ μείζονος ον προσλαβόντα συναμφότερον ποιεῖν ον· ἀλλ' ὁ μὲν ἀπὸ τοῦ μείζονος ος προσλαβὼν συναμφότερον γίνεται Δ^Υ α Ϛ δ Μ^ο β· ταῦτα ἴσ. ῳ.

[118]    πλάσσω τὸν ον ἀπὸ Ϛ α Μ^ο β. αὐτὸς ἄρα ὁ ος ἔσται Δ^Υ α Μ^ο δ Ϛ δ, καὶ γίνεται ὁ Ϛ ηβ.

   ἔσται ὁ μὲν ἐλάσσων ηβ, ὁ δὲ μείζων ηι, καὶ ποιοῦσι τὸ πρόβλημα.

   κγ.

   Εὑρεῖν δύο ἀριθμοὺς ὅπως ὁ ἀπὸ ἑκατέρου αὐτῶν τετράγωνος λείψει συναμφοτέρου ποιῇ τετράγωνον.

   Τετάχθω ὁ μὲν ἐλάσσων Ϛ α, ὁ δὲ μείζων Ϛ α Μ^ο α, ἵνα ὁμοίως ὁ ἀπὸ τοῦ μείζονος ος λείψει συναμφοτέρου, ποιῇ ον.

   Δεήσει ἄρα καὶ τὸν ἀπὸ τοῦ ἐλάσσονος ον λείψει συναμφοτέρου ποιεῖν ον· ἔσται ἄρα Δ^Υ α Ϛ β Μ^ο α· ταῦτα ἴσα ῳ.

   πλάσσω τὸν ον ἀπὸ πλ. Ϛ α Μ^ο γ.

   Δ^Υ ἄρα α Μ^ο θ Ϛ Ϛ ἴσαι εἰσὶ Δ^Υ α Ϛ β Μ^ο α· καὶ γίνεται ὁ Ϛ Μ^ο β Ϛ΄.

   ἔσται ὁ μὲν ἐλάσσων Μ^ο β Ϛ΄, ὁ δὲ μείζων Μ^ο γ Ϛ΄, καὶ ποιοῦσι τὸ πρόβλημα.

   κδ.

   Εὑρεῖν δύο ἀριθμοὺς ὅπως ὁ ἀπὸ τοῦ συναμφοτέρου προσλαβὼν ἑκάτερον ποιῇ τετράγωνον.

   Καὶ ἐπεὶ Δ^Υ α, ἐάν τε προσλάβῃ Δ^Υ γ, ἐάν τε Δ^Υ η, ποιεῖ ον, τάσσω τῶν ἐπιζητουμένων ἀριθμῶν, τὸν μὲν Δ^Υ γ, τὸν δὲ Δ^Υ η, τὸν δὲ ἀπὸ συναμφοτέρου Δ^Υ α, καὶ μένει ὁ ἀπὸ συναμφοτέρου προσλαβὼν ἑκάτερον [120] ποιῶν ον. καὶ ἐπεὶ συναμφότερός ἐστι Δ^Υ ια, ὁ ἄρα ἀπὸ συναμφοτέρου ἔσται Δ^Υ Δ ρκα· ἀλλ' ἔστιν καὶ Δ^Υ α.

   Δ^Υ Δ ἄρα ρκα ἴσαι Δ^Υ α.

   ὥστε καὶ πλ. τῇ πλ. ἴση· Ϛ ἄρα α ἴσος Δ^Υ ια.

   καὶ πάντα παρὰ Ϛ· Ϛ ἄρα ια ἴσοι Μ α, καὶ γίνεται ὁ Ϛ ια Μ^οος.

   ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις. ἔσται ὁ μὲν γ ρκαων, ὁ δὲ ἕτερος η, ὁ δὲ ἀπὸ συναμφοτέρου ρκα ΜΥα Ϛδχμαων, καὶ ποιοῦσι τὸ πρόβλημα.

   κε.

   Εὑρεῖν δύο ἀριθμοὺς ὅπως ὁ ἀπὸ συναμφοτέρου λείψει ἑκατέρου ποιῇ τετράγωνον.

   Λαμβάνω πρῶτόν τινα ον, ἀφ' οὗ ἀφελὼν δύο τινὰς ἀριθμούς, καταλείπω ον. ἔστω δὴ ὁ ιϚ. αὐτὸς γὰρ ἐάν τε λείψῃ Μ^ο ιβ, γίνεται ος, ἐάν τε πάλιν Μ^ο ζ, γίνεται ος.

   τάσσω οὖν πάλιν αὐτοὺς ἐν Δ^Υ, καὶ τὸν μὲν Δ^Υ ιβ, τὸν δὲ Δ^Υ ζ, τὸν δὲ ἀπὸ συναμφοτέρου Δ^Υ ιϚ, καὶ μένει ὁ ἀπὸ συναμφοτέρου, ἑκατέρου, ποιῶν ον.

   δεήσει λοιπὸν τὸν ἀπὸ συναμφοτέρου ἴσον γίνεσθαι Δ^Υ ιϚ, ὥστε καὶ τὴν πλ. τῇ πλ., τουτέστιν Δ^Υ ιθ ἴσας Ϛ δ, καὶ γίνεται ὁ Ϛ ιθδ.

[122]    ἔσται ὁ μὲν α^ος τξαρϞβ, ὁ δὲ β^ος τξαριβ, καὶ ποιοῦσι τὸ πρόβλημα.

   κϚ.

   Εὑρεῖν δύο ἀριθμοὺς ὅπως ὁ ὑπ' αὐτῶν προσλαβὼν ἑκάτερον ποιῇ τετράγωνον, τῶν δὲ τετραγώνων αἱ πλευραὶ συντεθεῖσαι ποιῶσι τὸν ἐπιταχθέντα ἀριθμόν.

   Ἐπιτετάχθω δὴ ποιεῖν τὸν Ϛ.

   Ἐπεὶ οὖν, ἐὰν ὦσι δύο ἀριθμοὶ ὧν ὁ μείζων τοῦ ἐλάσσονός ἐστι τετραπλασίων παρὰ μονάδα, ὁ ὑπ' αὐτῶν προσλαβὼν τὸν ἐλάσσονα ποιεῖ τετράγωνον, τάσσω τὸν μὲν ἐλάσσονα Ϛ α, τὸν δὲ μείζονα Ϛ δ Μ^ο α, καὶ συμβαίνει ὁμοίως τὸν ὑπ' αὐτῶν προσλαβόντα τὸν ἐλάσσονα ποιεῖν ον.

   λοιπόν ἐστι καὶ τὸν ὑπ' αὐτῶν προσλαβόντα τὸν μείζονα, τουτέστιν Ϛ δ Μ^ο α, ποιεῖν ον, οὗ ἡ πλευρά ἐστι Μ^ο Ϛ τῶν τῆς πλευρᾶς τοῦ ἐλάσσονος Ϛ β, ἵνα, κατὰ τὸ πρόβλημα, συντεθεῖσαι τῶν δύο αἱ πλευραὶ ποιῶσι Μ^ο Ϛ. ἀλλ' ὁ μὲν ὑπ' αὐτῶν προσλαβὼν τὸν μείζονα ποιεῖ Δ^Υ δ Ϛ γ Μ^ο α, ὁ δὲ ἀπὸ Μ^ο Ϛ Ϛ β, Δ^Υ δ Μ^ο λϚ Ϛ κδ. ταῦτα ἴσα ἀλλήλοις· καὶ γίνεται ὁ Ϛ κζλζ.

   ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις· ἔταξα τὸν ἐλάσσονα Ϛ α, ἔσται λζ, τὸν δὲ μείζονα Ϛ δ Μ^ο α, ἔσται ρκα, καὶ μένει τὰ τῆς προτάσεως.

[124]    κζ.

   Εὑρεῖν δύο ἀριθμοὺς ὅπως ὁ ὑπ' αὐτῶν λείψει ἑκατέρου ποιῇ τετράγωνον, τῶν δὲ τετραγώνων αἱ πλευραὶ συντεθεῖσαι ποιῶσι τὸν δοθέντα ἀριθμόν.

   Ἐπιτετάχθω δὴ τὸν ε.

   Καὶ ἐπεί, ἐὰν ὦσι δύο ἀριθμοὶ ὧν ὁ μείζων τοῦ ἐλάσσονός ἐστι τετραπλασίων καὶ μονὰς μία, ὁ ὑπ' αὐτῶν λείψει τοῦ ἐλάσσονος ποιεῖ τετράγωνον, τάσσω τὸν μὲν μείζονα Ϛ δ Μ^ο α, τὸν δὲ ἐλάσσονα Ϛ α, καὶ ὁ ὑπ' αὐτῶν λείψει τοῦ ἐλάσσονος ποιεῖ τετράγωνον.

   λοιπόν ἐστι καὶ τὸν ὑπ' αὐτῶν λείψει τοῦ μείζονος ποιεῖν τετράγωνον· ὧν αἱ πλευραὶ συνάγουσι τὰς ἐπιταχθείσας Μ^ο ε. ἀλλ' ὁ ὑπ' αὐτῶν λείψει τοῦ μείζονος γίνεται Δ^Υ δ Ϛ γ Μ^ο α· ταῦτα ἴσα ῳ τῷ ἀπὸ πλ. Μ^ο ε Ϛ β, καὶ γίνεται ὁ Ϛ ιζκϚ.

   ἔσται ὁ ‹μὲν› ἐλάσσων κϚ, ὁ δὲ μείζων ρκα, καὶ ποιοῦσι τὰ τῆς προτάσεως.

   κη.

   Εὑρεῖν δύο ἀριθμοὺς τετραγώνους ὅπως ὁ ὑπ' αὐτῶν προσλαβὼν ἑκάτερον ποιῇ τετράγωνον.

   Ἐὰν οὖν τάξω ἕνα τῶν τετραγώνων Δ^Υ α, τὸν δὲ ἕτερον τετράγωνον Μ^οα, ἔσται ὁ ὑπ' αὐτῶν τετράγωνος Δ^Υ· δεήσει ἄρα τοῦτον, προσλαβόντα ἑκάτερον, ποιεῖν ον· ἀπῆκται οὖν εἰς τὸ ζητῆσαι τίς τετράγωνος, προσλαβὼν Μ^οα, ποιεῖ ον.

[126]    Τετάχθω ὁ τετράγωνος ὃν θέλω εἶναι ὑπ' αὐτῶν, Δ^Υ α.

   Ἐὰν ἄρα οὗτος προσλάβῃ Μ^ο α, γίνεται Δ^Υ α Μ α· τοῦτον δεήσει ἴσον εἶναι ῳ· πλάσσω τὸν ον ἀπὸ πλ. Ϛ α Μ^ο β. οὗτος ἴσος Δ^Υ α Μ^ο α, καὶ γίνεται ὁ Ϛ δγ.

   ἔσται ὁ μὲν θ ιϚων, ὁ δὲ ιϚ· καὶ συμβαίνει τὸν ὑπ' αὐτῶν, προσλαβόντα τὴν Μ^οα, ποιεῖν ον.

   Δεήσει ἄρα καὶ τὸν ὑπ' αὐτῶν, προσλαβόντα τὸν β^ον, ποιεῖν ον, καὶ ἐπεὶ ὁ ὑπ' αὐτῶν ἐστιν θ ιϚων, ὑποκείσθω νῦν ἐν Δ^Υ, τουτέστι Δ^Υ θ Μ^ο θ, πάντων ιϚπλ.· Δ^Υ ἄρα θ Μ^ο θ ἴσ. ῳ. πλάσσω τὸν ον ἀπὸ πλ Ϛ γ Μ^ο δ· αὐτὸς ἄρα ὁ ος ἔσται Δ^Υ θ Μ^ο ιϚ Ϛ κδ. καὶ γίνεται ὁ Ϛ κδζ.

   ἔσται ὁ μὲν α^ος φοϚτκδ, ὁ δὲ β^ος φθϚμθ, καὶ ποιοῦσι τὸ πρόβλημα.

   κθ.

   Εὑρεῖν δύο ἀριθμοὺς τετραγώνους ὅπως ὁ ὑπ' αὐτῶν λείψει ἑκατέρου ποιῇ τετράγωνον.

   Καὶ ἐὰν μὲν τάξω τὸν αον Δ^Υ α, τὸν δὲ ἕτερον Μ^ο α, ἔσται ὁ ὑπ' αὐτῶν Δ^Υ α· δεήσει ἄρα καὶ αὐτὸν Μ^ο α ποιεῖν ον, καὶ ἔστιν ἡ Δ^Υ ος· ἀπῆκται ἄρα εἰς τὸ ζητῆσαι τίς τετράγωνος Μ^ο α ποιεῖ ον· ἔστι [128] δὲ τετράγωνος ὁ ιϚκε· οὗτος γάρ, τῶν τῆς Μ^ο ιϚιϚ, ποιεῖ τὸν ον ιϚθ.

   Τάσσω οὖν τὸν μὲν Δ^Υ α, τὸν δὲ ιϚκε, καὶ ὁ ὑπ' αὐτῶν, Δ^Υ α, ποιεῖ ον· δεήσει ἄρα καὶ τὸν ὑπ' αὐτῶν, Μ^ο ιϚκε, ἴσον εἶναι ῳ· ἀλλ' ὁ ὑπ' αὐτῶν, Μ^ο ιϚκε, γί. Δ^Υ ιϚκε Μ^ο ιϚκε· ταῦτα ἴσα ῳ· πάντα ιϚκις ‹καὶ τὸ κεον›.

   πλάσσω τὸν ον ἀπὸ Ϛ α Μ^ο δ. αὐτὸς ἄρα ἔσται Δ^Υ α Μ^ο ιϚ Ϛ η ἴσ. Δ^Υ α Μ^ο α καὶ γίνεται ὁ Ϛ ηιζ.

   ἔσται ὁ μὲν α^ος ξδσπθ, ὁ δὲ β^ος ξδρ, καὶ ποιοῦσι τὰ τοῦ προβλήματος.

   λ.

   Εὑρεῖν δύο ἀριθμοὺς ὅπως ὁ ὑπ' αὐτῶν, ἐάν τε προσλάβῃ συναμφότερον, ἐάν τε λίπῃ, ποιῇ τετράγωνον.

   Καὶ ἐπεὶ πάντων δύο ἀριθμῶν οἱ ἀπ' αὐτῶν συντεθέντες, ἐάν τε προσλάβωσι τὸν δὶς ὑπ' αὐτῶν, ἐάν τε λίπωσι, ποιοῦσι ον, ἐκτίθεμεν δύο ἀριθμούς, τόν τε β καὶ τὸν γ.

   Καὶ δῆλον ὡς ἡ σύνθεσις τῶν ἀπ' αὐτῶν ων, μετὰ τοῦ δὶς ὑπ' αὐτῶν, συνάγουσα Μ^ο κε, ποιεῖ ον, καὶ πάλιν ἀπὸ τῆς συνθέσεως τῶν ἀπ' αὐτῶν ἀφαιρουμένου τοῦ δὶς ὑπ' αὐτῶν, γίνεται ος ἡ Μ^ο· τάσσω οὖν τὸν ὑπ' αὐτῶν Δ^Υ ιγ.

[130]    Τετάχθω οὖν ὃς μὲν Ϛ α, ὃς δὲ Ϛ ιγ, καὶ γίνεται ὁ ὑπ' αὐτῶν Δ^Υ ιγ. Δ^Υ ἄρα ιγ, ἐάν τε προσλάβωσι Δ^Υ ιβ, ἐάν τε λίπωσι, ποιοῦσι ον. δεήσει ἄρα Δ^Υ ιβ ἴσας εἶναι συναμφοτέρῳ· ἀλλὰ συναμφότερός ἐστιν Ϛ ιδ. Δ^Υ ἄρα ιβ ἴσαι εἰσὶν Ϛ ιδ, καὶ γίνεται ὁ Ϛ ιβιδ, τουτέστιν Ϛζ.

   ἔστιν οὖν ὁ μὲν α^ος Ϛ α, ἔσται Ϛζ, ὁ δὲ β^ος Ϛ ιγ, ἔσται ϚϞα. καὶ ποιοῦσι τὸ πρόβλημα.

   λα.

   Εὑρεῖν δύο ἀριθμοὺς ἴσους τετραγώνῳ, ὅπως ὁ ὑπ' αὐτῶν, ἐάν τε προσλάβῃ συναμφότερον, ἐάν τε λείψῃ, ποιῇ τετράγωνον.

   Ἐπεὶ οὖν, ἐὰν ὦσιν δύο ἀριθμοὶ ὧν ὁ ἕτερος τοῦ ἑτέρου ἐστὶν διπλασίων, οἱ ἀπ' αὐτῶν συντεθέντες, ἐάν τε λείψωσι τὸν δὶς ὑπ' αὐτῶν, ἐάν τε προσλάβωσι, ποιοῦσι ον, ἐκτίθεμεν τὸν δ καὶ τὸν β.

   Τετάχθωσαν οὖν ἐν Δ^Υ, καὶ ἔστιν ὁ μὲν ὑπ' αὐτῶν Δ^Υ κ, ὁ δὲ συναμφότερος Δ^Υ ιϚ· ἔστω ὁ μὲν Ϛ β, ὁ δὲ Ϛ ι, συναμφότερος δὲ Ϛ ιβ, ἀλλὰ καὶ Δ^Υ ιϚ.

   Δ^Υ ἄρα ιϚ ἴσαι Ϛ ιβ· ‹καὶ γίνεται ὁ Ϛ ιϚιβ›, τουτέστι δγ.

[132]    ἔσται ὁ μὲν α^ος Ϛ, ὁ δὲ β^ος λ, καὶ ποιοῦσι τὸ πρόβλημα.

   λβ.

   Εὑρεῖν τρεῖς ἀριθμοὺς ὅπως ὁ ἀπὸ ἑκάστου αὐτῶν τετράγωνος προσλαβὼν τὸν ἑξῆς ποιῇ τετράγωνον.

   Τετάχθω ὁ μὲν α^ος Ϛ α, καὶ ἐπεί, ἐὰν ᾖ ἀριθμὸς ἀριθμοῦ διπλασίων καὶ μονάδι μείζων, ὁ ἀπὸ τοῦ ἐλάσσονος τετράγωνος, προσλαβὼν τὸν μείζονα, ποιεῖ τετράγωνον, τετάχθω ὁ β^ος τοῦ α^ου διπλασίων καὶ μονάδι μείζων, καὶ ἔσται δηλονότι Ϛ β Μ^ο α, καὶ ἔτι ὁ γ^ος τούτου διπλασίων καὶ μονάδι μείζων καὶ ἔσται Ϛ δ Μ^ο γ. καὶ συμβαίνει τὸν ἀπὸ τοῦ α^ου ον προσλαβόντα τὸν β^ον, γίνεσθαι ον, Δ^Υ α Ϛ β Μ^ο α, καὶ ὁμοίως τὸν ἀπὸ τοῦ β^ου προσλαβόντα τὸν γ^ον, ποιεῖν ον, Δ^Υ δ Ϛ η Μ^ο δ.

   Δεήσει ἄρα καὶ τὸν ἀπὸ τοῦ γ^ου ον, προσλαβόντα τὸν α^ον, ποιεῖν ον. ἀλλ' ὁ ἀπὸ τοῦ γου, προσλαβὼν τὸν α^ον, ποιεῖ Δ^Υ ιϚ Ϛ κε Μ^ο θ. ταῦτα ἴσα ῳ.

   πλάσσω τὸν ον ἀπὸ πλ. Ϛ δ Μ^ο δ· αὐτὸς ἄρα ἔσται Δ^Υ ιϚ Μ^ο ιϚ Ϛ λβ, καὶ γίνεται ὁ Ϛ νζζ.

   ἔσται ὁ μὲν α^ος ζ, ὁ δὲ β^ος οα, ὁ δὲ γ^ος ρϞθ, καὶ ποιοῦσι τὸ πρόβλημα.

   λγ.

   Εὑρεῖν τρεῖς ἀριθμοὺς ὅπως ὁ ἀπὸ ἑκάστου αὐτῶν τετράγωνος λείψει τοῦ ἑξῆς ποιῇ τετράγωνον.

   Καὶ ἐπεί, ἐὰν ἀριθμὸς ἀριθμοῦ ᾖ διπλασίων παρὰ μονάδα, ὁ ἀπὸ τοῦ ἐλάσσονος τετράγωνος, λείψει τοῦ [134] μείζονος, ποιεῖ ον, τάσσω τὸν μὲν αον Ϛ α Μ^ο α, τὸν δὲ β^ον ὁμοίως Ϛ β Μ^ο α, τὸν δὲ γ^ον Ϛ δ Μ^ο α, καὶ συμβαίνει τὸν ἀπὸ τοῦ α^ου τετράγωνον, τοῦ β^ου, ποιεῖν ον, καὶ ἔτι τὸν ἀπὸ τοῦ β^ου, τοῦ γου, ποιεῖν ον.

   λοιπόν ἐστι καὶ τὸν ἀπὸ τοῦ γου, τοῦ α^ου , ποιεῖν ον. ἀλλ' ὁ ἀπὸ τοῦ γ^ου ος, τοῦ α^ου , ποιεῖ Δ^Υ ιϚ Ϛ ζ· ταῦτα ἴσα ῳ.

   πλάσσω τὸν ον ἀπὸ Ϛ ε· Δ^Υ ἄρα κε ἴσαι Δ^Υ ιϚ Ϛ ζ, καὶ γί. ὁ Ϛ θζ.

   ἔσται ὁ μὲν α^ος ιϚ, ὁ δὲ β^ος κγ, ὁ δὲ γ^ος λζ, καὶ μένει τὰ τῆς προτάσεως.

   λδ.

   Εὑρεῖν τρεῖς ἀριθμοὺς ὅπως ὁ ἀπὸ ἑκάστου αὐτῶν, προσλαβὼν τὸν συγκείμενον ἐκ τῶν τριῶν, ποιῇ τετράγωνον.

   Καὶ ἐπεί, ἐὰν ἀριθμὸς ὑπό τινος ἀριθμοῦ μετρῆται, καὶ λάβωμεν καθ' ὃν μετρεῖται, καὶ ἀπὸ τοῦ μείζονος, τοῦ μετροῦντος καὶ καθ' ὃν μετρεῖ, ἀφέλωμεν τὸν ἐλάσσονα, ὁ ἀπὸ τοῦ ἡμίσεος τοῦ λοιποῦ ος, προσλαβὼν τὸν ἐξ ἀρχῆς, ποιεῖ ον, τάσσω τὸν μὲν συγκείμενον ἐκ τῶν τριῶν, ἀπὸ Δ^Υ τινῶν ἐχουσῶν μετροῦντας τρεῖς· ἔστω δὴ ὁ ιβ. μετρεῖ γὰρ αὐτὸν Μ^ο α κατὰ τὸν ιβ, καὶ Μ^ο β κατὰ τὸν Ϛ, καὶ Μ^ο γ κατὰ τὸν δ. καὶ ἐὰν ἀφέλω τὸν μετροῦντα ἀπὸ τοῦ καθ' ὃν μετρεῖ, καὶ τῶν λοιπῶν λάβω τὰ ἡμίση, τάσσω τοὺς τρεῖς, τὸν μὲν αον Μ^ο ε Ϛ΄, τὸν δὲ β^ον Μ^ο β, τὸν δὲ γ^ον Μ^ο Ϛ΄, [136] καὶ δῆλον ὡς ὁ ἀπὸ ἑκάστου τούτων ος, προσλαβὼν τὸν ιβ, ποιεῖ ον, ὃν μὲν ιβ δ, ὃν δὲ ιϚ, ὃν δὲ μβ δ.

   τάσσω οὖν αὐτοὺς ἐν Ϛ, τὸν μὲν αον Ϛ ε Ϛ΄, τὸν δὲ β^ον Ϛ β, τὸν δὲ γ^ον Ϛ Ϛ΄· δεῖ δὲ τὸν συγκείμενον ἐκ τῶν τριῶν ἴσον εἶναι Δ^Υ ιβ. ἀλλ' ὁ συγκείμενος ἐκ τῶν τριῶν Ϛ εἰσιν η.

   Ϛ ἄρα η ἴσοι Δ^Υ ιβ. καὶ γίνεται ὁ Ϛ Ϛδ.

   ἔσται ὁ μὲν α^ος κβ, ὁ δὲ β^ος η, ὁ δὲ γ^ος β, καὶ μένει τὰ τῆς προτάσεως.

   λε.

   Εὑρεῖν τρεῖς ἀριθμοὺς ὅπως ὁ ἀπὸ ἑκάστου αὐτῶν τετράγωνος, λιπὼν τὸν συγκείμενον ἐκ τῶν τριῶν, ποιῇ τετράγωνον.

   Τάσσω ὁμοίως ἀριθμόν τινα ὃς μετροῦντας ἔχει τρεῖς· ἔστω πάλιν τὸν ιβ· καὶ προσθεὶς τὸν μετροῦντα τῷ καθ' ὃν μετρεῖ, καὶ ἥμισυ λαβών, τάσσω τοὺς τρεῖς ἀριθμούς, τὸν μὲν Ϛ Ϛ Ϛ΄, τὸν δὲ Ϛ δ, τὸν δὲ Ϛ γ Ϛ΄· καὶ συμβαίνει τὸν ἀπὸ ἑκάστου ον, λιπόντα τὸν ιβ, ποιεῖν ον.

   λοιπὸν δεῖ τοὺς τρεῖς εἶναι ἴσους Δ^Υ ιβ. ἀλλ' οἱ τρεῖς συντεθέντες ποιοῦσιν Ϛ ιδ.

   Ϛ ἄρα ιδ ἴσοι εἰσὶ Δ^Υ ιβ, καὶ γίνεται ὁ Ϛ Ϛζ.

   ἔσται ὁ μὲν α^ος με Ϛ΄, ὁ δὲ β^ος κη, ὁ δὲ γ^ος κδ Ϛ΄, καὶ ποιοῦσι τὰ τῆς προτάσεως.

ΔΙΟΦΑΝΤΟΥ ΑΛΕΞΑΝΔΡΕΩΣ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΩΝ Γ.

[138]   α. Εὑρεῖν τρεῖς ἀριθμοὺς ὅπως ὁ ἀπὸ ἑκάστου αὐτῶν τετράγωνος λειφθεὶς ἀπὸ τοῦ συγκειμένου ἐκ τῶν τριῶν ποιῇ τετράγωνον.

   Ἐκτίθου δύο ους, τὸν μὲν ἀπὸ Ϛ α, τὸν δὲ ἀπὸ Ϛ β, καὶ γίνονται οἱ ἀπ' αὐτῶν οι, Δ^Υ ε.

   Τάσσω τὸν συγκείμενον ἐκ τῶν τριῶν Δ^Υ ε, καὶ τῶν ἐπιζητουμένων ἀριθμῶν, τὸν μὲν αον Ϛ α, τὸν δὲ β^ον Ϛ β, καὶ ἔστι δύο τῶν ἐπιταγμάτων λελυμένα· καὶ ἐπεὶ ἔχομεν τὸν ε διαιρούμενον εἰς δύο ους, τήν τε μονάδα καὶ τὴν τετράδα, ἔστω μεταδιελεῖν αὐτόν, ὡς προδέδεικται, εἰς ἑτέρους δύο ους, εἴς τε κεδ καὶ κερκα.

   τάσσω νῦν τὸν γ^ον τῆς πλευρᾶς ἑνὸς τούτων· ἔστω εβ Ϛ· καὶ μένει πάλιν ὁ ἀπ' αὐτοῦ λειφθεὶς ἀπὸ συναμφοτέρου ποιῶν ον τὸν κερκα. δεήσει τοὺς τρεῖς [140] λοιπὸν ἴσους εἶναι Δ^Υ ε· ἀλλ' οἱ τρεῖς εἰσιν Ϛ γ καὶ εβ, καὶ γίνεται ὁ Ϛ ρκεπε.

   ἔσται ὁ μὲν α^ος πε, ὁ δὲ β^ος ρο, ὁ δὲ γ^ος λδ, καὶ ποιοῦσι τὰ τῆς προτάσεως.

   β.

   Εὑρεῖν τρεῖς ἀριθμοὺς ὅπως ὁ ἀπὸ τοῦ συγκειμένου ἐκ τῶν τριῶν τετράγωνος, προσλαβὼν ἕκαστον αὐτῶν, ποιῇ τετράγωνον.

   Τετάχθω ὁ ἀπὸ τοῦ συγκειμένου ἐκ τῶν τριῶν Δ^Υ α. τάσσω τὸν μὲν αον Δ^Υ γ, τὸν δὲ β^ον Δ^Υ η, τὸν δὲ γ^ον Δ^Υ ιε, ἵνα ὁ ἀπὸ τοῦ συγκειμένου ἐκ τῶν τριῶν, τουτέστιν ἡ Δ^Υ α, προσλαβοῦσα ἕκαστον, ποιῇ ον, ὃν μὲν Δ^Υ δ, ‹ὃν δὲ Δ^Υ θ›, ὃν δὲ Δ^Υ ιϚ.

   καὶ δεήσει τοὺς τρεῖς συντεθέντας ἴσους γίνεσθαι τῇ πλευρᾷ τοῦ ἀπὸ τῶν τριῶν, τουτέστιν Ϛ α. ἀλλ' οἱ τρεῖς συντεθέντες ποιοῦσι Δ^Υ κϚ, καὶ γίνεται ὁ Ϛ ἑνὸς ‹κϚου›.

   ἔσται ἄρα ὁ μὲν α^ος χοϚγ, ὁ δὲ β^ος χοϚη, ὁ δὲ γ^ος χοϚιε, καὶ ποιοῦσι τὸ πρόβλημα.

   γ.

   Εὑρεῖν τρεῖς ἀριθμοὺς ὅπως ὁ ἀπὸ τοῦ συγκειμένου ἐκ τῶν τριῶν λείψας ἕκαστον ποιῇ τετράγωνον.

   Τετάχθω ὁ συγκείμενος ἐκ τῶν τριῶν Ϛ δ, ὁ δὲ [142]ἀπ' αὐτοῦ τετράγωνος Δ^Υ ιϚ, ὃς λείψας Δ^Υ ζ, καὶ Δ^Υ ιβ, καὶ Δ^Υ ιε, ποιεῖ ον.

   τάσσω οὖν τὸν μὲν αον Δ^Υ ζ, τὸν δὲ β^ον Δ^Υ ιβ, τὸν δὲ γ^ον Δ^Υ ιε. λοιπόν ἐστι τὸν συγκείμενον ἐκ τῶν τριῶν ἴσον εἶναι τοῖς τρισί. ἀλλ' ὁ συγκείμενος ἐκ τῶν τριῶν ὑπόκειται Ϛ δ, οἱ δὲ τρεῖς εἰσιν Δ^Υ λδ· καὶ γίνεται ὁ Ϛ ιζβ, ἡ δὲ Δ^Υ σπθδ.

   ἔσται ὁ μὲν α^ος κη, ὁ δὲ β^ος μη, ὁ δὲ γ^ος ξ, καὶ ποιοῦσι τὸ πρόβλημα.

   δ.

   Εὑρεῖν τρεῖς ἀριθμοὺς ὅπως ὁ ἀπὸ τοῦ συγκειμένου ἐκ τῶν τριῶν τετράγωνος, λειφθεὶς ἀπὸ ἑκάστου αὐτῶν, ποιῇ τετράγωνον.

   Τετάχθω ὁ συγκείμενος ἐκ τῶν τριῶν Ϛ α, ὁ δὲ ἀπὸ τούτου τετράγωνος Δ^Υ α, καὶ ἔστωσαν οἱ τρεῖς, ὃς μὲν Δ^Υ β, ὃς δὲ Δ^Υ ε, ὃς δὲ Δ^Υ ι. καὶ μένει ἕκαστος αὐτῶν, λείψας τὸν ἀπὸ τοῦ συγκειμένου ἐκ τῶν τριῶν, τουτέστιν τὴν Δ^Υ α, ποιῶν ον.

   καὶ ἐπεὶ ὁ ἀπὸ τοῦ συγκειμένου ἐκ τῶν τριῶν πλευρὰν δηλονότι ἔχει τὸν συγκείμενον ἐκ τῶν τριῶν, ἡ ἄρα σύνθεσις τῶν τριῶν ἐστιν Ϛ α, ἀλλὰ καὶ Δ^Υ ιζ. καὶ γίνεται ὁ Ϛ ἑνὸς ‹ιζου›, ἡ δὲ Δ^Υ ἑνὸς ‹σπθου›.

[144]    ἔσται ὁ μὲν α^ος β, ὁ δὲ β^ος ε, ὁ δὲ γ^ος ι, καὶ ποιοῦσι τὰ τῆς προτάσεως.

   ε.

   Εὑρεῖν τρεῖς ἀριθμοὺς ἴσους τετραγώνῳ, ὅπως σὺν δύο λαμβανόμενοι τοῦ λοιποῦ ὑπερέχωσι τετραγώνῳ.

   Τετάχθωσαν οἱ τρεῖς ἴσοι ῳ ἀπὸ Ϛ α Μ^ο α τουτέστι Δ^Υ α Ϛ β Μ^ο α, ὧν ὁ α^ος καὶ ὁ β^ος τοῦ γ^ου ὑπερεχέτωσαν Μ^ο α· ὁ ἄρα γ^ος ἔσται Δ^Υ Ϛ΄ Ϛ α, ἵνα καὶ ὁ α^ος καὶ ὁ β^ος ὑπερέχωσι τοῦ γ^ου τῇ μονάδι.

   πάλιν ὁ β^ος καὶ ὁ γ^ος τοῦ α^ου ὑπερέχουσι ῳ· ὑπερεχέτωσαν Δ^Υ α· ἔσται ὁμοίως ὁ α^ος Ϛ α Μ^ο Ϛ΄, καὶ λοιπὸν ἄρα τὸν β^ον ἔχομεν Δ^Υ Ϛ΄ Μ^ο Ϛ΄.

   λοιπὸν δεῖ τὸν αον μετὰ τοῦ γ^ου ὑπερέχειν τοῦ β^ου ῳ· ἀλλὰ ὁ α^ος μετὰ τοῦ γ^ου τοῦ μέσου ὑπερέχει Ϛ β· ταῦτα ἴσα ῳ, τουτέστι Μ^ο ιϚ· καὶ γίνεται ὁ Ϛ Μ^ο η.

   ἔσται ὁ μὲν α^ος Μ^ο η Ϛ΄, ὁ δὲ β^ος Μ^ο λβ Ϛ΄, ὁ δὲ γ^ος Μ^ο μ, καὶ ποιοῦσι τὰ τῆς προτάσεως.

[146]    Ἄλλως.

   Ζητῶ πρότερον τρεῖς ἀριθμοὺς ἴσους εἶναι ῳ. ἐὰν δὲ συνθῶ δύο ἀριθμούς, οἷον τὸν δ καὶ τὸν θ, καὶ ζητήσω τίς ος, προσλαβὼν τὸν ιγ, ποιεῖ ον, εὑρήσω τὸν λϚ· καὶ ἔσονται οἱ τρεῖς οι ἴσοι ἑνὶ ῳ.

   λοιπὸν ἀπῆκται εἰς τὸ ζητῆσαι εὑρεῖν τρεῖς ἀριθμοὺς ὅπως σὺν δύο τοῦ λοιποῦ ὑπερέχωσι δοθέντι ἀριθμῷ, ὁ μὲν α^ος μετὰ τοῦ β^ου, τοῦ γου, Μ^ο δ· ὁ δὲ β^ος μετὰ τοῦ γ^ου, τοῦ α^ου , Μ^ο θ· ὁ δὲ γ^ος μετὰ τοῦ α^ου, τοῦ β^ου, ταῖς Μ^ο λϚ.

   τοῦτο δὲ προδέδεικται καὶ ἔστιν ὁ μὲν α^ος Μ κ, ὁ δὲ β^ος Μ^ο Ϛ Ϛ΄, ὁ δὲ γ^ος Μ^ο κβ Ϛ΄, καὶ ποιοῦσι τὰ τῆς προτάσεως.

   Ϛ.

   Εὑρεῖν τρεῖς ἀριθμοὺς ἴσους τετραγώνῳ, ἵνα σὺν δύο λαμβανόμενοι ποιῶσι τετράγωνον.

   Τετάχθωσαν οἱ τρεῖς ἴσοι ῳ, Δ^Υ α Ϛ β Μ^ο α· ὁ δὲ α^ος μετὰ τοῦ β^ου, Δ^Υ α· λοιπὸς ἄρα ὁ γ^ος ἔσται Ϛ β Μ^ο α. πάλιν, ἐπεὶ ζητοῦμεν τὸν β^ον μετὰ τοῦ γ^ου ποιεῖν ον, ποιείτω Δ^Υ α Μ^ο α β ἀπὸ πλ. Ϛ α Μ^ο α· καί εἰσιν [148] οἱ τρεῖς Δ^Υ α Ϛ β Μ^ο α· λοιπὸς ἄρα ὁ α^ος ἔσται Ϛ δ· ἀλλὰ καὶ σὺν τῷ βῳ τέτακται Δ^Υ α, ὁ ἄρα β^ος ἔσται Δ^Υ α Ϛ δ.

   δεήσει ἄρα καὶ τὸν αον μετὰ τοῦ γ^ου συναγόμενον Ϛ Ϛ Μ^ο α ἰσῶσαι ῳ· ἔστω ἴσος Μ^ο ρκα, καὶ γίνεται ὁ Ϛ Μ^ο κ.

   ἔσται ὁ μὲν α^ος Μ^ο π, ὁ δὲ β^ος Μ^ο τκ, ὁ δὲ γ^ος Μ^ο μα, καὶ ποιοῦσι τὸ ἐπίταγμα.

   Ἄλλως.

   Τετάχθωσαν οἱ τρεῖς Δ^Υ α Ϛ β Μ^ο α· καὶ ἔστω ὁ α^ος καὶ ὁ β^ος Δ^Υ α, λοιπὸς ἄρα ὁ γ^ος ἔσται Ϛ β Μ^ο α. ἔστω δὲ Καὶ ὁ β^ος μετὰ τοῦ γ^ου Δ^Υ α Μ^ο α Ϛ β, ὧν ὁ γ^ος Ϛ β Μ^ο α· λοιπὸς ἄρα ὁ β^ος ἔσται Δ^Υ α Ϛ δ. ἔστι δὲ καὶ ὁ α^ος μετὰ τοῦ β^ου Δ^Υ α, ὧν ὁ β^ος, Δ^Υ α Ϛ δ· λοιπὸς ἄρα ὁ α^ος ἔσται Ϛ δ. καὶ οἱ τρεῖς συντεθέντες ποιοῦσι τὸν ἐπιταχθέντα ον, Δ^Υ α Ϛ β Μ^ο α, καὶ ὁ α^ος μετὰ τοῦ β^ου, καὶ ὁ β^ος μετὰ τοῦ γ^ου ποιοῦσι ον.

[150]    δεήσει ἄρα καὶ τὸν γ^ον μετὰ τοῦ α^ου συναγόμενον Ϛ Ϛ Μ^ο α, ἰσῶσαι ῳ· ἔστω Μ^ο λϚ, καὶ γίνεται ὁ Ϛ Ϛλε.

   ἔσται ὁ μὲν α^ος Ϛρμ, τουτέστιν λϚωμ, ὁ δὲ β^ος λϚτπε, ὁ δὲ γ^ος λϚυνϚ, καὶ ποιοῦσι τὸ πρόβλημα.

   ζ.

   Εὑρεῖν τρεῖς ἀριθμοὺς ἐν ἴσῃ ὑπεροχῇ, ὅπως σὺν δύο λαμβανόμενοι ποιῶσι τετράγωνον.

   Ζητῶ πρότερον τρεῖς ἀριθμοὺς ‹ους›, ἵνα ὦσιν ἐν ἴσῃ ὑπεροχῇ, ὧν τὸ Ϛ΄ τῆς συνθέσεως τῶν τριῶν μεῖζόν ἐστιν ἑκάστου.

   τετάχθω οὖν ὁ μὲν α^ος Δ^Υ α, ὁ δὲ β^ος Δ^Υ α Ϛ β Μ^ο α, καὶ ἔστιν αὐτῶν ἡ ὑπεροχὴ Ϛ β Μ^ο α· ἐὰν δὲ προσθῶ τῷ βῳ τοὺς β Ϛ Μ^ο α, γίνεται ὁ γ^ος Δ^Υ α Ϛ δ Μ^ο β· ταῦτα ἴσα ῳ τῷ ἀπὸ πλ. Ϛ α Μ^ο η. γίνεται ὁ ος, Δ^Υ α Μ^ο ξδ Ϛ ιϚ ἴσος Δ^Υ α Ϛ δ Μ^ο β, καὶ γίνεται ὁ Ϛ κξβ, τουτέστι ιλα.

   ἔσται ὁ μὲν α^ος Ϡξα, ὁ δὲ β^ος Ϛαχπα, ὁ δὲ γος, Ϛβυα, καὶ ποιοῦσι τὸ πρόβλημα τὸ ζητούμενον, τουτέστι τρεῖς ους ἐν ἴσῃ ὑπεροχῇ, καὶ ἔστι τῶν τριῶν τὸ Ϛ΄ μεῖζον ἑκάστου αὐτῶν.

   Νῦν ἔρχομαι ἐπὶ τὸ προβεβλημένον, τουτέστιν εὑ[0]ρεῖν [152] τρεῖς ἀριθμοὺς ἐν ἴσῃ ὑπεροχῇ, ὅπως σὺν δύο λαμβανόμενοι ποιῶσι ον. ζητῶ πρότερον τρεῖς ους ἐν ἴσῃ ὑπεροχῇ· τοῦτο δὲ προδέδεικται, καί εἰσιν οἱ οι, ὁ α^ος Ϡξα, ὁ β^ος Ϛαχπα, ὁ γ^ος Ϛβυα.

   νῦν δεῖ εὑρεῖν ὅπως ὁ α^ος καὶ ὁ β^ος ποιῶσι Μ^ο Ϡξα, ὁ δὲ β^ος καὶ ὁ γ^ος ‹Μ^ο› Ϛβυα (ἐνήλλακται γὰρ διὰ τὴν ὑπεροχήν), ὁ δὲ γ^ος καὶ ὁ α^ος Μ^ο Ϛαχπα.

   Τετάχθωσαν οἱ τρεῖς Ϛ α, καὶ ἐπεὶ οἱ τρεῖς εἰσιν Ϛ α, ἐὰν ἄρα ἀφέλω τὰς τοῦ α^ου καὶ β^ου Μ^ο Ϡξα, ἕξω τὸν γ^ον, Ϛ α Μ^ο Ϡξα. καὶ πάλιν ἐὰν ἀπὸ Ϛ α ἀφέλω τὰς τοῦ β^ου καὶ γ^ου Μ^ο Ϛβυα, ἕξω τὸν α^ον, Ϛ α ‹ Μ^ο Ϛβυα· καὶ πάλιν ἐὰν ἀπὸ Ϛ α ἀφέλω τὰς τοῦ γ^ου καὶα^ου Μ^ο Ϛαχπα, ἕξω τὸν β^ον, Ϛ α› Μ^ο Ϛαχπα.

   λοιπόν ἐστι τοὺς τρεῖς συντεθέντας ἴσους εἶναι Ϛ α, καὶ γίνεται ὁ Ϛ Ϛβφκα Ϛ΄.

   καὶ ἔσται ὁ μὲν α^ος Μ^ο ρκ Ϛ΄, ὁ δὲ β^ος Μ^ο ωμ Ϛ΄, ὁ δὲ γ^ος Μ^ο Ϛαφξ Ϛ΄, καὶ μένει τὸ ἐπίταγμα.

[154]    η.

   Ἀριθμοῦ τινος δοθέντος, προσευρεῖν ἑτέρους τρεῖς, ὅπως ὁ συγκείμενος ἐκ δύο ὁποιωνοῦν προσλαβὼν τὸν δοθέντα ποιῇ τετράγωνον, ἔτι δὲ καὶ οἱ τρεῖς συντεθέντες καὶ προσλαβόντες τὸν δοθέντα ποιῶσι τετράγωνον.

   Ἔστω ὁ μὲν δοθεὶς Μ^ο γ, ὁ δὲ συγκείμενος ἐκ δύο τῶν αων Δ^Υ α Ϛ δ Μ^ο α, ἵνα μετὰ τῶν γ Μ^ο ποιῇον, οἱ δὲ ἑξῆς δύο Δ^Υ α Ϛ Ϛ Μ^ο Ϛ, οἱ δὲ τρεῖς Δ^Υ α Ϛ η Μ^ο ιγ, ἵνα καὶ οὗτοι μετὰ Μ^ο γ ποιῶσι ον.

   καὶ ἐπεὶ οἱ τρεῖς εἰσι Δ^Υ α Ϛ η Μ^ο ιγ, ὧν οἱ α^οι δύο Δ^Υ α Ϛ δ Μ^ο α, λοιπὸς ἄρα ὁ γ^ος ἐστὶν Ϛ η Μ^ο ιβ.

   πάλιν ἐπεὶ οἱ τρεῖς εἰσι Δ^Υ α Ϛ η Μ^ο ιγ, ὧν ὁ β^ος καὶ γ^ος ἐστὶ Δ^Υ α Ϛ Ϛ Μ^ο Ϛ, λοιπὸς ἄρα ὁ α^ος ἐστιν Ϛ β Μ^ο ζ.

   ἀλλὰ καὶ ὁ α^ος καὶ ὁ β^ος εἰσι Δ^Υ α Ϛ δ Μ^ο α, καὶ λοιπὸς ἄρα ὁ β^ος ἔσται Δ^Υ α Ϛ β Μ^ο Ϛ.

   λοιπόν ἐστι καὶ τὸν αον μετὰ τοῦ γου, προσλαβόντα Μ^ο γ, ποιεῖν ον. ἀλλ' ὁ α^ος μετὰ τοῦ γου, προσλαβὼν Μ^ο γ, γίνονται Ϛ Ϛ Μ^ο κβ. ταῦτα ἴσα ῳ· ἔστω τῷ ρ, καὶ γίνεται ὁ Ϛ Μ^ο ιγ.

   ἔσται ὁ μὲν α^ος Μ^ο λγ, ὁ δὲ β^ος Μ^ο ρπθ, ὁ δὲ γ^ος Μ^ο ξδ, καὶ ποιοῦσι τὸ πρόβλημα.

[156]    θ.

   Ἀριθμοῦ τινος δοθέντος, προσευρεῖν ἑτέρους τρεῖς, ὅπως ὁ συγκείμενος ἐκ δύο ὁποιωνοῦν, λείψας τὸν δοθέντα, ποιῇ τετράγωνον, ἔτι δὲ καὶ οἱ τρεῖς, συντεθέντες καὶ λείψαντες τὸν δοθέντα, ποιῶσι τετράγωνον.

   Ἔστω πάλιν ὁ μὲν δοθεὶς Μ^ο γ· ὁ δὲ συγκείμενος ἐκ τῶν δύο αων Δ^Υ α Μ^ο γ, ἵνα λείψας τὰς γ Μ^ο ποιῇ ον· οἱ δὲ ἑξῆς δύο Δ^Υ α Ϛ β Μ^ο δ, οἱ δὲ τρεῖς Δ^Υ α Ϛ δ Μ^ο ζ, ἵνα καὶ οὗτοι, Μ^ο γ, ποιῶσι ον.

   καὶ ἐπεὶ οἱ τρεῖς εἰσι Δ^Υ α Ϛ δ Μ^ο ζ, ὧν ὁ α^ος καὶ ὁ β^ος Δ^Υ α Μ^ο γ· λοιπὸς ἄρα ὁ γ^ος ἐστὶν Ϛ δ Μ^ο δ.

   πάλιν ἐπεὶ ὁ β^ος καὶ ὁ γ^ος εἰσὶ Δ^Υ α Ϛ β Μ^ο δ, ὧν ὁ γ^ος ἐστὶν Ϛ δ Μ^ο δ· λοιπὸς ἄρα ὁ β^ος ἔσται Δ^Υ α Ϛ β.

   ἔστι δὲ καὶ ὁ α^ος καὶ ὁ β^ος Δ^Υ α Μ^ο γ, ὧν ὁ β^ος ἐστι Δ^Υ α Ϛ β· λοιπὸς ἄρα ὁ α^ος ἔσται Ϛ β Μ^ο γ.

   δεήσει ἄρα καὶ τὸν γ^ον μετὰ τοῦ α^ου Μ^ο γ ποιεῖν ον. ἀλλ' ὁ γ^ος μετὰ τοῦ α^ου Μ^ο γ ἐστιν Ϛ Ϛ Μ^ο ι. ταῦτα ἴσα ῳ· ἔστω τῷ ξδ, καὶ γίνεται ὁ Ϛ Μ^ο ι.

   ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις· ἔσται ὁ μὲν α^ος Μ^ο κγ, ὁ δὲ β^ος Μ^ο π, ὁ δὲ γ^ος Μ^ο μδ, καὶ ποιοῦσι τὰ τῆς προτάσεως.

[158]    ι.

   Εὑρεῖν τρεῖς ἀριθμοὺς ὅπως ὁ ὑπὸ δύο ὁποιωνοῦν προσλαβὼν τὸν δοθέντα ἀριθμὸν ποιῇ τετράγωνον.

   Ἐπιτετάχθω δὴ τὸν ιβ.

   Ἐπεὶ οὖν ζητοῦμεν τὸν ὑπὸα^ου καὶ β^ου προσλαβόντα τὸν ιβ ποιεῖν ον, ἐὰν ἄρα ἀπό τινος ου ἀφέλω τὸν ιβ, ἕξω τὸν ὑπὸα^ου καὶ βου. ἔστω δὴ ὁ ος Μ^ο κε· ἐὰν ἄρα ἀπὸ τούτου ἀφέλω τὸν ιβ, λοιπὸν ἕξω τὸν ὑπὸα^ου καὶ β^ου, Μ^ο ιγ. ἔστω οὖν ὁ μὲν α^ος Μ^ο ιγ, ὁ δὲ β^ος Μ^ο α, καὶ τετάχθωσαν ἐν Ϛοῖς ὥστε τὸν ὑπ' αὐτῶν ποιεῖν Μ^ο ιγ. καὶ ἔστω ὁ μὲν α^ος Ϛ ιγ, ὁ δὲ β^ος ἀριθμοστοῦ ‹α›.

   ἐὰν δὲ καὶ ἀπὸ ἑτέρου ου ἀφέλω Μ^ο ιβ, ἕξω τὸν ὑπὸ β^ου καὶ γου. ἔστω ἀπὸ τοῦ ιϚ· λοιπὸς ἄρα ὁ ὑπὸ β^ου καὶ γ^ου ἔσται Μ^ο δ. τετάχθωσαν πάλιν ἐν Ϛοῖς ὥστε ποιεῖν τὸν ὑπ' αὐτῶν Μ^ο δ, ὧν ὁ β^ος ἐστιν Ϛ· λοιπὸς ἄρα ὁ γ^ος ἔσται Ϛ δ.

   δεήσει ἄρα καὶ τὸν ὑπὸα^ου καὶ γ^ου μετὰ Μ^ο ιβ ποιεῖν ον. ἀλλὰ ὁ ὑπὸα^ου καὶ γ^ου ἐστὶ Δ^Υ νβ. δεήσει ἄρα Δ^Υ νβ μετὰ Μ^ο ιβ ποιεῖν ον, καὶ εἰ εἶχον τὸ πλῆθος τῶν ιγ Μ^ο τοῦ α^ου ον, εὐχερὴς ἦν ἡ ἴσωσις. ἀλλ' ἐπεὶ οὐ τοῦτο, ἀπῆκταί Μ^οι εἰς τὸ εὑρεῖν δύο ἀριθμοὺς ὅπως ὁ ὑπ' αὐτῶν ᾖ τετράγωνος καὶ ἔτι ἑκάτερος μετὰ Μ^ο ιβ ποιῇ τετράγωνον· ἐὰν δὲ ἀντὶ ἀριθμῶν εὕρω τοὺς τετραγώνους, ἔσται ὁ ὑπ' αὐτῶν τετράγωνος. γέγονεν οὖν εὑρεῖν δύο τετραγώνους ὧν ἑκάτερος μετὰ Μ^ο ιβ ποιεῖ ον. τοῦτο δὲ ῥᾴδιον καὶ [160] εὐχερῆ, ὡς ἔφαμεν, ποιοῦν τὴν ἴσωσιν. καὶ ἔστιν ὁ μὲν δ, ὁ δὲ δ· ἑκάτερος γὰρ τούτων μετὰ Μ^ο ιβ ποιεῖ τετράγωνον.    Τούτων εὑρεθέντων ἔρχομαι ἐπὶ τὸ ἐξ ἀρχῆς καὶ τάσσω τὸν μὲν αον Ϛ δ, τὸν δὲ β^ον Ϛ, τὸν δὲ γ^ον  Ϛ δ. καὶ λοιπόν ἐστι τὸν ὑπὸα^ου καὶ γ^ου μετὰ Μ^ο ιβ ποιεῖν ον. ἀλλ' ὁ ὑπὸα^ου καὶ γ^ου ἐστὶ Δ^Υ α.

   Δ^Υ ἄρα α μετὰ Μ^ο ιβ ἴση ἐστὶ ῳ.

   πλάσσω τὸν ον ἀπὸ πλευρᾶς Ϛ α Μ^ο γ· αὐτὸς ἄρα ἔσται Δ^Υ α Ϛ Ϛ Μ^ο θ, καὶ γίνεται ὁ Ϛ Ϛ΄, καὶ μένει τὸ ἐπίταγμα.

   ια.

   Εὑρεῖν τρεῖς ἀριθμοὺς ὅπως ὁ ὑπὸ δύο ὁποιωνοῦν λείψας τὸν δοθέντα ποιῇ τετράγωνον,

   Ἐπιτετάχθω δὴ τὸν ι.

   Ἐπεὶ ζητοῦμεν τὸν ὑπὸα^ου καὶ β^ου, Μ^ο ι, ποιεῖν ον, ἐὰν ἄρα τινὶ ῳ προσθῶ Μ^ο ι, ἕξω τὸν ὑπ' αὐτῶν· ἔστω τῷ δ. ἔσται ἄρα ὁ ὑπὸα^ου καὶ β^ου Μ^ο ιδ. ἔστω ὁ α^ος Μ^ο ιδ· ὁ ἄρα β^ος ἔσται Μ^ο α. καὶ τετάχθω πάλιν ἐν Ϛοῖς ὥστε τὸν ὑπ' αὐτῶν ποιεῖν Μ^ο ιδ, καὶ ἔστω ὁ μὲν α^ος Ϛ ιδ, ὁ δὲ β^ος Ϛ.

[162]    πάλιν ἐὰν ἑτέρω ῳ προσθῶ Μ^ο ι, ἕξω τὸν ὑπὸ τοῦ β^ου καὶ γ^ου· ἔστω τῷ θ· ἔσται ἄρα ὁ ὑπὸ β^ου καὶ γ^ου, Μ^ο ιθ· ὧν ὁ β^ος ἐστιν α Ϛ· λοιπὸς ἄρα ὁ γ^ος ἔσται Ϛ ιθ.

   δεήσει ἄρα καὶ τὸν ὑπὸ γ^ου καὶα^ου Μ^ο ι ‹ποιεῖν ον· ἀλλ' ὁ ὑπὸ γ^ου καὶα^ου Μ^ο ι› γίνεται Δ^Υ σξϚ Μ^ο ι· ταῦτα ἴσα ῳ. καὶ διὰ τὰ ἐν τῷ πρὸ τούτου εἰρημένα, ἀπῆκταί Μ^οι εἰς τὸ εὑρεῖν δύο τετραγώνους ὧν ἑκάτερος λείψει Μ^ο ι ποιεῖ τετράγωνον· τοῦτο δὲ ῥᾴδιον.

   [εὑρήσεις γάρ, ζητήσῃς ἄν τίς τετράγωνος λείψει Μ^ο ι ποιῇ τετράγωνον· καὶ ἐπεὶ ἐάν τινι ἀριθμῷ προστεθῇ μονάς, καὶ τῶν γενομένων τὸ ἥμισυ τετραγωνίσωμεν, καὶ ἀπὸ τοῦ γενομένου τετραγώνου ἀφέλωμεν τὸν ἐξ ἀρχῆς, ὁ λοιπὸς πάλιν τετράγωνος ἔσται, προστίθημι ταῖς ι Μ^ο, Μ^ο α, καὶ τῶν γενομένων τὸ ἥμισυ, τουτέστι τὰ ε Ϛ΄, τετραγωνίσας, ἀπὸ τῶν γενομένων Μ^ο λ δ ἀφελὼν τὰς Μ^ο ι, ἕξω ον Μ^ο κ δ ἀπὸ πλ· δ Ϛ΄. τάσσω οὖν τὸν μὲν αον λ δ, τὸν δὲ γ^ον Δ^Υ α· δεήσει [164] ἄρα καὶ ἀπὸ Δ^Υ α ἀφαιρεθεισῶν Μ^ο ι τὸν λοιπὸν γίνεσθαι ον. Δ^Υ ἄρα α Μ^ο ι ἴση ἐστὶ ῳ· πλάσσω τὸν ον ἀπὸ πλ. Ϛ α Μ^ο β· αὐτὸς ἄρα ἔσται Δ^Υ α Μ^ο δ Ϛ δ, καὶ γίνεται ὁ Ϛ Μ^ο γ Ϛ΄. ἐπεὶ ἔταξα τὸν γ^ον Δ^Υ α, ἔσται ιβ δ. ἔστι δὲ καὶ ὁ α^ος λ δ· οἵτινες Μ^ο ι ποιοῦσι ους.]

   Ἔρχομαι ἐπὶ τὸ ἐξ ἀρχῆς ζητούμενον καὶ τάσσω τὸν α^ον Ϛ λ δ, τὸν δὲ β^ον Ϛ, τὸν δὲ γ^ον Ϛ ιβ δ, λοιπὸν δὴ τὸν ὑπὸα^ου καὶ γ^ου γίνεσθαι Δ^Υ το Ϛ΄ ιϚ· οὗτος ἄρα Μ^ο ι ἴσος ἐστὶ ῳ· καὶ ἵνα ὅλαι Δ^Υ ὦσι, ποιῶ αὐτὰς ιϚκις.

   Δ^Υ ἄρα ϚεϠκθ Μ^ορξ ἴσαι ῳ τῷ ἀπὸ πλ. Ϛ οζ Μ^ο β, τουτέστι Δ^Υ ϚεϠκθ Μ^ο δ Ϛ τη. καὶ γίνεται ὁ Ϛ οζμα.

   ἔταξα τὸν αον Ϛ λ δ, ἔσται οζϚασμ δ· τὸν δὲ β^ον Ϛ, ἔσται μαοζ· τὸν δὲ γ^ον Ϛ ιβ δ, ἔσται οζφβ δ· καὶ μένει τὰ τῆς προτάσεως.

   ιβ.

   Εὑρεῖν τρεῖς ἀριθμοὺς ὅπως ὁ ὑπὸ δύο ὁποιωνοῦν προσλαβὼν τὸν λοιπὸν ποιῇ τετράγωνον.

   Ἐπεὶ ζητοῦμεν τὸν ὑπὸα^ου καὶ β^ου προσλαβόντα >[166] τὸν λοιπὸν ποιεῖν ον, ἐὰν ἄρα ἐκθέμενοί τινα ον, μέρος μέν τι αὐτοῦ τάξωμεν τὸν γ^ον, τὸν δὲ λοιπὸν τὸν ὑπὸα^ου καὶ β^ου, λύσομεν ἓν τῶν ἐπιταγμάτων. πεπλάσθω ὁ ος ἀπὸ Ϛ α Μ^ο γ· αὐτὸς ἄρα ἔσται Δ^Υ α Ϛ Ϛ Μ^ο θ· τετάχθω ὁ γ^ος Μ^ο θ· λοιπὸς ἄρα ἔσται ὁ ὑπὸα^ου καὶ β^ου Δ^Υ α Ϛ Ϛ. τετάχθω ὁ α^ος Ϛ α· λοιπὸς ἄρα ὁ β^ος ἔσται ‹Ϛ α Μ^ο Ϛ. δεήσει ἄρα καὶ τὸν ὑπὸ β^ου καὶ γ^ου προσλαβόντα τὸν αον καὶ γινόμενον› Ϛ ι Μ^ο νδ ἴσον εἶναι ῳ καὶ ἔτι τὸν ὑπὸ γ^ου καὶα^ου προσλαβόντα τὸν β^ον καὶ γινόμενον Ϛ ι Μ^ο Ϛ ἴσον πάλιν γίνεσθαι ῳ. καὶ γίνεται διπλῆ ἡ ἰσότης, καὶ ἔστιν αὐτῶν ὑπεροχὴ Μ^ο μη.

   δεήσει ἄρα εὑρεῖν δύο τετραγώνους ἐν ὑπεροχῇ Μ^ο μη· τοῦτο δὲ ῥᾴδιον καὶ ἀπειραχῶς γίνεται· καὶ ἔστιν ὁ μὲν ἐλάσσων Μ^ο ιϚ, ὁ δὲ μείζων Μ^ο ξδ, καὶ πρὸς ὁποῖον ἂν αὐτῶν ποιήσωμαι τὴν ἰσότητα, εὑρήσω τὴν ὑπόστασιν τοῦ Ϛοῦ· ἐάν τε γὰρ φήσωμεν τὰς τοῦ μείζονος Μ^ο ξδ ἴσας εἶναι Ϛ ι Μ^ο νδ, συνάγεται ὁ Ϛ Μ^ο α· ἐάν τε πάλιν φήσωμεν τὰς τοῦ ἐλάσσονος Μ^ο ιϚ ἴσας εἶναι Ϛ ι Μ^ο Ϛ, συνάγεται ὁ Ϛ Μ^ο α.

   ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις. ἔσται ὁ μὲν α^ος Μ^ο α, ὁ δὲ β^ος Μ^ο ζ· ἔστι δὲ καὶ ὁ γ^ος Μ^ο θ, καὶ ποιοῦσι τὸ ἐπίταγμα.

   ιγ.

   Εὑρεῖν τρεῖς ἀριθμοὺς ὅπως ὁ ὑπὸ δύο ὁποιωνοῦν λείψας τὸν λοιπὸν ποιῇ τετράγωνον.

[168]    Τετάχθω ὁ α^ος Ϛ α, ὁ δὲ β^ος Ϛ α Μ^ο δ· ὁ ἄρα ὑπ' αὐτῶν ἔσται Δ^Υ α Ϛ δ. δεήσει ἄρα τοῦτον λείψαντα τὸν γ^ον ποιεῖν ον· ἐὰν οὖν τὸν γ^ον τάξω Ϛ δ, ‹λυθήσεται ἓν τῶν ἐπιταγμάτων.

   δεήσει ἄρα καὶ τὸν ὑπὸ β^ου καὶ γ^ου λείψαντα τὸν αον ποιεῖν ον›, καὶ τὸν ὑπὸ γ^ου καὶα^ου λείψαντα τὸν β^ον ποιεῖν ον· ἀλλ' ὁ μὲν ὑπὸ β^ου καὶ γ^ου λείψας τὸν αον ἐστι Δ^Υ δ Ϛ ιε, ἴσος ῳ· ὁ δὲ ὑπὸ γ^ου καὶα^ου λείψας τὸν β^ον ἐστι Δ^Υ δ Ϛ α Μ^ο δ ἴσος ῳ.

   καὶ γίνεται πάλιν διπλῆ ἡ ἴσωσις· τῆς γὰρ ὑπεροχῆς αὐτῶν τυγχανούσης Ϛ ιϚ Μ^ο δ, ζητῶ δύο ἀριθμοὺς ὧν τὸ ὑπὸ ποιεῖ Ϛ ιϚ Μ^ο δ· εἰσὶ δὲ Μ^ο δ καὶ Ϛ δ Μ^ο α.

   πάλιν οὖν ἢ τῆς συνθέσεως τούτων τὸ ἥμισυ ἐφ' ἑαυτὸ ἴσον ἐστὶ τῷ μείζονι, ἢ τῆς ὑπεροχῆς τὸ ἥμισυ ἐφ' ἑαυτὸ ἴσον τῷ ἐλάσσονι, καὶ συνάγεται ὁ Ϛ κκε.

   ἔσται ὁ μὲν α^ος κε, ὁ δὲ β^ος ρε, ὁ δὲ γ^ος ρ, καὶ μένει τὰ τῆς προτάσεως.

   ιδ.

   Εὑρεῖν τρεῖς ἀριθμοὺς ὅπως ὁ ὑπὸ δύο ὁποιωνοῦν προσλαβὼν τὸν ἀπὸ τοῦ λοιποῦ τετράγωνον ποιῇ τετράγωνον.

[170]    Τετάχθω ὁ α^ος Ϛ α, ὁ δὲ β^ος Ϛ δ Μ^ο δ, ὁ δὲ γ^ος Μ^ο α, ἵνα ᾖ λελυμένα δύο τῶν ἐπιταγμάτων.

   λοιπόν ἐστι καὶ τὸν ὑπὸ γ^ου καὶα^ου προσλαβόντα τὸν ἀπὸ τοῦ β^ου, ποιεῖν ον. ἀλλ' ὁ ὑπὸ γ^ου καὶα^ου προσλαβὼν τὸν ἀπὸ τοῦ β^ου ποιεῖ Δ^Υ ιϚ Ϛ λγ Μ^ο ιϚ· ταῦτα ἴσα ῳ τῷ ἀπὸ πλευρᾶς Ϛ δ Μ^ο ε τούτεστι Δ^Υ ιϚ Μ^ο κε Ϛ μ· καὶ γίνεται ὁ Ϛ ογθ.

   ἔσται ὁ μὲν α^ος θ, ὁ δὲ β^ος τκη, ὁ δὲ γ^ος ογ, καὶ ποιοῦσι τὸ πρόβλημα.

   ιε.

   Εὑρεῖν τρεῖς ἀριθμοὺς ὅπως ὁ ὑπὸ δύο ὁποιωνοῦν προσλαβὼν συναμφότερον ποιῇ τετράγωνον.

   Πάντων δὴ δύο τετραγώνων κατὰ τὸ ἑξῆς ὁ ὑπὸ προσλαβὼν συναμφότερον ποιεῖ τετράγωνον.

   Τετάχθω τοίνυν ὁ μὲν α^ος Μ^ο δ, ὁ δὲ β^ος Μ^ο θ, ἵνα ὁ ὑπ' αὐτῶν γενόμενος ος Μ^ο λϚ, προσλαβὼν συναμφότερον, ποιῇ ον. λοιπόν ἐστι καὶ τὸν ὑπὸ β^ου καὶ γ^ου προσλαβόντα συναμφότερον καὶ ἔτι τὸν ὑπὸ γ^ου καὶα^ου προσλαβόντα συναμφότερον ποιεῖν ον.

   τετάχθω ὁ γ^ος Ϛ α, καὶ γίνεται ὁ ὑπὸ β^ου καὶ γ^ου, προσλαβὼν συναμφοτέρους, Ϛ ι Μ^ο θ ἴσος ῳ, καὶ ἔτι ὁ ὑπὸ γ^ου καὶα^ου , προσλαβὼν συναμφοτέρους, Ϛ ε Μ^ο δ ἴσος ῳ καὶ γίνεται πάλιν καὶ ἐνταῦθα διπλῆ ἡ ἴσωσις καὶ ἔστιν ἡ ὑπεροχὴ Ϛ ε Μ^ο ε. ζητῶ οὖν πάλιν δύο ἀριθμοὺς ὧν τὸ ὑπό ἐστιν Ϛ ε Μ^ο ε. καί εἰσιν ὧν τὸ [172] ὑπὸ ποιεῖ τὴν ὑπεροχήν, ὃς μὲν Ϛ α Μ^ο α, ὃς δὲ Μ^ο ε. καὶ ὁμοίως [τὸ ἐν τῷ δευτέρῳ] ἢ τῆς συνθέσεως αὐτῶν τὸ ἥμισυ ἐφ' ἑαυτὸ ἴσον τῷ μείζονι ἢ τῆς ὑπεροχῆς τὸ ἥμισυ ‹ἐφ' ἑαυτὸ› ἴσον τῷ ἐλάσσονι, καὶ γίνεται ὁ Ϛ Μ^ο κη.

   καὶ ἔστιν ὁ μὲν α^ος Μ^ο δ, ὁ δὲ β^ος Μ^ο θ, ὁ δὲ γ^ος Μ^ο κη. καὶ ποιοῦσι τὰ τῆς προτάσεως.

   Ἄλλως.

   Εὑρεῖν ἀριθμοὺς τρεῖς ὅπως ὁ ὑπὸ δύο ὁποιωνοῦν προσλαβὼν συναμφότερον ποιῇ τετράγωνον.

   Τετάχθω ὁ μὲν α^ος Ϛ α, ὁ δὲ β^ος Μ^ο γ, καὶ γίνεται ὁ ὑπ' αὐτῶν μετὰ συναμφοτέρων Ϛ δ Μ^ο γ· ταῦτα ἴσα ῳ· ἔστω Μ^ο κε, καὶ γίνεται ὁ Ϛ Μ^ο ε Ϛ΄. ἔσται ὁ μὲν α^ος Μ^ο ε Ϛ΄, ὁ δὲ β^ος Μ^ο γ, καὶ λέλυται ἓν τῶν ἐπιταγμάτων· ὁ γὰρ ὑπ' αὐτῶν μετὰ συναμφοτέρων ποιεῖ τὸν κε ον. δεήσει ἄρα καὶ τὸν ὑπὸ β^ου καὶ γου, καὶ ἔτι τὸν ὑπὸ γ^ου καὶα^ου , προσλαβόντα συναμφότερον, ποιεῖν ον.

   τετάχθω ὁ γ^ος Ϛ α, καὶ γίνεται ὁ μὲν ὑπὸ β^ου καὶ γ^ου προσλαβὼν συναμφοτέρους πάλιν Ϛ δ Μ^ο γ, ὁ δὲ ὑπὸ [174] γ^ου καὶα^ου Ϛ Ϛ Ϛ΄ Μ^ο ε Ϛ΄, ἴσος ἑκάτερος ῳ· καὶ διὰ τὸ πλεονάζειν ἐν τῷ ἑτέρῳ τὸ πλῆθος τῶν Ϛ καὶ τῶν Μ^ο, καὶ μηδὲ λόγον αὐτοὺς ἔχειν ὃν ος πρὸς ον, σχολάζει ἡ γεγενημένη ὑπόστασις.

   ἀπῆκται οὖν ‹εἰς τὸ› εὑρεῖν δύο ἀριθμοὺς ὅπως ὁ ὑπ' αὐτῶν μετὰ συναμφοτέρων ποιῇ τετράγωνον, καὶ ἔτι ‹οἱ μονάδι μείζονες αὐτῶν› πρὸς ἀλλήλους λόγον ἔχωσιν ὃν τετράγωνος πρὸς τετράγωνον.

   Ἐπεὶ ἐὰν ἀριθμὸς ἀριθμοῦ ᾖ τετραπλασίων καὶ Μ^ο γ μείζων, οἱ μονάδι μείζονες αὐτῶν πρὸς ἀλλήλους λόγον ἔχουσιν ὃν ος ἀριθμὸς πρὸς ον μὲν αον Ϛ α, τὸν δὲ β^ον Ϛ δ Μ^ο γ. δεῖ λοιπὸν τὸν ὑπ' αὐτῶν μετὰ συναμφοτέρων ἴσον εἶναι ῳ· ἀλλ' ὁ ὑπ' αὐτῶν μετὰ συναμφοτέρων ἐστὶν Δ^Υ δ Ϛ η Μ^ο γ· ταῦτα ἴσα ῳ.

   πλάσσω τὸν ον ἁπὸ Ϛ β Μ^ο γ· καὶ γίνεται ὁ ος, Δ^Υ δ Μ^ο θ Ϛ ιβ· καὶ γίνεται ὁ Ϛ κϚ τουτέστι ιδγ. ἔσται ὁ μὲν α^ος ιγ, ὁ δὲ β^ος ιμβ τουτέστι Μ^ο δ ε καὶ μένει ἓν τῶν ἐπιταγμάτων.

   λοιπόν ἐστι τὸν ὑπὸ β^ου καὶ γ^ου μετὰ συναμφοτέρων ποιεῖν ον. τάσσω τὸν γ^ον Ϛ α· ἔστι δὲ καὶ ὁ β^ος Μ^ο δ ε· γίνεται ὁ ὑπ' αὐτῶν μετὰ συναμφοτέρων Ϛ ε ε Μ^ο δ ε· ταῦτα ἴσα ῳ.

[176]    πάλιν ἐπεὶ ὁ μὲν γ^ος ἐστὶ Ϛ α, ὁ δὲ α^ος ιγ, ἔσται ὁ ὑπ' αὐτῶν μετὰ συναμφοτέρων Ϛ ιιγ Μ^ο ιγ· ταῦτα ἴσα ῳ.

   ποιῶ τοὺς Ϛ ε ε Μ^ο δ ε ἐπὶ τὸν κε· γίνονται Ϛ ρλ Μ^ο ρε ἴσοι ῳ· καὶ ὁμοίως τὰ τοῦ Ϛ ιιγ Μ^ο ιγ ἐπὶ τὸν ρ· γίνονται Ϛ ρλ Μ^ο λ ἴσοι πάλιν ῳ. καὶ ἔστιν αὐτῶν ὑπεροχὴ Μ^ο οε, καὶ ἔστι διπλῆ πάλιν ἰσότης, καὶ συνάγεται ὁ Ϛ ιζ.

   ἔσται ὁ μὲν γ^ος ιζ· ἦν δὲ καὶ ὁ μὲν α^ος ιγ, ὁ δὲ β^ος ιμβ· καὶ ποιοῦσι τὸ ἐπίταγμα.

   ιϚ.

   Εὑρεῖν τρεῖς ἀριθμοὺς ὅπως ὁ ὑπὸ δύο ὁποιωνοῦν λείψας συναμφότερον ποιῇ τετράγωνον.

   ὉΜ^οίως τῷ πρὸ τούτου, τετάχθω ὁ α^ος Ϛ α, ὁ β^ος Μ^ο ὁσωνδήποτε, καὶ ἐλεύσομαι ὡσαύτως εἰς ἄπορον. ἵνα οὖν τὸ πλῆθος τῶν Ϛ πρὸς τὸ πλῆθος τῶν Ϛ ἔχωμεν λόγον ἔχον ὃν ος ἀριθμὸς πρὸς ον ἀριθμόν, ἀπῆκται εἰς τὸ ζητῆσαι δύο ἀριθμοὺς ὅπως ὁ ὑπ' αὐτῶν λείψας συναμφότερον ποιῇ τετράγωνον ‹καὶ ἔτι οἱ μονάδι αὐτῶν ἐλάσσους πρὸς ἀλλήλους λόγον ἔχωσιν ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν›.

   Καὶ ἐπεὶ ἐὰν ἀριθμὸς ἀριθμοῦ τετραπλασίων ᾖ παρὰ Μ^ο γ, οἱ μονάδι αὐτῶν ἐλάσσους πρὸς ἀλλήλους [178] λόγον ἔχουσιν ὃν ος ἀριθμὸς πρὸς ον ἀριθμόν, [ἐπειδήπερ καὶ τῆς Μ^ο α ἀφ' ἑκατέρου ἀφαιρουμένης γίνεται ἐλάττωσις Μ^ο δ καὶ α, καὶ δῆλόν ἐστιν ὡς ἀπὸ τετραπλασίων λόγου τετραπλασίων ἀφαιρουμένου, καὶ ὁ καταλειπόμενος ἔσται τετραπλασίων, τουτέστι πρὸς ], τάσσω οὖν τὸν μὲν αον Ϛ α Μ^ο α, τὸν δὲ β^ον Ϛ δ Μ^ο α· καὶ μένει ὁ ὑπ' αὐτῶν λείψας συναμφότερον, γί. Δ^Υ δ Μ^ο α, ἴσος ῳ, τῷ ἀπὸ πλευρᾶς Ϛ β Μ^ο β, τουτέστι Δ^Υ δ Μ^ο δ Ϛ η· καὶ γίνεται ὁ Ϛ ηε. ἔσται ὁ μὲν α^ος ηιγ, ὁ δὲ β^ος ηκη, καὶ λέλυται ἓν τῶν ἐπιταγμάτων.

   Καὶ ἐπεὶ ὁ μὲν α^ος ἐστι ηιγ, ὁ δὲ β^ος Μ^ο γ Ϛ΄, τάσσω τὸν γ^ον Ϛ α. καὶ μένει ὁ ὑπὸ β^ου καὶ γ^ου συναγόμενος Ϛ γ Ϛ΄· λείψας τὸν συναμφότερον, Ϛ α Μ^ο γ Ϛ΄, γί. Ϛ β Ϛ΄ Μ^ο γ Ϛ΄ ἴσ. ῳ. ‹ταῦτα δκις· γίνονται Ϛ ι Μ^ο ιδ.› ὁ δὲ ὑπὸ γ^ου καὶα^ου γίνεται Ϛ ηιγ· λείψας συναμφότερον, γί. Ϛ ηε Μ^ο ηιγ ἴσ. ῳ. ταῦτα ιϚκις· γίνονται Ϛ ι Μ^ο κϚ· καὶ ἔστιν αὐτῶν ὑπεροχὴ Μ^ο ιβ· ὧν τὸ ὑπό; Μ^ο β [180] καὶ Μ^ο Ϛ· συναμφοτέρου τὸ Ϛ΄ ἐφ' ἑαυτὸ γίνεται Μ^ο ιϚ ἴσαι τῷ μείζονι, τουτέστιν Ϛ ι Μ^ο ιδ. καὶ γίνεται ὁ Ϛ Μ^ο γ.

   ἔσται ὁ μὲν γ^ος Μ^ο γ τουτέστιν ηκδ· ἔχομεν δὲ καὶ τὸν μὲν αον ηιγ, τὸν δὲ β^ον Μ^ο γ Ϛ΄ τουτέστιν ηκη, καὶ ποιοῦσι τὸ πρόβλημα.

   ιζ.

   Εὑρεῖν δύο ἀριθμοὺς ὅπως ὁ ὑπ' αὐτῶν, ἐάν τε προσλάβῃ συναμφότερον, ἐάν τε ἑκάτερον, ποιῇ τετράγωνον.

   Τετάχθω ὁ μὲν Ϛ α, ὁ δὲ Ϛ δ Μ^ο α, ἐπειδήπερ ἐὰν ἀριθμὸς ἀριθμοῦ ᾖ τετραπλασίων παρὰ μονάδα, ὁ ὑπ' αὐτῶν προσλαβὼν τὸν ἐλάσσονα ποιεῖ τετράγωνον.

   ἑξῆς δεῖ καὶ τὰ λοιπὰ δύο ἐπιτάγματα κατασκευάσαι, ὥστε τὸν ὑπ' αὐτῶν προσλαβόντα ‹τὸν β^ον ποιεῖν ον καὶ ἔτι τὸν ὑπ' αὐτῶν προσλαβόντα› συναμφότερον ποιεῖν ον. ἀλλ' ὁ μὲν ὑπ' αὐτῶν προσλαβὼν τὸν β^ον γίνεται Δ^Υ δ Ϛ γ Μ^ο α ἴσ. ῳ. ὑπ' αὐτῶν προσλαβὼν συναμφότερον γίνεται Δ^Υ δ Ϛ δ Μ^ο α ἴσ. ῳ.

   καὶ γίνεται διπλῆ ἡ ἰσότης καὶ ἔστιν αὐτῶν ὑπεροχὴ Ϛ α, καὶ περιέχεται ὑπὸ Μ^ο δ, Ϛ δ· καὶ συνάγεται ὁ Ϛ σκδξε.

[182]    ἔσται ὁ μὲν α^ος ξε, ὁ δὲ β^ος λϚ, καὶ ποιοῦσι τὸ πρόβλημα.

   ιη.

   Εὑρεῖν δύο ἀριθμοὺς ὅπως ὁ ὑπ' αὐτῶν, ἐάν τε λείψῃ ἑκάτερον, ἐάν τε συναμφότερον, ποιῇ τετράγωνον.

   Τετάχθω ὁ μὲν Ϛ α Μ^ο α, ὁ δὲ Ϛ δ, ἐπειδήπερ ἐὰν ἀριθμὸς ἀριθμοῦ ᾖ τετραπλασίων παρὰ Μ^ο δ, ὁ ὑπ' αὐτῶν λείψας τὸν μείζονα ποιεῖ τετράγωνον.

   λοιπὸν δεῖ τὸν ὑπ' αὐτῶν λείψαντα τὸν ἐλάσσονα ποιεῖν ον, καὶ ἔτι τὸν ὑπ' αὐτῶν λείψαντα συναμφότερον ποιεῖν ον· ἀλλ' ὁ μὲν ὑπ' αὐτῶν λείψας τὸν ἐλάσσονα γίνεται Δ^Υ δ Ϛ γ Μ^ο α· ὁ δὲ ὑπ' αὐτῶν λείψας συναμφότερον Δ^Υ δ Ϛ α Μ^ο α ἴσ. ῳ. καὶ ἔστιν αὐτῶν ὑπεροχὴ Ϛ δ· τάσσω τὸν μὲν Ϛ δ, τὸν δὲ Μ^ο α, καὶ γίνεται ὁ Ϛ Μ^ο α δ.    καὶ ἔσται ὁ μὲν α^ος Μ^ο β δ, ὁ δὲ β^ος Μ^ο ε. καὶ ἡ ἀπόδειξις φανερά.

   ιθ.

   Εὑρεῖν τέσσαρας ἀριθμοὺς ὅπως ὁ ἀπὸ τοῦ συγκειμένου ἐκ τῶν τεσσάρων τετράγωνος, ἐάν τε προσλάβῃ ἕκαστον, ἐάν τε λείψῃ, ποιῇ τετράγωνον.

   Ἐπεὶ παντὸς ὀρθογωνίου τριγώνου ὁ ἀπὸ τῆς ὑποτεινούσης τετράγωνος, ἐάν τε προσλάβῃ τὸν δὶς ὑπὸ τῶν περὶ τὴν ὀρθήν, ἐάν τε λείψῃ, ποιεῖ τετράγωνον, ζητῶ πρότερον τέσσαρα τρίγωνα ὀρθογώνια [184] ἴσας ἔχοντα τὰς ὑποτεινούσας· τὸ δ' αὐτό ἐστι τετράγωνόν τινα διελεῖν εἰς δύο τετραγώνους ‹τετραχῶς›, καὶ ἐμάθομεν τὸν δοθέντα ον διελεῖν εἰς δύο ους ἀπειραχῶς.

   Νῦν οὖν ἐκθώμεθα δύο τρίγωνα ὀρθογώνια ὑπὸ ἐλαχίστων ἀριθμῶν, οἷον γ, δ, ε· ε, ιβ, ιγ. καὶ πολλαπλασίασον ἕκαστον τῶν ἐκκειμένων ἐπὶ τὴν ὑποτείνουσαν τοῦ ἑτέρου, καὶ ἔσται τὸ μὲν αον τρίγωνον, λθ, νβ, ξε· τὸ δὲ β^ον κε, ξ, ξε. καὶ ἔστιν ὀρθογώνια ἴσας ἔχοντα τὰς ὑποτεινούσας.

   ἔτι δὲ φυσικῶς ὁ ξε διαιρεῖται εἰς τετραγώνους διχῶς, εἴς τε τὸν ιϚ καὶ τὸν μθ, ἀλλὰ μὴν καὶ τὸν ξδ καὶ τὴν Μ^ο. τοῦτο δὲ συμβαίνει ἐπεὶ ὁ ξε ἀριθμὸς περιέχεται ὑπὸ τοῦ ιγ καὶ τοῦ ε, ὧν ἕκαστος διαιρεῖται εἰς δύο τετραγώνους.

   νῦν τῶν ἐκκειμένων, τοῦ τε μθ καὶ τοῦ ιϚ, λαμβάνω τὰς πλευράς· εἰσὶν δὲ ζ καὶ δ, καὶ πλάσσω τὸ τρίγωνον ὀρθογώνιον ἀπὸ ἀριθμῶν δύο τοῦ τε ζ καὶ τοῦ δ καὶ ἔστι λγ, νϚ, ξε. ὁμοίως καὶ τοῦ ξδ καὶ τῆς Μ^ο αἱ πλευραὶ η καὶ α, καὶ πλάσσω πάλιν ἀπ' αὐτῶν ὀρθογώνιον τρίγωνον οὗ αἱ πλευραὶ ιϚ, ξγ, ξε.

   Καὶ γίνεται τέσσαρα τρίγωνα ὀρθογώνια ἴσας ἔχοντα τὰς ὑποτεινούσας· ἐλθὼν οὖν ἐπὶ τὸ ἐξ ἀρχῆς πρόβλημα, τάσσω τὸν μὲν συγκείμενον ἐκ τῶν τεσσάρων, Ϛ ξε, ἕκαστον δὲ τούτων τῶν τεσσάρων, Δ^Υ τοσούτων [186] ὅσων ἐστὶ δ^πλ. τοῦ ἐμβαδοῦ, τὸν μὲν αον ‹Δ^Υ ϚδνϚ, τὸν δὲ β^ον Δ^Υ Ϛγ, τὸν δὲ γον› Δ^Υ ϚγχϞϚ, καὶ ἔτι τὸν δ^ον Δ^Υ ϚβιϚ.

   καί εἰσιν οἱ τέσσαρες Δ^Υ ΜαΥ Μ^ο Ϛβψξη ἴσοι Ϛ ξε, καὶ γίνεται ὁ Ϛ μορίου ΜαΥ Μ^ο Ϛβψξη, ξε.

   ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις. ἔσται ὁ μὲν α^ος ϚαψιγΜΥ Μ^οϚϚχ ‹ὁ δὲ β^ος ϚασξζΜΥ Μ^οϚε› μορίου τοῦ αὐτοῦ, ὁ δὲ γ^ος ϚαφξαΜΥ Μ^ο Ϛζχ μορίου τοῦ αὐτοῦ, ὁ δὲ δ^ος ωναΜ^ο Μ^ο Ϛζχ μορίου τοῦ αὐτοῦ· τὸ δὲ μόριον ΜαΜΥ   ϚϚτβΜΥ Μ^ο Ϛαωκδ.

   κ.

   Δοθέντα ἀριθμὸν διελεῖν εἰς δύο ἀριθμοὺς καὶ προσευρεῖν αὐτοῖς τετράγωνον ὃς λείψας ἑκάτερον τῶν διῃρημένων ποιεῖ τετράγωνον.

   Ἔστω δὴ ὁ δοθεὶς Μ^ο ι.

   Τετάχθω ὁ προσευρισκόμενος τετράγωνος Δ^Υ α Ϛ β Μ^ο α· οὗτος ἐὰν μὲν λείψῃ Ϛ β Μ^ο α, καταλείπεται ος, ἐὰν δὲ Ϛ δ, πάλιν καταλείπεται ος. τάσσω οὖν τὸν μὲν αον Ϛ β Μ α, τὸν δὲ β^ον Ϛ δ.

[188]    ταῦτα δεῖ συντεθέντα ποιεῖν τὸν δοθέντα, ἀλλὰ συντεθέντα ἐστὶν Ϛ Ϛ Μ^ο α· ταῦτα ἴσα Μ^ο ι, καὶ γίνεται ὁ Ϛ Μ^ο α Ϛ΄.

   ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις· ἔσται ὁ μὲν α^ος δ Μ^ο, ὁ δὲ β^ος Ϛ Μ^ο, ὁ δὲ ος Μ^ο Ϛ δ.

   κα.

   Δοθέντα ἀριθμὸν διελεῖν εἰς ἀριθμοὺς δύο καὶ προσευρεῖν αὐτοῖς τετράγωνον, ὃς προσλαβὼν ἕκαστον τῶν διῃρημένων ποιεῖ τετράγωνον.

   Ἔστω ὁ δοθεὶς Μ^ο κ.

   Καὶ τετάχθω ὁ τετράγωνος Δ^Υ α Ϛ β Μ^ο α· τούτῳ δὲ ἐὰν προσθῶ Ϛ β Μ^ο γ, ἔστι ος, ἀλλὰ μὴν καὶ ἐὰν προσθῶ Ϛ δ Μ^ο η. συναμφότερος ἄρα ἔσται Ϛ Ϛ Μ^ο ια .....

   ἔσται ὁ μὲν α^ος τῶν διῃρημένων Μ^ο Ϛ, ὁ δὲ β^ος Μ^ο ιδ, ὁ δὲ ος Μ^ο Ϛ δ. καὶ φανερὰ ἡ ἀπόδειξις.

ΔΙΟΦΑΝΤΟΥ ΑΛΕΞΑΝΔΡΕΩΣ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΩΝ Δ.

[190]   α. Τὸν δοθέντα ἀριθμὸν διελεῖν εἰς δύο κύβους ὧν αἱ πλευραί εἰσι δοθεῖσαι.

   Ἔστω δὴ τὸν το ἀριθμὸν διελεῖν εἰς δύο κύβους ὧν αἱ πλευραὶ Μ^ο ι.

   Τετάχθω ἡ τοῦ α^ου κύβου πλ. Ϛ α Μ^ο ε τουτέστι τοῦ Ϛ΄ τῶν πλευρῶν. λοιπὸν ἄρα ἡ τοῦ ἑτέρου κύβου πλ. ἔσται Μ^ο ε Ϛ α· αὐτοὶ ἄρα ἔσονται οἱ κύβοι Δ^Υ λ Μ^ο σν· ταῦτα ἴσα Μ^ο το τουτέστι τῷ δοθέντι, καὶ γίνεται ὁ Ϛ Μ^ο β.

   ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις· ἔσται ἡ ‹μὲν› τοῦ α^ου κύβου πλ. Μ^ο ζ, ἡ δὲ τοῦ β^ου Μ^ο γ· αὐτοὶ δὲ οἱ κύβοι ὁ μὲν α^ος τμγ, ὁ δὲ β^ος κζ.

   β.

   Εὑρεῖν δύο ἀριθμοὺς ὅπως ἡ ὑπεροχὴ αὐτῶν ποιῇ δοθέντα, καὶ ἔτι ἡ τῶν ἀπ' αὐτῶν κύβων ὑπεροχή.

   Ἔστω δὴ τὴν μὲν ὑπεροχὴν αὐτῶν ποιεῖν Μ^ο Ϛ, τὴν δὲ ὑπεροχὴν τῶν ἀπ' αὐτῶν κύβων Μ^ο φδ.

[192]    Τετάχθω πάλιν ἡ τοῦ μείζονος κύβου πλ. Ϛ α ‹Μ^ο γ, ἡ δὲ τοῦ ἐλάσσονος Ϛ α› Μ^ο γ· καὶ μένει ὥστε τὴν ὑπεροχὴν αὐτῶν εἶναι Μ^ο Ϛ. λοιπὸν δεῖ τῶν κύβων τὴν ὑπεροχὴν εἶναι Μ^ο φδ· ἀλλ' ἡ τῶν κύβων ὑπεροχή ἐστι Δ^Υ ιη Μ^ο νδ· ταῦτα ἴσα Μ^ο φδ, καὶ γίνεται ὁ Ϛ Μ^ο ε.

   ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις· ἔσται ἡ μὲν τοῦ μείζονος κύβου πλ. Μ^ο η, ἡ δὲ τοῦ ἐλάσσονος Μ^ο β. αὐτοὶ δὲ οἱ κύβοι, ὃς μὲν φιβ, ὃς δὲ η, καὶ ἡ ἀπόδειξις φανερά.

   γ.

   Ἐπὶ τετράγωνον καὶ πλευρὰν πολλαπλασιάσαι τὸν αὐτὸν ἀριθμόν, καὶ ποιεῖν τὴν μὲν πλευρὰν κύβον, τὸν δὲ τετράγωνον πλευρὰν τοῦ κύβου.

   Τετάχθω ὁ μὲν τετράγωνος Δ^Υ α, ἡ ἄρα πλ. αὐτοῦ ἔσται Ϛ α· ὁ δὲ πολλαπλασιαζόμενος ἀριθμὸς ἔστω ἀριθμοστῶν κυβικῶν ὁσωνδήποτε· ἔστω δὴ Ϛ η. ἐπὶ μὲν οὖν τὴν Δ^Υ α πολλαπλασιάσαντες, εὑρίσκομεν Ϛ η· ἐπὶ δὲ τὸν Ϛ ‹α› πολλαπλασιάσαντες, εὑρίσκομεν Μ^ο η.

   θέλομεν δὲ τοὺς Ϛ η κυβικὴν εἶναι πλευρὰν τῶν η Μ^ο· Μ^ο ἄρα β ἴσαι Ϛ η, καὶ γίνεται ὁ Ϛ ηβ πλασιαζόμενος ἀριθμὸς Μ^ο λβ.

   Ἐὰν δὲ θελήσωμεν μόρια μὴ ἐπιτιθέναι, εὑρήσομεν Ϛ η, ἴσους Μ^ο β, καὶ γίνεται ὁ Ϛ δ.

[194]    ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις. ἔσται ὁ μὲν τετράγωνος ιϚ, ἡ δὲ πλευρὰ δ, ὁ δὲ πολλαπλασιαζόμενος ὁ λβ. εἰ γὰρ ὁ Ϛ ἐστι δ, τὸ ἀριθμοστόν ἐστι Μ^ο δ. καὶ ἡ ἀπόδειξις φανερά.

   δ.

   Τετραγώνῳ καὶ πλευρᾷ προσθεῖναι τὸν αὐτὸν ἀριθμὸν καὶ ποιεῖν τὰ αὐτά.

   Ἔστω ὁ μὲν τετράγωνος Δ^Υ α, ἡ ἄρα πλευρὰ ἔσται Ϛ α· ὁ δὲ προστιθέμενος ἔστω Δ^Υ τοσούτων ἵνα μετὰ Δ^Υ α ποιῇ ον. ἔστω Δ^Υ γ· αὗται προστεθεῖσαι τῇ μὲν Δ^Υ ‹α› ποιοῦσι ον· τῷ δὲ Ϛ α, ποιοῦσι Δ^Υ γ Ϛ α· ταῦτα ἴσα τῇ τοῦ ου πλ. τῶν Δ^Υ δ, τουτέστιν Ϛ β· καὶ γίνεται ὁ Ϛ ἑνὸς γου.

   ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις· ἔσται ὁ μὲν τετράγωνος ἑνὸς θου, ἡ δὲ πλ. ἑνὸς γου, ὁ δὲ προστιθέμενος ἀριθμὸς θγ. ε.

   Τετραγώνῳ καὶ πλευρᾷ προσθεῖναι τὸν αὐτὸν ἀριθμὸν καὶ ποιεῖν τὰ ἐναλλάξ.

   Ἔστω ὁ τετράγωνος Δ^Υ α, ἡ ἄρα πλευρὰ ἔσται Ϛ α· ὁ δὲ προστιθέμενος, ἵνα τὴν πλ· ποιῇ ον, Δ^Υ τετραγωνικῶν λείψει Ϛ τῆς τοῦ τετραγώνου πλευρᾶς. ἔστω δὴ Δ^Υ δ Ϛ α. ‹αὗται προστεθεῖσαι μὲν τῷ Ϛ α ποι[0]οῦσι [196] ον· τῇ δὲ Δ^Υ α, ποιοῦσι Δ^Υ ε Ϛ α·› ταῦτα ἴσα Ϛ β τῇ πλ. τοῦ ου τοῦ γεγενημένου ἐκ τῆς προσθέσεως, καὶ γίνεται ὁ Ϛ εγ.

   ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις· ἔσται ὁ μὲν τετράγωνος κεθ, ἡ δὲ πλ. εγ, ὁ δὲ προστιθέμενος κεκα.

   Ϛ.

   Κύβω καὶ τετραγώνῳ προσθεῖναι τὸν αὐτὸν τετράγωνον καὶ ποιεῖν τὰ αὐτά.

   Ἔστω ὁ μὲν κύβος Κ^Υ α, ὁ δὲ τετράγωνος Δ^Υ ὁσωνδήποτε τετραγωνικῶν, ἔστω Δ^Υ θ.

   καὶ ἐπεὶ θέλομεν τετράγωνόν τινα μετὰ Δ^Υ θ ποιεῖν ον, ἐκτίθεμαι δύο ἀριθμοὺς ὧν τὸ ὑπό ἐστι Μ^ο θ· ἔστω δὴ Μ^ο α καὶ Μ^ο θ. ἐὰν ἀφέλω ἀπὸ τῶν θ τὴν Μ^ο, καὶ τῶν λοιπῶν τὸ Ϛ΄ ἐφ' ἑαυτὸ πολλαπλασιάσω, ἕξω Μ^ο ιϚ· οὗτος προσλαβὼν τὸν θ ποιεῖ ον. τάσσω οὖν τὸν προστιθέμενον τετράγωνον Δ^Υ ιϚ· κἂν μὲν ταῖς Δ^Υ θ προστεθῇ, γίνεται ος· ἐὰν δὲ τῷ Κ^Υ α, γίνεται Κ^Υ α Δ^Υ ιϚ· ταῦτα ἴσα κύβῳ· ἔστω Κ^Υ η, καὶ γίνεται ὁ Ϛ ζιϚ.

   ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις· ἔσται ὁ μὲν κύβος τμγϚδϞϚ, ὁ δὲ τετράγωνος μθϚβτδ, ὁ δὲ προστιθέμενος αὐτοῖς τετράγωνος μθϚδϞϚ. [198] ζ.

   Κύβῳ καὶ τετραγώνῳ προσθεῖναι τὸν αὐτὸν τετράγωνον καὶ ποιεῖν τὰ ἐναλλάξ.

   Ἔστω ὁ μὲν κύβος ὁ αος, ὁ δὲ τετράγωνος ὁ βος, ὁ δὲ προστιθέμενος αὐτοῖς τετράγωνος ὁ γος.

   Καὶ ἐπεὶ θέλω τὸν προστιθέμενον ον τὸν γ^ον τῷ ῳ τῷ βῳ ποιεῖν κύβον, ποιείτω κύβ^ον τὸν αον· ὥστε ὁ α^ος ὑπερέχει τοῦ β^ου τῷ γῳ, τουτέστι ῳ· ὁ γὰρ γ^ος ἐστὶ ος. οἵους δὴ ἂν ἐκθῶμαι δύο ἀριθμούς, οἱ ἀπ' αὐτῶν τετράγωνοι προσλαβόντες τὸν δὶς ὑπ' αὐτῶν ἢ λείψαντες ποιοῦσι τετράγωνον. ὀφείλω οὖν, ἐκθέμενος δύο ἀριθμούς, τοὺς μὲν ἀπ' αὐτῶν τάσσειν τὸν α^ον, ἐπεὶ ὁ α^ος τοῖς δυσὶ τετραγώνοις ἴσος ἐστί, τῷ ζητουμένῳ καὶ τῷ προστιθεμένῳ, τῷ γῳ καὶ τῷ βῳ τετραγώνοις, τὸν δὲ δὶς ὑπ' αὐτῶν τὸν γον· καὶ ἔστιν ‹ὁ› γ^ος ος, ὥστε καὶ ὁ δὶς ὑπ' αὐτῶν ἐστι ος.

   Τετάχθω ὁ μὲν Ϛ α, ὁ δὲ Ϛ β, ἵνα ὁ δὶς ὑπ' αὐτῶν ᾖ ος· λαβὼν οὖν τοὺς ἀπ' αὐτῶν ους, τάσσω τὸν αον Δ^Υ ε· τὸν δὲ δὶς ὑπ' αὐτῶν, τὸν γ^ον Δ^Υ δ. λοιπὸν ἄρα ἔσται τὸν β^ον εἶναι Δ^Υ α· μετὰ γὰρ τοῦ γ^ου ἴσος ἐστὶ τῷ αῳ. λοιπόν ἐστι τὸν αον ποιεῖν κύβον.

   Δ^Υ ἄρα ε ἴσαι Κ^Υ α, καὶ γίνεται ὁ Ϛ ‹Μ^ο› ε.

   ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις· ἔσται ὁ μὲν κύβος ὁ α^ος Μ^ο ρκε, ὁ δὲ τετράγωνος ὁ β^ος ‹Μ^ο› κε, ὁ δὲ προστιθέμενος τετράγωνος ὁ γ^ος Μ^ο ρ· καὶ φανερὰ ἡ ἀπόδειξις.

[200]    Ἄλλως.

   Ἔστω κύβος ὁ αος, ὁ δὲ τετράγωνος ὁ βος, ὁ δὲ προστιθέμενος τετράγωνος ὁ γ.

   Ἐπεὶ οὖν θέλω τὸν προστιθέμενον ον προστεθέντα τᾷ βῳ τουτέστι ῳ ποιεῖν κύβον, ποιείτω τὸν α^ον· ἐπεὶ δὲ πάλιν τὸν αον συντεθέντα τῷ γῳ ποιεῖν ον, ἀπῆκταί Μ^οι εἰς τὸ εὑρεῖν δύο ους ὧν ἡ σύνθεσις μετὰ ἑνὸς αὐτῶν ποιεῖ ον, [διὰ τοῦτο δή, ἐπεὶ οἱ δύο οι, ὅ τε προστιθέμενος τῷ βῳ καὶ ὁ β^ος ποιοῦσι κύβ^ον τουτέστι τὸν αον].

   τετάχθωσαν οἱ δύο οι, ὁ μὲν α^ος Δ^Υ α, ὁ δὲ β^ος Μ^ο δ· καὶ ἡ σύνθεσις αὐτῶν μετὰ ἑνὸς αὐτῶν γί. Δ^Υ β Μ^ο δ ἴσ. ῳ, τῷ ἀπὸ πλ. Ϛ β Μ^ο β· γίνεται ὁ ος Δ^Υ δ ‹Μ^ο δ› Ϛ η, καὶ γίνεται ὁ Ϛ Μ^ο δ. ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις· ἔσται ὁ μὲν δ, ὁ δὲ ιϚ.

   Νῦν τάξον τὸν μὲν προστιθέμενον αὐτοῖς ον Δ^Υ ιϚ, τὸν δὲ β^ον Δ^Υ δ· ὁ ἄρα α^ος ἔσται Δ^Υ κ· θέλομεν γὰρ συναμφοτέρῳ εἶναι αὐτὸν ἴσον. λοιπὸν δεῖ Δ^Υ κ ἴσας εἶναι Κ^Υ α, καὶ γίνεται ὁ Ϛ Μ^ο κ.

   ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις· ἔσται ὁ μὲν α^ος η, ὁ δὲ β^ος Ϛαχ, ὁ δὲ προστιθέμενος ϚϚυ· τοῦτο δὲ ἀπειραχῶς δείκνυται.

   η.

   Κύβῳ καὶ πλευρᾷ προσθεῖναι τὸν αὐτὸν ἀριθμὸν καὶ ποιεῖν τὰ αὐτά.

[202]    Ἔστω ὁ προστιθέμενος Ϛ α, ἡ δὲ τοῦ κύβου πλευρὰ Ϛ ὁσωνδήποτε· ἔστω Ϛ β, ὁ ἄρα κύβος ἐστὶ Κ^Υ η.

   Ἐὰν ἄρα Ϛ α προστεθῇ Ϛ β, γίνονται Ϛ γ· ἐὰν δὲ τοῖς Κ^Υ η, γί. Κ^Υ η Ϛ α· ταῦτα ἴσα Κ^Υ κζ. ἀφῃρήσθωσαν οἱ Κ^Υ η· λοιπὸν ἄρα Κ^Υ ιθ ἴσοι Ϛ α. πάντα παρὰ Ϛ. Δ^Υ ἄρα ιθ ἴσ. Μ^ο α.

   Καὶ ἔστιν ἡ μία Μ^ο ος· εἰ δὲ καὶ τὸ πλῆθος τῶν ιθ Δ^Υ ᾖ ος, λέλυτο ἂν ἡ ἰσότης· ἀλλὰ αἱ Δ^Υ ιθ ἐκ τῆς ὑπεροχῆς εἰσιν ἧς ὑπερέχουσι Κ^Υ κζ Κ^Υ η, καὶ οἱ μὲν Κ^Υ κζ ἀπὸ Ϛ γ κύβος εἰσίν, οἱ δὲ Κ^Υ η ἀπὸ Ϛ β κύβος ἐστίν· ὥστε τὰ ιθ γέγονεν ἐκ τῆς ὑπεροχῆς ἧς ὑπερέχει ὁ ἀπὸ Ϛ γ κύβος τοῦ ἀπὸ Ϛ β κύβου. ἀλλ' οἱ μὲν Ϛ β τῆς ὑποθέσεως εἰσίν, οἱ δὲ γ ἀεὶ μονάδι μείζονες τοῦ τυχόντος πλήθους τῶν τῆς πλευρᾶς Ϛῶν· ἀπῆκται οὖν Μ^οι εἰς τὸ εὑρεῖν δύο ἀριθμοὺς Μ^ο α ἀλλήλων ὑπερέχοντας, ἵνα ἡ ὑπεροχὴ τῶν ἀπ' αὐτῶν κύβων ποιῇ τετράγωνον.

   Ἔστω ὁ μὲν Ϛ α, ὁ δὲ Ϛ α Μ^ο α, καὶ ἡ ὑπεροχὴ τῶν ἀπ' αὐτῶν κύβων ἐστὶ Δ^Υ γ Ϛ γ Μ^ο α· ταῦτα ἴσα ῳ τῷ ἀπὸ πλ. Μ^ο α Ϛ β. γίνεται ὁ Ϛ Μ^ο ζ· ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις· ἔσται ὁ μὲν ζ, ὁ δὲ η.

   Ἔρχομαι οὖν ἐπὶ τὸ ἐξ ἀρχῆς καὶ τάσσω τὸν μὲν προστιθέμενον Ϛ α, τὴν δὲ τοῦ κύβου πλευρὰν Ϛ ζ· ὁ ἄρα κύβος ἔσται Κ^Υ τμγ, καὶ ὁ Ϛ προστεθεὶς ἑκατέρῳ αὐτῶν ποιεῖ ὃν μὲν Ϛ η, ὃν δὲ Κ^Υ τμγ Ϛ α· θέλομεν οὖν ταῦτα εἶναι κύβ^ον πλευρὰν ἔχοντα Ϛ η.

[204]    Κ^Υ ἄρα φιβ ἴσοι Κ^Υ τμγ Ϛ α· καὶ γίνεται ὁ Ϛ ἑνὸς ‹ιγου›.

   ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις. ἔσται ὁ μὲν κύβος ϚβρϞζτμγ, ἡ δὲ πλευρὰ ιγζ, ὁ δὲ προστιθέμενος ἑνός.

   θ.

   Κύβῳ καὶ πλευρᾷ προσθεῖναι τὸν αὐτὸν ἀριθμὸν καὶ ποιεῖν τὰ ἐναλλάξ.

   Ἔστω ὁ μὲν κύβος Κ^Υ κυβικῶν ὁσωνδήποτε· ἔστω δὴ η· ἡ ἄρα πλευρὰ αὐτοῦ ἔσται Ϛ β· ‹ὁ δὲ προστιθέμενος, ἵνα τὴν πλευρὰν ποιῇ κύβον, Κ^Υ κυβικῶν Ϛ β›, τουτέστι τῶν τῆς πλευρᾶς τοῦ κύβου, Κ^Υ κζ Ϛ β.

   καὶ ἐὰν μὲν τοῖς Ϛ β προστεθῶσι, ποιοῦσι Κ^Υ κζ, καὶ ἔστιν ὁ κύβος ἀπὸ πλευρὰς Ϛ γ· ἐὰν δὲ τοῖς Κ^Υ η, ποιοῦσι Κ^Υ λε Ϛ β.

   θέλομεν δὴ ταῦτα πλευρὰν εἶναι κυβικὴν τῶν γενομένων Κ^Υ κζ, τουτέστι Ϛ γ· Κ^Υ ἄρα λε Ϛ β ἴσοι Ϛ γ· καὶ γίνονται Ϛ ε ἴσοι Κ^Υ λε· καὶ πάντα παρὰ Ϛ· Δ^Υ ἄρα λε ἴσαι Μ^ο ε.

   καὶ γίνεται ὁ Ϛ οὐ ῥητὸς τῷ μὴ τὸ εἶδος πρὸς τὸ εἶδος λόγον ἔχειν ου ἀριθμοῦ πρὸς ον ἀριθμόν· ἀλλ' αἱ μὲν Δ^Υ λε σύνθεσίς ἐστι δύο κύβων, τοῦ τε κζ καὶ τοῦ η, αἱ δὲ Μ^ο ε ἐκ τῆς συνθέσεως τῶν πλευρῶν αὐτῶν· ἀπῆκται οὖν Μ^οι εἰς τὸ εὑρεῖν δύο κύβους οἳ [206] συντεθέντες πρὸς τὰς πλευρὰς αὐτῶν συντεθείσας λόγον ἕξουσιν ὃν ος ἀριθμὸς πρὸς ον ἀριθμόν.

   Ἔστωσαν αἱ πλευραὶ αὐτῶν συντεθεῖσαι Μ^ο ὁσαιδήποτε· ἔστωσαν δὴ β· καὶ τετάχθω ἡ μὲν τοῦ α^ου κύβου πλευρὰ Ϛ α, ἡ ἄρα τοῦ ἑτέρου ἔσται Μ^ο β Ϛ α· καὶ οἱ αὐτῶν κύβοι συντεθέντες ποιοῦσι Δ^Υ Ϛ Μ^ο η Ϛ ιβ.

   θέλομεν οὖν ταῦτα πρὸς τὰς πλευρὰς αὐτῶν συντεθείσας, τουτέστι πρὸς Μ^ο β, λόγον ἔχειν ὃν ος ἀριθμὸς πρὸς ‹ον› ἀριθμόν. καί εἰσι β Μ^ο διπλάσιαι ου· ὥστε καὶ Δ^Υ Ϛ Μ^ο η Ϛ ιβ διπλάσιαί εἰσι ου· τὸ ἄρα Ϛ΄ αὐτῶν ἴσον ῳ, τουτέστι    Δ^Υ γ Μ^ο δ Ϛ Ϛ ἴσαι γίνονται τῷ ἀπὸ Μ^ο β Ϛ δ.

   καὶ γίνεται ὁ Ϛ ιγι· ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις· ἔσται ἡ μὲν ιγι, ἡ δὲ ιγιϚ. αἴρω τὰ ιγα, καὶ τὸ Ϛ΄· αὐτῶν οὖν τῶν κύβων αἱ πλευραὶ ἡ μὲν ε, ἡ δὲ η.

   Ἔρχομαι οὖν ἐπὶ τὸ ἐξ ἀρχῆς καὶ τάσσω τὴν τοῦ κύβου πλευρὰν Ϛ ε· ὁ ἄρα κύβος ἔσται Κ^Υ ρκε, ὁ δὲ προστιθέμενος, κύβος ἀπὸ τοῦ η, τουτέστι Κ^Υ φιβ Ϛ ε, καὶ προστεθεὶς Ϛ ε, ποιεῖ κύβον, τοῖς δὲ ρκε Κ^Υ προστεθεὶς ποιεῖ Κ^Υ χλζ Ϛ ε· θέλομεν οὖν ταῦτα κυβικὴν εἶναι πλ. Κ^Υ φιβ.

   Ϛ ἄρα η ἴσοι εἰσὶ Κ^Υ χλζ Ϛ ε, καὶ γίνεται ὁ Ϛ ἑνὸς ‹ζου›.

   ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις· ἔσται ὁ μὲν κύβος τμγρκε, ὁ δὲ πλευρὰ ζε, ὁ δὲ προστιθέμενος ἀριθμὸς τμγσξζ.

[208]    ι.

   Εὑρεῖν δύο κύβους ἴσους ταῖς ἰδίαις πλευραῖς.

   Ἔστωσαν δὴ αἱ πλευραὶ τῶν κύβων ἐν Ϛ, ἡ μὲν Ϛ β, ἡ δὲ Ϛ γ· οἱ ἄρα κύβοι συντεθέντες ποιήσουσι Κ^Υ λε ἴσους ταῖς πλευραῖς, τουτέστιν Ϛ ε· καὶ πάντα παρὰ Ϛ.

   Δ^Υ ἄρα λε ἴσαι Μ ε· καὶ γίνεται ὁ Ϛ οὐ ῥητός.

   ἀλλ' αἱ Δ^Υ λε σύνθεσίς εἰσι κύβων δύο, τοῦ τε η καὶ τοῦ κζ, αἱ δὲ Μ^ο ε συντεθεισῶν τῶν πλευρῶν αὐτῶν· ἀπῆκται οὖν Μ^οι εἰς τὸ εὑρεῖν κύβους δύο, οἳ συντεθέντες καὶ μερισθέντες εἰς τὰς πλευρὰς αὐτῶν συντεθείσας, ποιοῦσι τὴν παραβολὴν τετράγωνον.

   Τοῦτο δὲ προεδείχθη, καί εἰσιν αἱ πλευραὶ τῶν κύβων, ἡ μὲν Ϛ η, ἡ δὲ Ϛ ε· ἔρχομαι οὖν ἐπὶ τὸ ἐξ ἀρχῆς καὶ τάσσω τὰς πλευρὰς τῶν κύβων, ἣν μὲν Ϛ η, ἣν δὲ Ϛ ε· καὶ οἱ κύβοι συντεθέντες γίνονται Κ^Υ χλζ. ταῦτα ἴσα ταῖς πλευραῖς, τουτέστιν Ϛ ιγ, καὶ γίνεται ὁ Ϛ ἑνὸς ‹ζου›.

   ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις· ἔσται ἡ μὲν τοῦ α^ου κύβου πλ· ε, ἡ δὲ τοῦ ἑτέρου η· αὐτοὶ δὲ οἱ κύβοι, ὃς μὲν τμγρκε, ὃς δὲ τμγφιβ.

   ια.

   Εὑρεῖν δύο κύβους ὧν ἡ ὑπεροχὴ ἴση ἔσται τῇ τῶν πλευρῶν αὐτῶν ὑπεροχῇ.

   Ἔστωσαν αἱ πλευραὶ αὐτῶν ἡ μὲν Ϛ β, ἡ δὲ Ϛ γ· καὶ ἔστιν ἡ ὑπεροχὴ τῶν ἀπ' αὐτῶν κύβων Κ^Υ ιθ, ἡ δὲ ὑπεροχὴ τῶν πλευρῶν Ϛ α. Ϛ ἄρα α ἴσος Κ^Υ ιθ.

[210]    Καὶ γίνεται ὁ Ϛ οὐ ῥητὸς τῷ μὴ ἔχειν τὸ εἶδος πρὸς τὸ εἶδος λόγον ου πρὸς ον· ἀπῆκται οὖν Μ^οι εἰς τὸ εὑρεῖν δύο κύβους ὅπως ἡ ὑπεροχὴ αὐτῶν πρὸς τὴν ὑπεροχὴν τῶν πλευρῶν αὐτῶν λόγον ἔχῃ ὃν ος ‹ἀριθμὸς› πρὸς ον ἀριθμόν.

   Ἔστωσαν αἱ πλευραὶ τῶν κύβων, ἡ μὲν Ϛ α, ἡ δὲ Ϛ α Μ^ο α, ἵνα καὶ ἡ ὑπεροχὴ αὐτῶν ᾖ ος τουτέστι Μ^ο α· καὶ ἐπεί ἐστι τοῦ μὲν πλ. Ϛ α, τοῦ δὲ Μ^ο α καὶ Ϛ α, ἔσται ἄρα ἡ ὑπεροχὴ τῶν πλευρῶν Μ^ο α, ‹ἡ δὲ ὑπεροχὴ τῶν κύβων Δ^Υ γ Ϛ γ Μ^ο α›. θέλομεν οὖν Δ^Υ γ Ϛ γ Μ^ο α πρὸς τὴν Μ^ο α, τὴν ὑπεροχὴν τῶν πλευρῶν, λόγον ἔχειν ὃν ος ἀριθμὸς πρὸς ον ἀριθμόν· τὸν ἄρα ὑπ' αὐτῶν δεῖ εἶναι ον· ἔστι δὲ ὁ ὑπ' αὐτῶν Δ^Υ γ Ϛ γ Μ^ο α. ταῦτα ἴσα ῳ τῷ ἀπὸ πλ. Μ^ο α Ϛ β· καὶ γίνεται ὁ Ϛ Μ^ο ζ. ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις. ἔσονται αἱ πλευραὶ ἡ μὲν ζ, ἡ δὲ η.

   Ἔρχομαι ἐπὶ τὸ ἐξ ἀρχῆς καὶ τάσσω τὰς πλ· τῶν κύβων, ἣν μὲν Ϛ ζ, ἣν δὲ Ϛ η· καὶ ἡ μὲν τούτων ὑπεροχή ἐστιν Ϛ α, ἡ δὲ τῶν ἀπ' αὐτῶν κύβων ὑπεροχὴ Κ^Υ ρξθ.

   Κ^Υ ἄρα ρξθ ἴσοι Ϛ α· καὶ γίνεται ὁ Ϛ ἑνὸς ‹ιγου›.

   ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις. ἔσονται αἱ πλευραὶ τῶν κύβων, ἡ μὲν ζ, ἡ δὲ η.

   ιβ.

   Εὑρεῖν δύο ἀριθμοὺς ὅπως ὁ ἀπὸ τοῦ μείζονος κύβος προσλαβὼν τὸν ἐλάσσονα ἀριθμὸν ἴσος ᾖ τῷ ἀπὸ τοῦ ἐλάσσονος κύβῳ προσλαβόντι τὸν μείζονα ἀριθμόν.

[212]    Ἔστω ὁ μὲν Ϛ β, ὁ δὲ Ϛ γ. καὶ ὁ ἀπὸ τοῦ μείζονος ἀριθμοῦ κύβος προσλαβὼν τὸν ἐλάσσονα ποιεῖ Κ^Υ κζ Ϛ β, ὁ δὲ ἀπὸ τοῦ ἐλάσσονος κύβος προσλαβὼν τὸν μείζονα ποιεῖ Κ^Υ η Ϛ γ.

   Κ^Υ ἄρα η Ϛ γ ἴσοι εἰσὶ Κ^Υ κζ Ϛ β. καὶ πάντα παρὰ Ϛ. καὶ γίνονται Δ^Υ ιθ ἴσαι Μ^ο α, καὶ ὁ Ϛ οὐ ῥητός.

   ἀλλὰ αἱ μὲν Δ^Υ ιθ δύο εἰσὶ κύβων ὑπεροχή, ἡ δὲ Μ^ο α τῶν πλευρῶν αὐτῶν ἐστιν ὑπεροχή. ἀπῆκται οὖν Μ^οι εἰς τὸ εὑρεῖν δύο κύβους ὧν ἡ ὑπεροχὴ αὐτῶν πρὸς τὴν τῶν πλευρῶν αὐτῶν ὑπεροχὴν λόγον ἔχει ὃν ος ἀριθμὸς πρὸς ον ἀριθμόν.

   Τοῦτο δὲ προεδείχθη, καί εἰσιν αἱ πλ. τῶν κύβων, ἡ μὲν ζ, ἡ δὲ η. ἔρχομαι οὖν ἐπὶ τὸ ἐξ ἀρχῆς καὶ τάσσω ὃν μὲν Ϛ ζ, ὃν δὲ Ϛ η. καὶ γίνονται Κ^Υ τμγ Ϛ η ἴσοι Κ^Υ φιβ Ϛ ζ, καὶ γίνεται ὁ Ϛ ἑνὸς ‹ιγου›.

   ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις. ἔσται ὁ μὲν ζ, ὁ δὲ η. καὶ ἡ ἀπόδειξις φανερά.

   ιγ.

   Εὑρεῖν δύο ἀριθμοὺς ὅπως ἑκάτερος αὐτῶν καὶ συναμφότερος καὶ ἡ ὑπεροχὴ αὐτῶν, μετὰ μονάδος μιᾶς, ποιῇ τετράγωνον.

   Ἐὰν ἄρα ἀπό τινος ου ἀφέλω Μ^ο α, ἕξω αον· [214] πλάσσω τινὰ ον ἀπὸ Ϛ ὁσωνδήποτε καὶ Μ^ο α· καὶ ἔστω Ϛ γ Μ^ο α. αὐτὸς ἄρα ἔσται ὁ ος, Δ^Υ θ Ϛ Ϛ Μ^ο α, καὶ ἐὰν ἀφέλω τὴν Μ^ο α, τάσσω τὸν αον Δ^Υ θ Ϛ Ϛ.

   πάλιν ἐπεὶ θέλομεν τὸν αον καὶ τὸν β^ον μετὰ Μ^ο α ποιεῖν ον, ἀλλὰ συναμφότερος ὁ α^ος καὶ ὁ β^ος μετὰ Μ^ο α, ‹ὁ β^ος μετὰ Μ^ο α› καὶ ΔΜ θ Ϛ Ϛ εἰσιν, ὁ δὲ β^ος μετὰ Μ^ο α ἐστι ος, γέγονέ Μ^οι ζητῆσαι τίς ος μετὰ Δ^Υ θ Ϛ Ϛ ποιεῖ ον.

   ἐκτίθεμαι δύο ἀριθμοὺς ὧν τὸ ὑπό ἐστιν Δ^Υ θ Ϛ Ϛ. ‹μετροῦσιν Ϛ θ Μ^ο Ϛ κατὰ Ϛ α· καὶ ἐὰν τῆς ὑπεροχῆς αὐτῶν τοῦ ἡμίσεος τάξω τὴν τοῦ ἐλάσσονος ου πλ, ἔσται Ϛ δ Μ γ·› ταῦτα ἐφ' ἑαυτὰ γίνεται Δ^Υ ιϚ Ϛ νδ Μ^ο θ· ἀφαιρῶ Μ^ο α καὶ τάσσω τὸν β^ον Δ^Υ ιϚ Ϛ νδ Μ^ο η· ἔστι δὲ καὶ ὁ α^ος Δ^Υ θ Ϛ Ϛ· καὶ ἑκάτερος μετὰ Μ^ο α ποιεῖ ον.

   λοιπόν ἐστι τὴν ὑπεροχὴν αὐτῶν μετὰ Μ^ο α· ἔστι Δ^Υ ζ Ϛ ιη Μ^ο θ ἴσ. ῳ τῷ ἀπὸ πλ. Μ^ο γ Ϛ γ, καὶ γίνεται ὁ Ϛ Μ^ο ιη.

   ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις. ἔσται ὁ μὲν α^ος Ϛγκδ, ὁ δὲ β^ος Ϛεχκδ, καὶ ἡ ἀπόδειξις φανερά.

[216]    ιδ.

   Εὑρεῖν τρεῖς τετραγώνους ἀριθμοὺς οἳ συντεθέντες ἴσοι ἔσονται ταῖς ὑπεροχαῖς αὐτῶν συντεθείσαις.

   Ἐπεὶ ἡ ὑπεροχὴ τοῦ μεγίστου καὶ τοῦ μέσου, καὶ ἡ ὑπεροχὴ τοῦ μέσου καὶ τοῦ ἐλαχίστου, καὶ ἡ ὑπεροχὴ τοῦ μεγίστου καὶ τοῦ ἐλαχίστου, ἴση ἐστὶ τοῖς τρισίν, ἀλλ' αἱ τῶν τριῶν ὑπεροχαὶ δίς ἐστιν ἡ τοῦ μεγίστου καὶ τοῦ ἐλαχίστου ὑπεροχή, δὶς ἄρα ἡ τοῦ μεγίστου καὶ τοῦ ἐλαχίστου ὑπεροχὴ ἴση ἐστὶ τοῖς τρισί.

   Τετάχθω ὁ ἐλάσσων ος Μ^ο α, ὁ δὲ μέγιστος Δ^Υ α Ϛ β Μ^ο α· καὶ δὶς ἡ ὑπεροχὴ τοῦ μεγίστου καὶ τοῦ ἐλαχίστου ἐστὶ Δ^Υ β Ϛ δ· εἰσὶ δὲ οἱ τρεῖς οι, ὧν οἱ δύο εἰσὶ Δ^Υ α Ϛ β Μ^ο β· ‹λοιπὸς ἄρα ὁ μέσος ἔσται Δ^Υ α Ϛ β Μ^ο β·› δεῖ ἄρα ταῦτα ἴσα εἶναι ῳ· ἔστω τῷ ἀπὸ πλ. Ϛ α Μ^ο δ. καὶ γίνεται ὁ Ϛ εων θ.

   ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις. ἔσται ὁ μὲν μέγιστος κερϞϚ, ὁ δὲ μέσος κερκα, ὁ δὲ ἐλάχιστος Μ^ο α. καὶ πάντα κεκις. ἔσται ὁ μὲν μέγιστος ρϞϚ, ὁ δὲ μέσος ρκα, ὁ δὲ ἐλάχιστος κε.

   ιε.    Εὑρεῖν τρεῖς ἀριθμοὺς ὅπως δύο ὁποιοιοῦν συντεθέντες καὶ ἐπὶ τὸν λοιπὸν πολλαπλασιασθέντες ποιῶσι τοὺς δοθέντας ἀριθμούς.

[218]    Ἐπιτετάχθω δὴ συναμφότερον τὸν αον καὶ τὸν β^ον ἐπὶ τὸν γ^ον πολλαπλασιασθέντα ποιεῖν Μ^ο λε, συναμφότερον δὲ τὸν β^ον καὶ τὸν γ^ον ἐπὶ τὸν αον πολλαπλασιασθέντα ποιεῖν Μ^ο κζ, καὶ ἔτι συναμφότερον τὸν αον καὶ τὸν γ^ον πολλαπλασιασθέντα ἐπὶ τὸν β^ον ποιεῖν Μ^ο λβ.

   Τετάχθω ὁ γ^ος Ϛ α· λοιπὸν ἄρα ὁ α^ος καὶ ὁ β^ος Ϛ λε· ἔστω ὁ α^ος Ϛ ι· ὁ β^ος ἔσται Ϛ κε.

   Καὶ λοιπόν ἐστι δύο ἐπιτάγματα· τὸ συναμφότερον τὸν β^ον καὶ τὸν γ^ον ἐπὶ τὸν αον ποιεῖν Μ^ο κζ, ‹καὶ ἔτι τὸ συναμφότερον τὸν αον καὶ τὸν γ^ον ἐπὶ τὸν β^ον ποιεῖν Μ^ο λβ›. ἀλλὰ ὁ β^ος καὶ ὁ γ^ος ἐπὶ τὸν αον ‹ποιεῖ› Μ^ο ι Δ^Υ σν· Μ^ο ἄρα ι μετὰ Δ^Υ σν ἴσαι Μ^ο κζ. ὁ δὲ γ^ος καὶ ὁ α^ος ἐπὶ τὸν β^ον ποιεῖ

   Μ κε Δ^Υ σν ἴσ. Μ^ο λβ, καὶ Μ^ο ι, καὶ Δ^Υ σν ἴσ. Μ^ο κζ. καὶ ὑπερέχουσιν αἱ Μ^ο τὰς Μ^ο, Μ^ο ε· ὡσεὶ καὶ αἱ Μ^ο κε Δ^Υ σν, Μ^ο ι Δ^Υ σν ὑπερεῖχον Μ^ο ε, ἦν ἂν ἴση ἡ ὑπεροχή.

   ἀλλὰ Μ^ο κε ἐκ τοῦ β^ου εἰσίν, αἱ δὲ Μ^ο ι ἐκ τοῦ α^ου εἰσίν. θέλομεν οὖν τὴν ὑπεροχὴν αὐτῶν εἶναι Μ^ο ε· αὐτοὶ δὲ ὁ α^ος καὶ ὁ β^ος οὐκ εἰσὶ τυχόντες, ἀλλὰ συναμφότεροι Μ^ο λε εἰσίν. γέγονεν οὖν Μ^οι τὸν λε διελεῖν [220] εἰς δύο ἀριθμοὺς ἵνα ὁ ἕτερος τοῦ ἑτέρου ὑπερέχῃ Μ^ο ε· καὶ ἔστιν ὁ μὲν ιε, ὁ δὲ κ.

   τάσσω τὸν μὲν αον Ϛ ιε, τὸν δὲ β^ον Ϛ κ· καὶ συναμφότερος ὁ β^ος καὶ ὁ γ^ος ἐπὶ τὸν αον ποιεῖ Μ^ο ιε Δ^Υ τ ἴσ. Μ^ο κζ· συναμφότερος δὲ ὁ α^ος καὶ ὁ γ^ος ἐπὶ τὸν β^ον ποιεῖ Μ^ο κ Δ^Υ τ ἴσ. Μ^ο λβ. καὶ ἐὰν Μ^ο κ Δ^Υ τ ἰσώσω Μ^ο λβ, γίνεται ὁ Ϛ Μ^ο ε.

   ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις. ἔσται ὁ μὲν α^ος Μ^ο γ, ὁ δὲ β^ος Μ^ο δ, ὁ δὲ γ^ος Μ^ο ε.

   ιϚ.

   Εὑρεῖν ‹τρεῖς› ἀριθμοὺς ἴσους τετραγώνῳ ὅπως ὁ ἀπὸ ἑκάστου αὐτῶν τετράγωνος προσλαβὼν τὸν ἑξῆς ποιῇ τετράγωνον.

   Τετάχθω ὁ μέσος Ϛ ὁσωνδήποτε· ἔστω Ϛ δ. καὶ ἐπεὶ θέλω τὸν ἀπὸ τοῦ α^ου ον προσλαβόντα τὸν β^ον ποιεῖν ον, ἀπῆκται εἰς τὸ εὑρεῖν τίς ος προσλαβὼν Ϛ δ ποιεῖ ον.

   Ζήτησον πρῶτον ἀριθμοὺς δύο ὧν τὸ ὑπό ἐστιν Ϛ δ· μετροῦσιν Ϛ β κατὰ Μ^ο β· καὶ ἐὰν τῆς ὑπεροχῆς αὐτῶν τοῦ Ϛ΄ τάξω τὸν α^ον, ἔσται Ϛ α Μ^ο α, καὶ λέλυταί Μ^οι ὥστε τὸν ἀπὸ τοῦ α^ου ονπροσλαβόντα τὸν β^ον ποιεῖν ον.

   δεῖ δὲ καὶ τὸν ἀπὸ τοῦ μέσου ον προσλαβόντα τὸν γ^ον ποιεῖν ον, τουτέστι Δ^Υ ιϚ μετὰ τοῦ γ^ου [222] ‹ποιεῖν› ον· ἐὰν ἄρα ἀπό τινος ον ἀφέλω τὰς Δ^Υ ιϚ, ἕξω τὸν γον· τάσσω τὸν ον ἀπὸ τῆς πλ. τῶν Δ^Υ ιϚ, Ϛ δ Μ^ο α· αὐτὸς ἄρα ἔσται ὁ ος ιϚ Ϛ η Μ^ο α. ἐὰν ἀφέλω τὰς Δ^Υ ιϚ, λοιπὸς ἄρα ἔσται ὁ γ^ος Ϛ η Μ^ο α.

   πάλιν, ἐπεὶ θέλω τοὺς τρεῖς ἴσους εἶναι ῳ, εἰσὶ δὲ οἱ τρεῖς Ϛ ιγ, ταῦτα ἴσα ῳ· ἔστω τετραγωνικαῖς Δ^Υ ρξθ· καὶ γίνεται ὁ Ϛ Δ^Υ ιγ. ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις· ἔσται ὁ α^ος Δ^Υ ιγ Μ^ο α, ὁ β^ος Δ^Υ νβ, ὁ γ^ος Δ^Υ ρδ Μ^ο α, καὶ λέλυταί Μ^οι ἐν τῷ ἀορίστῳ τρία τῶν ἐπιταγμάτων.

   λοιπόν ἐστι καὶ τὸν ἀπὸ τοῦ Γος ον, τουτέστι Δ^Υ Δ α. ωιϚ Δ^Υ ση Μ^ο α, μετὰ τοῦ α^ου , τουτέστι Δ^Υ ιγ Μ^ο α, ποιεῖν ον· ποιεῖ δὲ Δ^Υ Δ α. ωιϚ Δ^Υ σκα ἴσ. ῳ. πάντα παρὰ Δ^Υ· γίνονται ἄρα Δ^Υ αωιϚ Μ^ο σκα ἴσ. ῳ, τῷ ἀπὸ πλ. Ϛ ρδ Μ^ο α. καὶ γίνεται ὁ Ϛ νβνε.

   ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις. ἔσται ὁ μὲν Αος γ. ϚβψδϚϚχκα, ὁ δὲ β^ος ιε. ϚβψδϚζτ, ὁ δὲ γ^ος λα. ϚβψδϚζτδ.

   ιζ.

   Εὑρεῖν τρεῖς ἀριθμοὺς ἴσους τετραγώνῳ, ὅπως ὁ ἀπὸ ἑκάστου αὐτῶν τετράγωνος λείψας τὸν ἑξῆς ποιῇ τετράγωνον.

   Τετάχθω πάλιν ὁ μέσος Ϛ δ, καὶ ἐπεὶ θέλω τὸν ἀπὸ τοῦ α^ου ον λείψαντα τὸν β^ον, τουτέστι τοὺς δ Ϛ, [224] ποιεῖν ον, ἀπῆκταί Μ^οι ‹εἰς τὸ› εὑρεῖν τίς ὁ ος λείψας Ϛ δ ποιεῖ ον.

   Καὶ ζητῶ πρότερον ἀριθμοὺς δύο ὧν τὸ ὑπό ἐστιν Ϛ δ. μετροῦσι δὲ Ϛοὺς δ, Μ^ο β κατὰ Ϛ β. νῦν τῆς συνθέσεως αὐτῶν λαβὼν τὸ Ϛ΄, τάσσω τὸν αον Ϛ α Μ^ο α, καὶ λέλυταί Μ^οι ἓν τῶν ἐπιταγμάτων.

   πάλιν, ἐπεὶ θέλω τὸν ἀπὸ τοῦ Βος ον, τουτέστι Δ^Υ ιϚ, λείψαντα τὸν γ^ον, ποιεῖν ον, ἐὰν ἄρα ἀπὸ τῶν Δ^Υ ιϚ ἄρωμέν τινα ον, ἀπὸ Ϛ δ Μ^ο α, γίνονται Δ^Υ ιϚ Μ^ο α Ϛ η· ταῦτα ἀφαιρῶ ἀπὸ Δ^Υ ιϚ· λοιποὶ Ϛ η Μ^ο α. τάσσω οὖν τὸν γ^ον Ϛ η Μ^ο α· καὶ λέλυται ἕτερον ἐπίταγμα.

   πάλιν, ἐπεὶ θέλω τοὺς τρεῖς, τουτέστιν Ϛ ιγ, ἴσους εἶναι ῳ, ἔστω Δ^Υ ὁ ἴσος ρξθ, καὶ γίνεται ὁ Ϛ Δ^Υ ιγ. ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις. ἔσται ὁ μὲν Αος Δ^Υ ιγ Μ^ο α, ὁ δὲ β^ος Δ^Υ νβ, ὁ δὲ γ^ος Δ^Υ ρδ Μ^ο α, καὶ πάλιν λέλυταί Μ^οι ἐν τῷ ἀορίστῳ τρία τῶν ἐπιταγμάτων.

   λοιπόν ἐστι καὶ τὸν ἀπὸ τοῦ Γον ον λείψαντα τὸν αον ποιεῖν ον· ἀλλὰ ὁ ἀπὸ τοῦ γ^ου ος λείψας τὸν αον ποιεῖ Δ^Υ Δ αωιϚ Δ^Υ σκα ἴσ. ῳ. καὶ, πάντα παρὰ Δ^Υ· γίνονται Δ^Υ αωιϚ Μ^ο σκα ἴσ. ῳ· τῷ ἀπὸ πλ. Ϛ ρδ Μ^ο α· καὶ γίνεται ὁ Ϛ ρδρια. ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις. ἔσται ὁ μὲν α^ος αωιϚιζϠπθ, ὁ δὲ β^ος αωιϚξδχϞβ, ὁ δὲ γ^ος αωιϚρκξφξη.

[226]    ιη.

   Εὑρεῖν δύο ἀριθμούς, ὅπως ὁ ἀπὸ ‹τοῦ› πρώτου κύβος προσλαβὼν τὸν δεύτερον ποιῇ κύβον, ὁ δὲ ἀπὸ τοῦ δευτέρου τετράγωνος προσλαβὼν τὸν πρῶτον ποιῇ τετράγωνον.

   Τετάχθω ὁ α^ος Ϛ α· ὁ ἄρα β^ος ἔσται Μ^ο κυβικαὶ η Κ^Υ α. καὶ γίνεται ὁ ἀπὸ τοῦ α^ου κύβος, προσλαβὼν τὸν β^ον, κύβος.

   λοιπόν ἐστι καὶ τὸν ἀπὸ τοῦ β^ου ον, προσλαβόντα τὸν α^ον, ποιεῖν ον. ἀλλ' ὁ ἀπὸ τοῦ Βου ος, προσλαβὼν τὸν α^ον, ποιεῖ Κ^Υ Κ α Ϛ α Μ^ο ξδ Κ^Υ ιϚ ‹ταῦτα ἴσα ῳ τῷ ἀπὸ πλ. Κ^Υ α Μ^ο η, τουτέστι Κ^Υ Κ α Κ^Υ ιϚ Μ^ο ξδ·› καὶ κοινῶν προστιθεμένων τῶν λειπομένων καὶ ἀφαιρουμένων τῶν ὁμοίων ἀπὸ ὁμοίων, λοιποὶ Κ^Υ λβ ἴσοι Ϛ α· καὶ πάντα παρὰ Ϛ· Δ^Υ λβ ἴσαι Μ^ο α.

   Καὶ ἔστιν ἡ Μ^ο ος, καὶ Δ^Υ λβ εἰ ἦσαν ος, λελυμένη ἄν Μ^οι ἦν ἡ ἴσωσις· ἀλλ' αἱ Δ^Υ λβ εἰσὶν ‹ἐκ τῶν› δὶς Κ^Υ ιϚ· οἱ δὲ Κ^Υ ιϚ εἰσιν ὑπὸ τῶν δὶς Μ^ο η καὶ τοῦ Κ^Υ α, τουτέστι δὶς τῶν Μ^ο η· ὥστε αἱ λβ Δ^Υ ἐκ δκις τῶν η Μ^ο. γέγονεν οὖν Μ^οι εὑρεῖν κύβ^ον ὃς δκις γενόμενος ποιεῖ ον.

   Ἔστω ὁ ζητούμενος Κ^Υ α· οὗτος δκις γενόμενος ποιεῖ Κ^Υ δ ἴσ. ῳ. ἔστω Δ^Υ ιϚ· καὶ γίνεται ὁ Ϛ Μ^ο δ. ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις· ἔσται ὁ Κ^Υ Μ^ο ξδ.    Τάσσω ἄρα τὸν β^ον Μ^ο ξδ Κ^Υ α. καὶ λοιπόν ἐστι τὸν ἀπὸ ‹τοῦ› β^ου ον προσλαβόντα τὸν αον ποιεῖν ον. ἀλλὰ ὁ ἀπὸ τοῦ β^ου προσλαβὼν τὸν αον ποιεῖν Κ^Υ Κ α Μ^ο ϚδϞϚ Ϛ α Κ^Υ ρκη ἴσ. ῳ τῷ ἀπὸ πλ. Κ^Υ α [228] Μ^ο ξδ· καὶ γίνεται ὁ ος Κ^Υ Κ α Μ^οϚδϞϚ Κ^Υ ρκη. καὶ γίνονται λοιποὶ Κ^Υ σνϚ ἴσ. Ϛ α. καὶ γίνεται ὁ Ϛ ἑνὸς ‹ιϚου›.

   ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις· ἔσται ὁ α^ος ἑνὸς ιϚου, ὁ δὲ β^ος ϚδϞϚκϚϚβρμγ.

   ιθ.

   Εὑρεῖν τρεῖς ἀριθμοὺς ἐν τῷ ἀορίστῳ, ὅπως ὁ ὑπὸ δύο ὁποιωνοῦν μετὰ μονάδος μιᾶς ποιῇ τετράγωνον.

   Ἐπεὶ θέλω τὸν ὑπὸα^ου καὶ Βου μετὰ Μ^ο α ποιεῖν ον, ἐὰν ἀπό τινος ου ἀφέλω τὴν Μ^ο, ἕξω τὸν ὑπὸα^ου καὶ βου. πλάσσω ον ἀπὸ Ϛ ὁσωνδήποτε καὶ Μ^ο α· ἔστω Ϛ α Μ^ο α· αὐτὸς ἄρα ἔσται ὁ ος Δ^Υ α Ϛ β Μ^ο α· ἐὰν ἀφέλω τὴν Μ^ο α, λοιπὰ Δ^Υ α Ϛ β ἔσται ὁ ὑπὸα^ου καὶ βου.

   ἔστω ὁ Βος Ϛ α, ὁ ἄρα α^ος ἔσται Ϛ α Μ^ο β.

   πάλιν ἐπεὶ θέλω τὸν ὑπὸ β^ου καὶ γ^ου ποιεῖν ον μετὰ Μ α, ἐὰν ὁμοίως ἀπό τινος ου ἀφέλω Μ^ο α, ἕξω τὸν ὑπὸ β^ου καὶ γου. πεπλάσθω ὁ ος ἀπὸ Ϛ γ Μ^ο α, ἔσται ὁ ος Δ^Υ θ Ϛ Ϛ Μ^ο α. ἐὰν ἄρα ἀφέλω Μ^ο α, γίνονται Δ^Υ θ Ϛ Ϛ. δεῖ ἄρα τὸν ὑπὸ β^ου καὶ γ^ου εἶναι Δ^Υ θ Ϛ Ϛ, ὧν ὁ β^ος ἐστιν Ϛ α λοιπὸς ἄρα ὁ γ^ος ἔσται Ϛ θ Μ^ο Ϛ

[230]    πάλιν, ἐπεὶ θέλω τὸν ὑπὸα^ου καὶ γ^ου μετὰ Μ^ο α ποιεῖν ον, ἀλλὰ ὁ ὑπὸα^ου καὶ γ^ου μετὰ Μ^ο α ἐστι Δ^Υ θ Ϛ κδ Μ^ο ιγ, ἴσ. ῳ. καὶ ἔχω τὰς Δ^Υ τετραγωνικάς· ‹εἰ καὶ αἱ Μ^ο ἦσαν τετραγωνικαί› καὶ τὸ δὶς τὸ ὑπὸ τῶν πλευρῶν τῶν Δ^Υ καὶ τῶν Μ^ο ἴσον ἦν τοῖς Ϛ, ἦν ἂν ἀορίστως τὰ τρία ἐπιτάγματα λελυμένα.

   ἀλλ' αἱ Μ^ο ιγ εἰσιν ἐκ τοῦ ὑπὸ τῶν Μ^ο β καὶ Μ^ο Ϛ μετὰ Μ^ο α, ἀλλ' αἱ μὲν Μ^ο β ἐκ τοῦ δὶς ὑπὸ Ϛ α καὶ Μ^ο α, αἱ δὲ Μ^ο Ϛ πάλιν ἐκ τοῦ δὶς ὑπὸ Ϛ γ καὶ Μ^ο α. θέλω δὶς τοὺς Ϛ ἐπὶ δὶς τοὺς Ϛ μετὰ Μ^ο α ποιεῖν ον. ἀλλὰ δὶς οἱ Ϛ ἐπὶ δὶς τοὺς Ϛ ὁ δκις ὑπὸ τῶν Ϛ ἐστιν. θέλω οὖν τὸν δκις ὑπ' αὐτῶν μετὰ Μ^ο α ποιεῖν ον. ἀλλὰ μὴν καὶ πάντων δύο ἀριθμῶν ὁ δκις ὑπ' αὐτῶν μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ὑπεροχῆς αὐτῶν ποιεῖ ον. ἐὰν οὖν τὸν ἀπὸ τῆς ὑπεροχῆς αὐτῶν Μ^ο α κατασκευάσωμεν, ὁ δκις ὑπ' αὐτῶν μετὰ Μ^ο α ποιεῖ ον.

   Εἰ οὖν ὁ ἀπὸ τῆς ὑπεροχῆς αὐτῶν Μ^ο α, καὶ ἡ ὑπεροχὴ αὐτῶν ἐστι Μ^ο α. δεῖ οὖν ἀπὸ τῶν κατὰ τὸ ἑξῆς Ϛ πλάσσειν καὶ Μ^ο α, ἀπὸ Ϛ α καὶ Μ^ο α καὶ ἀπὸ Ϛ β Μ^ο α. καὶ ἔσται ὁ μὲν ἀπὸ Ϛ α Μ^ο α ος, Δ^Υ Ϛ β Μ^ο α. ἐὰν ἀφέλω τὴν Μ^ο, λοιπὸν γίνεται Δ^Υ α Ϛ β. δεῖ ἄρα τὸν ὑπὸα^ου καὶ β^ου εἶναι Δ^Υ α Ϛ β. τετάχθω ὁ β^ος Ϛ α· λοιπὸς ἄρα ὁ α^ος ἔσται Ϛ α Μ^ο β.

   Πάλιν, ἐπεὶ ὁ ἀπὸ Ϛ β Μ^ο α ος ἐστι Δ^Υ δ Ϛ δ Μ^ο α, [232] ἐὰν ὁμοίως ἀφέλω τὴν Μ^ο α, λοιπὸς γίνεται Δ^Υ δ Ϛ δ· δεῖ δὴ τὸν ὑπὸ τοῦ β^ου καὶ γ^ου εἶναι Δ^Υ δ Ϛ δ, ὧν ὁ β^ος ἐστιν Ϛ α· λοιπὸς ἄρα ὁ γ^ος ἔσται Ϛ δ Μ^ο δ.

   Καὶ λέλυται ἐν τῷ ἀορίστῳ, ὥστε τὸν ὑπὸ δύο ὁποιωνοῦν μετὰ Μ^ο α ποιεῖν ον, καὶ γίνεται ὁ Ϛ ὅσου τις θέλει. τὸ γὰρ ἀορίστως ζητεῖν ἐστιν ἵνα ἡ ὑπόστασις τοιαύτη ᾖ, ἵνα ὅσου τις θέλει τὸν Ϛ εἶναι, ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις ποιήσας, σώσῃ τὸ ἐπίταγμα.

   κ.

   Εὑρεῖν τέσσαρας ἀριθμοὺς ὅπως ὁ ὑπὸ δύο ὁποιωνοῦν προσλαβὼν μονάδα μίαν ποιῇ τετράγωνον.

   Ἐπεὶ θέλω τὸν ὑπὸα^ου καὶ β^ου μετὰ Μ^ο α εἶναι ον, ἐὰν ἄρα ἀπό τινος ου ἄρω Μ^ο α, ἕξω τὸν ὑπὸα^ου καὶ βου. πλάσσω ον ἀπὸ Ϛ α Μ^ο α καὶ γίνεται αὐτὸς ὁ ος Δ^Υ α Ϛ β Μ^ο α. ἐὰν ἀφέλω τὴν Μ^ο α, λοιπὸς γίνεται Δ^Υ α Ϛ β ὁ ὑπὸα^ου καὶ βου. ἔστω ὁ α^ος Ϛ α· ‹ὁ ἄρα β^ος ἔσται Ϛ α› Μ^ο β.

   Πάλιν, ἐπεὶ θέλω τὸν ὑπὸα^ου καὶ γ^ου μετὰ Μ^ο α ποιεῖν ον, πλάσσω ον ἀπὸ Ϛ β Μ^ο α, τῶν κατὰ τὸ ἑξῆς διὰ τὸ προδειχθέν, καὶ λαβὼν τὸν ἀπό, αἴρω τὴν Μ^ο α, καὶ τάσσω τὸν ὑπὸα^ου καὶ γ^ου Δ^Υ δ Ϛ δ, ὧν ὁ α^ος ἐστιν Ϛ α· λοιπὸς ἄρα ὁ γ^ος ἐστὶν Ϛ δ Μ^ο δ.

[234]    Πάλιν, ἐπεὶ θέλω τὸν ὑπὸ τοῦ α^ου καὶ δ^ου μετὰ Μ^ο α ποιεῖν ον, πλάσσω ον ἀπὸ τῶν κατὰ τὸ ἑξῆς, Ϛ γ Μ^ο α, καὶ λαβὼν τὸν ἀπό, ἀφελὼν Μ^ο α, ἕξω τὸν ὑπὸα^ου καὶ δ^ου Δ^Υ θ Ϛ Ϛ, ὧν ὁ α^ος ἐστιν Ϛ α· λοιπὸς ἄρα ὁ δ^ος ἔσται Ϛ θ Μ^οϚ.

   Καὶ ἐπεὶ συμβαίνει τὸν ὑπὸ τοῦ γ^ου καὶ δ^ου μετὰ Μ^ο α ποιεῖν ου, ἀλλὰ ὁ ὑπὸ β^ου καὶ δ^ου μετὰ Μ^ο α ποιεῖ

   Δ^Υ θ Ϛ κδ Μ^ο ιγ, ἴσ. ῳ τῷ ἀπὸ πλ. Ϛ γ Μ^ο δ· καὶ γίνεται ὁ Ϛ ἑνὸς ‹ιϚου›

   ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις. ἔσται ὁ μὲν α^ος α, ὁ δὲ β^ος λγ, ὁ δὲ γ^ος ξη, ὁ δὲ δ^ος ρε.

   κα.

   Εὑρεῖν τρεῖς ἀριθμοὺς ἀνάλογον, ὅπως δύο ὁποιωνοῦν ἡ ὑπεροχὴ ᾖ τετράγωνος.

   Τετάχθω ὁ μὲν ἐλάσσων Ϛ α, ὁ δὲ μέσος Ϛ α Μ^ο δ, ἵνα ἡ ὑπεροχὴ ᾖ ος, ὁ δὲ γ^ος Ϛ α Μ^ο ιγ, ἵνα καὶ ἡ τούτου πρὸς τὸν μέσον ὑπεροχὴ ᾖ ος.

   ἔτι δέ, εἰ ἡ τοῦ μεγίστου καὶ τοῦ ἐλαχίστου ὑπεροχὴ ἦν ος, ἦν ἂν λελυμένον ἐν τῷ ἀορίστῳ δύο ὁποιωνοῦν ἡ ὑπεροχὴ ος.

   ὁ δὲ μέγιστος τοῦ ἐλαχίστου ὑπερέχει Μ^ο ιγ· αἱ δὲ Μ^ο ιγ συντεθεῖσαί εἰσι ων τοῦ δ καὶ τοῦ θ· γέγονεν οὖν Μ^οι εὑρεῖν δύο τετραγώνους ἴσους ἑνὶ τετραγώνῳ.

[236]    τοῦτο δὲ ῥάδιον ἀπὸ τριγώνου ὀρθογωνίου· ἔστι δὴ ὁ θ καὶ ὁ ιϚ· καὶ τάσσω τὸν μὲν ἐλάχιστον Ϛ α, τὸν δὲ μέσον Ϛ α Μ^ο θ, τὸν δὲ γ^ον Ϛ α Μ^ο κε, καὶ δύο ὁποιωνοῦν ἡ ὑπεροχή ἐστι ος.

   λοιπόν ἐστιν αὐτοὺς ἀνάλογον εἶναι· ἐὰν δὲ τρεῖς ἀριθμοὶ ἀνάλογον ὦσιν, ὁ ὑπὸ τῶν ἄκρων ἴσος ἐστὶ τῷ ἀπὸ τοῦ μέσου.

   ἀλλὰ ὁ ὑπὸ τοῦ μεγίστου καὶ τοῦ ἐλαχίστου, τουτέστιν ὁ ὑπὸ τῶν ἄκρων, ἔστι Δ^Υ α Ϛ κε· ὁ δὲ ἀπὸ τοῦ μέσου

   Δ^Υ α Ϛ ιη Μ^ο πα, ἴσ. Δ^Υ α Ϛ κε· καὶ γίνηται ὁ Ϛ ζπα

   ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις. ἔσται ὁ μὲν α^ος πα, ὁ δὲ β^ος ρμδ, ὁ δὲ γ^ος σνϚ·

   κβ.

   Εὑρεῖν τρεῖς ἀριθμοὺς ὅπως ὁ ἐξ αὐτῶν στερεὸς προσλαβὼν ἕκαστον αὐτῶν ποιῇ τετράγωνον.

   Τετάχθω ὁ ἐκ τῶν τριῶν στερεὸς Δ^Υ α Ϛ β, ὁ δὲ α^ος Μ^ο α, ἵνα ὁ ἐκ τῶν τριῶν στερεὸς μετὰ τοῦ α^ου ποιῇ ον.

   πάλιν, ἐπεὶ θέλω τὸν ἐκ τῶν τριῶν στερεὸν μετὰ τοῦ β^ου ποιεῖν ον, ἐὰν ἄρα ἀπό τινος ου ἄρω Δ^Υ α Ϛ β, ἕξω τὸν βον. πλάσσω ον ἀπὸ Ϛ α Μ^ο γ, καὶ ὁ ἀπὸ τούτου ος Δ^Υ α Ϛ β ποιεῖ Ϛ δ Μ^ο θ· τάσσω οὖν τὸν β^ον Ϛ δ Μ^ο θ.

[238]    ἀλλ' ἐπεὶ ὁ ἐκ τῶν τριῶν στερεὸς Δ^Υ α Ϛ β, ὁ δὲ ὑπὸα^ου καὶ β^ου Ϛ δ Μ^ο θ, ἐὰν ἄρα Δ^Υ α Ϛ β παραβάλω παρὰ Ϛ δ Μ^ο θ, ἕξω τὸν γον.

   Οὐ δυνατὴ δὲ ἡ παραβολή· ἵνα δὲ δύνηται ἡ παραβολή, δεῖ εἶναι ὡς Δ^Υ α πρὸς Ϛ δ, οὕτως Ϛ β πρὸς Μ^ο θ, καὶ ἐναλλάξ· ὡς Δ^Υ α πρὸς Ϛ β, οὕτως Ϛ δ πρὸς Μ^ο θ. ἡ δὲ Δ^Υ α τῶν Ϛ β, Ϛ΄ ἐστι τῷ πλήθει. ὡσεὶ οὖν καὶ Ϛ δ τῶν Μ^ο θ, Ϛ΄ ἦν, ἦν ἂν ἡ παραβολή· ἀλλὰ οἱ δ ἐκ τῆς ὑπεροχῆς εἰσιν, ἧς ὑπερέχουσιν Ϛ Ϛ, β Ϛ. ἀλλὰ οἱ Ϛ Ϛ ἐκ τοῦ δίς εἰσιν ὑπὸ τῶν Μ^ο γ καὶ Ϛ α, τουτέστι δὶς τῶν Μ^ο γ· αἱ δὲ θ Μ^ο ὁ ἀπὸ Μ^ο γ ἐστι ος· ἀπῆκται οὖν Μ^οι εὑρεῖν τινα ἀριθμόν, ὡς τὰς Μ^ο γ, ὅστις δὶς γενόμενος καὶ λείψας δυάδα, Ϛ΄ ᾖ τοῦ ἀπ' αὐτοῦ τετραγώνου.

   Ἔστω ὁ ζητούμενος Ϛ α· οὗτος δὶς γενόμενος καὶ λείψας δυάδα, γίνονται Ϛ β Μ^ο β· ὁ δὲ ἀπ' αὐτοῦ ος ἐστι Δ^Υ α. θέλομεν οὖν Ϛ β Μ^ο β, Ϛ΄ εἶναι Δ^Υ α.

   Δ^Υ ἄρα α ἴση Ϛ δ Μ δ, καὶ γίνεται ὁ Ϛ Μ^ο β.

   Νῦν ἔρχομαι ἐπὶ τὸ ἐξ ἀρχῆς, καὶ εἶχον τὸν μὲν αον ἀριθμὸν Μ^ο α, τὸν δὲ ἐκ τῶν τριῶν στερεὸν Δ^Υ α Ϛ β. δεῖ δὲ καὶ τὸν ἐκ τῶν τριῶν στερεὸν προσλαβόντα τὸν β^ον ποιεῖν ον· ἐὰν ἄρα ἀπό τινος ου ἀφέλω τὴν Δ^Υ α Ϛ β, ἕξω τὸν βον. πλάσσω τὸν ον ἀπὸ Ϛ α καὶ Μ^ο τοσούτων, ἵνα αἱ Μ^ο, δὶς γενόμεναι καὶ λείψασαι δυάδα, Ϛ΄ ᾖ τοῦ ἀπ' αὐτῶν ου· καὶ προδέδεικται, καὶ [240] ἔστι Μ^ο β. πλάσσω τὸν ον ἀπὸ Ϛ α Μ^ο β· ἔσται ἄρα ὁ ἀπό, Δ^Υ α Ϛ δ Μ^ο δ. ἐὰν ἄρω τὸν ἐκ τῶν τριῶν στερεόν, τουτέστι Δ^Υ α Ϛ β, λοιπὸς ἄρα ἔσται ὁ β^ος Ϛ β Μ^ο δ. καὶ ἔστιν ὁ ὑπὸα^ου καὶ β^ου, ‹Ϛ β Μ^ο δ· ἐὰν ἄρα τὸν ἐκ τῶν τριῶν στερεόν, τουτέστι Δ^Υ α Ϛ β, μερίσω εἰς τὸν ὑπὸα^ου καὶ βου› τουτέστιν εἰς Ϛ β Μ^ο δ, ἕξω τὸν γον· ἀλλ' ἔστιν ὁ μερισμὸς Ϛ Ϛ΄.

   Καὶ λοιπόν ἐστι τὸν ἐκ τῶν τριῶν στερεὸν μετὰ τοῦ γ^ου ποιεῖν ον. ἀλλὰ ὁ ἐκ τῶν τριῶν στερεὸς μετὰ τοῦ γ^ου ἐστι Δ^Υ α Ϛ β Ϛ΄ ἴσ. ῳ Δ^Υ δ· καὶ γίνεται ὁ Ϛ Ϛε.

   ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις. ἔσται ὁ μὲν α^ος Ϛ, ὁ δὲ β^ος λδ, ὁ δὲ γ^ος β Ϛ΄.

   κγ.

   Εὑρεῖν τρεῖς ἀριθμοὺς ὅπως ὁ ἐξ αὐτῶν στερεὸς λείψας ἕκαστον ποιῇ τετράγωνον.

   Τετάχθω ὁ α^ος Ϛ α, ὁ δὲ ἐκ τῶν τριῶν στερεὸς Δ^Υ α Ϛ α· καὶ λείψας τὸν αον ποιεῖ ον. καὶ ἐπεὶ ὁ ἐκ τῶν τριῶν στερεὸς Δ^Υ α Ϛ α, ὁ δὲ α^ος ἐστιν Ϛ α, ὁ ἄρα ὑπὸ β^ου καὶ γ^ου ἔσται Ϛ α Μ^ο α· ἔστω ὁ β^ος Μ^ο α· λοιπὸς ἄρα ἔσται ὁ γ^ος Ϛ α Μ^ο α.

   λοιπόν ἐστι τὸν ἐκ τῶν τριῶν στερεὸν λείποντα τὸν β^ον καὶ τὸν γ^ον ποιεῖν ον· λιπὼν δὲ ὃν μὲν ποιεῖ Δ^Υ α Ϛ α Μ^ο α ἴσ. · ὃν δὲ Δ^Υ α Μ^ο α ἴσ. ῳ.

[242]    καὶ γίνεται διπλῆ ἡ ἰσότης, καὶ λαμβάνω τὴν ὑπεροχήν· ἔστι δὲ Ϛ α· ἐκτίθεμαι ἀριθμοὺς δύο ὧν ὁ ὑπὸ τηλικοῦτός ἐστι. τοῦτον Ϛ α μετρείτω Μ^ο Ϛ΄ κατὰ Ϛ β, τουτέστι κατὰ πλευρὰς β τῆς Δ^Υ· καὶ ἔστιν αὐτῶν ὡς οἶδας ἡ ἴσωσις, καὶ γίνεται ὁ Ϛ ηων ιζ.

   ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις· ἔσται ὁ μὲν α^ος ιζ, ὁ δὲ β^ος Μ^ο α, ὁ δὲ γ^ος ηων κε.

   κδ.

   Δοθέντα ἀριθμὸν διελεῖν εἰς δύο ἀριθμούς, καὶ ποιεῖν τὸν ὑπ' αὐτῶν κύβ^ον παρὰ πλευράν.

   Ἔστω δὴ ὁ δοθεὶς ὁ Ϛ.

   Τετάχθω ὁ α^ος Ϛ α, λοιπὸς ἄρα ὁ β^ος ἔσται Μ^ο Ϛ Ϛ α.

   λοιπὸν δεῖ εἶναι τὸν ὑπ' αὐτῶν κύβ^ον παρὰ πλευράν· ἀλλ' ὁ ὑπ' αὐτῶν ἔσται Ϛ Ϛ Δ^Υ α· ταῦτα ἴσα κύβῳ παρὰ πλευράν· πλάσσω κύβ^ον ἀπὸ Ϛ ὁσωνδήποτε Μ^ο α· ἔστω δὴ ἀπὸ Ϛ β Μ^ο α. καὶ ὁ ἀπὸ τούτου κύβος λείψας αὐτὸν ποιεῖ Κ^Υ η Ϛ δ Δ^Υ ιβ. ταῦτα ἴσα Ϛ Ϛ Δ^Υ α.

   Καὶ εἰ ἦσαν οἱ Ϛ ἐν ἑκατέρᾳ τῇ ἰσώσει ἴσοι, λοιπὸν ἐγίνετο ἰσῶσαι Κ^Υ ἴσους Δ^Υ, καὶ ὁ Ϛ ἦν ῥητός· ἀλλὰ οἱ Ϛ β ἐκ τῆς ὑπεροχῆς εἰσιν ὑπὲρ Ϛ β, τουτέστιν ἐκ τῶν τρὶς τῶν β Ϛ· καὶ ἐὰν τρὶς οἱ β Ϛ λείψωσιν Ϛ β, [244] ποιοῦσι δὶς τοὺς Ϛ β· οἱ δὲ Ϛ τυχόντες εἰσὶ κατὰ τὴν ὑπόθεσιν. ἀπῆκται οὖν Μ^οι εὑρεῖν τινα ἀριθμόν, ὡς τοὺς Ϛ β, ὃς δὶς γενόμενος ποιεῖ Ϛ· ἔστι δὲ ὁ γ.

   Ζητῶ οὖν Ϛ Ϛ Δ^Υ α ἴσους κύβῳ παρὰ πλευράν. νῦν τάσσω τὴν τοῦ κύβου πλ. ἀπὸ Ϛ γ Μ^ο α· καὶ ὁ ἀπὸ τούτου κύβος λείψας αὐτὸν ποιεῖ Κ^Υ κζ Ϛ Ϛ Δ^Υ κζ ἴσ. Ϛ Ϛ Δ^Υ α, καὶ γίνεται ὁ Ϛ κζκϚ.

   ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις· ἔσται ὁ μὲν α^ος κς, ὁ δὲ β^ος ρλϚ.

   κε.

   Δοθέντα ἀριθμὸν διελεῖν εἰς τρεῖς ἀριθμούς, ὅπως ὁ ἐξ αὐτῶν στερεὸς ποιῇ κύβον, οὗ ἡ πλευρά ἐστιν ἴση ταῖς ὑπεροχαῖς αὐτῶν συντεθείσαις.

   Ἔστω ὁ δοθεὶς ὁ δ.

   Καὶ ἐπεὶ ὁ ἐκ τῶν τριῶν στερεὸς κύβος ἐστίν, ἔστω Κ^Υ η οὗ πλ. ἐστιν Ϛ β. ἀλλὰ ἡ τοῦ β^ου καὶ τοῦ α^ου ὑπεροχὴ καὶ ἡ τοῦ γ^ου καὶ β^ου ὑπεροχὴ καὶ ἔτι τοῦ γ^ου καὶ τοῦ α^ου , δίς ἐστιν ὑπεροχὴ τοῦ γ^ου καὶ τοῦ α^ου , τουτέστιν, ἐὰν ὦσιν ἀριθμοὶ τρεῖς ἄνισοι, ἡ τῶν τριῶν ὑπεροχὴ διπλασίων ἐστὶ τῆς ὑπεροχῆς τῶν ἄκρων.

   ἔχομεν δ' ἐν τῇ ὑποστάσει τῆς πλ. τοῦ κύβου Ϛ β· δεῖ δὲ τοὺς Ϛ β τῶν τριῶν τὴν ὑπεροχὴν εἶναι· ὁ γ^ος ἄρα τοῦ α^ου ὑπερέχει Ϛ α. ἔστω ὁ α^ος Ϛ β ἢ ὁσωνδήποτε· ὁ γ^ος ἔσται ἄρα Ϛ γ. καὶ ἐπεὶ ὁ ἐκ τῶν τριῶν [246] στερεός ἐστι Κ^Υ η, ὁ δὲ ὑπὸ ‹τοῦ›α^ου καὶ γ^ου Δ^Υ Ϛ, λοιπὸς ἄρα ὁ β^ος ἔσται Ϛ α γ.

   Καὶ εἰ μὲν ἦν ὁ β^ος τοῦ α^ου μείζων, ἐλάσσων δὲ τοῦ γου, λελυμένον ἂν ἦν τὸ ζητούμενον· ἀλλὰ ὁ β^ος ἐγένετο ἐκ τοῦ τὸν η μερισθῆναι εἰς τὸν ὑπὸα^ου καὶ γου. ἀλλὰ ὁ α^ος καὶ ὁ γ^ος οὔκ εἰσι τυχόντες, ἀλλὰ μονάδι διαφέροντες· ἀπῆκται οὖν Μ^οι εἰς τὸ εὑρεῖν δύο ἀριθμοὺς μονάδι ἀλλήλων ὑπερέχοντας, ὅπως ὁ η μεριζόμενος εἰς τὸν ὑπ' αὐτῶν ποιῇ τινα ὃς τοῦ μὲν ἐλάσσονος μείζων ᾖ, τοῦ δὲ μείζονος ἐλάσσων.

   Τετάχθω ὁ ἐλάσσων Ϛ α, ὁ ἄρα μείζων ἔσται Ϛ α Μ^ο α. καὶ τὸν η ἐὰν μερίσω εἰς τὸν ὑπ' αὐτῶν, τουτέστιν εἰς Δ^Υ α Ϛ α, εὑρεθήσεται ὁ μέσος Μ^ο η μορίου Δ^Υ α Ϛ α. θέλομεν δὲ τοῦτον μείζονα μὲν εἶναι Ϛ α, ἐλάσσονα δὲ Ϛ α Μ^ο α· καὶ ἐπεὶ ἡ ὑπεροχὴ αὐτῶν ἐστι Μ^ο α, ὥστε ἡ ὑπεροχὴ τοῦ α^ου καὶ τοῦ β^ου ἐλάσσων ἐστὶ Μ^ο α, ὥστε ὁ β^ος μετὰ Μ^ο α μείζων ἐστὶ τοῦ α^ου . ἀλλὰ ὁ βος, προσλαβὼν τὴν Μ^ο καὶ ἀναλυθεὶς εἰς τὴν Δ^Υ α Ϛ α, γίνεται Δ^Υ α Ϛ α Μ^ο η μορίου Δ^Υ α Ϛ α· ὥστε ταῦτα μείζονά ἐστιν Ϛ α Μ^ο α· καὶ πάντα ἐπὶ τὸ μόριον·

   Δ^Υ α Ϛ α Μ^ο η μείζονά εἰσιν Κ^Υ α Δ^Υ β Ϛ α. καὶ ἀπὸ ὁμοίων ὅΜ^οια καὶ γίνονται Μ^ο η μείζονες Κ^Υ α Δ^Υ α.

   πλάσσω κύβ^ον ὃς ἔχει Κ^Υ α Δ^Υ α· ἔσται ἄρα ἡ πλ. τοῦ κύβου Ϛ α Μ^ο γ. ἀλλὰ ἐπεὶ Μ^ο η μείζους εἰσὶ [248] Κ^Υ α Δ^Υ α, ἔστι δὲ καὶ ὁ ἀπὸ Ϛ α Μ^ο γ κύβος μείζων Κ^Υ α Δ^Υ α, ἐὰν ἰσώσω καὶ τὴν πλευράν, τουτέστι Μ^ο β ἴσ. Ϛ α Μ^ο γ, καὶ γίνεται ὁ Ϛ γων ε.    ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις. ἔσται ὁ α^ος γη, ὁ β^ος εθ, ὁ γ^ος γε, καὶ πάντα εἰς ιεα. ἔσται ὁ α^ος μ, ὁ β^ος κζ, ὁ γ^ος κε. κοινὸν γὰρ ἤρθη τὸ ιε μόριον, καὶ ηὑρημένοι εἰσὶν τρεῖς ἀριθμοὶ ὅπως ὁ ἐξ αὐτῶν στερεὸς ᾖ κύβος πλευρὰν ἔχων τὰς ὑπεροχὰς αὐτῶν συντεθείσας.

   Τάσσω τοίνυν τὸν μὲν αον Ϛ μ, τὸν δὲ β^ον ‹Ϛ κζ, τὸν δὲ γον› Ϛ κε, καὶ ἔστιν ὁ ἐκ τῶν τριῶν στερεὸς κύβος οὗ ἡ πλευρὰ ἴση ἐστὶ ταῖς ὑπεροχαῖς αὐτῶν συντεθείσαις· λοιπὸν δεῖ ἰσῶσαι τοὺς τρεῖς ταῖς δοθείσαις Μ^ο, ἐδόθησαν δὲ Μ^ο δ· Ϛ ἄρα Ϟβ ἴσοι Μ^ο δ. καὶ γίνεται ὁ Ϛ ἑνὸς ‹κγου›.

   ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις. ἔσται ὁ μὲν α^ος μ, ὁ δὲ β^ος κζ, ὁ δὲ γ^ος κε.

   κϚ.

   Εὑρεῖν δύο ἀριθμοὺς ὅπως ὁ ὑπ' αὐτῶν προσλαβὼν ἑκάτερον ποιῇ κύβον.

   Τάσσω τὸν αον ἐκ κυβικῶν Ϛ· ἔστω δὴ η· τὸν β^ον [250] Δ^Υ α Μ^ο α· καὶ συμφωνεῖ Μ^οι ἓν ἐπίταγμα. ὁ γὰρ ὑπ' αὐτῶν προσλαβὼν τὸν αον ποιεῖ κύβον.

   λοιπὸν δεῖ τὸν ὑπ' αὐτῶν προσλαβόντα τὸν β^ον ποιεῖν κύβον. ἀλλὰ ὁ ὑπ' αὐτῶν προσλαβὼν τὸν β^ον ποιεῖ Κ^Υ η Δ^Υ α Ϛ η Μ^ο α ἴσ. κύβῳ· πλάσσω τὸν κύβ^ον ἀπὸ Ϛ β Μ^ο α, καὶ γίνεται ὁ Ϛ ιγιδ.

   ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις. ἔσται ὁ ‹μὲν› α^ος ιγριβ, ὁ δὲ β^ος ρξθκζ.

   κζ.

   Εὑρεῖν δύο ἀριθμοὺς ὅπως ὁ ὑπ' αὐτῶν λείψας ἑκάτερον ποιῇ κύβον.

   ὉΜ^οίως ὁ α^ος τετάχθω κυβικῶν Ϛ η, ὁ β^ος Δ^Υ α Μ^ο α ἀεί, καὶ γίνεται ὁ ὑπ' αὐτῶν λείψας ‹τὸν αον κύβος. πάλιν ὁ ὑπ' αὐτῶν λείψας› τὸν β^ον ποιεῖ Κ^Υ η Ϛ η Δ^Υ α Μ^ο α· ταῦτα ἴσα κύβῳ· καὶ ἔστιν ἀδύνατον.

   Τάσσω τοίνυν πάλιν τὸν μὲν κυβικῶν Ϛ Μ^ο α· ἔστω Ϛ η Μ^ο α· τὸν δὲ Δ^Υ α· καὶ γίνεται ὁ ὑπ' αὐτῶν λείψας τὸν β^ον κύβος. πάλιν ὁ ὑπ' αὐτῶν λείψας τὸν αον ποιεῖ Κ^Υ η Δ^Υ α Ϛ η Μ^ο α· ταῦτα ἴσα κύβῳ τῷ ἀπὸ πλ. Ϛ β Μ^ο α· καὶ γίνεται ὁ Ϛ ιγιδ.

[252]    ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις. ἔσται ὁ μὲν α^ος ιγρκε, ὁ δὲ β^ος ρξθρϞϚ.

   κη.

   Εὑρεῖν δύο ἀριθμοὺς ὅπως ὁ ὑπ' αὐτῶν, ἐάν τε προσλάβῃ συναμφότερον, ἐάν τε λείψῃ, ποιῇ κύβον.

   Ἐπεὶ οὖν ὁ ὑπ' αὐτῶν μετὰ συναμφοτέρου ποιεῖ κύβον, ποιείτω Μ^ο ξδ. πάλιν, ἐπεὶ ὁ ὑπ' αὐτῶν λείψας συναμφότερον ποιεῖ ‹κύβον, ποιείτω› Μ^ο η. δὶς ἄρα συναμφότερος, ποιῶν αὐτῶν τὴν ὑπεροχήν, ἔσται Μ^ο νϚ· ὥστε συναμφότερος ἔσται Μ^ο κη· ἀλλὰ καὶ ὁ ὑπ' αὐτῶν μετὰ συναμφοτέρου ποιεῖ Μ^ο ξδ· λοιπὸς ἄρα ὁ ὑπ' αὐτῶν ἔσται Μ^ο λϚ. ἀπῆκται οὖν Μ^οι εὑρεῖν δύο ἀριθμοὺς ‹ὥστε συναμφότερον ποιεῖν› Μ^ο κη, ὧν ὁ ὑπ' αὐτῶν ἐστι Μ^ο λϚ.

   Τετάχθω ὁ μείζων Ϛ α Μ^ο ιδ· ὁ ἄρα ἐλάσσων ἔσται Μ^ο ιδ Ϛ α. λοιπόν ἐστι τὸν ὑπ' αὐτῶν, τουτέστι Μ^ο ρϞϚ Δ^Υ α, ἰσῶσαι Μ^ο λϚ, καὶ γίνεται Δ^Υ α ἴση Μ^ο ρξ.

   Καὶ εἰ ἦσαν Μ^ο ρξ τετραγωνικαί, λελυμένον Μ^οι ἦν τὸ ζητούμενον. ἀλλὰ αἱ Μ^ο ρξ ὑπεροχή ἐστιν ᾗ ὑπερέχουσι Μ^ο ρϞϚ τῶν λϚ. ἀλλὰ αἱ Μ^ο ρϞϚ ἀπὸ Μ^ο ιδ ἐστι ος· ὁ δὲ ιδ ἥμισύ ἐστι τῶν κη· ὥστε τὰ ρϞϚ τὸ Ϛ΄ ἐστι τῶν κη ἐφ' ἑαυτά· ἀλλὰ ὁ κη ἥμισύ ἐστι τῶν νϚ, ὥστε τὰ ιδ, δ^ον ἐστι τοῦ νϚ· ἀλλὰ ὁ νϚ [254] δύο κύβων ἐστὶν ὑπεροχὴ τοῦ τε ξδ καὶ τοῦ η, ὁ δὲ λϚ συναμφοτέρου ἐστὶ τῶν κύβων τὸ Ϛ΄. ἀπῆκται οὖν Μ^οι εἰς τὸ εὑρεῖν δύο κύβους ὅπως τῆς ὑπεροχῆς αὐτῶν τὸ δον, ἐφ' ἑαυτὸ γενόμενον, καὶ λεῖψαν συναμφοτέρου τὸ Ϛ΄, ποιῇ ον.

   Ἔστω ἡ τοῦ μείζονος κύβου πλ. Ϛ α Μ^ο α, ἡ δὲ τοῦ ἐλάσσονος Ϛ α Μ^ο α· καὶ γίνονται οἱ κύβοι, ὁ μὲν μείζων ‹Κ^Υ α› Δ^Υ γ Ϛ γ Μ^ο α, ὁ δὲ ἐλάσσων Κ^Υ α Ϛ γ Δ^Υ γ Μ^ο α, καὶ τῆς τούτων ὑπεροχῆς τὸ δον, Δ^Υ α Ϛ΄ Μ^ο Ϛ΄. ταῦτα ἐφ' ἑαυτὰ γίνονται Δ^Υ Δ β ‹δ› Δ^Υ α Ϛ΄ Μ^ο δ ταῦτα ἐὰν λείψῃ συναμφότερον τῶν κύβων Ϛ΄, ὅπερ ἐστὶ Κ^Υ α Ϛ γ, λοιπὸν γίνονται Δ^Υ Δ β δ Δ^Υ α Ϛ΄ Μ^ο δ Κ^Υ α Ϛ γ ἴσ. ῳ· καὶ πάντα δκις διὰ τὸ μόριον· γίνεται Δ^Υ Δ θ Δ^Υ Ϛ Μ^ο α Κ^Υ δ Ϛ ιβ· ταῦτα ἴσα ῳ τῷ ἀπὸ πλ. Δ^Υ γ Μ^ο α Ϛ Ϛ· αὐτὸς ἄρα ἔσται Δ^Υ Δ θ Δ^Υ μβ Μ^ο α Κ^Υ λϚ Ϛ ιβ ἴσ. Δ^Υ Δ θ Δ^Υ Μ^ο α Κ^Υ δ Ϛ ιβ. καὶ κοινὴ προσκείσθω ἡ λεῖψις καὶ ἀπὸ ὁμοίων ὅΜ^οια· καὶ λοιποὶ Κ^Υ λβ ἴσοι Δ^Υ λϚ, καὶ γίνεται ὁ Ϛ ηθ.

   ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις. ἔταξα τὰς τῶν κύβων πλ., τὴν μὲν Ϛ α Μ^ο α, τὴν δὲ Ϛ α Μ^ο α, καὶ ἔσται ἡ μὲν ιζ, ἡ δὲ α. αὐτοὶ ἄρα οἱ κύβοι ἔσονται, ὁ μὲν α^ος φιβϚδϠιγ ὁ δὲ β^ος ἑνός.

[256]    Ἔρχομαι οὖν ἐπὶ τὸ ἐξ ἀρχῆς καὶ ζητῶ τὸν ὑπ' αὐτῶν μετὰ συναμφοτέρου ποιεῖν κύβ^ον τῶν ϚδϠιγ, τὸν δὲ ὑπ' αὐτῶν λείψαντα συναμφότερον ποιεῖν κύβ^ον τὸ α.

   Ἐπεὶ οὖν ὁ μὲν ὑπ' αὐτῶν μετὰ συναμφοτέρου ποιεῖ κύβον, τουτέστι Μ^ο φιβϚδϠιγ, ὧν ὁ ὑπ' αὐτῶν λείψας συναμφότερον ποιεῖ κύβον, τουτέστι Μ^ο φιβα, ὁ δὶς ἄρα συναμφότερός ἐστιν αὐτῶν ἡ ὑπεροχή, τουτέστι ϚδϠιβ, ὥστε συναμφότερος ἔσται ϚβυνϚ· ἀλλὰ ὁ ὑπ' αὐτῶν μετὰ συναμφοτέρου ϚδϠιγ, ὧν συναμφότερος ϚβυνϚ· ἔσται ἄρα ὁ ὑπ' αὐτῶν Μ^ο φιβϚβυνζ. καὶ προδέδεικται αὕτη ἡ ἀπόδειξις ἐν τῷ πρώτῳ βιβλίῳ, καὶ νῦν δὲ δειχθήσεται διὰ τὸ πρόβλημα.

   Τετάχθω ὁ αος, Ϛ α καὶ Μ^ο τοῦ Ϛ΄ ὧν εἰσι συναμφότερα, τουτέστι Μ^ο φιβϚασκη· ὁ β^ος ἔσται Μ^ο φιβϚασκη Ϛ α· καὶ ἔστι μὲν συναμφότερος Μ^ο φιβϚβυνϚ· ἀλλὰ ὁ ὑπ' αὐτῶν ἐστι ΜΥ ρνϚζϠπδ μορίου κϚϚβρμδ Δυ α· ταῦτα ἴσα Μ^ο φιβϚβυνζ· καὶ πάντα ἐπὶ ‹τὸ› μόριον, τουτέστιν κϚϚβρμδ· καὶ ἀπὸ ὁμοίων ὅΜ^οια. γίνεται Δ^Υ κϚϚβρμδ ἴσαι ΜΥ κε. καὶ γίνεται ὁ Ϛ Μ^ο φιβφ.

[258]    ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις. ἔσται ὁ α^ος Ϛαψκη, ὁ β^ος ψκη, καὶ ἡ ἀπόδειξις φανερά.

   Ἄλλως.

   Εὑρεῖν δύο ἀριθμοὺς ὅπως ὁ ὑπ' αὐτῶν, ἐάν τε προσλάβῃ συναμφότερον, ἐάν τε λείψῃ, ποιῇ κύβον.

   Ἐν δὲ τῷ τοιούτῳ, ἅπας τετράγωνος ἀριθμὸς διαιρεθεὶς εἴς τε τὴν πλευρὰν καὶ τὸν λοιπόν, ποιεῖ τὸν ὑπ' αὐτῶν μετὰ συναμφοτέρου κύβον. τετάχθω τοίνυν ὁ τετράγωνος Δ^Υ α, καὶ διῃρήσθω εἴς τε τὴν πλ. καὶ τὸν λοιπόν. ἔσται Ϛ α καὶ Δ^Υ α Ϛ α· καὶ ἔστιν ὁ ὑπ' αὐτῶν μετὰ συναμφοτέρου κύβος.

   λοιπὸν δεῖ τὸν ὑπ' αὐτῶν λείψαντα συναμφότερον ποιεῖν κύβον. ἀλλὰ ὁ ὑπ' αὐτῶν λείψας συναμφότερον ποιεῖ Κ^Υ α Δ^Υ β· ταῦτα ἴσα κύβῳ ἐλάσσονι τοῦ Κ^Υ α· πλάσσω Κ^Υ η, καὶ πάντα ηκις· γίνονται

   Κ^Υ η Δ^Υ ιϚ ἴσ. Κ^Υ α, καὶ γίνεται ὁ Ϛ ζιϚ.

   ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις. ἔσται ὁ μὲν α^ος ζιϚ, ὁ δὲ β^ος μθρμδ.

   κθ.

   Εὑρεῖν τέσσαρας ἀριθμοὺς ‹τετραγώνους›, οἳ συντεθέντες καὶ προσλαβόντες τὰς ἰδίας πλευρὰς συντεθείσας ποιοῦσι δοθέντα ἀριθμόν.

   Ἔστω δὴ τὸν ιβ.

[260]    Ἐπεὶ πᾶς ος προσλαβὼν τὴν ἰδίαν πλ. καὶ Μ^ο δ, ποιεῖ ον, οὗ ἡ πλ. Μ^ο Ϛ΄ ποιεῖ ἀριθμόν τινα, ὅς ἐστι τοῦ ἐξ ἀρχῆς ου πλευρά, οἱ τέσσαρες ἀριθμοὶ ἄρα, προσλαβόντες μὲν τὰς ἰδίας πλ., ποιοῦσι Μ^ο ιβ, προσλαβόντες δὲ καὶ δ δα, ποιοῦσι τέσσαρας ους· εἰσὶ δὲ καὶ αἱ Μ^ο ιβ μετὰ δ δων, ὅ ἐστι Μ^ο α, Μ^ο ιγ. τὰς ιγ ἄρα Μ^ο διαιρεῖν δεῖ εἰς τέσσαρας ους, καὶ ἀπὸ τῶν πλευρῶν, ἀφελὼν ἀπὸ ἑκάστης πλ. Μ^ο Ϛ΄, ἕξω τῶν δ ων τὰς πλ..

   Διαιρεῖται δὲ ὁ ιγ εἰς δύο ους, τόν τε δ καὶ θ. καὶ πάλιν ἑκάτερος τούτων διαιρεῖται εἰς δύο ους, εἰς κεξδ καὶ κελϚ, καὶ κερμδ καὶ κεπα. λαβὼν τοίνυν ἑκάστου τὴν πλευράν, εη, ‹εϚ, ειβ›, εθ, καὶ αἴρω ἀπὸ ἑκάστου τούτων πλευρᾶς Μ^ο Ϛ΄, καὶ ἔσονται αἱ πλ. τῶν ζητουμένων ων, ιια, ιζ, ιιθ, ιιγ. αὐτοὶ ἄρα οἱ ου, ὃς μὲν ρρκα, ὃς δὲ ρμθ, ὃς δὲ ρτξα, ὃς δὲ ρρξθ.

   λ.

   Εὑρεῖν τέσσαρας τετραγώνους οἳ συντεθέντες καὶ λείψαντες τὰς πλευρὰς αὐτῶν συντεθείσας ποιοῦσι δοθέντα ἀριθμόν.

[262]    Ἔστω δὴ Μ^ο δ.

   Ἐπεὶ οὖν τὸν αον λείψαντα αὑτοῦ τὴν πλ., καὶ τὸν β^ον λείψαντα αὑτοῦ τὴν πλ., καὶ τὸν γ^ον, καὶ τὸν δον, ὁμοίως λείψαντα, ‹δεῖ› ποιεῖν Μ^ο δ, ἀλλὰ μὴν καὶ πᾶς ος, λείψας τὴν ἑαυτοῦ πλ., καὶ προσλαβὼν Μ^ο δ, ποιεῖ ον, οὗ ἡ πλ. προσλαβοῦσα Μ^ο Ϛ΄ ποιεῖ τὴν τοῦ ἐξ ἀρχῆς ου πλευράν, ὥστε οἱ τέσσαρες, λείψαντες αὐτῶν τὰς πλ., καὶ προσλαβόντες Μ^οος δ δα, τουτέστι Μ^ο α, ποιήσουσι τέσσαρας ους· ἀλλὰ καὶ οἱ τέσσαρες, λείψαντες αὐτῶν τὰς πλ., ποιοῦσι Μ^ο δ· προσλαβόντες δὲ καὶ Μ^ο α, ποιοῦσι Μ^ο ε. ἀπῆκται οὖν Μ^οι τὸν ε διελεῖν εἰς τέσσαρας ους. [ἑκάστῃ τῶν πλ. προσέθηκα Μ^ο Ϛ΄ καὶ εὗρον τὰς τῶν ζητουμένων ων πλ..]

   Διαιρεῖται δὲ ὁ ε εἰς τέσσαρας ους, κεθ καὶ κειϚ καὶ κεξδ καὶ κελϚ. λαμβάνω τούτων τὰς πλευράς, γίνονται εγ, εδ, εη, εϚ. προστίθημι ἑκάστῳ τούτων Μ^ο Ϛ΄ καὶ εὑρίσκω τὰς πλευράς, ἣν μὲν ιια, ἣν δὲ ιιγ, ἣν δὲ ικα, ἣν δὲ ιιζ. ἔσονται δὲ ἄρα οἱ ζητούμενοι τετράγωνοι, ὃς μὲν ρρκα, ὃς δὲ ρρξθ, ὃς δὲ ρυμα, ὃς δὲ ρσπθ.

[264]    λα.

   Τὴν μονάδα διελεῖν εἰς δύο ἀριθμούς, καὶ προσθεῖναι ἑκατέρῳ δοθέντα ἀριθμόν, καὶ ποιεῖν τὸν ὑπ' αὐτῶν τετράγωνον.

   Ἔστω τὴν Μ^ο διελεῖν εἰς δύο ἀριθμούς, καὶ ᾧ μὲν προστιθέναι Μ^ο γ, ᾧ δὲ Μ^ο ε, καὶ ποιεῖν τὸν ὑπ' αὐτῶν ον.

   Τετάχθω ὁ α^ος Ϛ α, ὁ ἄρα β^ος ἔσται Μ^ο α Ϛ α· καὶ ἐὰν μὲν τῷ αῳ προστεθῶσι Μ^ο γ, ἔσται Ϛ α Μ^ογ· ἐὰν δὲ τῷ βῳ Μ^ο ε, ἔσται Μ^ο Ϛ Ϛ α· καὶ γίνεται ὁ ὑπ' αὐτῶν Ϛ γ Μ^ο ιη Δ^Υ α ἴσ. ῳ. ἔστω Δ^Υ δ. καὶ κοινῇ προσκείσθω τὰ τῆς λείψεως· γίνονται Ϛ γ Μ^ο ιη ἴσ. Δ ε, καὶ οὐκ ἔστιν ἡ ἴσωσις ῥητή.

   ἀλλὰ αἱ Δ^Υ ε ἐστὶ ος μετὰ Μ α· δεῖ ταύτας ἐπὶ τὰς ιη Μ^ο πολλαπλασιασθείσας καὶ προσλαβούσας τὸν ἀπὸ τοῦ Ϛ΄ τῶν γ Ϛ ον, τουτέστι β δ, ποιεῖν ον. διὰ τοῦτο τοίνυν ἀπῆκταί Μ^οι εἰς τὸ ζητῆσαι ον, ‹ὃς› προσλαβὼν Μ^ο α, καὶ ιηκις γενόμενος, καὶ προσλαβὼν Μ^ο β δ, ποιεῖ ον.

   ἔστω ὁ ος Δ^Υ α· οὗτος μετὰ Μ^ο α, ιηκις γενόμενος καὶ προσλαβὼν Μ^ο β δ, ‹ποιεῖ› Δ^Υ ιη Μ^ο κ δ ἴσ. ῳ. πάντα δκις, γίνονται Δ^Υ οβ Μ^ο πα ἴσ. ῳ. καὶ πλάσσω τὸν ον ἀπὸ Ϛ η Μ^ο θ· γίνεται ὁ Ϛ Μ^ο ιη. ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις· ἔσται ὁ ος τκδ.

[266]    Ἔρχομαι ἐπὶ τὸ ἐξ ἀρχῆς, ἰσῶσαι Ϛ γ Μ^ο ιη Δ^Υ α ἴσ. ῳ·

   νῦν τάσσω Δ^Υ τκδ· καὶ γίνεται ὁ Ϛ τκεων οη, τουτέστιν κεϚ.

   ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις· ἔσται ὁ μὲν α^ος Ϛ· ὁ δὲ β^ος ιθ.

   Ἄλλως.

   Τὴν μονάδα διελεῖν εἰς δύο ἀριθμούς, καὶ προσθεῖναι ἑκατέρῳ δοθέντα ἀριθμόν, καὶ ποιεῖν τὸν ὑπ' αὐτῶν τετράγωνον.

   Ἔστω δὴ τὴν Μ^ο διελεῖν εἰς δύο ἀριθμούς, καὶ ᾧ μὲν προσθεῖναι Μ^ο γ, ᾧ δὲ Μ^ο ε, καὶ ποιεῖν τὸν ὑπ' αὐτῶν ον.

   Τετάχθω ὁ α^ος Ϛ α καὶ Μ^ο γ ἃς προσλαμβάνει. λοιπὸς ἄρα ὁ β^ος ἔσται Μ^ο δ Ϛ α.

   καὶ ἐὰν μὲν τῷ αῳ προστεθῶσι Μ^ο γ, γί. Ϛ α, ἐὰν δὲ τῷ βῳ Μ^ο ε, γί. Μ^ο θ Ϛ α. καὶ ἔστιν ὁ ὑπ' αὐτῶν Ϛ θ Δ^Υ α ἴσ. ῳ· ἔστω Δ^Υ δ. καὶ γίνεται ὁ Ϛ εθ. ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις· καὶ οὐ δύναμαι ἀφελεῖν ἀπὸ τοῦ Ϛοῦ γ Μ^ο.

   Δεῖ οὖν τὸν Ϛ μείζονα μὲν εἶναι Μ^ο γ, ἐλάσσονα δὲ Μ^ο δ. ὁ δὲ Ϛ εὕρηται ἐκ τοῦ τὸν θ μερισθῆναι εἰς τὸν ε, ὅς ἐστι ος σὺν Μ^ο α. εἰ δὲ ὁ θ, μεριζόμενος εἴς τινα ον σὺν Μ^ο α, ποιεῖ Μ^ο γ, εἰς ὃν ἄρα μερίζεται, ἔστι δὴ ὁ γ· εἰς ὃν δὲ ὁ θ μερίζεται, ός ἐστι [268] ‹σὺν› Μ^ο, ὥστε ὁ ος σὺν Μ^ο α ‹ἐλάσσων ἐστὶ Μ^ο γ›. καὶ ἤρθω ἡ Μ^ο· ὁ ἄρα ος ‹ἐλάσσων› ἐστὶ Μ^ο β.

   πάλιν θέλομεν τὸν θ μερίζοντες εἰς ον σὺν Μ^ο α ποιεῖν Μ^ο δ. εἰς ὃν ἄρα μερίζεται, ‹ἔστι δὴ Μ^ο β δ· εἰς ὃν δὲ μερίζεται› ὁ θ, ός ἐστι σὺν Μ^ο α, ὥστε ὁ ος σὺν τῇ Μ^ο μείζων ἐστὶ Μ^ο β δ· καὶ ἤρθω ἡ Μ^ο α· ὥστε ὁ ος μείζων Μ^ο α δ.

   ἐδείχθη δὲ καὶ ἐλάσσων β ος· γέγονεν οὖν Μ^οι εὑρεῖν τινα ον ὅς ἐστι μείζων Μ^ο α δ, ἐλάσσων δὲ β.

   Καὶ ἀναλύω ταῦτα εἰς μόρια τετραγωνικά, εἰς ξδα, καὶ γίνονται π καὶ ρκη· τοῦτο δέ ἐστι ῥᾴδιον, καὶ ἔστιν ὁ ος ξδρ, τουτέστιν ιϚκε.

   Ἔρχομαι οὖν ἐπὶ τὸ ἐξ ἀρχῆς, καὶ ἐζήτουν Ϛ θ Δ^Υ α ἴσ. ῳ, τουτέστι τῷ εὑρημένῳ ἴσ. Δ^Υ ιϚκε· καὶ γίνεται ὁ Ϛ μαρμδ.

   ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις· ἔσται ὁ α^ος κα, ὁ β^ος κ.

   λβ.

   Δοθέντα ἀριθμὸν διελεῖν εἰς τρεῖς ἀριθμοὺς ὅπως ὁ ὑπὸ τοῦ πρώτου καὶ τοῦ δευτέρου, ἐάν τε προσλάβῃ τὸν τρίτον, ἐάν τε λείψῃ, ποιῇ τετράγωνον.

   Ἔστω ὁ δοθεὶς ὁ Ϛ.

   Τετάχθω ὁ γ^ος Ϛ α, καὶ ὁ β^ος Μ^ο ἐλασσόνων τοῦ Ϛ· [270] ἔστω Μ^ο β· ὁ ἄρα α^ος ἔσται Μ^ο δ Ϛ α· καὶ λοιπά ἐστι δύο ἐπιτάγματα, τὸν ὑπὸα^ου καὶ β^ου, ἐάν τε προσλάβῃ τὸν γ^ον, ἐάν τε λείψῃ, ποιεῖν ον. καὶ γίνεται διπλῆ ἡ ἰσότης· Μ^ο η Ϛ α ἴσ. ῳ· καὶ Μ^ο η Ϛ γ ἴσ. ῳ· καὶ οὐ ῥητόν ἐστι διὰ τὸ μὴ εἶναι τοὺς Ϛ πρὸς ἀλλήλους λόγον ἔχοντας ὃν ος ἀριθμὸς πρὸς ον ἀριθμόν.

   ἀλλὰ ὁ Ϛ ὁ α μονάδι ἐλάσσων τοῦ β, οἱ δὲ Ϛ γ ὁμοίως μείζ. ‹Μ^οι› τοῦ β. ἀπῆκται οὖν Μ^οι εἰς τὸ εὑρεῖν ἀριθμόν τινα, ὡς τὸν β, ἵνα ὁ Μ^οι αὐτοῦ μείζων, πρὸς τὸν Μ^οι ‹αὐτοῦ ἐλάσσονα, λόγον ἔχῃ ὃν ος ἀριθμὸς πρὸς› ον ἀριθμόν.

   Ἔστω ἡ ζητούμενος Ϛ α, καὶ ‹ὁ› Μ^οι α αὐτοῦ μείζων ἔσται Ϛ α Μ^ο α, ὁ δὲ Μ^οι αὐτοῦ ἐλάσσων Ϛ α Μ^ο α. θέλομεν οὖν αὐτοὺς πρὸς ἀλλήλους λόγον ἔχειν ὃν ος ἀριθμὸς πρὸς ον ἀριθμόν. ἔστω ὃν δ πρὸς α· ὥστε Ϛ α Μ^ο α ἐπὶ Μ^ο δ γίνονται Ϛ δ Μ^ο δ· καὶ Ϛ α Μ^ο α ἐπὶ τὴν Μ^ο α ‹γίνονται Ϛ α Μ^ο α›. καί εἰσιν οὗτοι οἱ ἐκκείμενοι ἀριθμοὶ λόγον ἔχοντες πρὸς ἀλλήλους ὃν ἔχει ος ἀριθμὸς πρὸς ον ἀριθμόν· νῦν Ϛ δ Μ^ο δ ἴσ. Ϛ α Μ^ο α, καὶ γίνεται ὁ Ϛ Μ^ο γε.

   τάσσω οὖν τὸν β^ον Μ^ο γε· ὁ γὰρ γ^ος ἐστὶν Ϛ α· ὁ ἄρα α^ος ἔσται Μ^ο γιγ Ϛ α.

[272]    λοιπὸν δεῖ εἶναι τὸ ἐπίταγμα, ἔστω τὸν ὑπὸα^ου καὶ β^ου, προσλαβόντα τὸν γ^ον, ποιεῖν ον, καὶ λείψαντα τὸν γ^ον, ποιεῖν ον· ἀλλ' ὁ ὑπὸα^ου καὶ β^ου, προσλαβὼν τὸν γ^ον, ποιεῖ Μ^ο θξε Ϛ ἴσ. ῳ· δὲ τοῦ γου, ποιεῖ Μ^ο θξε Ϛ β ἴσ. ῳ. καὶ πάντα ἐπὶ τὸν θ, καὶ γίνονται Μ^ο ξε Ϛ Ϛ ἴσ. ῳ, καὶ Μ^ο ξε Ϛ κδ ἴσ. ῳ. καὶ ἐξισῶ, τοὺς Ϛ τῆς μείζονος ἰσότητος ποιήσας δκις, καὶ ἔστι

   Μ^ο σξ Ϛ κδ ἴσ. ῳ καὶ Μ^ο ξε Ϛ κδ ἴσ. ῳ.

   νῦν τούτων λαμβάνω τὴν ὑπεροχὴν καὶ ἔστι Μ^ο ρϞε· καὶ ἐκτίθεμαι δύο ἀριθμοὺς ὧν τὸ ὑπό ἐστι Μ^ο ρϞε, καί εἰσι ιε καὶ ιγ· καὶ τῆς τούτων ὑπεροχῆς τὸ Ϛ΄ ἐφ' ἑαυτὸ ἴσον ἐστὶ τῷ ἐλάσσονι ῳ, καὶ γίνεται ὁ Ϛ γων η.

   ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις. ἔσται ὁ μὲν α^ος ε, ὁ δὲ β^ος ε, ὁ δὲ γ^ος η. καὶ ἡ ἀπόδειξις φανερά.

   λγ.

   Εὑρεῖν δύο ἀριθμοὺς ὅπως ὁ ἕτερος, παρὰ τοῦ ἑτέρου προσλαβὼν τὸ αὐτὸ μέρος ἢ τὰ αὐτὰ μέρη, λόγον ἔχῃ πρὸς τὸν περιλειφθέντα ὑπὸ τοῦ δοθέντος τὸν ἐπιταχθέντα.

   Ἐπιτετάχθω δὴ τὸν α^ον, προσλαβόντα παρὰ τοῦ β^ου μέρος τι ἢ μέρη, τοῦ λοιποῦ εἶναι γ^πλ., τὸν δὲ β^ον, [274] προσλαβόντα παρὰ τοῦ α^ου τὸ αὐτὸ μέρος ἢ τὰ αὐτὰ μέρη, τοῦ λοιποῦ εἶναι ε^πλ..

   Τετάχθω ὁ β^ος Ϛ α Μ^ο α, τὸ δὲ μέρος ἢ μέρη αὐτοῦ ἔστω Μ^ο α· ὁ ἄρα α^ος ἔσται Ϛ γ Μ^ο α, καὶ ὁ αος, ἐὰν προσλάβῃ τοῦ β^ου μέρος τι ἢ μέρη, τουτέστι Μ^ο α, γίνεται τοῦ λοιποῦ γ^πλ.. θέλομεν δὲ καὶ τὸν β^ον, προσλαβόντα ‹τοῦ α^ου › τὸ αὐτὸ μέρος ἢ τὰ αὐτὰ μέρη, τοῦ λοιποῦ εἶναι ε^πλ..

   ἀλλ' ἐπειδὴ οἱ δύο εἰσὶν Ϛ δ καὶ ὁ β^ος λαμβάνει τι καὶ ὁ α^ος δίδωσι, καὶ ὁ γενόμενος τοῦ λοιποῦ γίνεται ε^πλ., ὥστε ὁ συναμφότερος, ὁ γενόμενος καὶ ὁ λοιπός, ἔσται Ϛ δ, ὥστε ὁ λοιπὸς ἔσται ἐὰν τῶν Ϛ δ λάβωμεν τὸ Ϛον, τουτέστιν Ϛ · ἐὰν ἄρα ἀπὸ Ϛ γ Μ^ο α ἄρωμεν Ϛ , ἕξομεν τοῦ α^ου μέρος ἢ μέρη.

   ἐὰν δὲ ἄρωμεν, λοιπός ἐστι γενόμενος Ϛ γζ Μ^ο α· λαβὼν γὰρ ὁ βος, ὁ Ϛ α Μ^ο α, παρὰ τοῦ α^ου Ϛ γζ Μ^ο α, γίνεται ε^πλ. τοῦ καταλιμπανομένου τοῦ α^ου .

   λοιπὸν δεῖ ἐνθάδε ζητῆσαι, εἰ ὃ μέρος ἐστὶν ἢ μέρη Μ^ο α, Ϛοῦ α Μ^ο α, τὸ αὐτὸ μέρος ἢ τὰ αὐτὰ μέρη Ϛῶν γ Μ α οἱ Ϛ γζ Μ^ο α.

   ὅταν δέ τι τοιοῦτο ζητῇς, τὸ ὑπὸ ‹τῶν› Ϛ γζ Μ^ο α καὶ Ϛ α Μ α ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ Ϛ γ Μ^ο α ἐπὶ τὴν Μ^ο, [276] τουτέστι τὰ μέρη ἐναλλὰξ πολλαπλασιάζεται· ὧν εἰσιν Δ^Υ γζ Ϛ γδ Μ^ο α ἴσ. Ϛ γ Μ^ο α· καὶ γίνεται ὁ Ϛ ζε.

   ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις. ἔσται ὁ μὲν α^ος ζη, ὁ δὲ β^ος ζιβ.

   Ἦν δὲ τοῦ β^ου μέρη Μ^ο α· σκεπτόμεθα· ἡ Μ^ο α τοῦ βου· εἰσὶ δὲ ιβζ· καὶ ποιῶ ζκις τοὺς δύο ἀριθμούς. ἔσται ὁ α^ος Μ^ο η, ὁ β^ος Μ^ο ιβ, τὰ δὲ μέρη ιβζ. ἀλλὰ ἐπεὶ ὁ α^ος οὐκ ἔχει ιβον, ποιῶ αὐτὰ τρίς, ἵνα μὴ εἰς μόρια ἐμπίπτῃ· ἔσται ὁ α^ος κδ, ὁ β^ος λϚ, τὰ δὲ μέρη τῶν ιβζ, καὶ ἡ ἀπόδειξις φανερά.

   Λῆμμα εἰς τὸ ἑξῆς.

   Εὑρεῖν δύο ἀριθμοὺς ἀορίστους ὅπως ὁ ὑπ' αὐτῶν μετὰ συναμφοτέρου ποιῇ τὸν δοθέντα ἀριθμόν. ποιείτω Μ^ο η.

   Τετάχθω ὁ α^ος Ϛ α, ὁ β^ος Μ^ο γ· καὶ ὁ ὑπ' αὐτῶν μετὰ συναμφοτέρου ἐστὶν Ϛ δ Μ^ο γ· ταῦτα ἴσα Μ^ο η. καὶ γίνεται ὁ Ϛ δων ‹ε›. ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις· ἔσται ὁ α^ος δων ε, ὁ β^ος Μ^ο γ.

   Νῦν σκέπτομαι ὁ Ϛ πόθεν ἐγένετο δε· ἐκ τοῦ τὸν ε μερισθῆναι εἰς τοὺς Ϛ δ· ἀλλ' ὁ ε ἐστὶν ἐκ τῆς ὑπερ[0]οχῆς [278] τοῦ η ἧς ὑπερέχει τὸν γ. οἱ δὲ Ϛ δ εἰσιν ὁ Μ^οι μείζων τοῦ βου.

   ἐὰν ἄρα τάξωμεν τὸν β^ον Ϛοῦ οἱουδήποτε, καὶ ἄρω αὐτὸν ἀπὸ Μ^ο η, καὶ τὰ λοιπὰ μερίσω παρὰ τὸν Μ^οι μείζονα τοῦ β^ου, ἕξω τὸν αον.

   οἷον, ἔστω ὁ β^ος Ϛ α Μ^ο α· ταῦτα αἴρω ἀπὸ Μ^ο η· λοιπὸν Μ^ο θ Ϛ α· ταῦτα μερίζω εἰς τὸν Μ^οι α μείζονα, τουτέστιν εἰς Ϛ α, καὶ γίνεται Ϛ θ Μ^ο α· ἔσται ὁ αος.

   Καὶ λέλυται ἐν τῇ ἀορίστῳ, ὥστε τὸν ὑπ' αὐτῶν μετὰ συναμφοτέρου ποιεῖν Μ^ο η. τὸ δὴ ἐν τῇ ἀορίστῳ τοιοῦτόν ἐστιν, ἵνα τὸν Ϛ, ὅσων ἄν τις θέλῃ Μ^ο εἶναι, ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις ποιήσας, περανῇ τὸ πρόβλημα.

   λδ.

   Εὑρεῖν τρεῖς ἀριθμοὺς ὅπως ὁ ὑπὸ δύο ὁποιωνοῦν προσλαβὼν συναμφότερον ποιῇ τοὺς δοθέντας ἀριθμούς. ‑ Δεῖ δὴ τοὺς δοθέντας τετραγώνους εἶναι παρὰ μονάδα μίαν.

   Ἐπιτετάχθω δὴ τὸν ὑπὸα^ου καὶ β^ου μετὰ συναμφοτέρου ποιεῖν Μ^ο η, τὸν ὑπὸ τοῦ β^ου καὶ γ^ου μετὰ συναμφοτέρου ποιεῖν Μ^ο ιε, τὸν δὲ ὑπὸ τοῦ α^ου καὶ τοῦ γ^ου μετὰ συναμφοτέρου ποιεῖν Μ^ο κδ.

   Ἐπεὶ οὖν θέλω τὸν ὑπὸα^ου καὶ β^ου μετὰ συναμφοτέρου ποιεῖν Μ^ο η, ἐὰν ἄρα τάξω τὸν β^ον ὁσουδήποτε καὶ ἀπὸ Μ^ο η ἄρω αὐτόν, καὶ μερίσω παρὰ τὸν Μ^οι μείζονα τοῦ β^ου, ἕξω τὸν αον.

[280]    τετάχθω ὁ β^ος Ϛ α Μ^ο α· καὶ ἐὰν ἀπὸ Μ^ο η ἄρω αὐτά, καὶ μερίσω παρὰ τὸν Μ^οι α μείζονα τοῦ β^ου, ἔσται ὁ α^ος Ϛ θ Μ^ο α.

   πάλιν ὁμοίως ἐπεὶ θέλω τὸν ὑπὸ τοῦ β^ου καὶ τοῦ γ^ου μετὰ συναμφοτέρου ποιεῖν Μ^ο ιε, ‹ἐὰν ἀπὸ Μ^ο ιε› ἀφέλω Ϛ α Μ^ο α καὶ μερίσω εἰς τὸν Μ^οι α μείζονα τοῦ β^ου, τουτέστιν εἰς Ϛ α, γίνονται Ϛ ιϚ Μ^ο α, ἕξω τὸν γον.

   λοιπόν ἐστι τὸν ὑπὸα^ου καὶ γ^ου μετὰ συναμφοτέρου· ποιεῖ Δ^Υ ρμδ Μ^ο α· ταῦτα ἴσα Μ^ο κδ, καὶ γίνεται ὁ Ϛ ειβ.

   ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις· ἔσται ὁ μὲν α^ος ιβλγ, ὁ δὲ β^ος εζ, ὁ δὲ γ^ος ιβξη. καὶ πάντα εἰς ἓν μόριον καὶ γίνεται ὁ α^ος ξρξε, ὁ β^ος ξπδ, ὁ δὲ γ^ος ξτμ.

   Λῆμμα εἰς τὸ ἑξῆς.

   Εὑρεῖν δύο ἀριθμοὺς ἀορίστους, ὥστε τὸν ὑπ' αὐτῶν λείψαντα συναμφότερον ποιεῖν τὸν δοθέντα. Ἔστω τὸν η.

   Τετάχθω ὁ α^ος Ϛ α, ὁ β^ος Μ^ο γ, καὶ ὁ ὑπ' αὐτῶν λείψας συναμφότερον ποιεῖ Ϛ β Μ^ο γ ἴσ. Μ^ο η. καὶ γίνεται ὁ Ϛ Μ^ο ε Ϛ΄. ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις· ἔσται ὁ μὲν α^ος Μ^ο ε Ϛ΄, ὁ δὲ β^ος Μ^ο γ.

[282]    Πάλιν οὖν σκέπτομαι πόθεν ἐγένετο ὁ Ϛ Μ^ο ε Ϛ΄· ἐκ τοῦ τὸν ια μερισθῆναι εἰς τὸν β· ἀλλὰ ὁ ια ὁ δοθείς ἐστι μετὰ τοῦ βου· οἱ δὲ Ϛ β εἰσὶν ὁ Μ^οι ἐλάσσων τοῦ βου.

   ἐὰν οὖν τάξω τὸν β^ον ὁσουδήποτε καὶ προσθῶμεν αὐτὸν τῷ δοθέντι, καὶ τὰ γενόμενα μερίσωμεν παρὰ τὸν Μ^οι α ἐλάσσονα τοῦ β^ου, εὑρήσομεν τὸν αον.

   ἔστω ὁ β^ος Ϛ α Μ^ο α· ταῦτα μετὰ Μ^ο η ποιεῖ Ϛ α Μ^ο θ. μερίζω ταῦτα εἰς τὸν Μ^οι α ἐλάσσονα τοῦ β^ου, τουτέστιν εἰς Ϛ α, καὶ γίνεται Μ^ο α Ϛ θ.

   καὶ λέλυται ἐν τῇ ἀορίστῳ, ὥστε τὸν ὑπ' αὐτῶν λείψαντα συναμφότερον ποιεῖν Μ^ο η.

   λε.

   Εὑρεῖν τρεῖς ἀριθμοὺς ὅπως ὁ ὑπὸ δύο ὁποιωνοῦν λείψας συναμφότερον ποιῇ τοὺς δοθέντας. ‑ Δεῖ δὴ τοὺς δοθέντας τετραγώνους εἶναι παρὰ μονάδα.

   Ἐπιτετάχθω δὴ τὸν ὑπὸ τοῦ α^ου καὶ τοῦ β^ου, λείψαντα συναμφότερον, ποιεῖν Μ^ο η, τὸν δὲ ὑπὸ β^ου καὶ γου, λείψαντα συναμφότερον, ποιεῖν Μ^ο ιε, τὸν δὲ ὑπὸ τοῦ γ^ου καὶ τοῦ α^ου , λείψαντα συναμφότερον, ποιεῖν Μ^ο κδ.

   Ἐπεὶ θέλω τὸν ὑπὸ τοῦ α^ου καὶ τοῦ β^ου, λείψαντα συναμφότερον, ποιεῖν Μ^ο η, ἐὰν ἄρα τάξω τὸν β^ον οἱουδήποτε, καὶ προσθῶμεν αὐτὸν εἰς Μ^ο η, καὶ τὰ γενόμενα μερίσω παρὰ τὸν Μ^οι ἐλάσσονα τοῦ β^ου, ἕξω τὸν α^ον, κατὰ τὸ λῆμμα τὸ προγεγραμμένον.

[284]    ἔστω ὁ β^ος Ϛ α Μ^ο α· προστίθημι αὐτῷ Μ^ο η· γίνεται Ϛ α Μ^ο θ· ταῦτα μερίζω εἰς τὸν πρῶτον ἐλάσσονα τοῦ β^ου, τουτέστιν εἰς Ϛ α, καὶ γίνεται Μ^ο α Ϛ θ· ἔσται ὁ αος. ὁμοίως δὲ καὶ ὁ γ^ος ἔσται Μ^ο α Ϛ ιϚ, καὶ λέλυταί Μ^οι δύο ἐπιτάγματα.

   λοιπὸν δεῖ τὸν ὑπὸα^ου καὶ γ^ου λείψαντα συναμφότερον· ποιεῖ Δ^Υ ρμδ Μ^ο α ἴσ. Μ^ο κδ· καὶ γίνεται ὁ Ϛ ειβ.

   ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις· ἔσται ὁ μὲν α^ος ιβνζ, ὁ δὲ β^ος ειζ, ὁ δὲ γ^ος ιβϞβ· καὶ ἐὰν θέλῃς αὐτοὺς εἶναι ἑνὸς μορίου, πάντα εἰς ξα, ἔσται ‹ὁ αος› σπε, ὁ β^ος σδ, ὁ γ^ος υξ.

   Λῆμμα εἰς τὸ ἑξῆς.

   Εὑρεῖν ἀριθμοὺς ἀορίστους δύο, ὅπως ὁ ὑπ' αὐτῶν πρὸς συναμφότερον λόγον ἔχῃ δεδομένον.

   Ἐπιτετάχθω δὴ τὸν ὑπὸ αὐτῶν συναμφότερον εἶναι τρίς.

   Καὶ τετάχθω ὁ α^ος Ϛ α, ὁ β^ος Μ^ο ε. καὶ ἔστιν ὁ ὑπ' αὐτῶν Ϛ ε· ταῦτα θέλομεν εἶναι τρὶς Ϛ α Μ^ο ε. ὥστε Ϛ γ Μ^ο ιε ἴσοι εἰσὶν Ϛ ε, καὶ γίνεται ὁ Ϛ Μ^ο ζ Ϛ΄. ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις· ἔσται ὁ α^ος Μ^ο ζ Ϛ΄, ὁ β^ος Μ^ο ε.

[286]    Βλέπω οὖν ‹πόθεν› ὁ Ϛ γέγονεν Μ^ο ζ Ϛ΄· ἐκ τοῦ τὸν ιε μερισθῆναι εἰς β Ϛ. ἀλλὰ ὁ ιε ὁ β^ος πολλαπλασιαζόμενός ἐστιν ἐπὶ τὸν λόγον. ὁ δὲ β ἐστὶν ἐκ τῆς ὑπεροχῆς ἧς ὑπερέχει ὁ β^ος τοῦ λόγου.

   Ἐὰν οὖν τάξωμεν τὸν β^ον οἱουδήποτε Ϛ, καὶ πολλαπλασιάσωμεν αὐτὸν ἐπὶ τὸν λόγον, ποιεῖ Ϛ γ, καὶ ἐὰν μερισθῇ εἰς τὴν ὑπεροχὴν ᾗ ὑπερέχει ὁ β^ος τοῦ λόγου, τουτέστιν εἰς Ϛ α Μ^ο γ, γίνεται ὁ α^ος Ϛ γ ἐν μορίῳ Ϛ α Μ^ο γ.

   λϚ.

   Εὑρεῖν ἀριθμοὺς τρεῖς ὅπως ὁ ὑπὸ δύο ὁποιωνοῦν πρὸς συναμφότερον λόγον ἔχη δεδομένον.

   Ἐπιτετάχθω δὴ τὸν ὑπὸα^ου καὶ β^ου συναμφοτέρους εἶναι γος, τὸν δὲ ὑπὸ τοῦ β^ου καὶ γ^ου συναμφοτέρους εἶναι δκις, τὸν δὲ ὑπὸα^ου καὶ τοῦ γ^ου συναμφοτέρους εἶναι εκις.

   Τετάχθω ὁ β^ος Ϛ α· ἔσται δή, διὰ τὸ λῆμμα, ὁ α^ος Ϛ γ ἐν μορίῳ Ϛ α Μ^ο γ· ὁμοίως καὶ ὁ γ^ος Ϛ δ ἐν μορίῳ Ϛ α Μ^ο δ.

   λοιπὸν δεῖ τὸν ὑπὸ τοῦ α^ου καὶ τοῦ γ^ου συναμφοτέρους εἶναι εκις. ἀλλὰ ὁ ὑπὸ τοῦ α^ου καὶ γ^ου Δ^Υ ιβ ἐν μορίῳ Δ^Υ α Μ^ο ιβ Ϛ ζ, συναμφότερος δέ ἐστιν ὁ α^ος καὶ ὁ γ^ος Δ^Υ ζ Ϛ κδ μορίου Δ^Υ α Μ^ο ιβ Ϛ ζ.

[288]    Οὕτως· ὅταν γὰρ δεήσῃ συνθεῖναι μόρια, οἷον·

   Ϛ γ μορ. Ϛ α Μ^ο γ καὶ Ϛ δ Μ^ορ. Ϛ α Μ^ο δ, οἱ Ϛ τοῦ μέρους ἐπὶ τὰ ἐναλλὰξ μόρια πολλαπλασιασθήσονται, οἷον Ϛ γ ἐπὶ τὰ τοῦ ἑτέρου μόρια τουτέστιν ἐπὶ Ϛ α Μ^ο δ, καὶ πάλιν οἱ Ϛ δ ἐπὶ τὰ μόρια τοῦ ἑτέρου, ἐπὶ Ϛ α Μ^ο γ. οὕτως ἐποίησεν ἡ σύνθεσις Δ^Υ ζ Ϛ κδ μορίου τοῦ ὑπὸ τῶν μορίων, τουτέστι Δ^Υ α Μ^ο ιβ Ϛ ζ.

   ἔχομεν δὲ καὶ τὸν ὑπὸ τοῦ α^ου καὶ γ^ου Δ^Υ ιβ μορίου Δ^Υ α Μ^ο ιβ Ϛ ζ.

   Δ^Υ ἄρα ιβ ‹μορίου Δ^Υ α Μ^ο ιβ› Ϛ ζ ε^πλ. εἰσι τῆς συνθέσεως. εκις ἄρα ἡ σύνθεσις· γίνεται Δ^Υ λε Ϛ ρκ μορίου Δ^Υ α Μ^ο ιβ Ϛ ζ. καὶ πάντα ἐπὶ τὸ κοινὸν αὐτῶν μόριον ἐπὶ Δ^Υ α Μ^ο ιβ Ϛ ζ· καὶ γίνονται Δ^Υ ιβ ἴσαι Δ^Υ λε Ϛ ρκ· καὶ γίνεται ὁ Ϛ κγρκ.

   ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις· εἶχες δὴ τὸν μὲν αον Ϛ γ Μ^ορ. Ϛ α Μ^ο γ, τὸν δὲ β^ον Ϛ α, τὸν δὲ γ^ον Ϛ δ Μ^ορ. Ϛ α Μ^ο δ.

   εὑρέθη δὲ ὁ Ϛ κγρκ. ἐὰν μὲν ἐπὶ τὸν αον ποιῇς, ἐπὶ Ϛ γ, ἔσονται Μ^ο τξ· λοιπὸς ἐπὶ τὸ μόριον, Μ^ο ρκ ἐπὶ Ϛ α Μ^ο γ. γίνονται Μ^ο να. λοιπὸς ἄρα ὁ α^ος νατξ· ὁ δὲ [290] β^ος κψρκ, οὐ γὰρ εἶχεν ἀριθμητικὸν μόριον· ὁ δὲ γος· ὁμοίως ρκ ἐπὶ τοὺς δ Ϛ, γίνονται υπ· ὁμοίως καὶ ἐπὶ τὸ μόριον, ρκ ἐπὶ Ϛ α Μ^ο δ, γίνονται Μ^ο κη, λοιπὸς ἄρα ὁ γ^ος Μ^ο κηυπ. καὶ ἡ ἀπόδειξις φανερά.

   λζ.

   Εὑρεῖν τρεῖς ἀριθμοὺς ὅπως ὁ ὑπὸ δύο ὁποιωνοῦν πρὸς τὸν συγκείμενον ἐκ τῶν τριῶν λόγον ἔχῃ δεδομένον.

   Ἐπιτετάχθω δὴ τὸν μὲν ὑπὸ τοῦ α^ου καὶ τοῦ β^ου τῶν τριῶν εἶναι γ^πλ., τὸν δὲ ὑπὸ τοῦ β^ου καὶ τοῦ γ^ου τῶν τριῶν εἶναι δ^πλ., τὸν δὲ ὑπὸ τοῦ γ^ου καὶ τοῦ α^ου τῶν τριῶν εἶναι ε^πλ..

   Ἐπεὶ οὖν ὁ ὑπὸ δύο ὁποιωνοῦν πρὸς τὸν ἐκ τῶν τριῶν λόγον ἔχει δεδομένον, ζητῶ πρότερον τρεῖς ἀριθμοὺς καὶ τυχόντα ὅπως ὁ ὑπὸ δύο ὁποιωνοῦν πρὸς τὸν τυχόντα λόγον ἔχῃ τὸν ἐπιταχθέντα.

   ἔστω ὁ τυχὼν Μ^ο ε· καὶ ἐπεὶ ὁ ὑπὸ τοῦ α^ου καὶ τοῦ β^ου, τυχόντος ἐστὶ γ^πλ., τουτέστι τοῦ ε, ὁ ὑπὸ τοῦ α^ου ἄρα καὶ τοῦ β^ου ἔσται Μ^ο ιε. ἔστω ὁ β^ος Ϛ α, ὁ ἄρα α^ος ἔσται Ϛ ιε.

   πάλιν ἐπεὶ ὁ ὑπὸ τοῦ β^ου καὶ τοῦ γου, τοῦ ε ἐστὶ δ^πλ., ὁ ἄρα ὑπὸ β^ου καὶ γ^ου ἔσται Μ^ο κ. ἔστι δὲ ὁ β^ος Ϛ α· ὁ ἄρα γ^ος ἔσται Ϛ κ.

   λοιπόν ἐστι καὶ τὸν ὑπὸ τοῦ γ^ου καὶ τοῦ α^ου , ὃς Δ^Υ εἰσι τ, ταῦτα τοῦ ε εἶναι ε^πλ.· γίνονται Δ^Υ τ ἴσ. Μ^ο κε.

[292]    Καὶ εἰ ἦν τὸ εἶδος πρὸς τὸ εἶδος λόγον ἔχον ὃν ος πρὸς ον, λελυμένον ἂν ἦν Μ^οι τὸ ζητούμενον. ἀλλὰ τὰ τ Δ^Υ ὑπὸ τοῦ ιε ἐστι καὶ τοῦ κ. ἀλλὰ ὁ ιε γ^πλ. ἐστὶ τοῦ ε, ὁ δὲ κ δ^πλ. τοῦ ε. θέλομεν οὖν τὸν γ^πλ. τοῦ ε ἐπὶ τὸν δ^πλ. τοῦ ε γενόμενον πρὸς τὸν ε^πλ.· τοῦ ε λόγον ἔχειν ὃν ος πρὸς ον· ὁ δὲ ε τυχών ἐστιν. ἀπῆκται οὖν Μ^οι εἰς τὸ ζητεῖν τινα ἀριθμόν, ὅπως ὁ γ^πλ. αὐτοῦ πολλαπλασιασθεὶς ἐπὶ τὸν δ^πλ. αὐτοῦ καὶ ὁ γενόμενος πρὸς τὸν ε^πλ. αὐτοῦ λόγον ἔχῃ ὃν ος πρὸς ον.

   Ἔστω ὁ ζητούμενος Ϛ α· καὶ ὁ γ^πλ. αὐτοῦ πολλαπλασιασθεὶς ἐπὶ τὸν δ^πλ. αὐτοῦ ποιείτω Δ^Υ ιβ· δεῖ τοίνυν τοῦτον πρὸς τὸν ε^πλ. αὐτοῦ λόγον ἔχειν ὃν ος πρὸς ον. Δ^Υ ἄρα ιβ πρὸς Ϛ ε θέλομεν εἶναι ἐν λόγῳ ᾧ ἔχει ος ἀριθμὸς πρὸς ον ἀριθμόν· ὁ ἄρα ὑπ' αὐτῶν καὶ αὐτὸς ἔσται ος· Κ^Υ ἄρα ξ ἴσ. ῳ. τοῦτο δὲ ῥᾴδιον· ἴσ. Δ^Υ Ϡ. καὶ γίνεται ὁ Ϛ Μ^ο ιε, ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις· ἔσται ὁ ζητούμενος Μ^ο ιε.

   τάσσω οὖν αὐτὸν Μ^ο ιε· ἔσται ἄρα ὁ ὑπὸ τοῦ α^ου καὶ τοῦ β^ου Μ^ο με. καὶ ἔστιν ὁ β^ος Ϛ α· ὁ ἄρα α^ος ἔσται Ϛ με. ὁμοίως καὶ ὁ γ^ος Ϛξ.

   λοιπόν ἐστι τὸν ὑπὸα^ου καὶ γου, τουτέστι Δ^Υ Ϛβψ, τῶν Μ^ο ιε κατασκευάσαι ε^πλ.· Δ^Υ Ϛβψ ἴσ. Μ^ο οε. καὶ γίνεται ὁ Ϛ Μ^ο Ϛ. ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις· ἔσται ὁ α^ος Μ^ο ζ Ϛ΄, ὁ δὲ β^ος Μ^ο Ϛ, ὁ δὲ γ^ος Μ^ο ι.

[294]    Καὶ ὡσεὶ ἦν ἡ συγκείμενος ἐκ τῶν τριῶν Μ^ο ιε, λελυμένον ἂν ἦν Μ^οι τὸ ζητούμενον· τάσσω οὖν τὸν συγκείμενον ἐκ τῶν τριῶν Δ^Υ ιε, αὐτοὺς δὲ τοὺς τρεῖς ἐν Ϛ, ὡς εὕρομεν, τὸν μὲν αον Ϛ ζ Ϛ΄, τὸν δὲ β^ον Ϛ Ϛ, τὸν δὲ γ^ον Ϛ ι.

   Καὶ λοιπὸν δεῖ τοὺς τρεῖς εἶναι Δ^Υ ιε· εἰσὶ δὲ οἱ τρεῖς Ϛ κγ Ϛ΄·

   Ϛ ἄρα κγ Ϛ΄ ἴσ. Δ^Υ ιε, καὶ γίνεται ὁ Ϛ Μ^ο λμζ.

   ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις. ἔσται ὁ μὲν α^ος τνβ Ϛ΄, ὁ δὲ β^ος σπβ, ὁ δὲ γ^ος υο.

   λη.

   Εὑρεῖν τρεῖς ἀριθμοὺς ὅπως ὁ συγκείμενος ἐκ τῶν τριῶν πολλαπλασιαζόμενος ἐπὶ μὲν τὸν πρῶτον ποιῇ τρίγωνον, ἐπὶ δὲ τὸν δεύτερον ποιῇ τετράγωνον, ἐπὶ δὲ τὸν τρίτον ποιῇ κύβον.

   Τετάχθω δὴ οἱ τρεῖς Δ^Υ α, ὁ δὲ α^ος δυναΜ^οστῶν τριγωνικῶν· ἔστω Δ^Υ Ϛ· ὁ δὲ β^ος Δ^Υδ, ὁ δὲ γ^ος δυναΜ^οστῶν κυβικῶν· ἔστω ΔΨ η.

   Καὶ ἡ Δ^Υ α πολλαπλασιασθεῖσα ἐπὶ μὲν τὸν αον ποιεῖ Μ^ο Ϛ ὅς ἐστι τρίγωνος· ἐπὶ δὲ τὸν β^ον ποιεῖ Μ^ο δ, ὅς ἐστι ος· ἐπὶ δὲ τὸν γ^ον ποιεῖ Μ^ο η, ὅς ἐστι κύβος.

   λοιπόν ἐστι τοὺς τρεῖς εἶναι Δ^Υ α· ἀλλὰ οἱ τρεῖς [296] εἰσι Δ^Υ ιη ἴσ. Δ^Υ α. καὶ πάντα ἐπὶ Δ^Υ α· γίνεται Δ^Υ Δ α ἴσ. Μ^ο ιη.

   δεῖ οὖν τὸν ιη εἶναι ον, πλευρὰν ἔχοντα ον, ἀλλὰ ὁ ιη σύνθεσίς ἐστι τριγώνου καὶ τετραγώνου καὶ κύβου. ἀπῆκται οὖν Μ^οι εὑρεῖν· ον, πλευρὰν ἔχοντα ον, διελεῖν εἰς τρίγωνον καὶ τετράγωνον καὶ κύβον.

   ἔστω ὁ τετράγωνος Δ^Υ Δ α Μ^ο α Δ^Υ β. ἐὰν ἄρα ἀπὸ Δ^Υ Δ α ἄρω Δ^Υ Δ α Μ^ο α Δ^Υ β, λοιπὸς καταλείπεται Δ^Υ β Μ^ο α· πάλιν ταῦτα δεῖ διαιρεθῆναι εἴς τε κύβ^ον καὶ τρίγωνον. καὶ ἔστω ὁ κύβος Μ^ο η. λοιπὸς ἄρα ὁ τρίγωνος Δ^Υ β Μ^ο θ ἴσ. τριγώνῳ.

   πᾶς δὲ τρίγωνος, ηκις γενόμενος καὶ προσλαβὼν Μ α, ος γίνεται.

   Δ^Υ ἄρα ιϚ Μ^ο οα ἴσ. ῳ· πλάσσω τὸν ον ἀπὸ Ϛ δ Μ^ο α. γίνεται ὁ ος, Δ^Υ ιϚ Μ^ο α ‹ Ϛ η›· καὶ γίνεται ὁ Ϛ Μ^ο θ. ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις· ἔσται ὁ μὲν τρίγωνος Μ^ο ρνγ, ὁ δὲ τετράγωνος Μ^ο ϚϚυ, ὁ δὲ κύβος Μ^ο η.

   Ἔρχομαι εἰς τὸ ἐξ ἀρχῆς καὶ τάσσω τὸν ἐκ τῶν τριῶν συγκείμενον τετράγωνον Δ^Υ α, τὸν δὲ αον Δ^Υ ρνγ, ἐπεὶ δεῖ τρίγωνον γενέσθαι, τὸν δὲ β^ον Δ^Υ ϚϚυ, ἐπεὶ δεῖ τετράγωνον γενέσθαι, τὸν δὲ γ^ον ΔΨ η, ἐπεὶ δεῖ κύβ^ον γενέσθαι· καὶ ἡ Δ^Υ α, τετράγωνος οὖσα, ἐφ' ὃν ἂν πολλαπλασιασθῇ, ποιεῖ ὃν μὲν τρίγωνον, ὃν δὲ τετράγωνον, ὃν δὲ κύβον.

[298]    δεῖ δὴ τοὺς τρεῖς εἶναι Δ^Υ α· εἰσὶ δὲ ΔΨ ϚϚφξα ἴσ. Δ^Υ α. καὶ πάντα ἐπὶ Δ^Υ· γίνεται Δ^Υ Δ α ἴσ. Μ^ο ϚϚφξα· καὶ ἔστιν ὁ Ϛ Μ^ο θ.

   ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις· ἔσται ὁ μὲν α^ος παρνγ, ὁ δὲ β^ος παϚϚυ, ὁ δὲ γ^ος παη. καὶ ἡ ἀπόδειξις φανερά.

   λθ.

   Εὑρεῖν τρεῖς ἀριθμοὺς ὅπως ἡ ὑπεροχὴ τοῦ μείζονος καὶ τοῦ μέσου πρὸς τὴν ὑπεροχὴν τοῦ μέσου καὶ τοῦ ἐλάσσονος λόγον ἔχῃ δεδομένον, ἔτι δὲ καὶ σὺν δύο λαμβανόμενοι, ποιῶσι τετράγωνον.

   Ἐπιτετάχθω δὴ τὴν ὑπεροχὴν τοῦ μείζονος καὶ τοῦ μέσου τῆς ὑπεροχῆς τοῦ μέσου καὶ τοῦ ἐλαχίστου εἶναι γ^πλ..

   Ἐπεὶ δὲ συναμφότερος ὁ μέσος καὶ ὁ ἐλάσσων ποιεῖ ον, ποιείτω Μ^ο δ. ὁ ἄρα μέσος μείζων ἐστὶ δυάδος· ἔστω Ϛ α Μ^ο β. ὁ ἄρα ἐλάχιστος ἔσται Μ^ο β Ϛ α.

   Καὶ ἐπειδὴ ἡ ὑπεροχὴ τοῦ μείζονος καὶ τοῦ μέσου τῆς ὑπεροχῆς τοῦ μέσου καὶ τοῦ ἐλαχίστου γ^πλ. ‹ἐστί›, καὶ ἡ. ὑπεροχὴ τοῦ μέσου καὶ τοῦ ἐλαχίστου Ϛ β, ἡ ἄρα ὑπεροχὴ τοῦ μείζονος καὶ τοῦ μέσου ἔσται Ϛ Ϛ, καὶ ὁ μείζων ἄρα ἔσται Ϛ ζ Μ^ο β.

   λοιπόν ἐστι δύο ἐπιτάγματα, τό τε συναμφότερον ‹τὸν μείζονα καὶ τὸν ἐλάχιστον ποιεῖν ον, καὶ τὸ τὸν μείζονα› καὶ τὸν μέσον ποιεῖν ον. καὶ γίνεταί Μ^οι διπλῆ ἡ ἰσότης·

   Ϛ η Μ^ο δ ἴσ. ῳ, καὶ Ϛ Ϛ Μ^ο δ ἴσ. ῳ. [300] καὶ διὰ τὸ τὰς Μ^ο εἶναι τετραγωνικάς, εὐχερής ἐστιν ἡ ἴσωσις.

   πλάσσω ἀριθμοὺς δύο ἵνα ὁ ὑπ' αὐτῶν ᾖ Ϛ β, καθὼς ἴσμεν διπλῆν ἰσότητα· ἔστω οὖν Ϛ Ϛ΄ καὶ Μ^ο δ· καὶ γίνεται ὁ Ϛ Μ^ο ριβ. ἐλθὼν ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις, οὐ δύναμαι ἀφελεῖν ἀπὸ Μ^ο β τὸν Ϛ α τουτέστι τὰς Μ^ο ριβ. θέλω οὖν τὸν Ϛ εὑρεθῆναι ἐλάττονα Μ^ο β, ὥστε καὶ Ϛ Ϛ Μ^ο δ ἐλάσσονες ἔσονται Μ^ο ιϚ. ἐὰν γὰρ ἡ δυὰς ἐπὶ Ϛ Ϛ γένηται καὶ προσλάβῃ Μ^ο δ ποιεῖ Μ^ο ιϚ.

   ἐπεὶ οὖν ζητῶ Ϛ η Μ^ο δ ἴσ. ῳ καὶ Ϛ Ϛ Μ^ο δ ἴσ. ῳ, ἀλλὰ καὶ ὁ ἀπὸ τῆς δυάδος, τουτέστι Μ^ο δ, ός ἐστι, γεγόνασι τρεῖς οι, Ϛ η Μ^ο δ, καὶ Ϛ Ϛ Μ^ο δ, καὶ Μ^ο δ, καὶ ἡ ὑπεροχὴ τοῦ μείζονος καὶ τοῦ μέσου τῆς ὑπεροχῆς τοῦ μέσου καὶ τοῦ ἐλαχίστου γ^ον μέρος ἐστίν. ἀπῆκται οὖν Μ^οι εἰς τὸ εὑρεῖν ‹τρεῖς› τετραγώνους, ὅπως ἡ ὑπεροχὴ τοῦ μείζονος καὶ τοῦ μέσου τῆς ὑπεροχῆς τοῦ μέσου καὶ τοῦ ἐλαχίστου γ^ον μέρος ᾖ, ἔτι δὲ ὁ μὲν ἐλάχιστος ᾖ Μ^ο δ, ὁ δὲ μέσος ἐλάσσων Μ^ο ιϚ.

   Τετάχθω ὁ μὲν ἐλάχιστος Μ^ο δ, ἡ δὲ τοῦ μέσου πλ. Ϛ α Μ^ο β· αὐτὸς ἄρα ἔσται ὁ ος, Δ^Υ α Ϛ δ Μ^ο δ.

   ἐπεὶ οὖν ἡ ὑπεροχὴ τοῦ μείζονος καὶ τοῦ μέσου τῆς ὑπεροχῆς τοῦ μέσου καὶ τοῦ ἐλαχίστου γ^ον μέρος ἐστίν, καὶ ἔστιν ἡ ὑπεροχὴ τοῦ μέσου καὶ τοῦ ἐλαχίστου Δ^Υ α Ϛ δ, ὥστε ἡ ὑπεροχὴ τοῦ μεγίστου καὶ τοῦ μέσου ἔσται Δ^Υγ Ϛ α γ· καὶ ἔστιν ὁ μέσος Δ^Υ α Ϛ δ Μ^ο δ· ὁ ἄρα μέγιστος ἔσται Δ^Υ α γ Ϛ ε γ Μ^ο δ ἴσ. ῳ· [302] πάντα θκις· Δ^Υ ἄρα ιβ Ϛ μη Μ^ο λϚ ἴσ. ῳ· καὶ τὸ δ^ον αὐτῶν· Δ^Υ γ Ϛ ιβ Μ^ο θ ἴσ. ῳ.

   ἔτι δὲ θέλω τὸν μέσον τετράγωνον ἐλάσσονα εἶναι Μ^ο ιϚ, καὶ τὴν πλ. δηλαδὴ ἐλάσσονος Μ^ο δ. ἡ δὲ πλευρὰ τοῦ μέσου ἐστὶν Ϛ α Μ^ο β· ἐλάττονές εἰσι Μ^ο δ. καὶ κοινῶν ἀφαιρεθεισῶν τῶν β Μ^ο, ὁ Ϛ ἔσται ἐλάσσονος Μ^ο β.

   γέγονεν οὖν Μ^οι Δ^Υ γ Ϛ ιβ Μ^ο θ ἴσ. ποιῆσαι ῳ. πλάσσω όν τινα ἀπὸ Μ^ο γ λειπουσῶν Ϛ τινας· καὶ γίνεται ὁ Ϛ ἔκ τινος ἀριθμοῦ Ϛκις γενομένου καὶ προσλαβόντος τὸν ιβ, τουτέστι τῆς ἰσώσεως τῆς Ϛ ιβ, καὶ μερισθέντος εἰς τὴν ὑπεροχὴν ᾗ ὑπερέχει ὁ ἀπὸ τοῦ ἀριθμοῦ ος τῶν Δ^Υ τῶν ἐν τῇ ἰσώσει γ. ἀπῆκται οὖν Μ^οι εἰς τὸ εὑρεῖν τινα ἀριθμόν, ὃς Ϛκις γενόμενος καὶ προσλαβὼν Μ^ο ιβ καὶ μεριζόμενος εἰς τὴν ὑπεροχὴν ᾗ ὑπερέχει ὁ ἀπὸ τοῦ αὐτοῦ ος τριάδος, ποιεῖ τὴν παραβολὴν ἐλάσσονος Μ^ο β.

   Ἔστω ὁ ζητούμενος Ϛ α· οὕτως Ϛκις γενόμενος καὶ προσλαβὼν Μ^ο ιβ, ποιεῖ Ϛ Ϛ Μ^ο ιβ· ὁ δὲ ἀπ' αὐτοῦ ος, Μ^ο γ, ποιεῖ Δ^Υ α Μ^ο γ. θέλω οὖν Ϛ Ϛ Μ^ο ιβ μερίζεσθαι εἰς Δ^Υ α Μ^ο γ καὶ ποιεῖν τὴν παραβολὴν ἐλάσσονος Μ^ο β. ἀλλὰ καὶ ὁ β μεριζόμενος εἰς Μ^ο α, ποιεῖ τὴν παραβολὴν β· ὥστε Ϛ Ϛ Μ^ο ιβ πρὸς Δ^Υ α Μ^ο γ ἐλάσσονα λόγον ἔχουσιν ἤπερ β πρὸς α.

[304]    Καὶ χωρίον χωρίῳ ἄνισον· ὁ ἄρα ὑπὸ Ϛ Ϛ Μ^ο ιβ καὶ Μ α ἐλάσσων ἐστὶν τοῦ ὑπὸ δυάδος καὶ Δ^Υ α Μ^ο γ, τουτέστιν Ϛ Ϛ Μ^ο ιβ ἐλάσσονές εἰσιν Δ^Υ β Μ^ο Ϛ. καὶ κοιναὶ προσκείσθωσαν αἱ Μ^ο Ϛ. Ϛ Ϛ Μ^ο ιη ἐλάσσονες Δ^Υ β.

   ὅταν δὲ τοιαύτην ἴσωσιν ἰσώσωμεν, ποιοῦμεν τῶν Ϛ τὸ Ϛ΄ ἐφ' ἑαυτό, γίνεται θ, καὶ τὰς Δ^Υ β ἐπὶ τὰς Μ^ο ιη, γίνονται λϚ· πρόσθες τοῖς θ, γίνονται με, ὧν πλ.· οὐκ ἔλαττόν ἐστι Μ^ο ζ· πρόσθες τὸ ἡμίσευμα τῶν Ϛ· ‹γίνεται οὐκ ἔλαττον Μ^ο ι· καὶ μέρισον εἰς τὰς Δ^Υ·› γίνεται οὐκ ἔλαττον Μ^ο ε.

   γέγονεν οὖν Μ^οι Δ^Υ γ Ϛ ιβ Μ^ο θ ἴσ. ῳ τῷ ἀπὸ πλ. Μ^ο γ Ϛ ε, καὶ γίνεται ὁ Ϛ Μ^ο κβμβ τουτέστιν ιακα.

   τέταχα δὲ τὴν τοῦ μέσου ου πλ. Ϛ α Μ^ο β· ἔσται ἡ τοῦ ου πλ. Μ^ο ιαμγ. αὐτὸς δὲ ὁ ος Μ^ο ρκαϚαωμθ.

   Ἔρχομαι οὖν ἐπὶ τὸ ἐξ ἀρχῆς καὶ τάσσω Μ^ο ρκαϚαωμθ, ὄντα ον, ἴσ. τοῖς Ϛ Ϛ Μ^ο δ· καὶ πάντα εἰς ρκα· καὶ γίνεται ὁ Ϛ ψκϚϚατξε, καὶ ἔστιν ἐλάσσων δυάδος.

   ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις τοῦ προβλήματος τοῦ ἐξ ἀρχῆς· ὑπέστημεν δὴ τὸν μὲν μέσον Ϛ α Μ^ο β, τὸν δὲ ἐλάχιστον Μ^ο β Ϛ α, τὸν δὲ μέγιστον Ϛ ζ Μ^ο β. ἔσται ὁ μὲν μέ[0]γιστος [306] αϚαζ, ὁ δὲ β^ος Ϛβωιζ, ὁ δὲ ἐλάχιστος ὁ γ^ος πζ. καὶ ἐπεὶ τὸ μόριον, ἔστι τὸ ψκϚον, οὐκ ἔστιν ος, Ϛον δέ ἐστιν αὐτοῦ, ἐὰν λάβωμεν ρκα, ὅ ἐστι ος, πάντων οὖν τὸ Ϛον, καὶ ὁμοίως ἔσται ὁ μὲν α^ος ρκαων Ϛαωλδ Ϛ΄, ὁ δὲ β^ος υξθ Ϛ΄, ὁ δὲ γ^ος ιδ Ϛ΄.

   Καὶ ἐὰν ἐν ὁλοκλήροις θέλῃς ἵνα μὴ τὸ Ϛ΄ ἐπιτρέχῃ, εἰς δα ἔμβαλε. καὶ ἔσται ὁ α^ος υπδϚζτλη, ὁ δὲ β^ος υπδϚαωοη, ὁ δὲ γ^ος υπδνη. καὶ ἡ ἀπόδειξις φανερά.

   μ.

   Εὑρεῖν τρεῖς ἀριθμούς, ὅπως ἡ ὑπεροχὴ ᾗ ὑπερέχει ὁ ἀπὸ τοῦ μεγίστου τετράγωνος τοῦ ἀπὸ τοῦ μέσου τετραγώνου, πρὸς τὴν ὑπεροχὴν τοῦ μέσου καὶ τοῦ ἐλαχίστου, λόγον ἔχῃ δεδομένον, ἔτι δὲ σὺν δύο λαμβανόμενοι ποιῶσι τετράγωνον.

   Ἡ δὴ ὑπεροχὴ ᾗ ὑπερέχει ὁ ἀπὸ τοῦ μγ. ος τοῦ ἀπὸ τοῦ μσ. ου, τῆς ὑπεροχῆς ἧς ὑπερέχει ὁ μσ. τοῦ ἐλ., ἔστω γ^πλ..

   Ἐπεὶ ὁ μγ. καὶ ὁ μσ. ποιοῦσι ον, ποιείτωσαν Δ^Υ ιϚ· ὁ ἄρα μγ. ἔσται μείζων Δ^Υ η· ἔστω Δ^Υ η Μ^ο β.

   καὶ ἐπεὶ συναμφότερος ὁ μγ. καὶ ὁ μσ. μείζων ἐστὶ συναμφοτέρου τοῦ μγ. καὶ τοῦ ἐλ., καὶ ἔστι συναμφότερος ὁ μγ. καὶ ὁ μσ. Δ^Υ ιϚ, συναμφότερος ὁ ἄρα μγ. καὶ ἐλ. ἐλάσσων μέν ἐστι Δ^Υ ιϚ, μείζων δὲ Δ^Υ η. ἔστω [308] οὖν συναμφότερος ὁ μγ. καὶ ὁ ἐλ. Δ^Υ θ. ἔστιν καὶ ὁ μγ. καὶ ὁ μσ. Δ^Υ ιϚ, ὧν ὁ μγ. ἐστι Δ^Υ η Μ^ο β. ἔσται ἄρα καὶ ὁ μσ. Δ^Υ η Μ^ο β, ὁ δὲ γ^ος Δ^Υ α Μ^ο β.

   καὶ ἐπεὶ θέλω τὴν ὑπεροχὴν ἣν ὑπερέχει ὁ ἀπὸ τοῦ μγ. τὸν ἀπὸ τοῦ μσ., τῆς ὑπεροχῆς τοῦ μσ. καὶ τοῦ ἐλ. εἶναι γ^πλ., ἀλλὰ ἡ ὑπεροχὴ ᾗ ὑπερέχει ὁ ἀπὸ τοῦ μγ. ος τοῦ ἀπὸ τοῦ μσ. ου ἐστὶν Δ^Υ ξδ, ἡ δὲ ὑπεροχὴ τοῦ μσ. καὶ τοῦ ἐλ. ἐστιν Δ^Υ ζ· καὶ θέλομεν τὰς Δ^Υ ξδ τῶν Δ^Υ ζ εἶναι γ^πλ. ἀλλὰ αἱ Δ^Υ ζ γ^πλ. γενόμεναι ποιοῦσι Δ^Υ κα. ἀλλὰ αἱ Δ^Υ ξδ ἐκ τοῦ λβκις ἐστι τῶν Μ^ο β· γέγονεν οὖν Μ^οι εὑρεῖν τινα ἀριθμόν, ὃς λβκις γενόμενος ποιεῖ Μ^ο κα· ἔστιν δὴ τὰ λβκα.

   τάσσω οὖν τὸν μὲν αον Δ^Υ η Μ^ο λβκα, τὸν δὲ μσ. Δ^Υ η Μ^ο λβκα, τὸν δὲ γ^ον Δ^Υ α Μ^ο λβκα.

   καὶ λοιπόν ἐστιν ἓν ἐπίταγμα συναμφότερον τὸν μσ. καὶ τὸν ἐλ. εἶναι ον. ἔστιν δὲ ὁ μσ. καὶ ὁ ἐλ. Δ^Υ θ Μ^ο λβμβ ἴσ. ῳ ἀπὸ πλ. Ϛ γ Μ^ο Ϛ. καὶ γίνεται ὁ Ϛ φοϚφϞζ.

   ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις· ἔσται ὁ μὲν α^ος τϚϚθ Μ^ορ. λγϚαψοϚ, ὁ δὲ β^ος σξγϚγφμδ, ὁ δὲ γ^ος ιγϚηχπα.

ΔΙΟΦΑΝΤΟΥ ΑΛΕΞΑΝΔΡΕΩΣ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΩΝ Ε.

[310]  α. Εὑρεῖν τρεῖς ἀριθμοὺς ἐν τῇ γεωμετρικῇ ἀναλογίᾳ, ὅπως ἕκαστος αὐτῶν λείψας τὸν δοθέντα ἀριθμὸν ποιῇ τετράγωνον.

   Ἔστω ὁ δοθεὶς Μ^ο ιβ.

   Γεωμετρικὴ δή ἐστιν ἀναλογία ὅταν ὁ ὑπὸ τῶν ἄκρων ἀριθμὸς πλευρὰν ἔχῃ τὸν μέσον. ‑ ζητῶ πρότερον τίς ‹τετράγωνος› Μ^ο ιβ ‹ποιεῖ ον›· ἔστιν δὲ τοῦτο ῥᾴδιον καὶ ἔστιν ὁ μβ δ.

   ‹Τάσσω οὖν τὸν αον τῶν ἄκρων Μ^ο μβ δ›, τὸν δὲ β^ον Δ^Υ α· ὁ ἄρα μέσος ἔσται Ϛ Ϛ Ϛ΄.

   λοιπόν ἐστιν ἑκάτερον τῶν λοιπῶν Μ^ο ιβ ποιεῖν ον καὶ ἔστιν

   Δ^Υ α Μ^ο ιβ ἴσ. ῳ καὶ Ϛ Ϛ Ϛ΄ Μ^ο ιβ ἴσ. ῳ. ἡ τούτων ὑπεροχή ἐστιν Δ^Υ α Ϛ Ϛ Ϛ΄· ἡ μέτρησις· [312] μετρεῖ Ϛ α κατὰ Ϛ α Μ^ο Ϛ Ϛ΄. τῆς ὑπεροχῆς τὸ Ϛ΄ ἐφ' ἑαυτό ἐστι Μ^ο ιϚρξθ· ταῦτα ἴσα τῷ ἐλάσσονι, τουτέστιν Ϛ Ϛ Ϛ΄ Μ^ο ιβ. καὶ γί. ‹ὁ Ϛ› ρδτξα.

   ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις. ἔσται ὁ μὲν α^ος Μ^ο μβ δ, ὁ δὲ β^ος ρδϚβτμϚ Ϛ΄, ὁ δὲ γ^ος αωιϚιγτκα.

   β.

   Εὑρεῖν τρεῖς ἀριθμοὺς ἐν τῇ γεωμετρικῇ ἀναλογίᾳ, ὅπως ἕκαστος αὐτῶν προσλαβὼν τὸν δοθέντα ποιῇ τετράγωνον.

   Ἔστω δὴ τὸν κ.

   Πάλιν ζητῶ τίς ος προσλαβὼν Μ^ο κ ποιεῖ ον· ἔστιν δὲ ὁ ιϚ· τάσσω τοίνυν ἕνα τῶν ἄκρων Μ^ο ιϚ, τὸν δὲ ὕστερον τῶν ἄκρων Δ^Υ α· ὁ ἄρα μέσος ἔσται Ϛ δ· καὶ κατὰ τὴν προτέραν λοιπὸν γίνεται ζητεῖν

   Ϛ δ Μ^ο κ ἴσ. ῳ καὶ Δ^Υ α Μ^ο κ ἴσ. ῳ. καὶ ἔστιν αὐτῶν ἡ ὑπεροχὴ Δ^Υ α Ϛ δ· μέτρησις· μετρεῖ ‹Ϛ α κατὰ› Ϛ α Μ^ο δ. τῆς ὑπεροχῆς τὸ Ϛ΄ ἐφ' ἑαυτὸ ποιεῖ Μ^ο δ ἴσας τῷ ἐλάσσονι Ϛ δ Μ^ο κ· ὅπερ ἄτοπον, δεῖ γὰρ τὰς δ Μ^ο μὴ ἐλάσσονας εἶναι Μ^ο κ.

   ἀλλὰ αἱ δ Μ^ο, δ^ον τῶν ιϚ· αἱ δὲ Μ^ο ιϚ οὐκ εἰσὶν αἱ τυχοῦσαι, ἀλλὰ ὁ ος ἐστιν ὁ προσλαβὼν Μ^ο κ καὶ ποιῶν ον· ἀπῆκται οὖν Μ^οι ζητῆσαι τίς ος ἔχει μέρος [314] δ^ον καὶ μεῖζον Μ^ο κ, προσλαβὼν δὲ Μ^ο κ ποιεῖ ον. ὥστε ὁ ος γίνεται μείζων Μ^ο π.

   Ἔστιν δὲ ὁ πα ος μείζων π· ἐὰν ἄρα τὴν τοῦ ζητουμένου ου πλ. κατασκευάσωμεν ἀπὸ Ϛ α Μ^ο θ, αὐτὸς ἄρα ἔσται ὁ ος, Δ^Υ α Ϛ ιη Μ^ο πα· οὗτος μετὰ Μ^ο κ ὀφείλει γενέσθαι ος· ἔστιν ἄρα Δ^Υ α Ϛ ιη Μ^ο ρα ἴσ. ῳ. ἔστω ἀπὸ πλ. Ϛ α Μ^ο ια· ὁ ἄρα ος ἔσται Δ^Υ α Μ^ο ρκα Ϛ κβ· ταῦτα ἴσα Δ^Υ α Ϛ ιη Μ^ο ρα. καὶ γίνεται ὁ Ϛ Μ^ο Ϛ΄. ἦν δὲ ἡ τοῦ ζητουμένου ου πλ. Ϛ α Μ^ο θ· ἔσται ἄρα ὁ ος Μ^ο Ϟ δ.

   Νῦν ἀνατρέχω ἐπὶ τὸ ἐξ ἀρχῆς καὶ τάσσω ἕνα τῶν ἄκρων Μ^ο Ϟ δ, τὸν δὲ γ^ον Δ^Υ α· ὁ ἄρα μέσος ἔσται Ϛ θ Ϛ΄· καὶ ἔρχομαι εἰς τὸ ζητεῖν

   Δ^Υ α Μ^ο κ ἴσ. ῳ καὶ Ϛ θ Ϛ΄ Μ^ο κ ἴσ. ῳ. καὶ ἔστιν ἡ ὑπεροχὴ Δ^Υ α Ϛ θ Ϛ΄· μετρεῖ Ϛ α κατὰ Ϛ α Μ^ο θ Ϛ΄. τῆς ὑπεροχῆς τὸ Ϛ΄ ἐφ' ἑαυτό ἐστι ιϚτξα ἴσα τῷ ἐλάσσονι, τουτέστιν Ϛ θ Ϛ΄ Μ^ο κ· καὶ γίνεται ὁ Ϛ ρνβμα.

   ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις. ἔσται ὁ μὲν α^ος Ϟ δ, ὁ ‹δὲ› β^ος ρνβτπθ Ϛ΄, ὁ ‹δὲ› γ^ος βϚγρδϚαχπα.

[316]    γ.

   Δοθέντι ἀριθμῷ προσθεῖναι τρεῖς ἀριθμοὺς ὅπως ἕκαστός τε αὐτῶν καὶ ὁ ὑπὸ δύο ὁποιωνοῦν προσλαβὼν τὸν δοθέντα ἀριθμὸν ποιῇ τετράγωνον.

   Ἔστω δὴ τὸν ε.

   Καὶ ἐπεὶ ἔχομεν ἐν τοῖς Πορίσμασιν ὅτι 'ἐὰν δύο ἀριθμοὶ ἑκάτερός τε καὶ ὁ ὑπ' αὐτῶν μετὰ τοῦ αὐτοῦ δοθέντος ποιῇ τετράγωνον, γεγόνασιν ἀπὸ δύο τετραγώνων τῶν κατὰ τὸ ἑξῆς', ἐκτίθεμαι οὖν δύο ους τῶν κατὰ τὸ ἑξῆς, ὃν μὲν ἀπὸ Ϛ α Μ^ο γ, ὃν δὲ ἀπὸ Ϛ α Μ^ο δ. καὶ γίνονται οἱ οι, ὃς μὲν Δ^Υ α Ϛ Ϛ Μ^ο θ, ὃς δὲ Δ^Υ α Ϛ η Μ^ο ιϚ. αἴρω ἀπὸ ἑκάστου Μ^ο ε καὶ τάσσω ὃν μὲν Δ^Υ α Ϛ Ϛ Μ^ο δ, ὃν δὲ Δ^Υ α Ϛ η Μ^ο ια, τὸν δὲ γ^ον, συναμφότερον τὸν δὶς παρὰ Μ^ο α, τουτέστιν Δ^Υ δ Ϛ κη Μ^ο κθ.

   λοιπὸν ἄρα καὶ τοῦτον μετὰ Μ^ο ε δεῖ ποιεῖν ον. Δ^Υ ἄρα δ Ϛ κη Μ^ο λδ ἴσ. ῳ τῷ ἀπὸ πλ. Ϛ β Μ^ο Ϛ. καὶ γίνεται ὁ ος Δ^Υ δ Μ^ο λϚ Μ^ο κδ ἴσ. Δ^Υ δ Ϛ κη Μ^ο λδ καὶ γίνεται ὁ Ϛ Μ^ο ἑνὸς κϚου.

[318]    ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις. ἔσται ὁ μὲν α^ος κοϚϚβωξα, ὁ δὲ β^ος χοϚϚζκμε, ὁ δὲ γ^ος χοϚβτλϚ.

   δ.

   Δοθέντι ἀριθμῷ εὑρεῖν τρεῖς ἀριθμοὺς ὅπως ἑκάτερός τε αὐτῶν καὶ ὁ ὑπὸ δύο ὁποιωνοῦν λείψας τὸν δοθέντα ἀριθμὸν ποιῇ τετράγωνον.

   Ἔστω ὁ δοθεὶς Μ^οϚ.

   Πάλιν δὴ ὁμοίως ἐκτίθεμαι δύο ους τοὺς κατὰ τὸ ἑξῆς ὄντας ὃν μὲν Δ^Υ α, ὃν δὲ Δ^Υ α Ϛ β Μ^ο α, καὶ τούτοις προστίθημι τὸν δοθέντα καὶ τάσσω τὸν μὲν αον Δ^Υ α Μ^ο Ϛ, τὸν δὲ β^ον Δ^Υ α Ϛ β Μ^ο ζ, τὸν δὲ γ^ον ὁμοίως τοῦ δὶς συναμφότερον παρὰ Μ^ο α, τουτέστιν Δ^Υ δ Ϛ δ Μ^ο ‹κε. λοιπὸν ἄρα καὶ τοῦτον, Μ^ο Ϛ, ποιεῖν ον. Δ^Υ ἄρα δ Ϛ δ Μ^ο ιθ ἴσ. ῳ τῷ ἀπὸ πλ. Ϛ β Μ^ο Ϛ. καὶ γίνεται ὁ ος Δ^Υ δ Μ^ο λϚ Ϛ κδ ἴσ. Δ^Υ δ Ϛ Ϛ Μ^ο› ιθ. καὶ γίνεται ὁ Ϛ κηιζ.

   ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις. ἔσται ὁ μὲν α^ος ψπδϚδϠϞγ, ὁ δὲ β^ος ψπδϚϚψκθ, ὁ δὲ γ^ος ψπδβϚβχξ.

[320]    ε.

   Εὑρεῖν τρεῖς τετραγώνους ὅπως ὁ ὑπὸ δύο ὁποιωνοῦν, ἐάν τε προσλάβῃ συναμφότερον, ἐάν τε τὸν λοιπόν, ποιῇ τετράγωνον.

   Καὶ ἔχομεν πάλιν ἐν τοῖς Πορίσμασιν ὅτι 'Πᾶσι δύο τετραγώνοις τοῖς κατὰ τὸ ἑξῆς προσευρίσκεται ἕτερος ἀριθμός, ὁ ὢν δὶς συναμφότερος καὶ δυάδι μείζων, ὅστις τὸν ἀριθμὸν μείζονα τριῶν ἀριθμῶν ποιεῖ, ‹ὥστε› τὸν ὑπὸ δύο ὁποιωνοῦν, ἐάν τε προσλάβῃ συναμφότερον, ἐάν τε τὸν λοιπόν, ποιεῖν τετράγωνον'.

   Τάσσομεν οὖν τῶν ἐκκειμένων τριῶν ων, ὃν μὲν Δ^Υ α Ϛ β Μ^ο α, ὃν δὲ Δ^Υ α Ϛ δ Μ^ο δ, τὸν δὲ γ^ον Δ^Υ δ Ϛ ιβ ‹Μ^ο ιβ›.

   λοιπὸν δεῖ κατασκευάσαι τὸν γ^ον τουτέστι Δ^Υ δ Ϛ ιβ ‹Μ^ο ιβ› ἴσ. ῳ. καὶ κοινὸν τὸ δον, γίνεται Δ^Υ α Ϛ γ Μ^ο γ ἴσ. ῳ. πλάσσω τὸν ον ἀπὸ Ϛ α Μ^ο γ· αὐτὸς ἄρα ἔσται ὁ ος Δ^Υ α Μ^ο θ Ϛ Ϛ ἴσ. Δ^Υ α Ϛ γ Μ^ο γ· καὶ γίνεται ὁ Ϛ Μ^ο .

   ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις. ἔσται ὁ μὲν α^ος θκε, ὁ δὲ β^ος θξδ, ὁ δὲ γ^ος θρϞϚ.

[322]    Ϛ.

   Εὑρεῖν τρεῖς ἀριθμοὺς ὅπως ἕκαστος μὲν αὐτῶν λείψας δυάδα ποιῇ τετράγωνον, ὁ δὲ ὑπὸ δύο ὁποιωνοῦν, ἐάν τε λείψῃ συναμφότερον, ἐάν τε τὸν λοιπόν, ποιῇ τετράγωνον.

   Ἐὰν ἑκάστῳ τῶν ἐν τῷ πρὸ τούτου εὑρεθέντων ἀριθμῶν προσθῶ δυάδα, οἱ γενόμενοι ποιοῦσι τὸ προκείμενον· τὸ δὴ λεγόμενον τοιοῦτόν ἐστι.

   Τάσσομεν γὰρ ἕνα τῶν ζητουμένων Δ^Υ α Μ^ο β, τὸν δὲ ἕτερον Δ^Υ α Ϛ β Μ^ο γ, τὸν δὲ γ^ον Δ^Υ δ Ϛ δ Μ^ο Ϛ, καὶ μένει τὰ ἐπιταχθέντα.

   λοιπόν ἐστι Δ^Υ δ Ϛ δ Μ^ο δ ἰσῶσαι ῳ· καὶ τὸ δον, ὥστε καὶ Δ^Υ α Ϛ α Μ^ο α ἴσ. ῳ· καὶ ἐὰν τάξωμεν τὴν πλ. τοῦ ου ἀπὸ διαφορᾶς, ἔστω ἀπὸ Ϛ α Μ^ο β, γίνεται ὁ ος Δ^Υ α Μ^ο δ Ϛ δ ἴσ. Δ^Υ α Ϛ α Μ α. καὶ γίνεται ὁ Ϛ εγ.

   ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις. ἔσται ὁ μὲν α^ος κενθ, ὁ ‹δὲ› β^ος κεριδ, ὁ δὲ γ^ος κεσμϚ, καὶ ἡ ἀπόδειξις φανερά.

   Λῆμμα εἰς τὸ ἑξῆς.

   Εὑρεῖν δύο ἀριθμοὺς ὅπως ὁ ὑπ' αὐτῶν προσλαβὼν τὸν ἀπὸ ἑκάστου αὐτῶν ‹τὸν› τῆς συνθέσεως ποιῇ τετράγωνον.

[324]    Ἔστω ὁ α^ος Ϛ α, ὁ β^ος Μ^ο ὅσων θέλεις· ἔστω Μ^ο α· καὶ γίνεται ὁ μὲν ὑπὸ αὐτῶν Ϛ α· ὁ δὲ ἀπὸ ἑκάστου αὐτῶν ος ποιεῖ Δ^Υ α Μ^ο α· μετὰ τοῦ Ϛ α, γίνεται Δ^Υ α Ϛ α Μ^ο α ἴσ. ῳ· ἔστω δὴ τῷ ἀπὸ πλ. Ϛ α Μ^ο β. γίνεται ὁ ος Δ^Υ α Μ^ο δ Ϛ δ ἴσ. Δ^Υ α, Ϛ α Μ^ο α, καὶ γίνεται ὁ Ϛ εγ.

   ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις. ἔσται ὁ μὲν α^ος γ, ὁ δὲ β^ος ε· καὶ ἀρθέντος τοῦ μορίου, ἔσται ὁ μὲν α^ος γ Μ^ο, ὁ ‹δὲ› β^ος ε, καὶ ποιοῦσι τὸ προκείμενον· τὰ γὰρ ἀπ' αὐτῶν τετράγωνα μετὰ τοῦ ὑπ' αὐτῶν ποιεῖ τετράγωνον, ὁσάκις δὲ ἂν θέλῃς τὸν γ καὶ τὸν ε ποιῆσαι, ποιήσουσιν οἱ γενόμενοι ἀριθμοὶ τὸ ἐπίταγμα.

   Λῆμμα εἰς τὸ ἑξῆς.

   Εὑρεῖν τρία τρίγωνα ὀρθογώνια ἴσα ἔχοντα τὰ ἐμβαδά.

   Πρότερον δεῖ ζητῆσαι δύο ἀριθμοὺς ὅπως τὰ ἀπ' αὐτῶν μετὰ τοῦ ὑπ' αὐτῶν ποιῇ ‹τετράγωνον. τοῦτο δὲ προδέδεικται καί εἰσι γ καὶ ε ὧν τὰ ἀπ' αὐτῶν μετὰ τοῦ ὑπ' αὐτῶν ποιεῖ τετράγωνον› πλευρὰν ἔχοντα τὸν ζ.

   Νῦν τάσσω τρία τρίγωνα ὀρθογώνια ἀπὸ ἀριθμῶν δύο, ἀπό τε τοῦ ζ καὶ τοῦ γ, καὶ πάλιν ἀπὸ τοῦ ζ καὶ τοῦ ε, καὶ ἔτι ἀπὸ τοῦ ζ καὶ τῆς συνθέσεως τῶν εὑρη[54]μένων [326] ἀριθμῶν τοῦ τε γ καὶ τοῦ ε, τουτέστιν η, ἀπὸ ἄρα τοῦ ζ καὶ τοῦ η.

   ἔσται τὰ τρίγωνα·

   μ, μβ, νη, καὶ κδ, ο, οδ, καὶ ιε, ριβ, ριγ, καὶ ἔστιν τὰ τρίγωνα ἴσα ἔχοντα ἐμβαδὰ ἀπὸ Μ^ο ωμ.

   ζ.

   Εὑρεῖν τρεῖς ἀριθμοὺς ὅπως ὁ ἀπὸ ἑκάστου αὐτῶν τετράγωνος, ἐάν τε προσλάβῃ τὸν συγκείμενον ἐκ τῶν τριῶν, ἐάν τε λείψῃ, ποιῇ τετράγωνον.

   Καὶ ἐπεὶ ζητοῦμεν τὸν ἀπὸ τοῦ α^ου ον, ἐάν τε προσλάβῃ τὸν συγκείμενον ἐκ τῶν τριῶν, ἐάν τε λείψῃ, ποιεῖν ον, παντὸς δὲ τριγώνου ὀρθογωνίου ὁ ἀπὸ τῆς ὑποτεινούσης ος, ἐάν τε προσλάβῃ δκις τὸ ἐμβαδόν, ἐάν τε λείψῃ, ποιεῖ ον, οἱ ἄρα τρεῖς ἀριθμοὶ ἔσονται ὀρθογωνίου τριγώνου ὑποτείνουσαι, ὁ δὲ ἐκ τῶν τριῶν συγκείμενος ἔσται τεσσάρων ἐμβαδῶν ‹τῶν› τριγώνων ὧν εἰσιν αἱ ὑποτείνουσαι. ἀπῆκται οὖν Μ^οι ζητῆσαι τρίγωνα τρία ἴσα ‹ἔχοντα› ἐμβαδά. τοῦτο δὲ προδέδεικται καί εἰσιν τὰ τρίγωνα· μ. μβ. νη, καὶ κδ. ο. οδ, καὶ ιε. ριβ. ριγ.

   Νῦν τάσσω, ἐλθὼν ἐπὶ τὸ ἐξ ἀρχῆς, τοὺς τρεῖς ἐν Ϛ τῶν ὑποτεινουσῶν τῶν τριγώνων· καὶ ἔσται ὁ α^ος Ϛ νη, ὁ β^ος Ϛ οδ, ὁ γ^ος Ϛ ριγ· τὸν δὲ συγκείμενον ἐκ τῶν τριῶν ἐν Δ^Υ τοῦ δ^πλ. τοῦ ἐμβαδοῦ.

   Δ^Υ ἄρα Ϛγτξ ἴσαι Ϛ σμε, καὶ γίνεται ὁ Ϛ ϞϚζ.

[328]    ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις. ἔσται ὁ μὲν α^ος υϚ, ὁ δὲ β^ος φιη, ὁ δὲ γ^ος ψϞα.

   Λῆμμα εἰς τὸ ἑξῆς.

   Τριῶν τετραγώνων ἀπὸ δοθέντων δυνατόν ἐστιν εὑρεῖν τρεῖς ἀριθμοὺς ὅπως ὁ ὑπὸ δύο ὁποιωνοῦν ποιῇ τοὺς δοθέντας τετραγώνους ἀριθμούς.

   Ἐὰν γὰρ ὦσιν οἱ δοθέντες τετράγωνοι, ὅ τε δ καὶ ὁ θ καὶ ὁ ιϚ, καὶ τάξωμεν ἕνα τῶν ζητουμένων Ϛ α, ἔσονται τῶν λοιπῶν δύο, ὁ μὲν Ϛ δ, ὁ δὲ Ϛ θ, καὶ λοιπόν ἐστι τὸ ὑπὸ τοῦ β^ου καὶ τοῦ γ^ου ποιεῖν Μ^ο ιϚ.

   ἀλλὰ ὁ ὑπὸ τοῦ β^ου καὶ τοῦ γ^ου ἐστὶ Δ^Υ λϚ ἴσ. ῳ ιϚ· καὶ γίνεται ὁ Ϛ Μ^ο α Ϛ΄. ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις. ἔσται ὁ μὲν α^ος α Ϛ΄, ὁ ‹δὲ› β^ος β Ϛ΄ Ϛ΄, ὁ ‹δὲ› γ^ος Ϛ.

   Ἵνα δὲ καὶ ἐν μεθόδῳ κείμενον ᾖ, εὗρον Δ^Υ λϚ ἴσ. Μ^ο ιϚ καὶ πάντα ἐπὶ Δ^Υ α· γίνονται Δ^Υ ιϚ ἴσαι Μ^ο λϚ, καὶ γίνεται ἡ Δ^Υ ιϚων λϚ οὗ πλευρὰ δων Ϛ· ἀλλὰ τὰ Ϛ, τὰ ὑπὸ τῶν πλ. τοῦ δ καὶ τοῦ θ, τουτέστιν τοῦ β^ου καὶ τοῦ γου, τὸ δὲ μόριον, τουτέστιν τὰ δ, πλευρά ἐστιν τοῦ ιϚ τετραγώνου.

   Ὅταν οὖν σοι προβληθῇ εὑρεῖν τρεῖς ἀριθμοὺς ὅπως ὁ ὑπὸ δύο ὁποιωνοῦν ποιῇ τοὺς δοθέντας τετραγώνους, οἷον τὸν δ καὶ τὸν θ καὶ τὸν ιϚ, ποίει τὸ ὑπὸ τῶν πλ. τοῦ δ καὶ τοῦ θ, γίνεται Ϛ, μέρισον ταῦτα παρὰ τὴν πλ. τοῦ ιϚ ου· [καὶ] γίνεται ὁ α^ος δϚ.

[330]    νῦν πάλιν τὸν δ ον παρὰ τὸν δϚ, γίνονται ‹ϚιϚ, καὶ ἔτι τὸν θ ον παρὰ τὸν δϚ, γίνονται› Μ^ο Ϛ.

   ἔσται ἄρα ὁ α^ος δϚ, ὁ β^ος ϚιϚ, ὁ γ^ος Μ^ο Ϛ.

   η.

   Εὑρεῖν τρεῖς ἀριθμοὺς ὅπως ὁ ὑπὸ δύο ὁποιωνοῦν, ἐάν τε προσλάβῃ τὸν συγκείμενον ἐκ τῶν τριῶν, ἐάν τε λείψῃ, ποιῇ τετράγωνον.

   Πάλιν ζητοῦμεν πρῶτον τρία τρίγωνα ‹ἴσα ἔχοντα τὰ› ἐμβαδά, καὶ εὑρόντες, λαμβάνομεν τοὺς ἀπὸ τῶν ὑποτεινουσῶν τετραγώνους· ἔστιν δὲ ὁ μὲν Ϛγτξδ, ὁ δὲ Ϛευος, ὁ δὲ αϚβψξθ. καὶ ἔχοντες τούτους, εὑρίσκομεν ὡς προγέγραπται τρεῖς ἀριθμοὺς ὅπως ὁ ὑπὸ δύο ὁποιωνοῦν ποιῇ τοὺς δοθέντας ους, ἔστω δὴ τοὺς κειμένους.

   Τούτους δὲ ἐξεθέμεθα, διὰ τὸ ἕκαστον τῶν ων, ἐάν τε προσλάβῃ Μ^ο Ϛγτξ, ἐάν τε λείψῃ, ποιεῖν ον· ἀλλ' αἱ Ϛγτξ Μ^ο ὁ δ^πλ. ἐστὶ τοῦ ἐμβαδοῦ τοῦ ἑκάστου τῶν τριγώνων, καὶ διὰ τοῦτο τοίνυν τάσσω ἐν Ϛ, ὃν μὲν Ϛ ριγϚδσϞβ, ὃν δὲ καὶ †ϚδσϞβδϚγψλβ, ὃν δὲ ϚδσϞβδϚαρπη, καὶ ὁ ὑπὸ δύο αὐτῶν ποιεῖ τοὺς ἐπάνω ους.

[332]    λοιπὸν δεῖ τοὺς τρεῖς ἰσῶσαι Δ^Υ Ϛγτξ, καὶ πάντα, ἵνα ἓν μόριον γένηται, βάλλομεν ‹εἰς› εϚεψϞϚ. καὶ ‹γίνεται ὁ α^ος Ϛ ϚαωμβϚασξδ μορίου εϚεψϞϚ·› ὁ β^ος Ϛ νϚϚηφιϚ μορίου τοῦ αὑτοῦ· ὁ γ^ος Ϛ ϞβϚευμδ μορίου τοῦ αὐτοῦ. καὶ γίνονται οἱ τρεῖς Ϛ ϚαϠϞαϚεσκδ μορίου εϚεψϞϚ ἴσ. Δ^Υ Ϛγτξ. καὶ πάντα εἰς εϚεψϞϚ. καὶ γίνεται Ϛ ϚαϠϞαϚεσκδ ἴσ. Δ^Υ αϚηψμζϚδφξ. καὶ γίνεται ὁ Ϛ ϚαϠϞαϚεσκδ μορίου β΄ ΜΥ α καὶ α΄Ϛηψμζ καὶ Μ^ο Ϛδφξ. μορίου κοινοῦ ληφθέντος τινός, [ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον, πρῶτοι γὰρ πρὸς ἀλλήλους εἰσὶν οἱ ἀριθμοί], ἔσται ὁ Ϛ [Μ^ο ϚαϠϞαϚεσκδ μορίου αϚηψμζϚδφξ]. ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις. ἔσται ὁ μὲν α^ος .....

   θ.

   Τὴν μονάδα διελεῖν εἰς δύο μόρια καὶ προσθεῖναι ἑκατέρῳ τῶν τμημάτων τὸν δοθέντα καὶ ποιεῖν τετράγωνον. ‑ Δεῖ δὴ τὸν διδόμενον μήτε περισσὸν εἶναι, μήτε †τὸν διπλάσιον αὐτοῦ καὶ μονάδι μιᾷ μείζονα [334] μετρεῖσθαι ὑπό του πρώτου ἀριθμοῦ ‹οὗ ὁ μονάδι μιᾷ μείζων› ἔχῃ μέρος τέταρτον .

   Ἐπιτετάχθω δὴ ἑκατέρῳ τῶν τμημάτων προσθεῖναι Μ^ο Ϛ καὶ ποιεῖν ον.

   Ἐπεὶ οὖν θέλομεν τὴν Μ^ο τεμεῖν καὶ ἑκατέρῳ τῶν τμημάτων προσθεῖναι Μ^ο Ϛ καὶ ποιεῖν ον, τὸ ἄρα σύνθεμα τῶν ων ἐστὶν Μ^ο ιγ. δεήσει ἄρα τὸν ιγ διελεῖν εἰς δύο ους ὅπως ἑκάτερος αὐτῶν μείζων ᾖ Μ^ο Ϛ.

   ἐὰν οὖν τὸν ιγ διέλω εἰς δύο ους, ὧν ἡ ὑπεροχὴ ἐλάσσων ἐστὶν Μ^ο α, λύω τὸ ζητούμενον· λαμβάνω τοῦ ιγ τὸ Ϛ΄, γίνεται Ϛ Ϛ΄, καὶ ζητῶ τί μόριον προσθεῖναι Μ^ο Ϛ Ϛ΄ καὶ ποιεῖν ον. καὶ πάντα δκις· ζητῶ ἄρα μόριον τετραγωνικὸν προσθεῖναι ταῖς κϚ Μ^ο, καὶ ποιεῖν ον· ἔστω τὸ προστιθέμενον μόριον Δ^Υ α καὶ γίνονται Μ^ο κϚ Δ^Υ α ἴσ. ῳ.

   καὶ πάντα ἐπὶ Δ^Υ· γίνονται Δ^Υ κϚ Μ^ο α ἴσ. ῳ· ἔστω τῷ ἀπὸ πλ. Ϛ ε Μ^ο α, καὶ γίνεται ὁ Ϛ Μ^ο ι· Δ^Υ ἄρα Μ^ο ρ, τὸ Δ^Υ Μ^ο ρ. ἔσται ἄρα τὸ ταῖς κϚ· προστιθέμενον ρ· τὸ ἄρα ταῖς Μ^ο Ϛ Ϛ΄ καὶ γίνεται υ καὶ ποιεῖ ον τὸν ἀπὸ πλ. κνα.

   Δεῖ οὖν τὸν ιγ διαιρούμενον εἰς δύο ους κατασκευάζειν τὴν ἑκάστου πλ. ὡς ἔγγιστα κνα, καὶ ζητῶ τί ἡ τριὰς λείψασα, προσλαβοῦσα δυὰς ποιεῖ τὸν αὐτόν, τουτέστιν κνα.

[336]    τάσσω οὖν δύο ους, ἕνα μὲν ἀπὸ Ϛ ια Μ^ο β, τὸν δὲ ἕτερον ἀπὸ Μ^ο γ Ϛ θ, καὶ γίνεται ὁ συγκείμενος ἐκ τῶν ἀπ' αὐτῶν ων, Δ^Υ σβ Μ^ο ιγ Ϛ ι ἴσ. Μ^ο ιγ. καὶ γίνεται ὁ Ϛ ραε. ἔσται ἄρα ἑνὸς τῶν ων ἡ πλ. ρασνζ, ἡ δὲ τοῦ ἑτέρου ρασνη.

   καὶ ἐὰν ἀπὸ ἑκατέρου τῶν ἀπ' αὐτῶν ων ἄρωμεν Μ Ϛ, ἔσται τὸ μὲν ἓν τμῆμα τῆς μονάδος Μ^ο ασαϚετνη, τὸ δὲ ἕτερον ασαϚδωμγ, καὶ δῆλον ὡς ἑκάτερον μετὰ Μ^ο Ϛ ποιεῖ ον. ι. Δ ΑΓΒ Ε

   μονάδα τεμεῖν ‹εἰς δύο μόρια› καὶ προσθεῖναι ἑκατέρῳ ἄλλον καὶ ἄλλον δοθέντα ἀριθμὸν καὶ ποιεῖν τετράγωνον.

   Ἐπιτετάχθω δὴ Μ^ο τεμεῖν, καὶ προσθεῖναι ᾧ μὲν Μ^ο β, ᾧ δὲ Μ^ο Ϛ, καὶ ποιεῖν ἑκάτερον ον.

   Ἐκκείσθω μονὰς ἡ ΑΒ, καὶ τετμήσθω κατὰ τὸ Γ, καὶ τῷ μὲν ΑΓ προσκείσθω δυὰς ἡ ΑΔ, τῷ δὲ ΓΒ ἑξὰς ἡ ΒΕ· ἑκάτερος ἄρα τῶν ΓΔ, ΓΕ ἔστιν ος. καὶ ἐπεὶ ὁ μὲν ΑΒ ἔστιν Μ^ο α, συναμφότερος ὁ δὲ ΑΔ, ΒΕ ὀκτάς, ὅλος ἄρα ὁ ΔΕ [ἐπὶ τῆς Μ^ο α] γίνεται Μ^ο θ, καὶ ταύτας χρὴ διελεῖν εἰς δύο ους τοὺς ΓΔ, ΓΕ. [338] ἀλλὰ ἐπεὶ εἷς τῶν ων τοῦ μὲν ΑΔ ἔστιν μείζων, τουτέστιν δυάδος, τοῦ δὲ ΔΒ ἔστιν ἐλάσσων τουτέστιν τριάδος, ἀπῆκταί Μ^οι εἰς τὸ τὸν ἐπιταχθέντα ον, οἱονεὶ τὸν θ, διελεῖν εἰς δύο ους τοὺς ΔΓ, ΓΕ, ὥστε ἕνα τὸν ΓΔ εἶναι ἐν τῷ μεταξὺ τόπῳ τῆς τε δυάδος καὶ τῆς τριάδος. εὑρεθέντος γὰρ τοῦ ΓΔ, δοθεὶς ὧν ὁ ΑΔ ἔστιν δυάς, λοιπὸς ἄρα ὁ ΑΓ δοθείς· ἔστιν δὲ ὁ ΑΒ Μ^ο α, καὶ λοιπὸς ἄρα ὁ ΒΓ ἔστιν δοθείς· δοθὲν ἄρα καὶ τὸ Γ, καθ' ὃ τέμνεται ἡ μονάς.

   Ἡ δὲ ἀγωγὴ ὑπογραφήσεται. ἔστω γὰρ ὁ εἷς τῶν ων, μεταξύ τε δυάδος καὶ τῆς τριάδος, Δ^Υ α· ὁ ἄρα λοιπὸς ἔσται Μ^ο θ Δ^Υ α· ταῦτα ἴσα ῳ.

   καὶ ταῦτα ἴσα ῳ ποιεῖν ῥᾴδιόν ἐστιν, δεῖ δὲ εὑρεῖν Δ^Υ μεταξὺ τοῦ τε β καὶ τοῦ γ. λαμβάνομεν δύο ους, ἕνα μὲν μείζονα τοῦ β, τὸν δὲ ἕτερον ἐλάσσονα τοῦ γ. εἰσὶν δὲ τὰ ρμδσπθ καὶ ρμδτξα· ἐὰν οὖν τὴν Δ^Υ α κατασκευάσωμεν ἐν τῷ μεταξὺ τόπῳ τῶν προειρημένων δύο ων, λύσομεν τὸ ζητούμενον.

   δεῖ οὖν καὶ τὴν πλευρὰν Δ^Υ α, τουτέστιν Ϛ α, μείζονα μὲν εἶναι ιβιζ, ἐλάσσονα δὲ ιβιθ, ὥστε δεῖ, ζητοῦντα Μ^ο θ Δ^Υ α ἴσ. ῳ, εὑρεῖν τὸν Ϛ μείζονα μὲν ιβιζ, ἐλάσσονα δὲ ιβιθ.

[340]    ἐὰν δὲ Μ^ο θ Δ^Υ α ποιῶμεν ἴσας ῳ, πλάσσομεν τὴν τοῦ ου πλ. ἀπὸ Μ^ο γ Ϛ τινος, καὶ εὑρίσκομεν τὸν Ϛ γινόμενον ἔκ τινος ἀριθμοῦ Ϛκις γενομένου καὶ μεριζομένου εἰς τὸν Μ^ο α μείζονα τοῦ ἀπ' αὐτοῦ ου· ἀπῆκται οὖν εἰς τὸ εὑρεῖν τινα ἀριθμὸν ὃς Ϛκις γενόμενος καὶ παραβληθεὶς εἰς τὸν Μ^ο α μείζονα τοῦ ἀπ' αὐτοῦ ου, τὴν παραβολὴν ποιεῖ μείζονα μὲν ιβιζ, ἐλάσσονα δὲ ιβιθ.

   Ἔστω ὁ ζητούμενος Ϛ α καὶ ζητῶ κατὰ τὸν προσδιορισμὸν Ϛ Ϛ ἐν μορίῳ Δ^Υ α Μ^ο α μείζονα μὲν εἶναι ιβιζ, ἐλάσσονα δὲ ιβιθ.

   ἀλλὰ καὶ ὁ ιζ παραβληθεὶς παρὰ τὸν ιβ, τὴν παραβολὴν ποιεῖ Μ^ο ιβιζ, ὥστε δεῖ Ϛ Ϛ πρὸς Δ^Υ α Μ^ο α μείζονα λόγον ἔχειν ἤπερ ιζ πρὸς ιβ. τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν Ϛ ‹Ϛ› καὶ Μ^ο ιβ, τουτέστιν Ϛ οβ ὀφείλουσι μείζονες εἶναι ‹τοῦ ὑπὸ Δ^Υ α Μ^ο α καὶ Μ^ο ιζ, τουτέστι Δ^Υ ιζ Μ^ο ιζ›.

   τῶν Ϛ τὸ Ϛ΄ ἐφ' ἑαυτὸ γίνεται ϚασϞϚ· ὕφελε τὰς Δ^Υ ἐπὶ τὰς Μ^ο, τουτέστιν σπθ, λοιπὸς ἄρα αζ· τούτων πλευρά· οὐ μείζων λα· πρόσθες τὸ Ϛ΄ τῶν Ϛ· γίνεται [342] οὐ μείζων ξζ· παράβαλε παρὰ τὸ πλῆθος τῶν Δ^Υ, γίνεται ὁ Ϛ ‹οὐ μείζων› ιζξζ.

   Καὶ ὁμοίως δεήσει Ϛ Ϛ πρὸς Δ^Υ α Μ^ο α ἐλάσσονα λόγον ἔχειν ‹ἤπερ ιθ πρὸς ιβ›· εὑρήσομεν τὸν Ϛ οὐκ ἐλάσσονα ιθξϚ, ἀλλὰ καὶ οὐ μείζονα ιζξζ.

   ἔστω Μ^ο γ Ϛ΄· πλάσσω οὖν τὴν πλ. τοῦ ον ἀπὸ Μ^ο γ Ϛ γ Ϛ΄· γίνεται ὁ ος Δ^Υ ιβ δ Μ^ο θ Ϛ κα· ταῦτα ἴσα Μ^ο θ Δ^Υ α, ὅθεν ὁ Ϛ νγπδ, ἡ Δ^Υ ϚβωθϚζνϚ. καὶ ἐὰν ἀπὸ τούτου ἀφέλωμεν τὴν δυάδα, ἔσται ἓν τμῆμα τῆς Μ^ο, ϚβωθϚαυλη, ὥστε τὸ ἕτερον ἔσται ϚβωθϚατοα. καὶ μένει τὸ ἐπίταγμα.

   ια.

   μονάδα διελεῖν εἰς τρεῖς ἀριθμοὺς καὶ προσθεῖναι ἑκάστῳ αὐτῶν πρότερον τὸν αὐτὸν δοθέντα ‹καὶ› ποιεῖν ἕκαστον τετράγωνον.

   Δεῖ δὴ τὸν διδόμενον ἀριθμὸν μήτε δυάδα εἶναι μήτε τινὰ τῶν ἀπὸ δυάδος ὀκτάδι παραυξανομένων.

   Ἐπιτετάχθω δὴ τὴν Μ^ο διελεῖν εἰς τρεῖς ἀριθμοὺς καὶ προσθεῖναι ἑκάστῳ Μ^ο γ καὶ ποιεῖν ἕκαστον ον.

[344]    Πάλιν δεῖ τὸν ι διελεῖν εἰς τρεῖς ους ὅπως ἕκαστος αὐτῶν μείζων ᾖ Μ^ο γ. ἐὰν οὖν πάλιν τὸν ι διέλωμεν εἰς τρεῖς ους, τῇ τῆς παρισότητος ἀγωγῇ, ἔσται ἕκαστος αὐτῶν μείζων τριάδος καὶ δυνησόμεθα, ἀφ' ἑκάστου αὐτῶν ἀφελόντες Μ^ο γ, ἔχειν εἰς οὓς ἡ Μ^ο διαιρεῖται.

   λαμβάνομεν ἄρτι τοῦ ι τὸ γ^ον, γί. γ γ, καὶ ζητοῦμεν τί προστιθέντες μόριον τετραγωνικὸν ταῖς Μ^ο γ γ, ποιήσομεν ‹ον›· πάντα θκις. δεῖ καὶ τῷ λ προσθεῖναί τι μόριον τετραγωνικὸν καὶ ποιεῖν τὸν ὅλον ον.

   ἔστω τὸ προστιθέμενον μόριον Δ^Υ α· καὶ πάντα ἐπὶ Δ^Υ· γίνονται Δ^Υ λ Μ^ο α ἴσ. ῳ· τῷ ἀπὸ πλευρᾶς Ϛ ε Μ^ο α· γίνεται ὁ ος Δ^Υ κε Ϛ ι Μ^ο α ἴσ. Δ^Υ λ Μ^ο α· ὅθεν ὁ Ϛ Μ^ο β, ἡ Δ^Υ Μ^ο δ, τὸ Δ^Υ Μ^ο δ Εἰ οὖν ταῖς ‹Μ^ο› λ προστίθεται Μ^ο δ, ταῖς Μ^ο γ γ προστεθήσεται λϚ καὶ γίνεται λϚρκα· δεῖ οὖν τὸν ι διελεῖν εἰς τρεῖς ους ὅπως ἑκάστου ου ἡ πλευρὰ πάρισος ᾖ Μ^ο Ϛια.

   ἀλλὰ καὶ ὁ ι σύγκειται ἐκ δύο ων, τοῦ τε θ καὶ τῆς Μ^ο. διαιροῦμεν τὴν Μ^ο εἰς δύο ους τά τε κεθ καὶ τὰ κειϚ, ὥστε τὸν ι συγκεῖσθαι ἐκ τριῶν ων, ἔκ τε τοῦ θ [346] καὶ τοῦ κειϚ καὶ τοῦ κεθ. δεῖ οὖν ἑκάστην τῶν πλ. τούτων παρασκευάσαι πάρισον Ϛια.

   ἀλλὰ καὶ αἱ πλ. αὐτῶν εἰσιν Μ^ο γ καὶ Μ^ο εδ καὶ Μ^ο εγ· καὶ πάντα λκις. καὶ γίνονται Μ^ο Ϟ καὶ Μ^ο κδ καὶ Μ^ο ιη. τὰ δὲ ια Ϛα γίνονται Μ^ο νε· δεῖ οὖν ἑκάστην πλ. κατασκευάσαι νε.

   πλάσσομεν ἑνὸς πλευρὰν Μ^ο γ Ϛ λε, ἑτέρου δὴ Ϛ λα Μ^ο δ εων, τοῦ δὲ ἑτέρου Ϛ λζ Μ^ο γ ‹εων›. γίνονται οἱ ἀπὸ τῶν εἰρημένων οι, Δ^Υ Ϛγφνε Μ^ο ι Ϛ ριϚ· ταῦτα ἴσα Μ^ο ι. ὅθεν εὑρίσκεται ὁ Ϛ ϚγφνεριϚ.

   ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις· καὶ γίνονται αἱ πλευραὶ τῶν τετραγώνων δοθεῖσαι, ὥστε καὶ αὐτοί. τὰ λοιπὰ δῆλα.

   ιβ.

   μονάδα διελεῖν εἰς τρεῖς ἀριθμοὺς καὶ προσθεῖναι ἑκάστῳ αὐτῶν ἄλλον καὶ ἄλλον δοθέντα καὶ ποιεῖν ἕκαστον τετράγωνον.

   Ἔστωσαν οἱ δοθέντες ὅ τε β καὶ ὁ γ καὶ ὁ δ.

   Καὶ πάλιν ἀπάγεται εἰς τὸ τὸν ι διελεῖν εἰς τρεῖς ους, ὅπως αὐτῶν ὁ μὲν α^ος μείζων ᾖ δυάδος, ὁ δὲ ἕτερος μείζων ᾖ τριάδος, ὁ δὲ γ^ος μείζων ᾖ Μ^ο δ.

   ἐὰν οὖν τεμόντες Μ^ο α δίχα, προσθῶμεν τοῖς δο[0]θεῖσιν [348] ἀνὰ Μ^ο Ϛ΄, γίνεται ἕνα τῶν ων ζητεῖν μείζονα μὲν δυάδος, ἐλάσσονα δὲ Μ^ο β Ϛ΄, τὸν δὲ ἕτερον μείζονα μὲν Μ^ο γ, ἐλάσσονα δὲ ‹Μ^ο› γ Ϛ΄, τὸν δὲ γ^ον μείζονα μὲν Μ^ο δ, ἐλάσσονα δὲ Μ^ο δ Ϛ΄. καὶ ἀπάγεται ἅπαντα εἰς τὸ τὸν ι συγκείμενον ἐκ δύο ων μεταδιελεῖν εἰς ἑτέρους δύο ους ὅπως εἷς αὐτῶν μείζων μὲν ᾖ Μ^ο β, ἐλάσσων δὲ Μ^ο β Ϛ΄. καὶ ἐὰν ἀπὸ τούτου ἀφέλωμεν δυάδα, εὑρήσομεν ἕνα τῶν ἀπὸ τῆς Μ^ο.

   Καὶ πάλιν τὸν ἕτερον τῶν ων μεταδιαιροῦμεν εἰς ἑτέρους δύο ους, ὅπως εἷς μὲν αὐτῶν μείζων ᾖ Μ^ο γ, ἐλάσσων δὲ Μ^ο γ Ϛ΄· καὶ πάλιν ἐὰν ἀπὸ τούτου ἀφέλωμεν Μ^ο γ, εὑρήσομεν ἕνα τῶν ζητουμένων, ὥστε καὶ τὸν γ^ον ὁμοίως εὑρήσομεν.

   ιγ.

   Τὸν ἐπιταχθέντα ἀριθμὸν διελεῖν εἰς τρεῖς ἀριθμοὺς ὅπως σὺν δύο λαμβανόμενοι ποιῶσι τετράγωνον.

   Ἐπιτετάχθω δὴ τὸν ι.

   Καὶ ἐπεὶ ἐν τοῖς ζητουμένοις τρισὶν ἀριθμοῖς ὁ μείζων καὶ ὁ μέσος ποιοῦσι ον, ὁμοίως καὶ ὁ μέσος μετὰ τοῦ γ^ου ποιοῦσι ον, καὶ ὁ γ^ος μετὰ τοῦ α^ου , οἱ ἄρα τρεῖς δὶς γενόμενοι ποιοῦσι τρεῖς ους, ὧν ἕκαστος ἐλάσσων ἐστὶ Μ^ο ι. ἀλλὰ δὶς οἱ τρεῖς ποιοῦσι Μ^ο κ· δεῖ οὖν τὸν κ διελεῖν εἰς τρεῖς ους, ὅπως ἕκαστος ‹ἐλάσσων› ᾖ Μ^ο ι.

   ὁ δὲ κ σύγκειται ἐκ δύο ων, τοῦ τε ιϚ καὶ τοῦ [350] δ· καὶ ἐὰν τάξωμεν ἕνα τῶν ζητουμένων Μ^ο δ, δεήσει τὸν ιϚ διελεῖν εἰς δύο ους, ὅπως ἕκαστος αὐτῶν ἐλάσσων ᾖ Μ^ο ι. ἐμάθομεν δὲ τὸν δοθέντα ον διελεῖν εἰς δύο ους, ὅπως εἷς αὐτῶν μείζων μὲν ᾖ Μ^ο Ϛ, ἐλάσσων δὲ Μ^ο ι.

   ἔστω συναμφότερος Μ^ο ιϚ, ὥστε διῃρήσθω εἰς ους ὅπως ἕκαστος αὐτῶν ἐλάσσων ᾖ Μ^ο ι· καὶ ἐὰν ἕκαστον ἀφέλωμεν ἀπὸ Μ^ο ι, εὑρήσομεν τοὺς λοιποὺς οἳ σὺν δύο λαμβανόμενοι ποιοῦσι τετράγωνον.

   ιδ.

   Δοθέντα ἀριθμὸν εἰς τέσσαρας ἀριθμοὺς διελεῖν, οἳ σὺν τρεῖς λαμβανόμενοι ποιοῦσι τετράγωνον.

   Ἐπιτετάχθω δὴ τὸν ι.

   Ἐπεὶ οὖν οἱ ἀπὸ τοῦ α^ου ‹τρεῖς λαμβανόμενοι› οἱ κατὰ τὸ ἑξῆς ποιοῦσι ον, ἀλλὰ καὶ οἱ ἀπὸ τοῦ β^ου τρεῖς τὸ αὐτὸ ποιοῦσι, καὶ οἱ ἀπὸ τοῦ γ^ου τρεῖς τὸ αὐτὸ ποιοῦσι, καὶ οἱ ἀπὸ τοῦ δ^ου τρεῖς, οἱ ἄρα τέσσαρες τρὶς ποιοῦσι τέσσαρας ους. ἀλλὰ οἱ τέσσαρες τρὶς ποιοῦσι Μ^ο λ· δεήσει ἄρα Μ^ο λ διελεῖν εἰς τέσσαρας ους, ὅπως ἕκαστος ἐλάσσων ᾖ Μ^ο ι· τοῦτο δὲ οὕτως εὑρεθήσεται.

   ἐάν τε διὰ τῆς παρισότητος τάξαντες ἕκαστον αὐτῶν Μ^ο ζ Ϛ΄, καὶ ἕκαστον ον ἀφέλωμεν ἀπὸ Μ^ο ι, εὑρήσομεν τοὺς ζητουμένους· εἰ δὲ μή, ὁρῶ τὸν λ συγκείμενον ἔκ τε τοῦ ιϚ καὶ τοῦ θ καὶ τοῦ δ καὶ τῆς Μ^ο α. [352] θῶμεν τὸν δ καὶ τὸν θ, ἐπειδὴ ἕκαστος αὐτῶν ἐλάσσων ἐστὶν Μ^ο ι· λοιπὸν γίνεται Μ^ο ιζ διελεῖν εἰς δύο ους, ὅπως ἑκάτερος αὐτῶν ἐλάττων ᾖ Μ^ο ι.

   ἐὰν οὖν τὸν ιζ διέλωμεν εἰς δύο ους, ὡς ἐμάθομεν, ὥστε ἕνα αὐτῶν μείζονα εἶναι Μ^ο η Ϛ΄, ἐλάσσονα δὲ Μ^ο ι, ἔσται ἑκάτερος αὐτῶν ἐλάσσων Μ^ο ι, καὶ ἐὰν ἑκάτερον αὐτῶν ἀφέλωμεν ἀπὸ Μ^ο ι, εὑρήσομεν τοὺς λοιποὺς τῶν ζητουμένων, [ὃν μὲν Μ^ο Ϛ, ὃν δὲ Μ^ο α, ὥστε λελύσθαι τὸ ζητούμενον].

   ιε.

   Εὑρεῖν τρεῖς ἀριθμοὺς ὅπως ὁ ἀπὸ τοῦ συγκειμένου ἐκ τῶν τριῶν κύβος προσλαβὼν ἕκαστον ποιῇ κύβον.

   Τετάχθω ὁ συγκείμενος ἐκ τῶν τριῶν Ϛ α, ἕκαστος δὲ τῶν ζητουμένων, ὁ μὲν Κ^Υ ζ, ὁ δὲ Κ^Υ κϚ, ὁ δὲ Κ^Υ ξγ, καὶ μένει· ὁ ἀπὸ τοῦ συγκειμένου ἐκ τῶν τριῶν κύβος προσλαβὼν ἕκαστον αὐτῶν ποιεῖ κύβον· λοιπόν ἐστι τοὺς τρεῖς ἰσῶσαι Ϛ α.

   ἀλλὰ οἱ τρεῖς εἰσιν Κ^Υ ϞϚ· ὥστε Κ^Υ ϞϚ ἴσοι Ϛ α. καὶ πάντα παρὰ Ϛ· Δ^Υ ϞϚ ἴσαι Μ^ο α.

   καὶ ἔστιν ἡ Μ^ο ος· εἰ ἦσαν καὶ αἱ Μ^ο ϞϚ ος, λελυμένον ἂν ἦν τὸ ζητούμενον· ὅθεν ζητῶ πόθεν ἐστὶν ὁ ϞϚ· ἔστιν δὲ τριῶν ἀριθμῶν σύνθεμα ὧν ἕκαστος αὐτῶν μετὰ Μ^ο α ποιεῖ κύβον. ἀπάγεται οὖν εἰς τὸ εὑρεῖν τρεῖς ἀριθμούς, ὅπως ἕκαστος αὐτῶν [354] μετὰ Μ^ο α ποιῇ κύβον, ἔτι δὲ τὸ σύνθεμα τῶν τριῶν ᾖ ος.

   Ἐκκείσθω ἡ μὲν τοῦ α^ου πλ.· Ϛ α Μ^ο α, ἡ δὲ τοῦ β^ου Μ^ο β Ϛ α, ὁ δὲ τοῦ γ^ου Μ^ο β. οἱ κύβοι γίνονται, ὁ μὲν Κ^Υ α Δ^Υ γ Ϛ γ Μ^ο α, ὁ δὲ Δ^Υ Ϛ Μ^ο η Κ^Υ α Ϛ ιβ, ὁ δὲ Μ^ο η. αἴρω ἀπὸ ἑκάστου Μ^ο α, καὶ τάσσω τὸν μὲν αον Κ^Υ α Δ^Υ γ Ϛ γ, τὸν δὲ β^ον Δ^Υ Ϛ Μ^ο ζ Κ^Υ α Ϛ ιβ, τὸν δὲ γ^ον Μ^ο ζ.

   λοιπόν ἐστιν αὐτοὺς συντεθέντας ποιεῖν ον. γί. δὲ Δ^Υ θ Μ^ο ιδ Ϛ θ ἴσ. ῳ τῷ ἀπὸ πλ. Ϛ γ Μ^ο δ, καὶ γίνεται ὁ Ϛ ιεβ.

   ἔσται τῶν ζητουμένων ὁ μὲν ϚγτοεϚαφλη, ὁ δὲ ϚγτοεαϚηφοζ, ὁ δὲ Μ^ο ζ.

   Ἔρχομαι ἐπὶ τὸ ἐξ ἀρχῆς καὶ πάλιν τάσσομεν τοὺς τρεῖς ἀριθμοὺς καὶ τὸν μὲν Κ^ΥϚγτοεϚαφλη, τὸν δὲ Κ^ΥϚγτοεαϚηφοζ, τὸν δὲ Κ^Υ ζ.

   πάλιν τάσσομεν τοὺς τρεῖς Ϛ α, καὶ γίνονται Κ^ΥϚγτοεδϚγψμ ἴσοι Ϛ α. καὶ Πάντων τὸ ιεον. καὶ παρὰ Ϛ· καὶ γίνονται Δ^Υ ϚβϠιϚ ἴσαι Μ^ο σκε. καὶ γίνεται ὁ Ϛ ιε.

   ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις καὶ μένει.

[356] ιϚ.    Εὑρεῖν τρεῖς ἀριθμοὺς ὅπως ὁ ἀπὸ τοῦ συγκειμένου ἐκ τῶν τριῶν κύβος λείψας ἕκαστον ποιῇ κύβον.

   Τετάχθωσαν πάλιν οἱ τρεῖς Ϛ α, καὶ αὐτῶν πάλιν ὁ μὲν Κ^Υηζ, ὁ δὲ Κ^Υ κζκϚ, ὁ δὲ Κ^Υ ξδξγ.

   λοιπόν ἐστι τοὺς τρεῖς ἰσῶσαι Ϛ α· γίνεται κυβικόν τι πλῆθος ἴσον Ϛ α. πάντα παρὰ Ϛ· καὶ γίνεται Δ^Υ τι πλῆθος ἴσον Μ^ο α.

   καὶ ἔστιν ἡ Μ^ο ος· δεήσει ἄρα καὶ τὰς Δ^Υ εἶναι ον. πόθεν ἐστὶν τὸ πλῆθος τῶν Δ^Υ; ἐκ τοῦ ἀπὸ τριάδος ἀφαιρεῖσθαι τρεῖς κύβους ὧν ἕκαστος ἐλάσσων ἐστὶν Μ^ο α· καὶ ἀπάγεται εἰς τὸ εὑρεῖν τρεῖς κύβους, ὅπως ἕκαστος αὐτῶν ἐλάσσων ᾖ Μ^ο α, τὸ δὲ σύνθεμα αὐτῶν ἀρθὲν ἀπὸ τριάδος ποιῇ ον.

   καὶ ἔτι ζητοῦμεν ἕκαστον αὐτῶν κύβ^ον ἐλάσσονα εἶναι Μ^ο α· ἐὰν ἄρα κατασκευάσωμεν τοὺς τρεῖς ἀριθμοὺς ἐλάσσονας Μ^ο α, πολλῷ ἕκαστος αὐτῶν ἐλάσσων Μ^ο α· ὥστε ὀφείλει ὁ καταλειπόμενος ος μείζων εἶναι δυάδος.

   τετάχθω ὁ καταλειπόμενος ος μείζων εἶναι δυάδος· ἔστω Μ^ο β δ. δεῖ οὖν τὰ δγ διελεῖν εἰς ‹τρεῖς› κύβους, καὶ τὰ τούτων πολλαπλάσια κατά τινων κύβων [358] διαιρεθέντων. ἔστω δὴ κατὰ τοῦ σιϚ· ὀφείλομεν οὖν τὸν ρξβ διελεῖν εἰς τρεῖς κύβους.

   σύγκειται δὲ ὁ ρξβ ἔκ τε κύβου τοῦ ρκε καὶ δύο κύβων ὑπεροχῆς τοῦ τε ξδ καὶ τοῦ κζ· ἔχομεν δὲ ἐν τοῖς Πορίσμασιν ὅτι 'πάντων δύο κύβων ἡ ὑπεροχὴ κύβων ‹δύο σύνθεμά ἐστιν›'.

   Ἀνατρέχομεν εἰς τὸ ἐξ ἀρχῆς καὶ τάσσομεν ἕκαστον Κ^Υ τῶν εὑρεθέντων, τοὺς δὲ τρεῖς Ϛ α· καὶ συμβήσεται τὸν ἀπὸ τοῦ συγκειμένου ἐκ τῶν τριῶν κύβ^ον λείψαντα ἕκαστον ποιεῖν κύβον.

   λοιπόν ἐστι τοὺς τρεῖς ἰσῶσαι Ϛ α· γίνονται δὲ οἱ τρεῖς Κ^Υ β δ· ταῦτα ἴσα Ϛ α· ὅθεν γίνεται ὁ Ϛ γων β.

   ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις.

   ιζ.

   Εὑρεῖν τρεῖς ἀριθμοὺς ὅπως ὁ ἀπὸ τοῦ συγκειμένου ἐκ τῶν τριῶν κύβος ἀρθεὶς ἀπὸ ἑκάστου ποιῇ κύβον.

   Τετάχθωσαν πάλιν οἱ τρεῖς Ϛ α, τῶν δὲ τριῶν ὁ μὲν Κ^Υ β, ὁ δὲ Κ^Υ θ, ὁ δὲ Κ^Υ κη. λοιπόν ἐστι τοὺς τρεῖς ἰσῶσαι Ϛ α· ἀλλὰ οἱ τρεῖς εἰσιν Κ^Υ λθ, ὥστε Κ^Υ λθ ἴσ. Ϛ α. καὶ παρὰ Ϛ· ὥστε Δ^Υ λθ ἴσ. Μ^ο α.

[360]    Καὶ εἰ ἦσαν αἱ Δ^Υ λθ ‹ος, λελυμένον ἂν ἦν τὸ ζητούμενον. ἔστι δὲ ὁ λθ› τριῶν κύβων τὸ σύνθεμα μετὰ Μ^ο γ· δεήσει ἄρα εὑρεῖν τρεῖς κύβους, ὧν τὸ σύνθεμα μετὰ Μ^ο γ ποιεῖ ον. τετάχθω οὖν ἡ μὲν τοῦ α^ου κύβου πλ. Ϛ α, ἡ δὲ τοῦ β^ου Μ^ο γ Ϛ α, ἡ δὲ λοιπὴ Μ^ο τινός· ἔστω δὴ Μ^ο α· καὶ γίνεται τὸ σύνθεμα τῶν τριῶν κύβων Δ^Υ θ Μ^ο κη ‹ Ϛ κζ›· ταῦτα μετὰ Μ^ο γ γίνεται Δ^Υ θ Μ^ο λα Ϛ κζ. ‹ἴσ.› ῳ τῷ ἀπὸ πλ. Ϛ γ Μ^ο ζ καὶ γίνεται ὁ Ϛ Μ^ο εϚ· ‹ἔσται ἡ μὲν τοῦ α^ου πλ. Ϛ›, ἡ δὲ τοῦ ἑτέρου θ, ἡ δὲ τοῦ λοιποῦ Μ^ο α.

   Καὶ τῷ ἀπὸ ἑκάστου τούτων κύβῳ προστίθεμαι Μ^ο α καὶ ἔρχομαι ἐπὶ τὸ ἐξ ἀρχῆς. τάσσω ἕκαστον Κ^Υ τοσούτων, ὑποτιθεμένων τῶν τριῶν Ϛ α. λοιπόν ἐστι τοὺς τρεῖς ἰσῶσαι Ϛ α· γίνονται οἱ τρεῖς Κ^Υ κεσπθ· ταῦτα ἴσα Ϛ α, καὶ γίνεται ὁ Ϛ ιζε.

   ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις.

   ιη.

   Εὑρεῖν τρεῖς ἀριθμοὺς ἴσους ‹τετραγώνῳ› ὅπως ὁ ἀπὸ τοῦ συγκειμένου ἐκ τῶν τριῶν κύβος προσλαβὼν ἕκαστον ποιῇ τετράγωνον.

   Τετάχθω ὁ συγκείμενος ἐκ τῶν τριῶν, ἵνα ᾖ ος, Δ^Υ α, καὶ τῶν ζητουμένων, ὁ μὲν Κ^Υ Κ γ, ὁ δὲ Κ^Υ Κ η, [362] ὁ δὲ Κ^Υ Κ ιε. καὶ συμβαίνει τὸν ἀπὸ τοῦ συγκειμένου ἐκ τῶν τριῶν κύβον, προσλαβόντα ἕκαστον, ποιεῖν ον. λοιπόν ἐστι τοὺς τρεῖς ἰσῶσαι Δ^Υ α. ἀλλὰ οἱ τρεῖς εἰσιν Κ^Υ Κ κϚ· ταῦτα ἴσα Δ^Υ α. καὶ πάντα παρὰ Δ^Υ α· γίνονται Δ^Υ Δ κϚ ἴσαι Μ^ο α.

   Καὶ ἔστιν ἡ Μ^ο α ος πλευρὰν ἔχων ον, ὥστε ἄρα καὶ Δ^Υ Δ κϚ δεήσει εἶναι ον πλευρὰν ἔχοντα ον· γέγονε δὲ τὸ εἰρημένον πλῆθος τῶν Δ^Υ Δ ἔκ τινων τριῶν ἀριθμῶν ὧν ἕκαστος μετὰ Μ^ο α ποιεῖ ον. ‹ἀπῆκται οὖν εἰς τὸ εὑρεῖν τρεῖς ἀριθμούς, ὅπως ἕκαστος μετὰ Μ^ο α ποιῇ ον›, ἔτι δὲ ὁ συγκείμενος ἐκ τῶν τριῶν ᾖ ος πλευρὰν ἔχων ον.

   Τετάχθω εἷς τῶν ζητουμένων Δ^Υ Δ α Δ^Υ β, ὁ δὲ ἕτερος Δ^Υ α Ϛ β, ὁ δὲ λοιπὸς Δ^Υ α Ϛ β, καὶ μένει ἕκαστος αὐτῶν μετὰ Μ^ο α ποιῶν ον, ἔτι δὲ οἱ τρεῖς συντεθέντες ποιοῦσι ον ‹πλευρὰν ἔχοντα ον›, καὶ ἐν ἀορίστοις Ϛ λέλυται τὸ ζητούμενον.

   ὑποκείσθω οὖν ὁ Ϛ Μ^ο γ· ἔσται ἄρα εἷς τῶν ζητουμένων Μ^ο ξγ, ὁ δὲ β^ος Μ^ο ιε, ὁ δὲ γ^ος Μ^ο γ.

   Ἀνατρέχομεν ἐπὶ τὸ ἐξ ἀρχῆς καὶ τάσσομεν πάλιν τοὺς τρεῖς Δ^Υ α, τῶν δὲ ζητουμένων ὃν μὲν Κ^Υ Κ ξγ, ὃν δὲ Κ^Υ Κ ιε, ὃν δὲ Κ^Υ Κ γ. λοιπόν ἐστι τοὺς τρεῖς ἰσῶσαι Δ^Υ α καὶ γίνονται Κ^Υ Κ πα ἴσοι Δ^Υ α. καὶ γίνεται ὁ Ϛ γ.

   τὰ λοιπὰ δῆλα.

[364]ιθ.    Εὑρεῖν τρεῖς ἀριθμοὺς ἴσους τετραγώνῳ, ὅπως ὁ ἀπὸ τοῦ συγκειμένου ἐκ τῶν τριῶν κύβος λείψας ἕκαστον αὐτῶν ποιῇ τετράγωνον. ..................

   καὶ γίνεται ἡμῖν πάλιν τὸν β διελεῖν ὡς καὶ πρότερον καὶ ἔστιν ὁ ἀπὸ τοῦ β ἀριθμοῦ κύβος Μ^ο η. δεῖ οὖν ἀπὸ Μ η ἀφελεῖν ἕκαστον καὶ ποιεῖν ον. δεήσει οὖν τὸν κβ διελεῖν εἰς τρεῖς ους, ὅπως ἕκαστος αὐτῶν μείζων ᾖ Μ^ο Ϛ. καὶ ἐὰν ἀπὸ Μ^ο η ἄρωμεν ἕκαστον τούτων, εὑρήσομεν τοὺς ζητουμένους ἀριθμοὺς τρεῖς. τοῦτο δὲ προεδείχθη, πῶς δεῖ τὸν κβ διελεῖν εἰς τρεῖς ους, ὅπως ἕκαστος αὐτῶν μείζων ᾖ Μ^ο Ϛ.

   κ.

   Τὸ δοθὲν μόριον διελεῖν εἰς τρία μόρια, ὅπως ἕκαστον αὐτῶν, λεῖψαν τὸν ἀπὸ τοῦ συγκειμένου ἐκ τῶν τριῶν κύβον, ποιῇ τετράγωνον.

   Ἔστω τὸ δοθὲν μόριον Μ^ο δ καὶ δέον ἔστω τὸ δ διελεῖν εἰς τρία μόρια καθὼς ἐπετάχθη. [366] ὥστε δεήσει ἕκαστον αὐτῶν Μ^ο ξδ ποιεῖν ον. οἱ ἄρα τρεῖς Μ^ο ξδγ ποιοῦσι τρεῖς ους, καὶ ἐὰν ἑκάστῳ τῶν ων προσθῶμεν ξδ, εὑρήσομεν ἕκαστον τῶν ζητουμένων.

   Τοῦτο δὲ ῥᾴδιον· ἔρχεται δὴ τὰ ξδιγ διελεῖν εἰς τρεῖς ους, ὅπερ ἐστὶ ῥᾴδιον.

   κα.

   Εὑρεῖν τρεῖς τετραγώνους ὅπως ὁ ἐκ τῶν τριῶν στερεὸς προσλαβὼν ἕκαστον ποιῇ τετράγωνον.

   Τετάχθω ὁ ἐκ τῶν τριῶν στερεὸς Δ^Υ α, καὶ ζητοῦμεν τρεῖς ους ὅπως ἕκαστος αὐτῶν μετὰ Μ^ο α ποιῇ ον.

   Τοῦτο δὲ ἀπὸ παντὸς ὀρθογωνίου τριγώνου· ἐκτίθεμαι τὰ τρία τρίγωνα ὀρθογώνια καὶ λαβὼν τὸν ἀπὸ μιᾶς τῶν ὀρθῶν, μερίζω ‹εἰς› τὸν ἀπὸ τῆς λοιπῆς τῶν ὀρθῶν. καὶ εὑρήσομεν τοὺς ους, ἕνα μὲν Δ^Υ ιϚθ, τὸν δὲ ἕτερον Δ^Υ ρμδκε, τὸν δὲ γ^ον Δ^Υ σκεξδ. καὶ μένει ἕκαστος αὐτῶν μετὰ Δ^Υ α ποιῶν ον.

[368]    λοιπόν ἐστι τὸν ἐκ τῶν τριῶν στερεὸν ἰσῶσαι Δ^Υ α· γίνεται δὲ ὁ ἐκ τῶν τριῶν στερεὸς Κ^ΥΚ ναϚηυαϚδυ· ἴσα Δ^Υ α. καὶ πάντα [εἰς τὸ αὐτὸ μόριον καὶ] παρὰ Δ^Υ· γίνεται Δ^ΥΔ ναϚηυαϚου ἴσ. Μ^ο α. καὶ ἡ πλευρὰ τῇ πλευρᾷ· γίνεται Δ^Υ ψκρκ ἴσ. Μ^ο α.

   καὶ ἔστιν ἡ Μ^ο ος. εἰ ἦν ος καὶ τὰ Δ^Υ ψκρκ, λελυμένον ἂν ἦν τὸ ζητούμενον· οὐκ ἔστιν δέ. ἀπάγεται οὖν εἰς τὸ εὑρεῖν τρία τρίγωνα ὀρθογώνια, ὅπως ὁ ἐκ τῶν τριῶν καθέτων αὐτῶν στερεὸς πολλαπλασιασθεὶς ἐπὶ τὸν ἐκ τῶν βάσεων αὐτῶν στερεὸν ποιῇ ον.

   πλευρὰν ἐχέτω τὸν ὑπὸ τῶν περὶ τὴν ὀρθὴν ἑνὸς τῶν ὀρθογωνίων. καὶ ἐὰν πάντα παραβάλωμεν παρὰ τὸν ὑπὸ τῶν περὶ τὴν ὀρθὴν τοῦ εἰρημένου ὀρθογωνίου, γενήσεται ὁ ὑπὸ τῶν περὶ τὴν ὀρθὴν τοῦ ἑνὸς τριγώνου ἐπὶ τὸν ‹ὑπὸ τῶν› περὶ τὴν ὀρθὴν τοῦ ἑτέρου τῶν τριγώνων.

   καὶ ἐὰν τάξωμεν ἓν αὐτῶν γ. δ. ε, καὶ ἀπάγεται εἰς τὸ εὑρεῖν δύο τρίγωνα ὀρθογώνια ὅπως ὁ ὑπὸ τῶν περὶ τὴν ὀρθὴν τοῦ ὑπὸ τῶν περὶ τὴν ὀρθὴν ᾖ ιβπλ.. ὥστε καὶ ἐμβαδὸν ἐμβαδοῦ ιβπλ.· εἰ δὲ ιβπλ., καὶ γ^πλ..

   τοῦτο δὲ ῥᾴδιον καὶ ἔστιν ὅΜ^οιον ‹τὸ μὲν› τῷ θ. μ. μα, τὸ δὲ ἕτερον η. ιε. ιζ. ἔχοντες οὖν τὰ τρία [370] τρίγωνα ὀρθογώνια ἐρχόμεθα εἰς τὸ ἐξ ἀρχῆς, τάσσομεν τῶν ζητουμένων τριῶν ων, ὃν μὲν ιϚθ, ὃν δὲ ξδσκε, ὃν δὲ Ϛαχπα. καὶ ἐὰν τὸν ἐκ τῶνδε στερεὸν ἰσώσωμεν Δ^Υ α, γενήσεται ὁ Ϛ ῥητός. ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις.

   κβ.

   Εὑρεῖν τρεῖς τετραγώνους ὅπως ὁ ἐκ τούτων στερεὸς λείψας ἕκαστον αὐτῶν ποιῇ τετράγωνον.

   Τετάχθω ὁ ἐξ αὐτῶν στερεὸς Δ^Υ α, καὶ πάλιν οἱ ζητούμενοι τρεῖς οι ἀπὸ τῶν ὀρθογωνίων τριγώνων, ἑνὸς μὲν κειϚ, τοῦ δὲ ἑτέρου ρξθκε, τοῦ δὲ σπθξδ. τάσω αὐτοὺς ἐν Δ^Υ, καὶ μένει ἡ Δ^Υ α λείψασα ἕκαστον αὐτῶν ποιοῦσα ον. λοιπόν ἐστι τὸν ἐκ τῶν τριῶν στερεὸν ἰσῶσαι Δ^Υ α· καὶ ἔστιν ὁ ἐκ τῶν τριῶν στερεὸς Κ^Υ Κ βϚεχ ἐν μορίῳ ρκβϚακε· ταῦτα ἴσα Δ^Υ α. καὶ πάντα παρὰ Δ^Υ α· γίνεται Δ^ΥΔ βϚεχ ἐν μορίῳ ρκβϚακε ἴσ. Μ^ο α.

   Καὶ ἔστιν ἡ Μ^ο ος πλευρὰν ἔχουσα ον· δεήσει ἄρα καὶ Δ^ΥΔ βϚεχ ἐν μορίῳ ρκβϚακε εἶναι ον ‹πλευρὰν ἔχοντα ον›. καὶ πάλιν ἀπάγεται εἰς τὸ εὑρεῖν τὰ τρία τρίγωνα ὀρθογώνια ὧν ὁ ἐκ τῶν καθ[48]έτων [372] στερεὸς πολλαπλασιασθεὶς ἐπὶ τὸν ἐκ τῶν ὑποτεινουσῶν στερεὸν ποιεῖ ον.

   Καὶ ἐὰν πάντα παραβάλωμεν παρὰ τὸν τῆς ὑποτεινούσης καὶ καθέτου ἑνὸς τῶν ὀρθογωνίων, δεήσει τὸν ὑποτεινούσης καὶ καθέτου τοῦ ὑποτεινούσης καὶ καθέτου πολλαπλάσιον εἶναι κατὰ τὸν ὑποτεινούσης καὶ καθέτου ὀρθογωνίου τινός. ἔστω τὸ ἓν τῶν ὀρθογώνιον γ. δ. ε. ἀπάγεται οὖν εἰς τὸ εὑρεῖν δύο τρίγωνα ὀρθογώνια, ὅπως ὁ ὑποτεινούσης καὶ καθέτου τοῦ ὑποτεινούσης καὶ καθέτου ᾖ κπλ.

   Εἰ δὲ κπλ., καὶ ε^πλ.· καὶ ἔστιν ῥᾴδιον ‹ἐπὶ τῶν ἐμβαδῶν› καὶ ἔστιν τὸ μὲν μεῖζον ε. ιβ. ιγ, τὸ δὲ ἔλαττον γ. δ. ε· ζητητέον οὖν ἀπὸ τούτων ἕτερα δύο, ὅπως ὁ ὑποτεινούσης καὶ καθέτου ᾖ ‹τοῦ μὲν› Μ^ο Ϛ, ‹τοῦ δὲ Μ^ο λ›. ἔστιν δὲ τοῦ μὲν μείζονος ἡ ὑποτείνουσα Μ^ο Ϛ Ϛ΄, ἡ δὲ κάθετος ιγξ. τοῦ δὲ ἐλάσσονος ὁ μὲν ἐν τῇ ὑποτεινούσῃ Μ^ο β Ϛ΄, ὁ δ' ἐν τῇ περὶ τὴν ὀρθὴν γωνίαν, ειβ. [374] καὶ λαβόντες τὰ ἐλάχιστα τῶν ὁμοίων, ἀνατρέχομεν εἰς τὸ ἐξ ἀρχῆς, καὶ τάσσομεν τὸν ἐκ τῶν τριῶν στερεὸν Δ^Υ α, αὐτῶν δὲ τῶν ων, ὃν μὲν Δ^Υ κειϚ, ὃν δὲ Δ^Υ χκεφοϚ, ὃν δὲ Δ^Υ αϚδυ ἐν μορίῳ βϚηφξα.

   λοιπόν ἐστι τὸν ἐκ τῶν τριῶν στερεὸν ἰσῶσαι Δ^Υ α καὶ πάντα παρὰ ΔΨ. καὶ ἡ πλ. τῇ πλ. καὶ εὑρίσκεται ὁ Ϛ μηξε. ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις.

   κγ.

   Εὑρεῖν τρεῖς τετραγώνους ὅπως ὁ ἐξ αὐτῶν λειφθεὶς ἀπὸ ἑκάστου αὐτῶν ποιῇ τετράγωνον.

   Τετάχθω πάλιν ὁ ἐξ αὐτῶν στερεὸς Δ^Υ α, αὐτοὶ δ' ἀφ' οἱωνδήποτε τριῶν ὀρθογωνίων· καὶ πάλιν ἀπάγεται καὶ ἐνταῦθα εἰς τὰ ζητούμενα ἐν τῇ πρὸ ταύτης προτάσει.

   εἰ χρώμεθα οὖν καὶ ἐν ταύτῃ τοῖς αὐτοῖς ὀρθογωνίοις, καὶ τάσσομεν τῶν ζητουμένων ων ὃν μὲν Δ^Υ ιϚκε, ὃν δὲ Δ^Υ φοϚχκε, ὃν δὲ Δ^Υ αϚδυβϚηφξα· καὶ πάλιν μένει ὁ ἐκ τῶν τριῶν στερεὸς ἀρθεὶς ἀπὸ ἑκάστου ποιῶν ον.

   λοιπόν ἐστι καὶ τὸν ὑπ' αὐτῶν στερεὸν ἰσῶσαι Δ^Υ α, ὅθεν εὑρίσκεται ὁ Ϛ ξεμη.

   καὶ μένει.

[376]    κδ.

   Εὑρεῖν τρεῖς τετραγώνους ὅπως ὁ ὑπὸ δύο ὁποιωνοῦν προσλαβὼν μονάδα μίαν ποιῇ τετράγωνον.

   Καὶ ἐπεὶ ζητῶ τὸν ὑπὸα^ου καὶ β^ου μετὰ Μ^ο α ποιεῖν ον, πάντα ἐπὶ τὸν γ^ον ὄντα ον· ὥστε δεήσει τὸν ὑπὸα^ου καὶ β^ου ‹ἐπὶ τὸν γον›, τουτέστι τὸν ἐκ τῶν τριῶν στερεόν, μετὰ τοῦ γου, ποιεῖν ‹ον›, ὡς καὶ μετὰ τοῦ α^ου καὶ ‹τοῦ› βου. τοῦτο γὰρ προεδείξαμεν· ὥστε ἐκεῖνοι οἱ ἀριθμοὶ ποιοῦσι καὶ τοῦτο τὸ ζήτημα.

   κε.

   Εὑρεῖν τρεῖς τετραγώνους ὅπως ὁ ὑπὸ δύο ὁποιωνοῦν λείψας μονάδα μίαν ποιῇ τετράγωνον.

   πάντα ἐπὶ τὸν γον· ὥστε τὸ ὑπὸα^ου καὶ β^ου ἐπὶ τὸν γ^ον, τουτέστιν ὁ ἐκ τῶν τριῶν στερεός, λείψας τὸν γ^ον, ποιεῖ ον· ὥστε καὶ ἑκάτερον τόν τε αον καὶ τὸν β^ον λείψας ὁ ἐκ τῶν τριῶν στερεὸς ποιεῖ ον. τοῦτο δὲ προδέδεικται· ἐκεῖνοι οὖν οἱ ἀριθμοὶ ποιοῦσι καὶ τοῦτο.

   κϚ.

   Εὑρεῖν τρεῖς τετραγώνους ὅπως ὁ ὑπὸ δύο ὁποιωνοῦν ἀφαιρεθεὶς ἀπὸ μονάδος μιᾶς ποιῇ τετράγωνον.

   Πάλιν, ζητοῦντες τὸν ὑπὸ δύο ὁποιωνοῦν ἀρθέντα ἀπὸ Μ^ο α ποιεῖν ον, ἐὰν πάντα ποιήσωμεν ἐπὶ τὸν γ^ον, πάλιν ἀπάγεται εἰς τὸ εὑρεῖν τρεῖς ἀριθμούς, ὅπως ὁ [378] ἐξ αὐτῶν στερεὸς ἀρθεὶς ἀπὸ ἑκάστου ποιῇ ον. τοῦτο δὲ προεδείξαμεν.

   κζ.

   Δοθέντι ἀριθμῷ προσευρεῖν τρεῖς τετραγώνους, ὅπως σὺν δύο λαμβανόμενοι οἱ τετράγωνοι καὶ προσλαβόντες τὸν δοθέντα ἀριθμὸν ποιῶσι τετράγωνον.

   Ἔστω ὁ δοθεὶς Μ^ο ιε.

   Καὶ ἔστω εἷς τῶν ζητουμένων Μ^ο θ. ζητητέον οὖν ἑτέρους δύο, ὅπως ἑκάτερος μὲν αὐτῶν μετὰ Μ^ο κδ ποιῇ ον, συναμφότερος δὲ μετὰ Μ^ο ιε ποιῇ ον.

   δεῖ οὖν ζητεῖν δύο ους ὅπως ἑκάτερος αὐτῶν μετὰ Μ^ο κδ ποιῇ ον. λαμβάνομεν τοὺς μετροῦντας Μ^ο κδ καὶ τριγώνου ὀρθογωνίου πλ. τὰς περὶ τὴν ὀρθήν.

   ‹ἔστω κατὰ Ϛδ ὁ ἀντικείμενος Ϛ Ϛ· συναμφοτέρου τὸ Ϛ΄ γίνεται Ϛβ καὶ Ϛ γ· πάλιν› ἔστω κατὰ Ϛ γ ὁ ἀντικείμενος Ϛ η· συναμφοτέρου τὸ Ϛ΄ γίνεται Ϛ α Ϛ΄ καὶ Ϛ δ.

   ἔστω ἡ τοῦ ἑνὸς πλευρὰ ἀπὸ διαφορᾶς Ϛ β καὶ Ϛ γ, ‹ἡ δὲ τοῦ ἑτέρου ἀπὸ διαφορᾶς Ϛ α Ϛ΄ καὶ Ϛ δ›. καὶ μένει ἑκάτερος αὐτῶν μετὰ Μ^ο κδ ποιῶν ον. [380] λοιπόν ἐστι καὶ συναμφότερον μετὰ Μ^ο ιε ποιεῖν ον. γίνεται δὲ Δ^Υ Ϛ δ Δ^Υ κε Μ^ο θ ἴσ. ῳ ἴσ. Δ^Υ κε. καὶ γίνεται ὁ Ϛ Μ^ο Ϛων ε.

   ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις.

   κη.

   Δοθέντι ἀριθμῷ προσευρεῖν τρεῖς τετραγώνους, ὅπως σὺν δύο λαμβανόμενοι καὶ λείψαντες τὸν δοθέντα ποιῶσι τετράγωνον.

   Ἔστω ὁ δοθεὶς Μ^ο ιγ.

   Τετάχθω πάλιν εἷς τῶν ζητουμένων ων Μ^ο κε· ‹ζητητέον οὖν ἑτέρους δύο, ὅπως› ἑκάτερος μὲν αὐτῶν μετὰ Μ^ο ιβ ποιῇ ον, συναμφότερος δὲ Μ^ο ιγ ποιῇ ον.

   πάλιν λαμβάνομεν τὴν μέτρησιν κατὰ Ϛ γ καὶ Ϛ δ. γίνεται ἡ μὲν τοῦ α^ου πλ. ἀπὸ διαφορᾶς Ϛ α Ϛ΄ καὶ Ϛ β, ἡ δὲ τοῦ ἑτέρου ἀπὸ διαφορᾶς Ϛ β καὶ Ϛ α Ϛ΄. καὶ μένει ὁ ἀπὸ ἑκατέρου ος μετὰ Μ^ο ιβ ποιῶν ον.

   λοιπόν ἐστι συναμφότερον Μ^ο ιγ ποιεῖν ον· γίνεται δὲ Δ^Υ Ϛ Δ^Υ Ϛ δ Μ^ο κε ἴσ. ῳ· ἔστω ἴσ. Δ^Υ Ϛ δ, καὶ γίνεται ὁ Ϛ Μ^ο β.

   ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις.

   κθ.

   Εὑρεῖν τρεῖς τετραγώνους, ὅπως ὁ συγκείμενος ἐκ τῶν ἀπ' αὐτῶν τετραγώνων ποιῇ τετράγωνον.

[382]    Τετάχθω δὴ τῶν ζητουμένων ὁ μὲν Δ^Υ α, ὁ δὲ Μ^ο δ, ὁ δὲ Μ^ο θ, καὶ γίνεται ὁ συγκείμενος ἐκ τῶν ἀπ' αὐτῶν ων, Δ^Υ Δ α Μ^ο Ϟζ ἴσ. ῳ· τῷ ἀπὸ πλ. Δ^Υ α Μ^ο ι· καὶ γίνονται λοιπαὶ Δ^Υ κ ἴσαι Μ^ο γ.

   Καὶ εἰ ἦν ἑκάτερος ος, λελυμένον ἂν ἦν τὸ ζητούμενον· καὶ ἀπάγεται εἰς τὸ εὑρεῖν δύο ους καὶ ἀριθμόν τινα ‹ὅπως› ὁ ἀπ' αὐτοῦ ος λείψας τοὺς ἀπὸ τῶν ζητουμένων ους ποιῇ ‹ἀριθμόν› τινα, ὃς πρὸς τὸν διπλάσιον τοῦ ἐξ ἀρχῆς ἀριθμοῦ λόγον ἔχει ὃν ος ἀριθμὸς πρὸς ον ἀριθμόν.

   Τετάχθωσαν οἱ ζητούμενοι οι, ὃς μὲν Δ^Υ α, ὃς δὲ Μ^ο δ, ‹ὁ δὲ τυχὼν ἀριθμὸς Δ^Υ α Μ^ο δ›· καὶ ‹ὁ› ἀπὸ τούτου ος, ἐὰν λείψῃ τοὺς ἀπ' αὐτῶν ους, καταλείπει Δ^Υ η. θέλομεν ταῦτα πρὸς τὸν δὶς Δ^Υ α Μ^ο δ, τουτέστιν πρὸς Δ^Υ β Μ^ο η, λόγον ἔχειν ὃν ος πρὸς ον. καὶ πάντων τὸ Ϛ΄, ὥστε καὶ Δ^Υ δ πρὸς Δ^Υ α Μ^ο δ λόγον ἔχειν ὃν ος ἀριθμὸς πρὸς ον.

   Καί εἰσιν αἱ Δ^Υ δ ος, ὥστε καὶ Δ^Υ α Μ^ο δ ἴσ. ῳ· τῷ ἀπὸ πλ. Ϛ α Μ^ο α· ὅθεν ὁ Ϛ Μ^ο α Ϛ΄. ἔσται τῶν ζητουμένων ων, ὁ μὲν Μ^ο β δ, ὁ δὲ Μ^ο δ, ὁ δὲ τυχὼν Μ^ο Ϛ δ. καὶ πάντα δκις· γίνεται ὁ μὲν Μ^ο θ, ὁ δὲ Μ^ο ιϚ, ὁ δὲ τυχὼν Μ^ο κε.

   Ἀνατρέχομεν ἐπὶ τὸ ἐξ ἀρχῆς καὶ τάσσομεν τῶν τριῶν ων, ὃν μὲν Δ^Υ α, ὃν δὲ Μ^ο θ, ὃν δὲ Μ^ο ιϚ. καὶ [384] γίνεται ὁ συγκείμενος ἐκ τῶν ἀπ' αὐτῶν ων Δ^Υ Δ α Μ^ο τλζ· ταῦτα [τὰ] ἴσα ῳ τῷ ἀπὸ πλ. Δ^Υ α Μ^ο κε. ὅθεν ὁ Ϛ Μ^ο ειβ.

   τὰ λοιπὰ δῆλα.

   λ.

      Ὀκταδράχμους καὶ πενταδράχμους χοέας τις ἔμιξε

      τοῖς ὁμοπλοῖσι ποιεῖν χρήστ' ἐπιταττόμενος,

      καὶ τιμὴν ἀπέδωκεν ὑπὲρ πάντων τετράγωνον,

      τὰς ἐπιταχθείσας δεξάμενον μονάδας

      καὶ ποιοῦντα πάλιν ἕτερόν σε φέρειν τετράγωνον

      κτησάμενον πλευρὰν σύνθεμα τῶν χοέων·

      ὥστε διάστειλον τοὺς ὀκταδράχμους πόσοι ἦσαν,

      καὶ πάλι τοὺς ἑτέρους, παῖ, λέγε πενταδράχμους.

   Τὸ σημαινόμενον διὰ τοῦ ἐπιγράμματός ἐστι τοιοῦτον.

   Ἠγόρασέν τις δύο ἑνῆ οἴνου, ἐκ μὲν τοῦ ἑνὸς τὸν χοέα δραχμῶν η, ἐκ δὲ τοῦ ἑνὸς τὸν χοέα δραχμῶν ε, καὶ ἀπέδωκεν ὑπὲρ πάντων τιμὴν τετράγωνον ἀριθμόν, ὃς πρὸς Μ^ο ξ ἐποίει τετράγωνον πλευρὰν ἔχοντα τὸ πλῆθος τῶν χοέων· διάστειλον τοὺς ὀκταδράχμους καὶ πενταδράχμους.

   Ἔστω τὸ πλῆθος τῶν· χοέων Ϛ α, ὥστε ἡ τιμὴ γενήσεται Δ^Υ α Μ^ο ξ. λοιπὸν δεῖ Δ^Υ α Μ^ο ξ ποιεῖν ἴσ. ῳ καὶ δεῖ τάσσειν τὴν τοῦ ου πλ. ἀπὸ Ϛ α λείψαντος Μ^ο ὁσανδήποτε.    ἀλλὰ ἐπεὶ ἡ Δ^Υ α Μ^ο ξ σύγκειται ἐκ δύο τινῶν ἀριθμῶν, τῆς τιμῆς τῶν ὀκταδράχμων καὶ τῆς τιμῆς [386] τῶν πενταδράχμων, ‹καὶ τὸ εον τῆς τιμῆς τῶν πενταδράχμων› ποιεῖ τὸ πλῆθος ‹τῶν› πενταδράχμων, τὸ δὲ ηον τῆς τιμῆς τῶν ὀκταδράχμων ποιεῖ τὸ πλῆθος τῶν ὀκταδράχμων, καὶ ἐπεὶ τὸ πλῆθος τῶν χοέων συντεθέντα ποιεῖ Ϛ α, γέγονεν οὖν τινα τὸν ὄντα Δ^Υ α Μ^ο ξ διελεῖν εἰς δύο ἀριθμούς, ὅπως τὸ τοῦ ἑνὸς εον καὶ τὸ τοῦ ἑτέρου ηον ποιῇ Ϛ α.

   Καὶ τοῦτο δὲ οὐ πάντοτε δύναμαι, εἰ μὴ κατεσκευάσθη ὁ Ϛ μείζων μὲν τοῦ ηου Δ^Υ α Μ^ο ξ, ἐλάσσων δὲ τοῦ εου Δ^Υ α Μ^ο ξ ἔστω Δ^Υ α Μ^ο ξ μείζων Ϛ ε, ἐλάσσων δὲ Ϛ η.

   ἐπεὶ οὖν Δ^Υ α Μ^ο ξ μείζων ἐστὶν Ϛ ε, κοιναὶ προσκείσθωσαν Μ^ο ξ, ὥστε καὶ Δ^Υ α μείζων ἐστὶν Ϛ ε Μ^ο ξ. ὥστε καὶ Δ^Υ α ‹ἴσ.› Ϛ ε καὶ ἀριθμῷ τινι μείζονι Μ^ο ξ· ὥστε δεήσει τὸν Ϛ μὴ εἶναι ἐλάσσονα Μ^ο ια.

   πάλιν ἐπεὶ ἡ Δ^Υ α Μ^ο ξ ἐλάσσων ἐστὶν Ϛ η, κοιναὶ προσκείσθωσαν Μ^ο ξ· ὥστε Δ^Υ α ἴση ἐστὶν Ϛ η καὶ ἀριθμῷ τινι ἐλάττονι Μ^ο ξ· ὅθεν δεῖ τὸν Ϛ εὑρίσκεσθαι μὴ μείζονα Μ^ο ιβ· ἐδείχθη δὲ καὶ μὴ ἐλάττων Μ^ο ια· ὥστε δεήσει τὸν Ϛ εὑρεῖν μὲν μείζονα Μ^ο ια, ἐλάσσονα δὲ Μ^ο ιβ.

   ἐὰν δὲ ζητῶμεν Δ^Υ α Μ^ο ξ ἴσ. ‹ῳ›, πλάσσομεν τὴν τοῦ ου πλ. ἀπὸ Ϛ α λείψαντος Μ^ο τινάς, καὶ γίνεται ὁ Ϛ ἔκ τινος ἀριθμοῦ ἐφ' ἑαυτὸν γενομένου καὶ προσλαβόντος Μ^ο ξ καὶ παραβληθέντος παρὰ τὸν β^πλ. [388] αὐτοῦ· καὶ ἀπάγεται εἰς τὸ εὑρεῖν τινα ἀριθμόν, ὅπως ὁ ἀπ' αὐτοῦ ος προσλαβὼν Μ^ο ξ καὶ παραβληθεὶς παρὰ τὸν β^πλ. αὐτοῦ, τὴν παραβολὴν ποιῇ μείζονα μὲν Μ^ο ια, ἐλάσσονα δὲ Μ^ο ιβ.

   [καὶ ἐὰν τάξωμεν τὸν ζητούμενον Ϛ α, δεῖ Δ^Υ α Μ^ο ξ μερίζοντα παρὰ Ϛ β τὴν παραβολὴν ποιεῖν μείζονα μὲν Μ^ο ια, ἐλάσσονα δὲ Μ^ο ιβ] καὶ ἂν τάξωμεν τὸν ζητούμενον ἀριθμὸν Ϛ α, δεῖ οὖν Δ^Υ α Μ^ο ξ μερίζοντα παρὰ Ϛ β [παραβολὴν] ποιεῖν μείζονα μὲν Μ^ο ια, ἕστε Δ^Υ α Μ^ο ξ μείζονες ὀφείλουσιν εἶναι Ϛ κβ· ὥστε Ϛ κβ ἴσοι εἰσὶν Δ^Υ α καὶ ἀριθμῷ τινι ἐλάσσονι Μ^ο ξ· ὥστε ὁ Ϛ οὐκ ὀφείλει εἶναι ἐλάσσων Μ^ο ιθ.

   πάλιν δεῖ Δ^Υ α Μ^ο ξ μερίζοντα παρὰ Ϛ β [τὸν Ϛ] εὑρεῖν ἐλάσσονα Μ^ο ιβ· ὥστε Δ^Υ α Μ^ο ξ ἐλάσσους εἰσὶν Ϛ κδ· Ϛ ἄρα κδ ἴσοι εἰσὶν Δ^Υ α καὶ ἀριθμῷ τινι μείζονι Μ^ο ξ· ὅθεν ὁ Ϛ ὀφείλει ἐλάσσων εἶναι Μ^ο κα, ἀλλὰ καὶ μείζων Μ^ο ιθ· ἔστω Μ^ο κ.

   ὥστε δεῖ Δ^Υ α Μ^ο ξ ἴσ. ῳ ποιοῦντα, τάσσειν τὴν τοῦ ου πλ. ἀπὸ Ϛ α Μ^ο κ· ὅθεν εὑρίσκεται ὁ Ϛ Μ^ο α Ϛ΄, ὁ ος ρλβ δ.

   αἴρω Μ^ο ξ· λοιπαὶ Μ^ο οβ δ. δεῖ οὖν τὰς Μ^ο οβ δ διελεῖν εἰς δύο ἀριθμοὺς ὅπως τὸ τοῦ α^ου εον μετὰ τοῦ τοῦ βου. ‹ηου› ποιῇ Μ^ο ια δ. ἔστω τὸ τοῦ α^ου εον μέρος Ϛ α· τὸ ἄρα τοῦ β^ου ηον ἔσται Μ^ο ια Ϛ΄ Ϛ α· αὐτοὶ ἄρα [390] ἔσονται ὁ μὲν Ϛ ε, ὁ δὲ Μ^ο Ϟβ Ϛ η· ταῦτα ἴσα ‹Μ^ο› οβ δ. ἔσται ἄρα ‹ὁ Ϛ› Μ^ο ιβοθ.

   τὸ ἄρα πλῆθος τῶν πενταδράχμων ἔσται χοέων Ϛ κοτυλῶν ζ, τὸ δὲ τῶν ὀκταδράχμων χοέων δ κοτυλῶν ια. τὰ λοιπὰ δῆλα.

ΔΙΟΦΑΝΤΟΥ ΑΛΕΞΑΝΔΡΕΩΣ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΩΝ ΒΙΒΛΙΟΝ Ϛ.

[392]   α. Εὑρεῖν τρίγωνον ὀρθογώνιον ὅπως ὁ ἐν τῇ ὑποτεινούσῃ λείψας τὸν ἐν ἑκατέρᾳ τῶν ὀρθῶν ποιῇ κύβον.

   Ἔστω τὸ ζητούμενον τρίγωνον πεπλασμένον ἀπὸ δύο ἀριθμῶν, καὶ ἔστω ὁ μὲν Ϛ α, ὁ δὲ Μ^ο γ. γίνεται οὖν ἡ μὲν ὑποτείνουσα Δ^Υ α Μ^ο θ, ἡ δὲ κάθετος Ϛ Ϛ, ἡ δὲ βάσις Δ^Υ α Μ^ο θ.

   καὶ ἡ ὑποτείνουσα, ἐὰν λείψῃ τὸν ἐν μιᾷ τῶν ὀρθῶν, τουτέστιν Δ^Υ α Μ^ο θ, γίνεται Μ^ο ιη, καὶ οὐκ ἔστι κύβος.

   πόθεν ὁ ιη; ὁ ἀπὸ τοῦ γ ἐστὶν ος, δὶς γενόμενος. δεῖ οὖν εὑρεῖν ἀριθμόν τινα, ὅπως ὁ ἀπὸ τούτου ος δὶς γενόμενος ποιῇ κύβον. ἔστω ὁ ζητούμενος Ϛ α· καὶ γίνεται Δ^Υ β ἴσ. κύβῳ. ἔστω ἴσ. Κ^Υ α, καὶ γίνεται ὁ Ϛ Μ^ο β.

   πάλιν πλάσσω τὸ τρίγωνον ἀπὸ Ϛ α καὶ οὐκέτι Μ^ο γ, ἀλλὰ Μ^ο β. καὶ γίνεται ἡ ‹μὲν› ὑποτείνουσα Δ^Υ α Μ^ο δ, ἡ δὲ κάθετος Ϛ δ, ἡ δὲ βάσις Δ^Υ α Μ^ο δ. καὶ μένει [394] ἡ ὑποτείνουσα λείψασα τὸν ἐν τῇ βάσει, τουτέστιν Δ^Υ α Μ^ο δ, ποιοῦσα κύβον.

   λοιπὸν καὶ τὴν οὖσαν Ϛ δ· γίνεται δὲ Δ^Υ α Μ^ο δ Ϛ δ ἴσ. κύβῳ. καὶ ἔστιν τετράγωνος ἀπὸ πλευρᾶς Ϛ α Μ^ο β. ἐὰν οὖν Ϛ α Μ^ο β ἰσώσωμεν κύβῳ, λύσομεν τὸ ζητούμενον. ἔστω ἴσ. Μ^ο η καὶ γίνεται ὁ Ϛ Μ^ο ι.

   ὥστε πλασθήσεται τὸ τρίγωνον ἀπὸ Μ^ο ι καὶ Μ^ο ‹β›, καὶ γίνεται ἡ μὲν ὑποτείνουσα Μ^ο ρδ, ἡ δὲ κάθετος Μ^ο μ, ἡ δὲ βάσις Μ^ο ϞϚ, καὶ μένει.

   β.

   Εὑρεῖν τρίγωνον ὀρθογώνιον, ὅπως ὁ ἐν τῇ ὑποτεινούσῃ προσλαβὼν τὸν ἐν ἑκατέρᾳ τῶν ὀρθῶν ποιῇ κύβον.

   Ἐὰν πλάσσωμεν τὸ ζητούμενον ἀπὸ ἀριθμῶν δύο, ὡς καὶ πρὸ τούτου, γίνεται ζητεῖν τετράγωνόν τινα ὅπως ὁ διπλάσιος αὐτοῦ ‹ᾖ› κύβος, καὶ ἔστιν ὁ ἀπὸ πλευρᾶς Μ^ο β.

   Πλάσσομεν οὖν τὸ ζητούμενον ἀπὸ Ϛ α [καὶ] Μ^ο β, καὶ γίνεται ὁμοίως ἡ μὲν ὑποτείνουσα Δ^Υ α Μ^ο δ, μία δὲ τῶν ὀρθῶν Ϛ δ, ἡ δὲ λοιπὴ Μ^ο δ ‹ Δ^Υ α›.

   λοιπὸν τὸν ἐν τῇ ὑποτεινούσῃ προσλαβόντα τὸν ἐν τῇ ἑτέρᾳ τῶν ὀρθῶν ποιεῖν κύβον, ἀλλὰ διελθόντα εἰς τὴν ὑπόστασιν εὑρεῖν τὴν Δ^Υ ἐλάσσονα Μ^ο δ· ὁ ἄρα ‹Ϛ› ἐλάσσων ἐστὶ Μ^ο β, καὶ ἀπάγεται εἰς τὸ εὑρεῖν [396] κύβ^ον ἐλάσσονα ‹μὲν› Μ^ο δ, μείζονα δὲ Μ^ο β, καὶ ἔστιν ηων κζ· καὶ ἔστω Ϛ α Μ^ο β ἴσ. ηοις κζ, καὶ γίνεται ὁ Ϛ ια.

   ἔσται ἄρα ἡ μὲν ὑποτείνουσα ξδτοζ, τῶν ‹δὲ› ὀρθῶν ἡ μὲν ξδρλε, ἡ δὲ Μ^ο ε Ϛ΄. καὶ εἰς ξδα· ἔσται ἄρα τὸ τρίγωνον τοζ καὶ ρλε καὶ τνβ, καὶ μένει.

   γ.

   Εὑρεῖν τρίγωνον ὀρθογώνιον ὅπως ὁ ἐν τῷ ἐμβαδῷ αὐτοῦ προσλαβὼν τὸν δοθέντα ἀριθμὸν ποιῇ τετράγωνον.

   Ἔστω ὁ δοθεὶς Μ^ο ε.

   καὶ τετάχθω τὸ τρίγωνον δεδομένον τῷ εἴδει Ϛ γ, Ϛ δ, Ϛ ε, καὶ γίνεται ὁ ἐν τῷ ἐμβαδῷ μετὰ Μ^ο ε, Δ^Υ Ϛ Μ^ο ε ἴσ. ῳ.

   ἔστω ἴσ. Δ^Υ θ· καὶ ἀπὸ τῶν ὁμοίων τὰ ὅΜ^οια· λοιπαὶ Δ^Υ γ ἴσ. Μ^ο ε. καὶ δεῖ τὸ εἶδος πρὸς τὸ εἶδος λόγον ἔχειν ὃν ος ἀριθμὸς πρὸς ον ἀριθμόν. [ὀφείλει καὶ τὸ πλῆθος πρὸς τὸ πλῆθος·] καὶ ἀπάγεται εἰς τὸ εὑρεῖν τρίγωνον ὀρθογώνιον καὶ ον ἀριθμὸν ὅπως ὁ ος λείψας τὸν ἐν τῷ ἐμβαδῷ τοῦ τριγώνου ποιῇ εον τετραγώνου, ἐπειδήπερ ὁ δοθεὶς Μ^ο ε ἐστίν.

   πεπλάσθω ‹τὸ τρίγωνον ἀπὸ› Ϛ α ‹καὶ Ϛ α›, καὶ γίνεται ὁ ἐν τῷ ἐμβαδῷ Δ^Υ α ‹ ΔΨ α›· ἔστω ἡ τοῦ [398] ου πλευρὰ Ϛ α καὶ Ϛ τοσούτων ὅσων ἐστὶν ὁ διπλάσιος τοῦ δοθέντος ἀριθμοῦ, τουτέστιν Ϛ ι. καὶ γίνεται ὁ ος Δ^Υ α Δ^Υ ρ Μ^ο κ. καὶ ἐὰν ἀπὸ τούτου ἄρωμεν τὸ ἐμβαδόν, τουτέστιν Δ^Υ α ‹ Δ^Υ α›, λοιπὸν γίνεται Δ^Υ ρα Μ^ο κ· ταῦτα εκις· γίνεται Δ^Υ φε Μ^ο ρ ἴσος ὁ ος. καὶ πάντα ἐπὶ Δ^Υ α· γίνονται Δ^Υ ρ Μ^ο φε ἴσ. ‹›· ἔστω ἴσ. τῷ ἀπὸ πλ. Ϛ ι Μ^ο ε· ὅθεν εὑρίσκεται ὁ Ϛ εων κδ.

   ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις. πλάσσεται ἄρα τὸ τρίγωνον ἀπὸ εκδ καὶ κδε, ἡ δὲ τοῦ ου πλ. ξυιγ· ἐὰν οὖν τὸ ὀρθογώνιον τάξωμεν ἐν Ϛ, καὶ τὸ ἐμβαδὸν αὐτοῦ μετὰ Μ^ο ε ποιῶμεν ἴσον Δ^Υ ιζ. Ϛγκφξθ, ἔσται ἡμῖν τὰ λοιπὰ δῆλα.

   δ.

   Εὑρεῖν τρίγωνον ὀρθογώνιον ὅπως ὁ ἐν τῷ ἐμβαδῷ αὐτοῦ λείψας τὸν δοθέντα [ἀριθμὸν] ποιῇ τετράγωνον.

   Ἔστω ὁ δοθεὶς Μ^ο Ϛ.

   καὶ τετάχθω τὸ τρίγωνον δεδομένον τῷ εἴδει, καὶ διὰ τὴν ὑπόθεσιν, Δ^Υ Ϛ Μ^ο Ϛ ἴσ. ῳ· ἔστω ἴσ. Δ^Υ δ, καὶ πάλιν ἀπάγεται εἰς τὸ εὑρεῖν τρίγωνον ὀρθογώνιον [400] καὶ ον ἀριθμὸν ὅπως ὁ ἀπὸ τοῦ ἐμβαδοῦ ἀρθῇ ος, καὶ τὰ λοιπὰ Ϛκις γενόμενα ποιῇ ον. πεπλάσθω πάλιν τὸ τρίγωνον ἀπὸ Ϛ α καὶ Ϛ α, ἡ δὲ τοῦ ου πλ. Ϛ α ‹ Ϛ τοσούτων ὅσων› καὶ ἔσται τὸ Ϛ΄ τοῦ πλήθους τοῦ δοθέντος ἀριθμοῦ, τουτέστιν Ϛ γ.

   Μ^ο Ϛ Δ^Υ ι [ἴσ. ῳ], καὶ ϚκιϚ· Δ^Υ λϚ Μ^ο ξ ἴσ. ῳ· τῷ ἀπὸ πλ. Ϛ Ϛ Μ^ο β, ὅθεν εὑρίσκεται ὁ Ϛ γων η.

   πλάσσεται ἄρα τὸ τρίγωνον ἀπὸ γη καὶ ηγ, ἡ δὲ τοῦ ου ‹πλ.› κδλξ. καὶ εὑρὼν τὸ τρίγωνον τάσσω ἐν Ϛ, καὶ ἀκολουθήσας τῇ προτάσει, εὑρήσω τὸν Ϛ ῥητόν, καὶ μένει.

   ε.

   Εὑρεῖν τρίγωνον ὀρθογώνιον ὅπως ὁ ἐν τῷ ἐμβαδῷ αὐτοῦ ἀφαιρεθεὶς ἀπὸ τοῦ δοθέντος ἀριθμοῦ ποιῇ τετράγωνον.

   Ἔστω ὁ δοθεὶς Μ^ο ι.

   καὶ πάλιν τετάχθω τὸ τρίγωνον Ϛ γ, Ϛ δ, Ϛ ε· γίνεται Μ^ο ι Δ^Υ Ϛ ἴσαι ῳ. καὶ ἐὰν ποιῶμεν ἴσ. Δ^Υ τετραγωνικαῖς, ἀπάγεται πάλιν εἰς τὸ εὑρεῖν τρίγωνον ὀρθογώνιον καὶ ον ἀριθμόν, ὅπως ὁ ος προσλαβὼν τὸν ἐν τῷ ἐμβαδῷ ποιῇ ιον ου.

[402]    πεπλάσθω τὸ τρίγωνον ἀπὸ Ϛ α καὶ Ϛ α, ἡ δὲ τοῦ ου πλ., Ϛ α καὶ Ϛ ε. καὶ γίνεται ὁ συγκείμενος ἐκ τοῦ ἐμβαδοῦ καὶ τοῦ ‹ου›, Δ^Υ κϚ Μ^ο ι· ταῦτα ικις· γίνεται Δ^Υ σξ Μ^ο ρ ἴσ. ῳ· καὶ τὰ δα· γίνονται Δ^Υ ξε Μ^ο κε ἴσ. ῳ· τῷ ἀπὸ πλ. Μ^ο ε Ϛ η, ὅθεν εὑρίσκεται ὁ Ϛ Μ^ο π.

   ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις· καὶ ὁμοίως τοῖς πρὸ τούτου εὑρήσομεν.

   Ϛ.

   Εὑρεῖν τρίγωνον ὀρθογώνιον ὅπως ὁ ἐν τῷ ἐμβαδῷ προσλαβὼν τὸν ἐν μιᾷ τῶν ὀρθῶν ποιῇ δοθέντα ἀριθμόν.

   Ἔστω ὁ δοθεὶς Μ^ο ζ.

   Τετάχθω πάλιν τὸ τρίγωνον δεδομένον τῷ εἴδει Ϛ γ, Ϛ δ, Ϛ ε· καὶ γίνονται Δ^Υ Ϛ Ϛ γ ἴσ. Μ^ο ζ. καὶ δεῖ τῶν Ϛ τῷ Ϛ΄ ἐφ' ἑαυτὸ προσθεῖναι τὰς Δ^Υ ‹ἐπὶ τὰς Μ^ο›, καὶ ποιεῖν ον· οὐ ποιεῖ δέ· ὥστε δεήσει εὑρεῖν τρίγωνον ὀρθογώνιον ὅπως ὁ ἀπὸ τοῦ Ϛ΄ μιᾶς τῶν ὀρθῶν προσλαβὼν τὸν ζπλ. τοῦ ἐν τῷ ἐμβαδῷ ποιῇ ον.

   ἔστω ὁ ἐν μιᾷ τῶν ὀρθῶν Ϛ α, ὁ δὲ ἐν τῇ ἑτέρᾳ Μ^ο α· καὶ γίνονται Ϛ γ Ϛ΄ Μ^ο δ· καὶ πάντα δκις· γίνονται Ϛ ιδ ‹Μ^ο α› ἴσ. ῳ.

   καὶ ἵνα καὶ τὸ ὀρθογώνιον ῥητὸν κατασκευάσωμεν, δεῖ καὶ Δ^Υ α μετὰ Μ^ο α εἶναι ον.

[404]    ἡ ὑπεροχὴ γίνεται Δ^Υ α Ϛ ιδ· ἡ μέτρησις· Ϛ α κατὰ Ϛ α Μ^ο ιδ· τῆς ὑπεροχῆς τὸ Ϛ΄ ἐφ' ἑαυτὸ γίνεται Μ^ο μθ ἴσαι τῷ ἐλάσσονι, καὶ γίνεται ὁ Ϛ ζκδ.

   ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις. τάσσω οὖν μίαν τῶν ὀρθῶν τοῦ τριγώνου ζκδ, τὴν δὲ ἑτέραν Μ^ο α. καὶ πάντα ζκις· γίνεται ἡ μὲν κδ, ἡ δὲ ζ, ἡ δὲ ὑποτείνουσα κε. [καὶ] γίνεται ὁ ἐν τῷ ἐμβαδῷ μετὰ β^ας τῶν ὀρθῶν Δ^Υ πδ Ϛ ζ. ταῦτα ἴσα Μ^ο ζ· ὅθεν ὁ Ϛ εὑρίσκεται ‹δ· ἔσται ἄρα τὸ τρίγωνον› Μ^ο Ϛ, δων ζ, δων κε, καὶ μένει.

   ζ.

   Εὑρεῖν τρίγωνον ὀρθογώνιον ὅπως ὁ ἐν τῷ ἐμβαδῷ αὐτοῦ λείψας τὸν ἐν μιᾷ τῶν ὀρθῶν ποιῇ τὸν δοθέντα ἀριθμόν.

   Ἔστω ὁ δοθεὶς Μ^ο ζ.

   Καὶ πάλιν, ἐὰν τάξωμεν αὐτὸ δεδομένον τῷ εἴδει, ἀπάγεται εἰς τὸ εὑρεῖν τρίγωνον ὀρθογώνιον ὅπως μιᾶς ὀρθῆς τὸ Ϛ΄ ἐφ' ἑαυτὸ γενόμενον καὶ προσλαβὸν τὸν ζπλ. τοῦ ἐν τῷ ἐμβαδῷ αὐτοῦ, ποιῇ ον. καὶ εὕρηται ὂν ζ, κδ, κε.

[406]    τάσσω οὖν ἐν Ϛοῖς, καὶ τὸ ἐμβαδόν, λεῖψαν τὸν ἐν μιᾷ τῶν ὀρθῶν, γί. Δ^Υ πδ Ϛ ζ· ταῦτα ἴσα Μ^ο ζ· καὶ γίνεται ὁ Ϛ Μ^ο γ.

   ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις.

   η.

   Εὑρεῖν τρίγωνον ὀρθογώνιον ὅπως ὁ ἐν τῷ ἐμβαδῷ αὐτοῦ, προσλαβὼν τὸν ἐν συναμφοτέρῳ τῶν ὀρθῶν, ποιῇ δοθέντα.

   Ἔστω ὁ δοθεὶς Μ^ο Ϛ.

   Καὶ πάλιν τετάχθω δεδομένον τῷ εἴδει, καὶ πάλιν ἀπάγεται εἰς τὸ εὑρεῖν τρίγωνον ὀρθογώνιον ὅπως συναμφοτέρου τῶν ὀρθῶν τὸ Ϛ΄ ἐφ' ἑαυτὸ μετὰ τοῦ Ϛπλ. τοῦ ἐν τῷ ἐμβαδῷ ποιῇ ον.

   Καὶ πάλιν ὑποκείσθω ‹μία› τῶν ὀρθῶν Ϛ α, ἡ δὲ ἑτέρα Μ α, καὶ γίνεται ζητεῖν Δ^Υ δ Ϛ γ Ϛ΄ Μ^ο δ ἴσ. ῳ. καὶ πάντα δκις. γίνεται Δ^Υ α Ϛ ιδ Μ^ο α ἴσ. ῳ, καὶ Δ^Υ α Μ^ο α ἴσ. ‹ῳ›.

   ἡ ὑπεροχὴ Ϛ ιδ· ἡ μέτρησις· Ϛ β κατὰ Μ^ο ζ· τῆς τούτων ὑπεροχῆς τὸ Ϛ΄ ἐφ' ἑαυτὸ γίνεται Δ^Υ α Μ^ο ιβ δ Ϛ ζ ἴσ. Δ^Υ α Μ^ο α. καὶ γίνεται ὁ Ϛ Μ^ο κημε.

   ἔσται ἄρα τὸ τρίγωνον Μ^ο κημε, Μ^ο α, Μ^ο κηνγ· καὶ πάντα [408] κηκις· γίνεται ἄρα τὸ τρίγωνον Ϛ με, Ϛ κη, Ϛ νγ, καὶ γίνεται τὸ ἐμβαδὸν μετὰ συναμφοτέρου τῶν ὀρθῶν Δ^Υ χλ Ϛ ογ ἴσ. Μ^ο Ϛ, καὶ γίνεται ὁ Ϛ ῥητός.

   ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις.

   θ.

   Εὑρεῖν τρίγωνον ὀρθογώνιον ὅπως ὁ ἐν τῷ ἐμβαδῷ αὐτοῦ, λείψας τὸν ‹ἐν› συναμφοτέρῳ τῶν ὀρθῶν, ποιῇ δοθέντα ἀριθμόν.

   Ἔστω ὁ δοθεὶς Μ^ο Ϛ.

   Καὶ πάλιν, ἐὰν τάξωμεν τὸ ζητούμενον τρίγωνον δεδομένον τῷ εἴδει, γίνεται ζητεῖν τρίγωνον ὀρθογώνιον ὅπως συναμφοτέρου τῶν ὀρθῶν τὸ Ϛ΄ ἐφ' ἑαυτὸ προσλαβὸν τὸν Ϛπλ. τοῦ ἐν τῷ ἐμβαδῷ ποιῇ ον. τοῦτο δὲ προδέδεικται καὶ ἔστιν κη, με, νγ.

   τάσσω οὖν αὐτὰ ἐν Ϛ, καὶ πάλιν γίνεται Δ^Υ χλ Ϛ ογ ἴσ. Μ^ο Ϛ· ὅθεν εὑρίσκεται ὁ Ϛ Μ^ο λεϚ.

   ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις.

   ι.

   Εὑρεῖν τρίγωνον ὀρθογώνιον ὅπως ὁ ἐν τῷ ἐμβαδῷ αὐτοῦ, προσλαβὼν τὸν ἐν συναμφοτέρῳ τῆς τε ὑποτεινούσης καὶ μιᾶς τῶν ὀρθῶν, ποιῇ δοθέντα ἀριθμόν.

   Ἔστω ὁ δοθεὶς Μ^ο δ.

   Καὶ πάλιν τάξομεν αὐτὸ δεδομένον τῷ εἴδει· ἀπ[51]άγεται [410] πάλιν εἰς τὸ εὑρεῖν τρίγωνον ὀρθογώνιον ὅπως συναμφοτέρου ‹τῆς› τε ὑποτεινούσης καὶ μιᾶς τῶν ὀρθῶν τὸ ἥμισυ ἐφ' ἑαυτὸ ‹μετὰ τοῦ ἐν τῷ ἐμβαδῷ δκις γενομένου, ποιῇ τετράγωνον.

   πεπλάσθω τὸ τρίγωνον ἀπὸ Μ^ο α καὶ Ϛ α Μ^ο α, καὶ γίνεται συναμφοτέρου τῆς τε ὑποτεινούσης καὶ μιᾶς τῶν ὀρθῶν τὸ ἥμισυ ἐφ' ἑαυτὸ› Δ^Υ Δ α Κ^Υ δ Δ^Υ Ϛ Ϛ δ Μ^ο α· ὁ δὲ δ^πλ. τοῦ ἐν τῷ ἐμβαδῷ Κ^Υ δ Δ^Υ ιβ Ϛ η· ὥστε δεήσει ζητεῖν Δ^ΥΔ α Κ^Υ η Δ^Υ ιη Ϛ ιβ Μ^ο α ἴσ. ῳ· τῷ ἀπὸ πλ· Ϛ Ϛ Μ^ο α Δ^Υ α, καὶ γίνεται ὁ Ϛ, δ εων. πλάσσεται ἄρα τὸ τρίγωνον ἀπὸ ‹Μ α καὶ› εθ· καὶ ἅπαντα εκις· πλασθήσεται πάλιν τὸ τρίγωνον ἀπὸ θ καὶ ε.

   Καὶ λαβὼν τὰ ἐλάσσονα τῶν ὁμοίων, τάσσω αὐτὸ ἐν Ϛ· γίνεται Ϛ κη, Ϛ με, Ϛ νγ. καὶ γίνεται ὁ ἐν τῷ ἐμβαδῷ, μετὰ συναμφοτέρου τῆς τε ὑποτεινούσης καὶ μιᾶς τῶν ὀρθῶν, Δ^Υ χλ Ϛ πα ἴσ. Μ^ο δ· καὶ γίνεται ὁ Ϛ ρεδ.

   ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις.

   ια.

   Εὑρεῖν τρίγωνον ὀρθογώνιον ὅπως ὁ ἐν τῷ ἐμβαδῷ αὐτοῦ, λείψας τὸν ἐν συναμφοτέρῳ τῆς τε ὑποτεινούσης καὶ μιᾶς τῶν ὀρθῶν, ποιῇ δοθέντα ἀριθμόν.

   Ἔστω ὁ δοθεὶς Μ^ο δ.

[412]    Καὶ πάλιν τάξομεν αὐτὸ δεδομένον τῷ εἴδει. ἀπάγεται εἰς τὸ εὑρεῖν τρίγωνον ὀρθογώνιον ὅπως ὁ ἐν τῷ ἐμβαδῷ αὐτοῦ δκις γενόμενος προσλαβὼν συναμφοτέρου τῆς τε ὑποτεινούσης καὶ μιᾶς τῶν ὀρθῶν τὸ ἥμισυ ἐφ' ἑαυτὸ ποιῇ τετράγωνον, καὶ δειχθήσεται ὅτι ἔστιν κη, με, νγ.

   τάσσω αὐτὸ ἐν Ϛ καὶ γίνονται Δ^Υ χλ Ϛ πα ἴσ. Μ^ο δ. καὶ γίνεται ὁ Ϛ Μ^ο Ϛ.

   ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις.

   Λῆμμα εἰς τὸ ἑξῆς.

   Εὑρεῖν τρίγωνον ὀρθογώνιον ὅπως ‹ἡ ὑπεροχὴ τῶν ὀρθῶν ᾖ τετράγωνος›, καὶ ὁ ἐν τῇ μείζονι τῶν ὀρθῶν ᾖ τετράγωνος, ἔτι δὲ καὶ ὁ ἐν τῷ ἐμβαδῷ αὐτοῦ μετὰ ἐλάσσονος ὀρθῆς ποιῇ τετράγωνον.

   Πεπλάσθω τρίγωνον ἀπὸ ἀριθμῶν δύο καὶ ὑποκείσθω ἡ μείζων ὀρθὴ γενομένη ἐκ τοῦ δὶς ὑπ' αὐτῶν. δεῖ οὖν εὑρεῖν δύο ἀριθμοὺς ὅπως ὁ δὶς ὑπ' αὐτῶν ᾖ τετράγωνος, καὶ ἡ ὑπεροχή, ᾗ ὑπερέχει ὁ δὶς ὑπ' αὐτῶν τῆς ὑπεροχῆς τῶν ἀπ' αὐτῶν τετραγώνων, ποιῇ ον. τοῦτο δὲ ἐν πᾶσι δυσὶν ἀριθμοῖς, ὅταν ὁ μείζων τοῦ ἐλάσσονος ᾖ διπλασίων.

   λοιπὸν ζητοῦμεν καὶ τὸ ἐμβαδὸν τοῦ τριγώνου μετὰ τῆς ἐλάσσονος τῶν ὀρθῶν ποιεῖν ον· γίνεται δὲ [414] τὸ ἐμβαδὸν τοῦ τριγώνου Ϛ πλ. τῆς ἀπὸ τοῦ ‹ἐλάσσονος› ἀριθμοῦ δυναΜ^οδυνάμεως· ὁ δ' ἐν τῇ τῶν ὀρθῶν ἐλάσσονι γ τῶν ἀπὸ ἐλάσσονος τετραγώνων· καὶ πάντα παρὰ τὸν ἀπὸ τοῦ ἐλάσσονος τετράγωνον· ζητήσομεν ἄρα ἀριθμόν τινα ὅπως καὶ οἱ Ϛ ἀπ' αὐτοῦ τετράγωνοι μετὰ Μ^ο γ ποιῶσι τετράγωνον.

   ἔστι δὲ ἡ μονὰς μία καὶ ἄλλοι ἄπειροι ἀριθμοί· ὥστε τὸ ζητούμενον ὀρθογώνιον ἔσται πεπλασμένον ἀπὸ Μ^ο α καὶ Μ^ο β.

   Ἕτερον εἰς τὸ αὐτὸ χρειῶδες.

   Δύο ἀριθμῶν δοθέντων ὧν τὸ σύνθεμα ποιεῖ τετράγωνον, εὑρίσκονται ἄπειροι τετράγωνοι ὧν ἕκαστος πολλαπλασιασθεὶς ἐπὶ ἕνα τὸν δοθέντα ‹καὶ προσλαβὼν τὸν ἕτερον› ποιεῖ τετράγωνον.

   Ἔστωσαν οἱ δοθέντες ἀριθμοὶ δύο ὅ τε γ καὶ ὁ Ϛ; καὶ δέον ἔστω προσευρεῖν ον, ὃς πολλαπλασιασθεὶς ἐπὶ τὸν γ καὶ προσλαβὼν Μ^ο Ϛ ποιεῖ ον.

   Ἔστω ὁ ζητούμενος ος, Δ^Υ α Ϛ β Μ^ο α· καὶ γίνονται Δ^Υ γ Ϛ Ϛ Μ^ο θ ἴσ. ῳ, καὶ δυνατόν ἐστιν ἀπειραχῶς εὑρεῖν διὰ τὸ τὰς Μ^ο εἶναι τετραγωνικάς.

   ἔστω οὖν τῷ ἀπὸ πλ. Μ^ο γ Ϛ γ, καὶ γίνεται ὁ Ϛ Μ^ο δ· ὥστε ἄρα ἡ τοῦ ου πλ. Μ^ο ε.

   καὶ ἕτεροι ἄπειροι εὑρίσκονται.

   ιβ.

   Εὑρεῖν τρίγωνον ὀρθογώνιον ὅπως ὁ ἐν τῷ ἐμβαδῷ αὐτοῦ προσλαβὼν τὸν ἐν ἑκατέρᾳ τῶν ὀρθῶν ποιῇ τετράγωνον.

[416]    Τετάχθω τὸ τρίγωνον δεδομένον τῷ εἴδει Ϛ ε, Ϛ ιβ, Ϛ ιγ· καὶ γίνεται Δ^Υ λ Ϛ ιβ ἴσ. ῳ, [καὶ Δ^Υ λ Ϛ ε ἴσ. ῳ] καὶ ἔστω ἴσ. Δ^Υ λϚ, καὶ γίνεται ὁ Ϛ Μ^ο β.

   καὶ τοῦ Ϛ ὄντος Μ^ο β, δεήσει καὶ Δ^Υ λ Ϛ ε εἶναι ον· οὐκ ἔστιν δέ. ἀπάγεται οὖν εἰς τὸ εὑρεῖν όν τινα, λείψῃ ὃς τὸν λ καὶ παρὰ τὸν λοιπὸν μερισθῇ ὁ ιβ, καὶ ὁ γενόμενος ἀριθμὸς ἐφ' ἑαυτὸν λκις καὶ προσλαβὼν τὸν ε^πλ. τοῦ εὑρεθέντος ἀριθμοῦ, ἀριθμὸν ποιῇ τετράγωνον.

   Ἔστω ὁ ζητούμενος ποιεῖν τετράγωνον Δ^Υ α· καὶ ‹ἐὰν λείψῃ τὸν λ καὶ παρὰ τὸν λοιπὸν μερισθῇ ὁ ιβ, γίνεται› ὁ ἀριθμὸς Μ^ο ιβ ἐν μορίῳ Δ^Υ α Μ^ο λ· ὁ τετράγωνος γίνεται ‹Μ^ο› ρμδ ἐν μορίῳ Δ^Υ Δ α Μ^ο Ϡ Δτ ξ· ταῦτα λκις μετὰ τοῦ ε^πλ. αὐτοῦ, γίνεται Δ^Υ ξ Μ^ο Ϛβφκ ἐν μορίῳ Δ^Υ Δ α Μ^ο Ϡ Δ^Υ ξ.

   καὶ ἔστι τὸ μόριον τετράγωνος, καὶ δεήσει ἄρα Δ^Υ ξ Μ^ο Ϛβφκ εἶναι ον. καὶ ἔστιν ὁ Ϛ ἐκ τετραγώνου τινός· ‹ζητητέον ἄρα τοῦτον› Δ^Υ ξκις γενόμενον καὶ προσλαβόντα Μ^ο Ϛβφκ καὶ ποιοῦντα ον. ἐὰν οὖν ἀλλασσομένῳ τῷ ὀρθογωνίῳ κατασκευάσωμεν τὸν ξ μετὰ τοῦ Ϛβφκ ποιεῖν ον, λύσομεν τὸ ζητούμενον. γίνεται δὲ ὁ μὲν ξ ἐκ τοῦ ὑπὸ τῶν περὶ τὴν ὀρθήν, ὁ δὲ Ϛβφκ ἐκ τοῦ στερεοῦ περιεχομένου ἐκ τῆς μείζονος τῶν [418] ὀρθῶν, καὶ τῆς ὑπεροχῆς τῶν ὀρθῶν, καὶ τοῦ ἐμβαδοῦ. καὶ ἀπάγεται εἰς τὸ εὑρεῖν τρίγωνον ὀρθογώνιον ὅπως ὁ ὑπὸ τῶν περὶ τὴν ὀρθὴν αὐτοῦ, προσλαβὼν τὸν στερεὸν τὸν περιεχόμενον ἔκ τε τῆς μείζονος τῶν ὀρθῶν, καὶ τῆς ὑπεροχῆς τῶν ὀρθῶν, καὶ τοῦ ἐμβαδοῦ αὐτοῦ, ποιῇ τετράγωνον. καὶ ἐὰν τάξωμεν τὴν μείζονα τῶν ὀρθῶν ον, καὶ ἅπαντα παραβάλωμεν παρ' αὐτήν, ζητήσομεν τὸν ἐν τῇ ἐλάσσονι τῶν ὀρθῶν αὐτοῦ, μετὰ τοῦ ὑπὸ τοῦ ἐμβαδοῦ καὶ τῆς ὑπεροχῆς τῶν ὀρθῶν, ‹ποιεῖν› ον.

   ἀπάγεται εἰς τὸ δύο ἀριθμοὺς εὑρόντας ‹τόν τε ὑπὸ› τοῦ ἐμβαδοῦ καὶ τῆς ὑπεροχῆς τῶν ὀρθῶν, ‹καὶ τὸν ἐν τῇ ἐλάσσονι τῶν ὀρθῶν›, αὖθις ζητεῖν όν τινα, ὃς πολλαπλασιασθεὶς ἐπὶ ἕνα τὸν δοθέντα, ‹καὶ προσλαβὼν τὸν ἕτερον›, ποιεῖ τετράγωνον.

   ταῦτα δὲ λήμματα προεδείχθη καὶ ἔστιν τὸ ὀρθογώνιον γ, δ, ε. τάσσω αὐτὸ ἐν Ϛ καὶ γίνεται ζητεῖν Δ^Υ Ϛ Ϛ δ ἴσ. ῳ, καὶ Δ^Υ Ϛ Ϛ γ ἴσ. ῳ. καὶ πάλιν ἐὰν ἀπολύσωμεν τὴν μείζονα ἰσότητα, γίνεται ὁ ἀριθμὸς Μ^ο δ ἐν μορίῳ Δ^Υ α Μ^ο Ϛ. ἡ ἄρα δύναμις γίνεται Μ^ο ιϚ ἐν μορίῳ Δ^Υ Δ α Μ^ο λϚ Δ^Υ ιβ. ἔσται ἄρα δυνάμεις Ϛ μετὰ ἀριθμῶν γ, γί. Δ^Υ ιβ Μ^ο κδ ἐν μορίῳ Δ^Υ Δ α Μ^ο λϚ Δ^Υ ιβ· ‹ὥστε Μ^ο ιβ καὶ› Μ^ο κδ ὀφείλουσι [420] τετράγωνον ὃς πολλαπλασιασθεὶς ἐπὶ ἐλάσσονα τὸν δοθέντα, καὶ προσλαβὼν τὸν μείζονα, ποιεῖ ον. ἔστιν δὲ ὁ κε· ὥστε ἡ Δ^Υ γίνεται Μ^ο κε, ὁ ἄρα Ϛ ἔσται Μ^ο ε.

   ζητοῦντες οὖν Δ^Υ Ϛ Ϛ δ ἰσῶσαι, ποιοῦμεν ἴσ. Δ^Υ κε, καὶ γίνεται ὁ Ϛ δ ιθων.

   ἔσται ἄρα τὸ τρίγωνον ιβ, ιϚ, κ, καὶ μένει.

   ιγ.

   Εὑρεῖν τρίγωνον ὀρθογώνιον ὅπως ὁ ἐν τῷ ἐμβαδῷ αὐτοῦ λείψας τὸν ἐν ἑκατέρᾳ τῶν ὀρθῶν ποιῇ τετράγωνον.

   Πάλιν ἐὰν τάξωμεν αὐτὸ δεδομένον τῷ εἴδει, ὁμοίως τῷ πρὸ τούτου, ἀπάγεται εἰς τὸ εὑρεῖν τρίγωνον ὀρθογώνιον ὅμοιον τῷ γ, δ, ε. τετάχθω οὖν ἐν Ϛ καὶ γίνεται Ϛ γ, Ϛ δ, Ϛ ε· καὶ Δ^Υ Ϛ Ϛ δ ἴσ. ῳ.

   καὶ τάξομεν τὸν τετράγωνον ἐλάττονα Δ^Υ Ϛ· ἔρχεται ὁ Ϛ Μ^ο δ ἐν μορίῳ τῆς ὑπεροχῆς ᾗ ὑπερέχει ὁ ‹Ϛ› τετραγώνου τινός.

   καὶ ἐὰν τάξωμεν τὸν τετράγωνον Δ^Υ α, γίνεται, τηλικούτου ὄντος τοῦ Ϛοῦ, Δ^Υ Ϛ Ϛ γ ποιεῖν ἴσ. ῳ.· καὶ αἱ μὲν Δ^Υ Ϛ, Μ^ο ϞϚ ἐν μορίῳ Δ^Υ Δα Μ^ο λϚ Δ^Υ ιβ· τῆς δὲ πλευρᾶς γ^πλ., Μ^ο ιβ ἐν μορίῳ Μ^ο Ϛ Δ^Υ α, τουτέστιν Μ^ο οβ Δ^Υ ιβ ἐν μορίῳ τῷ αὐτῷ.

[422]    καὶ ἐὰν ταῦτα αἴρωμεν ἀπὸ Μ^ο ϞϚ ἐν μορίῳ τῷ αὐτῷ, λοιπαί εἰσιν Δ^Υ ιβ ‹Μ^ο κδ› ἐν μορίῳ Δ^Υ Δ α Μ^ο λϚ Δ^Υ ιβ· καὶ ἔστιν τὸ μόριον ος, ὥστε καὶ Δ^Υ ιβ Μ^ο κδ ἴσ. ῳ· καὶ ἔστιν ὁ Ϛ Μ^ο α.

   τάσσω οὖν Δ^Υ Ϛ Ϛ δ ἴσ. Δ^Υ α, καὶ γίνεται ὁ Ϛ εων δ· ἔσονται οὖν τοῦ ζητουμένου ὀρθογωνίου πλευραὶ ειβ, ειϚ, Μ^ο δ.

   Καὶ ἐὰν μὴ θέλης χρήσασθαι τῇ Μ^ο, τάξον τὸν ἐλάσσονα Ϛ α Μ^ο α· ὥστε αἱ Δ^Υ γ Μ^ο Ϛ ἰσχύουσι Δγ Ϛ Ϛ Μ^ο θ· καὶ ταῦτα ἴσα ῳ ποιεῖν ῥᾴδιόν ἐστι, καὶ εὑρεθήσεται ὁ Ϛ οὐ μείζων θιγ· ἦν δὲ ὁ Ϛ, Ϛ α Μ^ο α· ἔσται ἄρα ὁ Ϛ οὐ μείζων θκβ, καὶ ὁ ἀπὸ τούτων ος ἀρθεὶς ἀπὸ Μ^ο Ϛ ποιεῖ Ϛ ῥητόν.

   ιδ.

   Εὑρεῖν τρίγωνον ὀρθογώνιον ὅπως ὁ ἐν τῷ ἐμβαδῷ αὐτοῦ, λείψας τὸν ἐν ἑκατέρᾳ τῆς τε ὑποτεινούσης καὶ μιᾶς τῶν ὀρθῶν, ποιῇ τετράγωνον.

[424]    Ἔστω τὸ τρίγωνον δεδομένον τῷ εἴδει Ϛ γ, Ϛ δ, Ϛ ε, καὶ πάλιν γίνεται ζητεῖν Δ^Υ Ϛ Ϛ ε ἴσ. ῳ, καὶ Δ^Υ Ϛ Ϛ γ ἴσ. ῳ. καὶ ἐὰν ποιήσω Δ^Υ Ϛ Ϛ γ ἴσ. ῳ, γίνεται ὁ Ϛ Μ^ο γ ἐν μορίῳ Μ^ο Ϛ Δ^Υ α. καὶ τοιούτου εὑρεθέντος, αἱ Δ^Υ Ϛ γίνονται Μ^ο νδ ἐν μορίῳ Δ^Υ Δ α Μ^ο λϚ Δ^Υ ιβ. καὶ δεῖ ἀπὸ μονδ ἐν μορίῳ Δ^Υ Δ α Μ^ο λϚ Δ^Υ ιβ ‹ἀφελεῖν τοὺς ε Ϛ›, ἔσονται ἄρα αἱ Μ^ο Ϟ Δ^Υ ιε ἐν μορίῳ τῷ αὐτῷ, καὶ τὰ λοιπὰ ποιεῖν ἴσ. ῳ· γίνονται δὲ λοιπαὶ Δ^Υ ιε Μ^ο λϚ ἐν μορίῳ Δ^Υ Δ α Μ^ο λϚ Δ^Υ ιβ ἴσ. ῳ· καὶ ἔστιν τὸ μόριον ος· ὥστε καὶ Δ^Υ ιε Μ^ο λϚ ἴσ. ῳ.

   Καὶ αὕτη μὲν ἡ ἰσότης ἀδύνατός ἐστι διὰ τὸ τὸν ιε μὴ διαιρεῖσθαι εἰς δύο τετραγώνους· οὐ πάντως δὲ τὸ ἐξ ἀρχῆς ἀδύνατόν ἐστι· δέον οὖν διορίζεσθαι περὶ τοῦ τριγώνου. γεγόνασι γὰρ αἱ μὲν Δ^Υ ιε ἔκ τινος ου, ἐλάσσονος τοῦ ἐν τῷ ἐμβαδῷ, πολλαπλασιασθέντος ἐπὶ τὸν ὑπὸ τῆς ὑποτεινούσης καὶ μιᾶς τῶν ὀρθῶν· αἱ δ' ἐν λείψει Μ^ο λϚ ἐκ τοῦ στερεοῦ τοῦ περιεχομένου ἔκ τε τοῦ ἐμβαδοῦ καὶ μιᾶς τῶν ὀρθῶν καὶ τῆς ὑπεροχῆς ᾗ ὑπερέχει ἡ ὑποτείνουσα τῆς εἰρημένης τῶν ὀρθῶν. καὶ ἀπῆκται εἰς τὸ πρότερον εὑρεῖν τρίγωνον ὀρθογώνιον καὶ τετράγωνον ἀριθμὸν ἐλάσσονα ὄντα τοῦ ἐμβαδοῦ, ὅπως ὁ τετράγωνος πολλαπλασιασθεὶς ἐπὶ τὸν ‹ὑπὸ τῆς› ὑποτεινούσης καὶ μιᾶς τῶν ὀρθῶν, ‹λείψει› τοῦ στερεοῦ τοῦ περιεχομένου ἔκ τε τοῦ ἐμβαδοῦ καὶ τῆς εἰρημένης τῶν ὀρθῶν καὶ τῆς ὑπεροχῆς [426] ᾗ ὑπερέχει ἡ ὑποτείνουσα ‹τῆς εἰρημένης τῶν ὀρθῶν ποιῇ τετράγωνον.

   Καὶ ἐὰν πλάσσωμεν τὸ τρίγωνον ἀπὸ δύο ἀριθμῶν καὶ ὑποθώμεθα› τὴν εἰρημένην τῶν ὀρθῶν γεγενῆσθαι ἐκ τοῦ δὶς ὑπ' αὐτῶν, καὶ πάντα παραβάλωμεν παρὰ τὸν ἀπὸ τῆς ὑπεροχῆς ‹αὐτῶν τουτέστι τὴν ὑπεροχὴν› τῆς ὑποτεινούσης καὶ τῆς προειρημένης μιᾶς τῶν ὀρθῶν, ζητήσομεν πάλιν ἄλλον τινὰ τετράγωνον ‹ὃς› πολλαπλασιασθεὶς ἐπὶ τὸν ὑπὸ τῆς ὑποτεινούσης καὶ μιᾶς τῶν ὀρθῶν, τοῦ ἐμβαδοῦ ἐπὶ τὴν μίαν τῶν ὀρθῶν ὑπερέχει τετραγώνῳ. καὶ ἐὰν τάξωμεν τοὺς πλάσσοντας τὸ ὀρθογώνιον ὁμοίους εἶναι ἐπιπέδους, διαλύσομεν τὸ ζητούμενον.

   Πεπλάσθω τὸ τρίγωνον ἀπὸ Μ^ο δ καὶ Μ^ο α· ὁ δὲ τετράγωνος ἔστω, ἵνα ἐλάσσων ᾖ τοῦ ἐμβαδοῦ, Μ^ο λϚ· καὶ πλάσας τὸ τρίγωνον, πλάσσω αὐτὸ ἐν Ϛ η, Ϛ ιε, Ϛ ιζ· καὶ γίνεται ὁ ἐν τῷ ἐμβαδῷ λείψας τὸν ἐν μιᾷ τῶν ὀρθῶν, Δ^Υ ξ Ϛ η· ταῦτα ἴσα Δ^Υ λϚ· καὶ γίνεται ὁ Ϛ Μ^ο γ.

   ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις. ἔσται ἄρα τὸ τρίγωνον γη, γιε, γιζ, καὶ μένει.

[428]    Λῆμμα εἰς τὸ ἑξῆς.

   Δύο ἀριθμῶν δοθέντων, ἐὰν τετράγωνός τις πολλαπλασιασθεὶς ἐπὶ ἕνα αὐτῶν καὶ λείψας τὸν ἕτερον ποιῇ τετράγωνον, καὶ εὑρίσκεται τετράγωνος καὶ ἕτερος μείζων τοῦ προειρημένου τετραγώνου, τὸ αὐτὸ ποιῶν.

   Δεδόσθωσαν δύο ἀριθμοὶ ὅ τε γ καὶ ὁ ια, καὶ τετράγωνός τις, ὁ ἀπὸ τοῦ ε, πολλαπλασιασθεὶς ἐπὶ τὸν γ καὶ λείψας τὸν ια, ποιείτω τετράγωνον, τὸν ὄντα ἀπὸ πλευρᾶς Μ^ο η. δέον ἔστω ζητεῖν ἕτερον τετράγωνον μείζονα τοῦ κε, τὸ αὐτὸ ποιοῦντα.

   Ἔστω ἡ τοῦ ου πλ. Ϛ α Μ^ο ε· ὁ ος γίνεται Δ^Υ α Ϛ ι Μ^ο κε· ταῦτα τρὶς Μ^ο ια, γίνονται Δ^Υ γ Ϛ λ Μ^ο ξδ ἴσ. ῳ τῷ ἀπὸ πλ. Μ^οη Ϛβ· καὶ γίνεται ὁ Ϛ Μ^ο ξβ. ἔσται ἄρα ἡ πλ. Μ^ο ξζ, ὁ ος Ϛδυπθ, καὶ οὗτος ποιεῖ τὸ ἐπιταχθέν.

   ιε.

   Εὑρεῖν τρίγωνον ὀρθογώνιον ὅπως ὁ ἐν τῷ ἐμβαδῷ αὐτοῦ, προσλαβὼν τὸν ἐν ἑκατέρᾳ τῆς τε ὑποτεινούσης καὶ μιᾶς τῶν ὀρθῶν, ποιῇ τετράγωνον.

   Καὶ ἐὰν τάξωμεν αὐτὸ δεδομένον τῷ εἴδει, πάλιν ἔρχεται ἡμῖν διορίζεσθαι καὶ ζητεῖν τρίγωνον ὀρθογώνιον καὶ τετράγωνον ἀριθμὸν μείζονα ὄντα τοῦ ἐν τῷ ἐμβαδῷ, ὅπως ὁ τετράγωνος πολλαπλασιασθεὶς ἐπὶ τὸν ‹ὑπὸ τῆς› ὑποτεινούσης καὶ μιᾶς τῶν ὀρθῶν [430] τοῦ ζητουμένου ὀρθογωνίου, ‹λείψει› τοῦ στερεοῦ τοῦ περιεχομένου ‹ἐκ τοῦ› ἐν τῷ ἐμβαδῷ καὶ τῆς προειρημένης μιᾶς τῶν ὀρθῶν καὶ τῆς ὑπεροχῆς ᾗ ὑπερέχει ἡ ὑποτείνουσα τῆς προειρημένης μιᾶς, τῆς ὑπεροχῆς τετραγώνου ‹οὔσης, ποιῇ τετράγωνον›.

   Πεπλάσθω οὖν τὸ τρίγωνον ἀπὸ Μ^ο δ καὶ Μ^ο α, ὁ δὲ ος Μ^ο λϚ· καὶ οὐκ ἔστιν μείζων τοῦ ἐμβαδοῦ· ἔχοντες οὖν δύο ἀριθμούς, τὸν μὲν ἕνα, τὸν ὑπὸ τῆς ὑποτεινούσης καὶ μιᾶς τῶν ὀρθῶν, τουτέστι Μ^ο ρλϚ· τὸν δὲ λοιπόν, τὸν στερεὸν τὸν περιεχόμενον ὑπὸ τοῦ ἐμβαδοῦ καὶ μιᾶς τῶν ὀρθῶν καὶ τῆς ὑπεροχῆς τῆς τε ὑποτεινούσης καὶ τῆς προειρημένης μιᾶς τῶν ὀρθῶν, τὸν Ϛδτκ· ἐπεὶ οὖν ός τις, ὁ ὢν Μ^ο λϚ, πολλαπλασιασθεὶς ἐπὶ τὸν ρλϚ καὶ λείψας τὸν Ϛδτκ, ποιεῖ ον, ζητοῦμεν δὲ τὸν ον μείζονα εἶναι τοῦ λϚ, ἐὰν οὖν τάξωμεν Δ^Υ α Ϛ ιβ Μ^ο λϚ, καὶ ἀκολουθήσωμεν τῇ προδεδειγμένῃ ἀποδείξει, εὑρήσομεν ἀπείρους ους ποιοῦντας τὸ πρόβλημα, ὧν εἷς ἔσται ὁ ὢν Μ^ο χοϚ.

   Τάξομεν οὖν τὸ ὀρθογώνιον Ϛ η, Ϛ ιε, Ϛ ιζ, καὶ γίνονται Δ^Υ ξ Ϛ η ἴσ. Δ^Υ χοϚ· καὶ γίνεται ὁ Ϛ οζ.

   ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις.

   ιϚ.

   Εὑρεῖν τρίγωνον ὀρθογώνιον ὅπως, τῶν ὀξειῶν ‹μιᾶς› αὐτοῦ γωνιῶν τμηθείσης δίχα, ὁ τῆς τεμνούσης τὴν γωνίαν ἀριθμὸς ᾖ ῥητός.

[432]    Τετάχθω ἡ μὲν τέμνουσα γωνίαν δίχα Ϛ ε, ἡ δὲ μία τομὴ τῆς βάσεως Ϛ γ, ἡ ἄρα κάθετος ἔσται Ϛ δ.

   τετάχθω δὴ καὶ ἡ ἐξ ἀρχῆς βάσις Μ^ο ὁσωνδήποτε ἐχουσῶν γ^ον, ἔστω δὴ Μ^ο γ· ὥστε δὴ τὸ λοιπὸν τμῆμα τῆς βάσεως, Μ^ο γ Ϛ γ. ἀλλ' ἐπεὶ ἡ γωνία δίχα ἐτμήθη, καὶ ἔστιν ἡ κάθετος ἀποτομῆς ἐπίτριτος, ὥστε καὶ ἡ ὑποτείνουσα τοῦ λοιποῦ τῆς βάσεως ἐστὶν ἐπίτριτος, καὶ τέτακται τὸ λοιπὸν τμῆμα τῆς βάσεως Μ^ο γ Ϛ γ, ἡ ἄρα ὑποτείνουσά ‹ἐστι› Μ^ο δ Ϛ δ.

   λοιπόν ἐστι τὸν ἀπὸ τούτων τετράγωνον, τουτέστιν Δ^Υ ιϚ Μ^ο ιϚ Ϛ λβ, ἰσῶσαι τοῖς ἀπὸ τῶν ὀρθῶν τετραγώνοις, τουτέστι Δ^Υ ιϚ Μ^ο θ, καὶ γίνεται ὁ Ϛ λβζ· τὰ λοιπὰ δῆλα.

   καὶ ἐὰν πάντα λβκις ποιήσω, ἔσται ἄρα ἡ μὲν κάθετος Μ^ο κη, ἡ δὲ βάσις Μ^ο ϞϚ, ἡ δὲ ὑποτείνουσα Μ^ο ρ, ἡ δὲ τέμνουσα τὴν γωνίαν Μ^ο λε, αἱ δὲ ‹τομαὶ τῆς βάσεως, ἡ μὲν Μ^ο κα, ἡ δὲ Μ^ο οε›.

   ιζ.

   Εὑρεῖν τρίγωνον ὀρθογώνιον ὅπως ὁ ἐν τῷ ἐμβαδῷ αὐτοῦ, προσλαβὼν τὸν ἐν τῇ ὑποτεινούσῃ, ποιῇ τετράγωνον, ὁ δὲ ἐν τῇ περιμέτρῳ αὐτοῦ ᾖ κύβος.

   Τετάχθω ὁ ἐν τῷ ἐμβαδῷ αὐτοῦ Ϛ α, ὁ δὲ ἐν τῇ ὑποτεινούσῃ αὐτοῦ Μ^ο τινῶν τετραγωνικῶν Ϛ α, ἔστω Μ^ο ιϚ Ϛ α.

   ἀλλ' ἐπεὶ ὑπεθέμεθα τὸν ἐν τῷ ἐμβαδῷ αὐτοῦ εἶναι [434] Ϛ α, ὁ ἄρα ὑπὸ τῶν περὶ τὴν ὀρθὴν αὐτοῦ γίνεται Ϛ β. ἀλλὰ Ϛ β περιέχονται ὑπὸ Ϛ α καὶ Μ^ο β· ἐὰν οὖν τάξωμεν μίαν τῶν ὀρθῶν Μ^ο β, ἔσται ἡ ἑτέρα Ϛ α.

   καὶ γίνεται ἡ περίμετρος Μ^ο ιη καὶ οὐκ ἔστι κύβος· ὁ δὲ ιη γέγονεν ἔκ τινος ου καὶ Μ^ο β· δεήσει ἄρα εὑρεῖν όν τινα, ὅς, προσλαβὼν Μ^ο β, ποιεῖ κύβον, ὥστε κύβ^ον ῳ ὑπερέχειν Μ^ο β.

   Τετάχθω οὖν ἡ μὲν τοῦ ου ‹πλ.› Ϛ α Μ^ο α, ἡ δὲ τοῦ κύβου Ϛ α Μ^ο α. γίνεται ὁ μὲν ος, Δ^Υ α Ϛ β Μ^ο α, ὁ δὲ κύβος, ‹Κ^Υ α› Ϛ γ Δ^Υ γ Μ^ο α. θέλω οὖν τὸν κύβ^ον τὸν ον ὑπερέχειν δυάδι· ὁ ἄρα ος μετὰ δυάδος, τουτέστιν Δ^Υ α Ϛ β Μ^ο γ, ἔστιν ἴσος Κ^Υ α Ϛ ‹γ Δ^Υ γ Μ› α, ὅθεν ὁ Ϛ εὑρίσκεται Μ^ο δ.

   ἔσται οὖν ἡ μὲν τοῦ ου πλ. Μ^ο ε, ἡ δὲ τοῦ κύβου Μ^ο γ. αὐτοὶ ἄρα ὁ μὲν ος Μ^ο κε, ὁ δὲ κύβος Μ^ο κζ.

   Μεθυφίσταμαι οὖν τὸ ὀρθογώνιον, καὶ τάξας αὐτοῦ τὸ ἐμβαδὸν Ϛ α, τάσσω τὴν ὑποτείνουσαν Μ^ο κε Ϛ α· μένει δὲ καὶ ἡ βάσις Μ^ο β, ἡ δὲ κάθετος Ϛ α.

   λοιπόν ἐστιν τὸν ἀπὸ τῆς ὑποτεινούσης ἴσον εἶναι τοῖς ἀπὸ τῶν περὶ τὴν ὀρθήν· γίνεται δὲ Δ^Υ α Μ^ο χκε Ϛ ν· ἔσται ἴση Δ^Υ α Μ^ο δ. ὅθεν ὁ Ϛ Μ^ο νχκε.

   ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις καὶ μένει.

[436]    ιη.

   Εὑρεῖν τρίγωνον ὀρθογώνιον ὅπως ὁ ἐν τῷ ἐμβαδῷ αὐτοῦ, προσλαβὼν τὸν ἐν τῇ ὑποτεινούσῃ, ποιῇ κύβον, ὁ δὲ ἐν τῇ περιμέτρῳ αὐτοῦ ᾖ τετράγωνος.

   Ἐὰν δὴ ὁμοίως τῷ πρὸ τούτου τάξωμεν τὸν ἐν τῷ ἐμβαδῷ Ϛ α, τὸν δὲ ἐν τῇ ὑποτεινούσῃ Μ^ο κυβικῶν Ϛ α, ἔρχεται ζητεῖν τίς κύβος μετὰ Μ^ο β ποιεῖ τετράγωνον.

   Τετάχθω ἡ τοῦ κύβου πλ. Ϛ α Μ^ο α· ὁ κύβος ‹μετὰ Μ^ο β› γίνεται Κ^Υ α Ϛ γ Μ^ο α Δ^Υ γ· ἔσται ος· ἔστω ἀπὸ πλ. Ϛ α Ϛ΄ Μ^ο α. καὶ γίνεται ὁ Ϛ μονάδος κα δων. ἔσται ἄρα ἡ τοῦ κύβου πλευρὰ διζ, αὐτὸς ἄρα ἔσται ξδϚδϠιγ.

   Τάσσω πάλιν τὸν ἐν τῷ ἐμβαδῷ Ϛ α, τὴν δὲ ὑποτείνουσαν Μ^ο ξδϚδϠιγ Ϛ α· ἔχομεν δὲ καὶ τὴν βάσιν Μ^ο β, τὴν δὲ κάθετον Ϛ α. καὶ ἐὰν ἰσάσωμεν τὸν ἀπὸ τῆς ὑποτεινούσης ον ἴσον τοῖς ἀπὸ τῶν περὶ τὴν ὀρθὴν οις, εὑρήσομεν τὸν Ϛ ῥητόν.

   ιθ.

   Εὑρεῖν τρίγωνον ὀρθογώνιον ὅπως ὁ ἐν τῷ ἐμβαδῷ αὐτοῦ, προσλαβὼν τὸν ἐν μιᾷ τῶν ὀρθῶν, ποιῇ τετράγωνον, ὁ δ' ἐν τῇ περιμέτρῳ αὐτοῦ ᾖ κύβος.

[438]    Τετάχθω τὸ ὀρθογώνιον ἀπὸ ἀριθμοῦ τινος ἀορίστου περισσοῦ· ἔστω δὴ Ϛ β Μ^ο α. ἔσται ἄρα ἡ μὲν κάθετος Ϛ β Μ^ο α, ἡ δὲ βάσις Δ^Υ β Ϛ β, ἡ δὲ ὑποτείνουσα Δ^Υ β Ϛ β Μ α· λοιπόν ἐστιν τὴν περίμετρον αὐτοῦ εἶναι κύβον, τὸν δὲ ἐν τῷ ἐμβαδῷ μετὰ μιᾶς τῶν ὀρθῶν ποιεῖν τετράγωνον.

   γίνεται δὲ ἡ μὲν περίμετρος Δ^Υ δ Ϛ Ϛ Μ^ο β ἴσαι κύβῳ· καὶ ἔστιν σύνθετος ἀριθμός· περιέχεται γὰρ ὑπὸ Ϛ δ Μ^ο β καὶ Ϛ α Μ^ο α· ἐὰν οὖν ἑκάστην πλευρὰν μερίσωμεν παρὰ Ϛ α Μ^ο α, ἕξομεν τὴν περίμετρον αὐτοῦ Ϛ δ Μ^ο β· ἔσται κύβος.

   λοιπὸν ἄρα ὁ ἐν τῷ ἐμβαδῷ αὐτοῦ μετὰ μιᾶς τῶν ὀρθῶν ποιεῖ ον. γίνεται δὲ ὁ μὲν ἐν τῷ ἐμβαδῷ αὐτοῦ Κ^Υ β Δ^Υ γ Ϛ α ἐν μορίῳ Δ^Υ α Ϛ β Μ^ο α, ἡ δὲ μία τῶν ὀρθῶν Ϛ β Μ^ο α ἐν μορίῳ Ϛ α Μ^ο α. καὶ ἐὰν ποιήσωμεν τὰ δύο εἰς τὸ αὐτὸ μόριον, γίνονται Κ^Υ β Δ^Υ ε Ϛ δ Μ^ο α. καὶ ἔχουσι κοινὸν μόριον Δ^Υ α Ϛ β Μ^ο α, ὥστε τὰ δύο συντεθέντα ποιεῖν Ϛ β Μ^ο α ἴσ. ῳ· ἐζητοῦμεν δὲ καὶ Ϛ δ Μ^ο β ἴσ. κύβῳ. καὶ ἀπάγεται εἰς τὸ εὑρεῖν κύβ^ον ου διπλασίονα· ἔστιν δὲ ὁ η, Μ^ο δ.

   ἔστω Ϛ δ Μ^ο β ἴσ. Μ^ο η· καὶ γίνεται ὁ Ϛ α Ϛ΄.

   ἔσται ἄρα ὀρθογώνιον εη, ειε, ειζ. καὶ μένει.

[440]    κ.

   Εὑρεῖν τρίγωνον ὀρθογώνιον ὅπως ὁ ἐν τῷ ἐμβαδῷ αὐτοῦ, προσλαβὼν τὸν ἐν μιᾷ τῶν ὀρθῶν, ποιῇ κύβον, ὁ δὲ ἐν τῇ περιμέτρῳ αὐτοῦ ᾖ τετράγωνος.

   Πάλιν ἐὰν τῇ αὐτῇ ἀγωγῇ χρησώμεθα τῇ πρὸ τούτου, ἀπάγεται εἰς τὸ Ϛ δ Μ^ο β ποιεῖν ἴσ. ῳ, καὶ Ϛ β Μ^ο α ἴσ. κύβῳ. καὶ γίνεται ζητεῖν τετράγωνον κύβου β^πλ.. ἔστιν ιϚ καὶ η· καὶ πάλιν ἰσάζομεν Μ^ο ιϚ, Ϛ δ Μ^ο β. καὶ γίνεται ὁ Ϛ Μ^ο γ Ϛ΄· ἔσται ἄρα τὸ ὀρθογώνιον θιϚ, θξγ, θξε.

   κα.

   Εὑρεῖν τρίγωνον ὀρθογώνιον ὅπως ὁ ἐν τῇ περιμέτρῳ αὐτοῦ ᾖ τετράγωνος, καὶ προσλαβὼν τὸν ἐν τῷ ἐμβαδῷ αὐτοῦ ποιῇ κύβον.

   Πεπλάσθω τὸ ὀρθογώνιον ἀπὸ Ϛ α, Μ^ο α· γίνεται μία μὲν τῶν ὀρθῶν Ϛ β, ἡ δὲ ἑτέρα Δ^Υ α Μ^ο α, ἡ δὲ ὑποτείνουσα Δ^Υ α Μ^ο α. καὶ γίνεται ζητεῖν Δ^Υ β Ϛ β ἴσ. ῳ, καὶ Κ^Υ α Δ^Υ β Ϛ α ἴσ. κύβῳ. καὶ τὸ μὲν Δ^Υ β Ϛ β κατασκευάζειν ον ῥᾴδιόν ἐστιν· ἐὰν γὰρ δυάδα μερίσῃς εἰς ον παρὰ δυάδα, εὑρήσεις τὸν Ϛ ἕνα· ἀλλὰ δεῖ τοιοῦτον εὑρίσκεσθαι, ὥστε τὸν ἀπ' αὐτοῦ Κ^Υ καὶ β τοὺς ἀπ' αὐτοῦ ους καὶ αὐτὸν συντιθέμενον ποιεῖν κύβον.

[442]    ἔστιν οὖν ὁ Ϛ ἐκ δυάδος μερισθείσης εἰς Δ^Υ α Μ^ο β· ὁ κύβος γίνεται Μ^ο η ἐν μορίῳ τῷ ἀπὸ Δ^Υ α Μ^ο β ‹κύβῳ›. καὶ οἱ β ἀπ' αὐτοῦ οι γίνονται Μ^ο η ἐν μορίῳ τῷ ἀπὸ Δ^Υ α Μ^ο β ῳ· αὐτὸς δὲ Μ^ο β ἐν μορίῳ Δ^Υ α Μ^ο β. καὶ πάντα εἰς τὸ αὐτὸ μόριον· γί. Δ^Υ Δ β ἐν μορίῳ τῷ ἀπὸ Δ^Υ α Μ^ο β κύβῳ.

   καὶ ἔστιν τὸ μόριον κυβικόν· ἔστω Δ^Υ Δ β ἴσ. κύβῳ· καὶ πάντα παρὰ Κ^Υ α· γίνονται Ϛ β ἴσ. ‹κύβῳ›. καὶ ἐὰν τάξωμεν ἴσ. Μ^ο κυβικαῖς, εὑρίσκεται ὁ Ϛ κύβου τινὸς τὸ Ϛ΄. ἔστω· ὁ κύβος Μ^ο η· γίνεται ἄρα τοῦ Ϛ΄, Μ^ο δ ........

   ος γίνεται μθ καὶ δεῖ ἀπὸ τούτου ἆραι Μ^ο α, ἐπειδήπερ ἡ μία τῶν ὀρθῶν ἐστιν Δ^Υ α Μ^ο α· καὶ ἀπάγεται εἰς τὸ ζητῆσαι κύβ^ον ὅπως τὸ δ^ον τοῦ ἀπ' αὐτοῦ τετραγώνου μεῖζον μὲν Μ^ο β ᾖ, ἔλασσον δὲ Μ^ο δ.

   καὶ ἐὰν τάξωμεν τὸν κύβ^ον Κ^Υ α, ζητήσομεν Κ^Υ Κδ μεῖζον μὲν Μ^ο β, ἔλασσον δὲ Μ^ο δ· ὁ ἄρα Κ^Υ Κ μείζων μὲν Μ η, ἐλάσσων δὲ Μ^ο ιϚ. ἔστιν δὲ τὰ ξδψκθ, ὥστε ὁ κύβος ηκζ.

   τάσσω οὖν Ϛ β ἴσ. Μ^ο ηκζ, καὶ γίνεται ὁ Ϛ ιϚκζ, ἡ Δ^Υ, σνϚψκθ. καὶ ἐὰν δυάδα μερίσωμεν εἰς τὸν τοῦδε δυάδι [444] ἐλάσσονα, εὑρήσομεν τὸν Ϛ μονάδος σιζφιβ, καὶ ἔχομεν ἀπὸ τοῦ ἀπ' αὐτοῦ ον ἆραι Μ^ο α.

   κβ.

   Εὑρεῖν τρίγωνον ὀρθογώνιον ὅπως ὁ ἐν τῇ περιμέτρῳ αὐτοῦ ᾖ κύβος, προσλαβὼν δὲ τὸν ἐν τῷ ἐμβαδῷ αὐτοῦ, ποιῇ τετράγωνον.

   Πρότερον δεῖ ἐπισκέψασθαι· δύο ἀριθμῶν δοθέντων, εὑρεῖν τρίγωνον ὀρθογώνιον, ὅπως ὁ μὲν ἐν τῇ περιμέτρῳ αὐτοῦ ἴσος ‹ᾖ› ἑνὶ τῶν δοθέντων, ὁ δ' ἐν τῷ ἐμβαδῷ αὐτοῦ τῷ ἑτέρῳ.

   Ἔστωσαν δύο ἀριθμοὶ ὅ τε ιβ καὶ ὁ ζ· καὶ ἐπιτετάχθω τὸν μὲν ιβ εἶναι τὸν ἐν τῇ περιμέτρῳ αὐτοῦ, τὸν δὲ ζ τὸν ἐν τῷ ἐμβαδῷ. ὁ ἄρα ὑπὸ τῶν περὶ τὴν ὀρθὴν αὐτοῦ ἔσται Μ^ο ιδ, καὶ ἐὰν τάξωμεν μίαν αὐτοῦ ὀρθὴν Ϛ α, ἡ ἑτέρα αὐτοῦ ἔσται Ϛ ιδ. ἔστιν δὲ καὶ ἡ περίμετρος αὐτοῦ Μ^ο ιβ· ἡ ἄρα ὑποτείνουσα ἔσται Μ^ο ιβ Ϛ α Ϛ ιδ.

   λοιπόν ἐστιν τὸν ἀπ' αὐτῆς ον, ὅσπερ ἐστὶ ΔΨ α Δ^Υ ρϞϚ Μ^ο ροβ Ϛ κδ Ϛ τλϚ, ἰσῶσαι τοῖς ἀπὸ τῶν περὶ τὴν ὀρθὴν οις, τουτέστιν ΔΨ α Δ^Υ ρϞϚ. κοινὴ προσκείσθω ἡ λεῖψις καὶ ἀπὸ ὁμοίων ὅΜ^οια καὶ πάντα ἐπὶ Ϛ, γί. Ϛ ροβ ἴσ. Δ^Υ τλϚ Μ^ο κδ.

   καὶ οὐ πάντοτε δυνατόν ἐστιν, εἰ μὴ τὸ Ϛ΄ τῶν Ϛ ἐφ' ἑαυτό, λεῖψαν τὰς Δ^Υ ἐπὶ τὰς Μ^ο, ποιεῖ ον· καί [446] εἰσιν οἱ μὲν Ϛ ἐκ τοῦ ἀπὸ τῆς περιμέτρου καὶ τοῦ δ^πλ. τοῦ ἐν τῷ ἐμβαδῷ, αἱ δὲ Δ^Υ ἐπὶ τὰς Μ^ο ἐκ τοῦ ηκις ἀπὸ τῆς περιμέτρου ἐπὶ τὸ ἐμβαδόν.

   Ὥστε ἐὰν τοιοῦτοι δοθῶσιν οἱ ἀριθμοί, καὶ ἔστω ὁ μὲν ἐν τῷ ἐμβαδῷ Ϛ α, ὁ δ' ἐν τῇ περιμέτρῳ, κύβος ἅμα καὶ ος, Μ^ο ξδ, καὶ ἵνα συσταθῇ τὸ τρίγωνον, δεῖ τοῦ ἀπὸ Μ^ο ξδ ου καὶ Ϛ δ τὸ Ϛ΄ ποιήσαντα ‹ἐφ' ἑαυτὸ› ἀφελεῖν τὸν ηκις ἀπὸ τῆς περιμέτρου ἐπὶ Ϛ α, καὶ λοιπὸν ζητῆσαι τὰ λοιπὰ ἴσα ῳ.

   γίνονται Δ^Υ δ ΜΥ υιθϚδτδ Ϛ βϚδφος· καὶ πάντων τὸ Δον. γίνεται Δ^Υ α ΜΥ ρδϚηφος Ϛ ϚϚρμδ ἴσ. ῳ. ἔτι δὲ καὶ Ϛ α Μ^ο ξδ ἴσ. ῳ. καὶ ἐξισούσθωσαν αἱ Μ^ο καὶ ἡ ὑπεροχὴ καὶ ἡ μέτρησις καὶ τὰ λοιπὰ δῆλα.

   κγ.

   Εὑρεῖν τρίγωνον ὀρθογώνιον ὅπως ὁ ἀπὸ τῆς ὑποτεινούσης τετράγωνος ᾖ ἄλλως τετράγωνος καὶ πλευρά, ‹καὶ› μερισθεὶς παρὰ τὸν ἐν μιᾷ τῶν ὀρθῶν ποιῇ κύβ^ον καὶ πλευράν.

   Τετάχθω ἡ μία τῶν ὀρθῶν Ϛ α, ἡ δὲ ἑτέρα Δ^Υ α· καὶ μένει ὁ ἀπὸ τῆς ὑποτεινούσης ὦν τετραγώνου καὶ πλευρᾶς.

   λοιπόν ἐστι Δ^ΥΔ α Δ^Υ α ἰσῶσαι ῳ, καὶ πάντα παρὰ [448] Δ^Υ· γίνεται Δ^Υ α Μ^ο α ἴσ. ῳ τῷ ἀπὸ πλ. Ϛ α Μ^ο β· ὅθεν ὁ Ϛ γίνεται μονάδος δγ. τὰ λοιπὰ δῆλα.

   κδ.

   Εὑρεῖν τρίγωνον ὀρθογώνιον ὅπως ὁ μὲν ἐν μιᾷ τῶν ὀρθῶν ᾖ κύβος, ὁ δὲ ἐν τῇ ἑτέρᾳ κύβος παρὰ πλευράν, ὁ δὲ ἐν τῇ ὑποτεινούσῃ κύβος καὶ πλευρά.

   Τετάχθω ὁ ἐν τῇ ὑποτεινούσῃ Κ^Υ α Ϛ α, ὁ δὲ ἐν μιᾷ τῶν ὀρθῶν Κ^Υ α Ϛ α· ὁ ἄρα ἐν τῇ ἑτέρᾳ ἔσται Δ^Υ β.

   λοιπόν ἐστι Δ^Υ β ἰσῶσαι κύβῳ· ἔστω ἰσῶσαι Κ^Υ α· καὶ γίνεται ὁ Ϛ Μ^ο β.

   ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις. καὶ ἔσται τὸ τρίγωνον Ϛ, η, ι, καὶ μένει.